Статья Обучение учащихся средней школы графическому методу решения уравнений

Обучение учащихся средней школы графическому методу решения уравнений

Уравнения в школьном курсе алгебры занимают ведущее место. Школьники начинают знакомиться с уравнениями еще в начальной школе. Содержание темы «Уравнения» постепенно углубляется и расширяется. Задача учителя − научить школьников эффективно решать как стандартные уравнения, так и уравнения, не являющиеся таковыми. За сотни лет развития «царицы всех наук» люди придумали большое количество методов решения уравнений. Большая часть этих методов основана на тождественных и равносильных преобразованиях. А как решать уравнения, не проводя сложных вычислений? Существует графический метод.

Учащиеся общеобразовательных учреждений традиционно знакомятся при изучении математики с графическим методом решения уравнений. Тем не менее, содержащиеся в контрольно-измерительных материалах ОГЭ задания, решения которых требуют применения графического метода, вызывают у них затруднения. Более того, учащиеся порой не замечают возможности применения графиков к решению уравнений. Вместе с тем, графическое решение уравнений играет немаловажную роль в развитии пространственного воображения, мышления, исследовательских способностей, находчивости и сообразительности. Все это обуславливает актуальность рассматриваемой темы.

Таким образом, необходима целенаправленная и последовательная работа по обучению учащихся графическому методу решения уравнений. Данная статья затрагивает только уравнения с одной переменной.

Суть графического метода решения уравнений в следующем: при решении уравнения вида f₁ (x) = f₂ (x), где y = f₁ (x) и y = f₂ (x) - графики известных функций, строят графики этих функций. Затем находят точки их пересечения. Абсциссы таких точек являются корнями данного уравнения. Этот метод позволяет определить число корней, их приближенные, а иногда и точные значения.

Для овладения графическим методом решения уравнений необходимо сформировать у учащихся следующие умения:

1. построение графиков функций;

2. определение точек пересечения графика функции с осями координат;

3. определение точек пересечения графиков функций, построенных в одной системе координат.

Обучение непосредственно графическому методу решения уравнений целесообразно изучать по схеме:

• решение уравнений вида f (x) = 0;

• решение уравнений вида f (x) = а;

• решение уравнений вида f₁ (x) = f₂ (x), где y = f₁ (x) и y = f₂ (x) - графики известных учащимся функций;

• решение уравнений, сводящихся к виду f₁ (x) = f₂ (x), где y = f₁ (x) и y = f₂ (x) - графики известных учащимся функций.

Ниже предложены задачи, направленные на обучение графическому методу решения уравнений, в 7 классе в процессе изучения темы «Функции y = x² и y = x³ и их графики» (учебник Ю.Н. Макарычева «Алгебра, 7 класс»).

1. Используя график функции, изображенный на рисунке, найдите значения х, при которых у = 1; у = - 3; у = 0.

2. Пользуясь рисунком, выясните, сколько решений имеют уравнения: x² = 3; x² = 0; x² = -1.

3. Пользуясь графиком функции y= x², решите уравнение: x² = 4;
   x² = -2.

4. Постройте графики функций y = x², y = 9 и найдите точки их пересечения.

5. Решите графически уравнения: x² = 9; x² = -3.

6. Постройте в одной системе координат графики функций y= x² и
   y =7x - 6 и найдите точки их пересечения.

7. Решите уравнение x² = x + 6, используя графики функций y = x² ,
   y = x + 6.

8. Решите графически уравнение: a) x² = 6 - 5x; б) x² - x = 6;
   в) x² +2x - 3 = 0; г) x³ + 5x = 6; г) x³ + x = 4.

Далее следуют задания без указания метода их решения.

9. Сколько корней имеет уравнение x³ - 2x +8 = 0.

Затем появляются более сложные задания, например, с параметрами.

10. При каком значении а уравнение x² = a, имеет более одного решения.

11. При каком значении a уравнение x² - a + 8 = 0 имеет одно решение.

После изучения «новых» функций необходимо расширять и углублять систему задач, направленную на формирование умений учащихся решать уравнения графическим методом.

Графический метод имеет ряд недостатков. Во-первых, построение графиков функций − трудоемкий процесс, требующий много времени. Во-вторых, решение уравнений графическим методом позволяет найти лишь приближенные значения корней. Однако, его преимущества бесспорны: графический метод является эффективным при решении нестандартных уравнений, решение которых аналитически приводит к громоздким и трудным вычислениям. При применении графического метода график функции строится не ради графика, а для решения другой задачи, становясь, таким образом, не целью, а средством, помогающим решить уравнение. Можно отметить, что он создает большие возможности для активизации учебной работы по наблюдению, сравнению, обобщению. Вместе с тем, графическое решение уравнений играет немаловажную роль в развитии пространственного воображения, мышления, исследовательских способностей, находчивости и сообразительности.