Министерство образования Нижегородской области

Государственное бюджетное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

«Перевозский строительный колледж»

Методические указания

по выполнению заданий

на практических занятиях

по дисциплине ЕН.01 Элементы высшей математики

Для специальности 09.02.01 Компьютерные системы и комплексы

Составитель Панькова Наталья Викторовна

г. Перевоз

2014

Составитель: Панькова Н.В.

Методические указания по выполнению заданий на практических занятиях по дисциплине ЕН.01 Элементы высшей математики / Перевозский строит. колледж; Сост.: Н.В. Панькова. - Перевоз, 2014. - 87 с.

Данные методические указания составлены в помощь преподавателям и обучающимся.

В методических указаниях рассмотрены теоретические сведения, представлены практические задания, тесты для самопроверки. Главное внимание уделено подробному решению типовых задач.

Предназначены для студентов второго курса, специальности 09.02.01 Компьютерные системы и комплексы, изучающих дисциплину ЕН.01 Элементы высшей математики.

Рецензент: Кузьмина Т.А. - зав. кафедрой информационных технологий ГБОУ СПО «Перевозский строительный колледж».

© Перевозский строительный

колледж, 2014

Рассмотрено на заседании кафедры

____информационных технологий________

Протокол № ____ «____» _______ 20____ г.

Заведующий кафедрой

_________________ Кузьмина Т.А.

Утверждено на заседании

Методического совета

Протокол № ____ «____» _______ 20____ г.

Оглавление

Введение

Уважаемый студент, Вы приступаете к изучению методических указаний для практических занятий по дисциплине ЕН.01 Элементы высшей математики.

Данный курс дает Вам возможность усвоить основные понятия линейной алгебры, аналитической геометрии, математического анализа, теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теории комплексных чисел.

Изучение данного курса будет способствовать приобретению навыков решения задач высшей математики.

Данный курс составлен в соответствии с требованиями ППССЗ по дисциплине математического и общего естественнонаучного учебного цикла ЕН.01 Элементы высшей математики по специальности 09.02.01 Компьютерные системы и комплексы.

Цель и задачи освоения дисциплины ЕН.01 Элементы высшей математики

В результате изучения данной дисциплины Вы должны

уметь:

• выполнять операции над матрицами и решать системы линейных уравнений;

• применять методы дифференциального и интегрального исчисления;

• решать дифференциальные уравнения.

знать:

• основы математического анализа, линейной алгебры и аналитической геометрии;

• основы дифференциального и интегрального исчисления.

Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины ЕН.01 Элементы высшей математики

Процесс изучения дисциплины ЕН.01 Элементы высшей математики направлен на формирование следующих компетенций в соответствии с программой ФГОС СПО по специальности 09.02.01 Компьютерные системы и комплексы:

ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.

ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.

ОК 6. Работать в коллективе и команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.

ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), результат выполнения заданий.

ОК 8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.

ОК 9. Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной деятельности.

ПК 1.2. Разрабатывать схемы цифровых устройств на основе интегральных схем разной степени интеграции.

ПК 1.4. Проводить измерения параметров проектируемых устройств и определять показатели надежности.

ПК 2.2. Производить тестирование, определение параметров и отладку микропроцессорных систем.

Алгоритм выполнения практических заданий

При выполнении практических работ следует придерживаться следующего алгоритма действий:

1. Ознакомиться с решением типовой задачи;

2. Выполнить предложенные задачи по образцу;

3. Выполненные работы необходимо предоставить преподавателю в письменном виде.

Раздел 1. Элементы линейной алгебры

Тема 1.1 Матрицы и определители

Практическое занятие № 1. Действия над матрицами.

Цели занятия: Научиться выполнять действия над матрицами.

Ход занятия

1. Ознакомиться с примерами выполнения действий над матрицами

Пример. Найти матрицу транспонированную данной.

Примеры. Найти сумму матриц:

1. .

2. - нельзя, т.к. размеры матриц различны.

3. .

Легко проверить, что сложение матриц подчиняется следующим законам: коммутативному A+B=B+A и ассоциативному (A+B)+C=A+(B+C).

Примеры.

1. .

2. Найти 2A-B, если , .

.

3. Найти C=-3A+4B.

Матрицу C найти нельзя, т.к. матрицы A и B имеют разные размеры.

1. Пусть

Найти элементы c₁₂, c₂₃ и c₂₁ матрицы C.

2. Найти произведение матриц.

.

3. .

4. - нельзя, т.к. ширина первой матрицы равна 2-м элементам, а высота второй - 3-м.

5. Пусть

Найти АВ и ВА.

Найти АВ и ВА.

, B·A - не имеет смысла.

2. Выполнить следующие упражнения

1. Вычислить матрицу , где

,

2. Даны матрицы и . Найти если

, .

3. Даны матрицы и . Найти если

, .

4. Даны матрицы и . Найти если

, .

5. Даны матрицы и . Найти если

, .

6. Даны матрицы и . Найти если

, .

7. Найти матрицу где некоторое число, единичная матрица, заданная матрица.

8. Вычислить при

9. Даны матрицы и . Найти матрицу , если возможно.

,

Практическое занятие № 2. Вычисление определителей. Нахождение обратной матрицы.

Цели занятия: Научиться вычислять определители, используя определение и теорему о разложении. Научиться находить обратную матрицу.

Ход занятия:

1. Ознакомиться с примерами вычисления определителей и нахождения обратной матрицы

Примеры. Вычислить определители второго порядка.

1. 

2. .

3. Вычислить определитель матрицы D, если D= -А+2В и

Примеры. Вычислить определитель третьего порядка.

1. .

2. 

3. Пример. Дан определитель . Найти A₁₃, A₂₁, A₃₂.

1. Вычислить определитель , раскладывая его по элементам 2-го столбца.

2. Найти матрицу, обратную данной . Сделать проверку.

|A| = 2. Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы A.

Проверка:

.

Аналогично A∙A^-1 = E.

1. Найти элементы и матрицы A^-1 обратной данной

.

Вычислим |A| = 4. Тогда .

.

2. . Найдем обратную матрицу.

2. Выполнить следующие упражнения

Вычислить определитель матрицы.

Найти матрицу обратную матрице А.

Тема 1.2 Системы линейных алгебраических уравнений

Практическое занятие № 3. Решение систем линейных уравнений с использованием правила Крамера.

Цели занятия: Научиться решать системы линейных уравнений с помощью правила Крамера.

Ход занятия:

1.Ознакомиться с примерами решения систем линейных уравнений с помощью правила Крамера.

Пример. Найти решение системы уравнений:

Вычислим главный определитель системы

D = = 5(4 - 9) + (2 - 12) - (3 - 8) = -25 - 10 + 5 = -30;

Вычислим второстепенный определитель системы, полученный из главного заменой первого столбца на столбец свободных членов

D₁ = = (28 - 48) - (42 - 32) = -20 - 10 = -30.

Вычислим второстепенный определитель системы, полученный из главного заменой второго столбца на столбец свободных членов

D₂ = = 5(28 - 48) - (16 - 56) = -100 + 40 = -60.

Вычислим второстепенный определитель системы, полученный из главного заменой третьего столбца на столбец свободных членов

D₃ = = 5( 32 - 42) + (16 - 56) = -50 - 40 = -90.

Найдем неизвестные, используя формулы Крамера

x₁ = D₁/D = 1;

x₂ = D₂/D = 2;

x₃ = D₃/D = 3.

2. Выполнить следующие упражнения

Решить системы уравнений спомощью правила Крамера

Практическое занятие № 4 Решение систем линейных уравнений с использованием метода Гаусса

Цели занятия: Научиться решать системы линейных уравнений с помощью метода Гаусса

Ход занятия:

1. Ознакомиться с примерами решения систем линейных уравнений с помощью метода Гаусса

Пример. . Методом Гаусса (или методом исключения неизвестных) найти решение системы линейных алгебраических уравнений

.

Решение. Выпишем расширенную матрицу данной системы и приведем ее к ступенчатому виду

.

Последовательно умножим первую строку на (-2) и прибавим ее ко второй строке, затем умножим на (-3) и прибавим к третьей строке, умножим на (-2) и прибавим к четвертой строке, получим

.

Ко второй строке полученной матрицы прибавим третью строку, умноженную на , затем во вновь полученной матрице умножим третью строку на , четвертую - на (-1), затем последовательно умножим вторую строку на 2 и прибавим ее к третьей строке, умножим на 7 и прибавим к четвертой строке, получим

.

Третью строку полученной матрицы умножим на , четвертую - на , затем третью строку умножим на (-1) и прибавим к четвертой строке, получим

.

Найденная матрица имеет треугольный вид; по этой матрице запишем систему уравнений, эквивалентную исходной системе,

.

Последовательно находим неизвестные, начиная с последнего уравнения, ; подставим в третье уравнение найденное , вычислим , ; затем из второго уравнения находим , ; из первого уравнения получим , .

Ответ : .

Пример. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

Составим расширенную матрицу системы.

А* =

Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:

, откуда получаем: x₃ = 2; x₂ = 5; x₁ = 1.

Пример. Решить систему методом Гаусса.

Составим расширенную матрицу системы.

Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:

, откуда получаем: z = 3; y = 2; x = 1.

2. Выполнить следующие упражнения

Решить системы уравнений с помощью метода Гаусса

Практическое занятие № 5. Контрольная работа № 1. Матричные операции. Решение систем линейных уравнений

Цели занятия: Проверить умение выполнять матричные действия и умение решать системы линейных алгебраических уравнений

Вариант № 1

Задача 1. Вычислить определитель:

Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.

Задача 3. Выполнить действия:

Вариант № 2

Задача 1. Вычислить определитель:

Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.

Задача 3. Выполнить действия:

Вариант № 3

Задача 1. Вычислить определитель:

Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.

Задача 3. Выполнить действия:

Вариант № 4

Задача 1. Вычислить определитель:

Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.

Задача 3. Выполнить действия:

Тест по разделу «Элементы линейной алгебры»

1. Матрицей второго порядка называется:

   1. выражение с двумя элементами;

   2. таблица из четырех элементов;

   3. четыре числа;

2. В квадратной матрице…

   1. все элементы одинаковы;

   2. четное число элементов;

   3. число строк равно числу столбцов;

3. Главная диагональ в матрице:

   1. слева сверху - вправо вниз;

   2. слева снизу - вправо вверх;

   3. не должна содержать нулей;

4. Нулевая матрица, это такая матрица, в которой..

   1. все элементы нулевые;

   2. на главной диагонали - нули;

   3. есть строка (столбец) из нулей;

5. Элемент с одинаковыми индексами это-

   1. элемент главной диагонали;

   2. нечетный элемент матрицы;

   3. нулевой элемент матрицы;

6. Результатом сложения двух матриц есть

   1. матрица того же порядка и размера;

   2. матрица большего размера

   3. диагональная матрица;

7. Определитель равен

   1. -1

   2. 1

   3. 13

8. Какую матрицу можно возвести в квадрат?

   1. Прямоугольную;

   2. квадратную;

   3. абсолютно любую;

9. Какой метод используется при решении системы линейных уравнений с числом переменных не равных числу уравнений

   1. Формулы Крамера

   2. Метод Гаусса

   3. Метод обратной матрицы

10. Определитель равен

    1. 1

    2. 0

    3. 2

Раздел 2. Элементы аналитической геометрии

Тема 2.1. Векторы. Операции над векторами.

Практическое занятие № 6. Выполнение действий над векторами

Цели занятия: Научиться выполнять действия над векторами

Ход занятия:

1. Ознакомиться с примерами выполнения действий над векторами

Пример. Найти (5 + 3)(2 - ), если

10×- 5×+ 6×- 3× = 10,

т.к. .

Пример. Найти угол между векторами и , если

.

Т.е. = (1, 2, 3), = (6, 4, -2)

×= 6 + 8 - 6 = 8:

.

cosj =

Пример. Найти скалярное произведение (3 - 2)×(5 - 6), если

15×- 18×- 10×+ 12× = 15

+ 12×36 = 240 - 336 + 432 = 672 - 336 = 336.

Пример. Найти угол между векторами и , если

.

Т.е. = (3, 4, 5), = (4, 5, -3)

×= 12 + 20 - 15 =17 :

.

cosj =

Пример. При каком m векторы и перпендикулярны.

= (m, 1, 0); = (3, -3, -4)

.

Пример. Найти скалярное произведение векторов и , если

()() =

= 10 +

+ 27 + 51 + 135 + 72 + 252 = 547.

2. Выполнить следующие упражнения

1. Вычислить модуль вектора а - {6; 3; - 2}.

2. Даны две координаты вектора Х=4, У= -12. Определить его третью координату Z при условии, что .

3. Даны точки А(3; -1; 2)и В(- 1; 2; 1).Найти координаты векторов и .

4. Определить точку N, с которой совпадает конец вектора а = {3; -1; 4}, если его начало совпадает с точкой М (I; 2; -3).

5. Определить начало вектора а = {2; -3; -1}, если его конец совпадает с точкой (1; -1; 2).

6. Дан модуль вектора и углы = 45°, = 60°, =120°. Вычислить проекции вектора а на координатные оси.

7. Вычислить направляющие косинусы вектора а ={12; -15; -16}.

8. Вычислить направляющие косинусы вектора

9. 

10. . Может ли вектор составлять с координатными осями следующие углы: 1) = 45°, = 60°, = 120°; 2) = 45°, =135°, = 60°; 3) = 90°, =150°; = 60°?

11. Может ли вектор составлять с двумя координатными осями следующие углы: 1) = 30°, = 45°; 2) = 60°, = 60°; 3) = 150°, = 30°?

12. Вектор составляет с осями Ох и Oz углы =120° и = 45°. Какой угол он составляет с осью Оу?

13. Вектор а составляет с координатными осями Ох и Оу углы = 60°, = 120°. Вычислить его координаты при условии, что .

14. Определить координаты точки М, если её радиус-вектор составляет с координатными осями одинаковые углы и его модуль равен 3.

15. По данным векторам а и b построить каждый из следующих векторов: 1) а + b; 2) а - b; 3) b - а; 4) -а - b.

16. Даны: |а| = 13, |b| = 19 и |а + b| = 24. Вычислить |а - b|.

17. Даны: |а| = 11, |b| = 23 и |а + b| = 30. Определить |а + b|.

Тема 2.2. Прямые на плоскости. Кривые второго порядка

Практическое занятие № 7 Составление уравнений прямых, их построение

Цели занятия: Научиться составлять уравнения прямой любого вида

Ход занятия:

1. Ознакомиться с примерами составления уравнений прямых любого вида

Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(1, 2) перпендикулярно вектору (3, -1).

Составим при А = 3 и В = -1 уравнение прямой: 3х - у + С = 0. Для нахождения коэффициента С подставим в полученное выражение координаты заданной точки А.

Получаем: 3 - 2 + C = 0, следовательно С = -1.

Итого: искомое уравнение: 3х - у - 1 = 0.

Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точки А(1, 2) и В(3, 4).

Применяя записанную выше формулу, получаем:

Пример. Найти уравнение прямой с направляющим вектором (1, -1) и проходящей через точку А(1, 2).

Уравнение искомой прямой будем искать в виде: Ax + By + C = 0. В соответствии с определением, коэффициенты должны удовлетворять условиям:

1×A + (-1)×B = 0, т.е. А = В.

Тогда уравнение прямой имеет вид: Ax + Ay + C = 0, или x + y + C/A = 0.

при х = 1, у = 2 получаем С/A = -3, т.е. искомое уравнение:

х + у - 3 = 0

Пример. Задано общее уравнение прямой х - у + 1 = 0. Найти уравнение этой прямой в отрезках.

С = 1, , а = -1, b = 1.

Пример. Дано общее уравнение прямой 12х - 5у - 65 = 0. Требуется написать различные типы уравнений этой прямой.

уравнение этой прямой в отрезках:

уравнение этой прямой с угловым коэффициентом: (делим на 5)

нормальное уравнение прямой:

; cosj = 12/13; sinj = -5/13; p = 5.

Cледует отметить, что не каждую прямую можно представить уравнением в отрезках, например, прямые, параллельные осям или проходящие через начало координат.

Пример. Прямая отсекает на координатных осях равные положительные отрезки. Составить уравнение прямой, если площадь треугольника, образованного этими отрезками равна 8 см².

Уравнение прямой имеет вид: , a = b = 1; ab/2 = 8; a = 4; -4.

a = -4 не подходит по условию задачи.

Итого: или х + у - 4 = 0.

Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-2, -3) и начало координат.

Уравнение прямой имеет вид: , где х₁ = у₁ = 0; x₂ = -2; y₂ = -3.

Пример. Определить угол между прямыми: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k₁ = -3; k₂ = 2 tgj = ; j = p/4.

Пример. Показать, что прямые 3х - 5у + 7 = 0 и 10х + 6у - 3 = 0 перпендикулярны.

Находим: k₁ = 3/5, k₂ = -5/3, k₁k₂ = -1, следовательно, прямые перпендикулярны.

Пример. Даны вершины треугольника А(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Найти уравнение высоты, проведенной из вершины С.

Находим уравнение стороны АВ: ; 4x = 6y - 6;

2x - 3y + 3 = 0;

Искомое уравнение высоты имеет вид: Ax + By + C = 0 или y = kx + b.

k = . Тогда y = . Т.к. высота проходит через точку С, то ее координаты удовлетворяют данному уравнению: откуда b = 17. Итого: .

Ответ: 3x + 2y - 34 = 0.

2. Выполнить следующие упражнения

1. Составить уравнение прямой и построить прямую на чертеже, зная её угловой коэффициент k и отрезок b, отсекаемый ею на оси Оу:

1) k = 4 , b = 3; 2) k = 3, b = 0; 3) k = Q,, b = - 2;

1. k = - , b = 3; 5) k = -2, b = - 5; 6) k = -, b = .

2. Определить угловой коэффициент k и отрезок b, отсекаемый на оси Оу, для каждой из прямых:

1) 5х-у + 3 = 0; 2) 2х+3у - 6 = 0;

3) 5х + 3у+2 = 0; 4) 3x+2y; = 0; 5) y - 3 = 0.

3. Дана прямая 5х+3у - 3 = 0. Определить угловой коэффициент k прямой:

1. 1. параллельной данной прямой;

   2. перпендикулярной к данной прямой.

4. Дана прямая 2х+3у+4 = 0. Составить уравнение прямой, проходящей через точку M₀(2; 1):

1. 1. параллельно данной прямой;

   2. перпендикулярно к данной прямой.

5. Даны уравнения двух сторон прямоугольника

2х-3у+5 = 0, 3х+2у - 7 = О

и одна из его вершин A(2; -3). Составить уравнения двух других сторон этого прямоугольника.

6. Даны уравнения двух сторон прямоугольника

х - 2у = 0, х - 2y+15 = 0 и уравнение одной из его диагоналей

7x+y-15 = 0. Найти вершины прямоугольника

Практическое занятие № 8 Составление кривых 2-го порядка, их построение

Цели занятия: Научиться составлять уравнения кривых второго порядка и строить графики

Ход занятия:

1. Ознакомиться с примерами составления уравнений кривых второго порядка и построения их графиков

Пример. Найти координаты центра и радиус окружности, если ее уравнение задано в виде:

2x² + 2y² - 8x + 5y - 4 = 0.

Для нахождения координат центра и радиуса окружности данное уравнение необходимо привести к виду, указанному выше в п.9. Для этого выделим полные квадраты:

x² + y² - 4x + 2,5y - 2 = 0

x² - 4x + 4 -4 + y² + 2,5y + 25/16 - 25/16 - 2 = 0

(x - 2)² + (y + 5/4)² - 25/16 - 6 = 0

(x - 2)² + (y + 5/4)² = 121/16

Отсюда находим О(2; -5/4); R = 11/4.

Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через левый фокус и нижнюю вершину эллипса, заданного уравнением:

1. Координаты нижней вершины: x = 0; y² = 16; y = -4.

2. Координаты левого фокуса: c² = a² - b² = 25 - 16 = 9; c = 3; F₂(-3; 0).

3. Уравнение прямой, проходящей через две точки:

Пример. Составить уравнение эллипса, если его фокусы F₁(0; 0), F₂(1; 1), большая ось равна 2.

Уравнение эллипса имеет вид: . Расстояние между фокусами:

2c = , таким образом, a² - b² = c² = ½

по условию 2а = 2, следовательно а = 1, b =

Итого: .

Пример. Найти уравнение гиперболы, вершины и фокусы которой находятся в соответствующих вершинах и фокусах эллипса .

Для эллипса: c² = a² - b².

Для гиперболы: c² = a² + b².

Уравнение гиперболы: .

2. Выполнить следующие упражнения

1. Составить уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет равен 2, а фокусы совпадают с фокусами эллипса с уравнением

2. На параболе у² = 8х найти точку, расстояние которой от директрисы равно 4.

Практическое занятие № 9 Приведение уравнений кривых второго порядка к каноническому виду

Цели занятия: Научиться приводить уравнения кривых второго порядка к каноническому виду

Ход занятия:

1. Ознакомиться с примерами приведения уравнений кривых второго порядка к каноническому виду

Пример.Пусть дано уравнение

Ax² + Су² +2Dx + 2Еу + F = 0,

определяющее кривую второго порядка.

Рассмотрим произведение А*С:

1. Если А*С> 0, то кривая определяет эллипс, может быть окружность;

2. Если А*С< 0, то кривая определяет гиперболу;

3. Если А*С= 0, то кривая определяет параболу.

Приводим данное уравнение к каноническому виду путем выделения полного квадрата.

Исследуйте уравнение 4х²+9у²-8х -36у+4=0 и определите вид полученной кривой

Сначала определяем тип кривой, находим произведение А*С

А*С=4*9=36>0, следовательно, искомая кривая - эллипс.

Выделяем полный квадрат:

4х²+9у²-8х -36у+4=0

4х²-8х+9у²-36у+4=0

(2х)²-2*2х*2 +4-4+(3у)²-2*3у*6+36-36+4=0

(2х-2)²+(3у-6)²-36=0

4(х-1)²+9(у-2)²=36

Разделим обе части на 36:

(х-1)^2/9+(у-2)^2/4=1

Получилось каноническое уравнение эллипса.

2. Выполнить следующие упражнения

Определить тип кривой второго порядка и построить ее график.

1. 4х²-у²-4=0

2. х²+у²+6х+2у+1=0

3. 4х²+36у²-16х+72у-92=0

4. 25х²-100=4у²

5. х²+у²-10у=0

6. 4х²+9у²-40х+36у+100=0

7. х²+2х-20у-79=0

8. х²-4у²+8у-8=0

9. х²+у²+4х-2у-4=0

10. х²+4у²-16=0

11. х²+у²-2х+4у-20=0

12. 16х²-9у²-64х-18у+199=0

Упражнения для самостоятельной работы

1. х²-у²-16=0

2. 9х²-16у²-54х-64у-127=0

3. 9х²+4у²-18х-8у-23=0

4. 4х²+9у²-18у-27=0

5. 9х²-4у²+8у-40=0

6. х²+у²+2х-2у-2=0

7. 4х²+у²-8х+2у+1=0

8. х²+у²-4х+2у+4=0

9. х²-у²-25=0

10. 4х²-у-4=0

11. х²-у²-4=0

12. 25х²-100+4у²=0

13. х²+у²+10у=0

14. 4х²-у²-64=0

15. х²+4у²+2х-3=0

16. -2х²-16х+2у-10=0

Тест по разделу «Элементы аналитической геометрии»

1. Даны уравнения линий у^2=х, у=х^2+1, х-у=0. Найти среди них уравнение прямой

1. 1. у^2=х

   2. у=х^2+1

   3. х-у=0

2. Написать уравнение окружности с центром в начале координат, радиусом равным 2

1. 1. х^2 + у^2 = 4

   2. х^2 + у^2 = 2

   3. (х - 2)^2 + (у - 2)^2 = 4

3. К кривым второго порядка не относится

1. 1. гипербола

   2. прямая

   3. эллипс

4. Какого типа уравнения прямой не существует

1. 1. каноническое уравнение прямой

   2. уравнение прямой с угловым коэффициентом

   3. естественное уравнение прямой

5. Найдите уравнение эллипса

   1. 

   2. 

   3. 

6. Найдите уравнение гиперболы

   1. 

   2. 

   3. 

7. Найдите уравнение окружности

   1. 

   2. 

   3. 

8. Даны векторы , тогда координаты вектора равны

   1. (-14; -15)

   2. (-14; 9)

   3. (-14; 5)

9. Найдите каноническое уравнение прямой

   1. 

   2. 

   3. 

10. Найдите уравнение прямой с угловым коэффициентом

    1. 

    2. 

    3. 

11. Уравнение окружности, изображенной на рисунке, имеет вид

Раздел 3. Основы математического анализа

Тема 3.1 Теория пределов. Непрерывность функций

Практическое занятие № 10 Вычисление пределов числовых последовательностей. Вычисление пределов функций. Раскрытие неопределенностей

Цели занятия:Научиться вычислять пределы числовых последовательностей и пределы функций. Изучить правила раскрытия неопределенностей.

Ход занятия:

1. Ознакомиться с примерами вычисления пределов числовых последовательностей и функций

Пример. Доказать, что предел последовательности lim .

Пусть при n > N верно , т.е. . Это верно при , таким образом, если за N взять целую часть от , то утверждение, приведенное выше, выполняется.

Пример. Показать, что при n®¥ последовательность 3, имеет пределом число 2.

Итого: {x_n}= 2 + 1/n; 1/n = x_n - 2

Очевидно, что существует такое число n, что , т.е. lim {x_n} = 2.

Пример. {x_n} = 1/n - убывающая и ограниченная

{x_n} = n - возрастающая и неограниченная.

Пример. Доказать, что последовательность {x_n}= монотонная возрастающая.

Найдем член последовательности {x_n+1}=

Найдем знак разности: {x_n}-{x_n+1}=

, т.к. nÎN, то знаменатель положительный при любом n.

Таким образом, x_n+1 > x_n. Последовательность возрастающая, что и следовало доказать.

Пример. Выяснить является возрастающей или убывающей последовательность

{x_n} = .

Найдем . Найдем разность

, т.к. nÎN, то 1 - 4n <0, т.е. х_n+1 < x_n. Последовательность монотонно убывает.

Пример.. Найти

Решение.

Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью. Для этого найдем пределы числителя и знаменателя дроби. Функции и являются бесконечно большими. Поэтому, . Следовательно, имеем дело с неопределенностью вида .

Для раскрытия этой неопределенности выделим в числителе и в знаменателе в старшей для числителя и знаменателя степени в качестве сомножителя и сократим дробь.

Пример. Найти

Решение.

Для раскрытия неопределенности в этом случае, нужно разложить числитель и знаменатель на множители и сократить дробь на общий множитель.

Пример.. Найти .

Решение.

Для раскрытия неопределенности в этом случае, нужно умножить числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю, а затем сократить дробь на общий множитель.

Пример. Найти предел .

Для нахождения этого предела разложим на множители числитель и знаменатель данной дроби.

x2 - 6x + 8 = 0; x2 - 8x + 12 = 0;

D = 36 - 32 = 4; D = 64 - 48 = 16;

x₁ = (6 + 2)/2 = 4; x₁ = (8 + 4)/2 = 6;

x₂ = (6 - 2)/2 = 2 ; x₂ = (8 - 4)/2 = 2;

Тогда

Пример. Найти предел.

Пример. Найти предел .

Разложим числитель и знаменатель на множители.

x² - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)

x³ - 6x² + 11x - 6 = (x - 1)(x - 2)(x - 3), т.к.

x³ - 6x² + 11x - 6 x - 1

x³ - x² x² - 5x + 6

- 5x² + 11x

- 5x² + 5x

6x - 6

6x - 6 0

x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)

Тогда

- не определен, т.к. при стремлении х к 2 имеют место различные односторонние пределы -∞ и +∞.

2. Выполнить следующие упражнения

1. Вычислить предел последовательности.

1. .

2. Доказать по определению предела..

1. 

2. Вычислить пределы функций.

1); 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 9) .

11) ; 12) ;

14) ; 15) ;

16) ; 17) ;

Практическое занятие № 11 Вычисление пределов функций с помощью замечательных пределов, раскрытие неопределенностей

Цели занятия: Научиться раскрывать неопределенности с помощью замечательных пределов

Ход занятия:

1. Ознакомиться с примерами вычисления пределов функций с помощью замечательных пределов

Пример.. Найти

Для раскрытия неопределенности в этом случае, нужно выделить первый замечательный предел:

Пример.. Найти .

Для раскрытия неопределенности в этом случае, нужно выделить второй замечательный предел:.

Пример. Найти предел.

Пример. Найти предел.

Пример. Найти предел.

Пример. Найти предел.

2. Выполнить следующие упражнения

;

;

;

;

.

Практическое занятие № 12 Вычисление односторонних пределов, классификация точек разрыва

Цели занятия: Научиться вычислять односторонние пределы и определять тип точек разрыва

Ход занятия:

1. Ознакомиться с примерами вычисления односторонних пределов и определения типа точек разрыва

Пример. Исследовать на непрерывность функцию и определить тип точек разрыва, если они есть.

в точке х = -1 функция непрерывна в точке х = 1 точка разрыва 1 - го рода

у

3

2

-4 -1 0 1 х

Пример. Исследовать на непрерывность функцию и определить тип точек разрыва, если они есть.

в точке х = 0 функция непрерывна в точке х = 1 точка разрыва 1 - го рода

у

2

1

-p -p/2 0 1 x

Пример. Функция f(x) = имеет в точке х₀ = 0 точку разрыва 2 - го рода, т.к.

.

Пример.. .

Найдем левый и правый предел функции в точке .

Левый предел конечен и равен 0, а правый бесконечен. Тогда, по определению, - точка разрыва второго рода.

2. Выполнить следующие упражнения

Указать характер точек разрыва функции.

1. .

2. .

3. 

4. 

Тема 3.2 Дифференциальное исчисление функции одной действительной переменной

Практическое занятие № 13 Вычисление производных сложных функций

Цели занятия: Научиться находить производные сложных функций

Ход занятия:

1. Ознакомиться с примерами вычисления производных сложных функций

Пример. Найти производную функции.

Сначала преобразуем данную функцию:

Пример. Найти производную функции .

Пример. Найти производную функции

Пример. Найти производную функции

Пример. Найти производную функции

3. Выполнить следующие упражнения

Практическое занятие № 14 Вычисление производных и дифференциалов высших порядков

Цели занятия: Научиться вычислять производные и дифференциалы высших порядков

Ход занятия:

1. Ознакомиться с примерами вычисления производных и дифференциалов высших порядков

а) Производная явной функции

Пример. Найти производную функции

Дифференцируя функцию , получим .

Дифференцируя производную , получим

б) Производная неявной функции

Пример. Для данной неявной функции найти .

Дифференцируем по обе части равенства, где есть функция от , получаем

Отсюда найдем .

Найдем :

Подставляем в левую часть найденную производную , получаем:

.

Учитывая, что , получим или

2. Выполнить следующие упражнения

Вычислить вторую производную функции

Практическое занятие № 15 Применение правила Лопиталя для раскрытия неопределенностей. Нахождение асимптот

Цели занятия: Научиться применять правило Лопиталя Для раскрытия неопределенностей. Научиться определять асимптоты

Ход занятия:

1. 1. Ознакомиться с примерами раскрытия неопределенностей с помощью правила Лопиталя и определения асимптот графика функции

Пример: Найти предел .

Как видно, при попытке непосредственного вычисления предела получается неопределенность вида . Функции, входящие в числитель и знаменатель дроби удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.

f¢(x) = 2x + ; g¢(x) = e^x;

;

Пример: Найти предел .

; ;

.

Если при решении примера после применения правила Лопиталя попытка вычислить предел опять приводит к неопределенности, то правило Лопиталя может быть применено второй раз, третий и т.д. пока не будет получен результат. Естественно, это возможно только в том случае, если вновь полученные функции в свою очередь удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.

Пример: Найти предел .

; ;

; ;

; ;

Следует отметить, что правило Лопиталя - всего лишь один из способов вычисления пределов. Часто в конкретном примере наряду с правилом Лопиталя может быть использован и какой - либо другой метод (замена переменных, домножение и др.).

Пример: Найти предел .

; ;

- опять получилась неопределенность. Применим правило Лопиталя еще раз.

; ;

- применяем правило Лопиталя еще раз.

; ;

;

Пример. Найти асимптоты и построить график функции .

1) Вертикальные асимптоты: y®+¥ x®0-0: y®-¥ x®0+0, следовательно, х = 0- вертикальная асимптота.

2) Наклонные асимптоты:

Таким образом, прямая у = х + 2 является наклонной асимптотой.

Построим график функции:

Пример. Найти асимптоты и построить график функции .

Прямые х = 3 и х = -3 являются вертикальными асимптотами кривой.

Найдем наклонные асимптоты:

y = 0 - горизонтальная асимптота.

Пример. Найти асимптоты и построить график функции .

Прямая х = -2 является вертикальной асимптотой кривой.

Найдем наклонные асимптоты.

Итого, прямая у = х - 4 является наклонной асимптотой.

2. Выполнить следующие упражнения

Вычислить предел, используя правило Лопиталя

Найти асимптоты графика функции

Практическое занятие № 16 Нахождение экстремумов. Исследование функции на монотонность. Исследование функции на выпуклость. Точки перегиба

Цели занятия: Научиться находить экстремумы. Научиться исследовать функцию на монотонность и на выпуклость.

Ход занятия:

1. Ознакомиться с примерами нахождения экстремумов функций, исследования функций на выпуклость

Пример. Исследовать функцию на монотонность и выпуклость.

Находим критические точки.

Найдем производную функции

Критические точки: x = 0; x = -; x = ; x = -1; x = 1.

Найдем вторую производную функции

.

Определим выпуклость и вогнутость кривой на промежутках.

-¥ < x < -, y¢¢ < 0, кривая выпуклая

- < x < -1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая

-1 < x < 0, y¢¢ > 0, кривая вогнутая

0 < x < 1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая

1 < x < , y¢¢ > 0, кривая вогнутая

< x < ¥, y¢¢ > 0, кривая вогнутая

Находим промежутки возрастания и убывания функции. Для этого определяем знаки производной функции на промежутках.

-¥ < x < -, y¢ > 0, функция возрастает

- < x < -1, y¢ < 0, функция убывает

-1 < x < 0, y¢ < 0, функция убывает

0 < x < 1, y¢ < 0, функция убывает

1 < x < , y¢ < 0, функция убывает

< x < ¥, y¢¢ > 0, функция возрастает

Видно, что точка х = - является точкой максимума, а точка х = является точкой минимума. Значения функции в этих точках равны соответственно -3/2 и 3/2.

2. Выполнить следующие упражнения

Исследовать на экстремумы функции:

Практическое занятие № 17 Полное исследование функции и построение ее графика

Цели занятия: Научиться исследовать функцию и строить ее график

Ход занятия:

1. Ознакомиться с примерами исследования функций и построения их графиков

Пример.. Исследовать и построить график функции:

Решение:

1. Область определения:

2.

функция нечетная.

3. Функция не является периодической.

4. 

-нули функции.

0

(знаки y)

+

-

-

+

3. Функция непрерывна на всей области определения, поэтому вертикальных асимптот нет.

Прямая является наклонной асимптотой графика функции.

3. Найдем первую производную:

при ,

не существуют при , ,

0

(знаки y′)

+

+

-

-

+

+

1

-1

Используя достаточные условия экстремума, получаем, что - точка минимума, -точка максимума.

3. Найдем вторую производную:

не существует при

0

(знаки y′′)

-

+

+

-

В точках , , - перегиб графика.

Составим таблицу:

-1

(-1;0)

-

0

+

+

+

+

-

+

-

-

перегиб

max

Продолжение таблицы

0

(0;1)

1

0

-

-

-

0

+

-

+

+

+

+

-

min

перегиб

Строим график функции (рис.1).

Рис.1

2. Выполнить следующие упражнения

Провести полное исследование функций методами дифференциального исчисления и построить графики:

б)

в)

Практическое занятие № 18 Контрольная работа № 2. Вычисление производных функций. Исследование функции на монотонность и выпуклость

Цели занятия: Проверить умение студентов вычислять производную функции и исследовать функцию на монотонность и выпуклость.

Ход занятия: Решить предложенные задачи согласно своему варианту

Тест по теме «Дифференциальное исчисление функции одной действительной переменной»

1. Чему равен предел функции

   1. 2/5

   2. 1

   3. 5/2

2. Найти вторую производную функции y=x⁴+5sin x

   1. x²-5sin x

   2. 12x²-5sin x

   3. 12x²+5sin x

3. Укажите число экстремумов для функции, производная которой равна y'=x-4

1. 1. 0

   2. 2

   3. 1

4. Как называется предел

   1. Первый замечательный предел

   2. Второй замечательный предел

   3. Полезный предел

5. Как находится производная произведения двух функций U*V

   1. U'*V'

   2. U'*V+U*V'

   3. U'*V-U*V'

6. Производная функции y=sin x равна

   1. cos x

   2. -cos x

   3. sin x

7. Если для функции выполнено условие f(-x)= f(x), то функция

   1. общего вида

   2. нечетная

   3. четная

8. Чему равен предел функции

   1. 1

   2. 5/3

   3. 3/5

9. Найти вторую производную функции y=x³ -4cos x

   1. 6x+4cos x

   2. 6x-4cos x

   3. x+4cos x

10. Укажите число экстремумов для функции, производная которой равна y'=x²-4

    1. 0

    2. 2

    3. 1

11. Как называется предел

    1. Первый замечательный предел

    2. Второй замечательный предел

    3. Полезный предел

12. Как находится производная частного двух функций

    2. U'*V+U*V'

13. Производная функции y=cos x равна

    1. sin x

    2. -sin x

    3. cos x

14. Если для функции выполнено условие f(-x)= - f(x), то функция

    1. общего вида

    2. нечетная

    3. четная

Тема 3.3 Интегральное исчисление функции одной действительной переменной

Практическое занятие № 19 Интегрирование заменой переменной и по частям в неопределенном интеграле

Цели занятия: Научиться вычислять неопределенные интегралы методами заменой переменной и интегрированием по частям

Ход занятия:

1. Ознакомиться с примерами вычисления неопределенных интегралов методами заменой переменной и интегрированием по частям

Пример. Найти неопределенный интеграл .

Сделаем замену t = sinx, dt = cosxdt.

Пример.

Замена Получаем:

Пример.

Как видно, последовательное применение формулы интегрирования по частям позволяет постепенно упростить функцию и привести интеграл к табличному.

Пример.

Видно, что в результате повторного применения интегрирования по частям функцию не удалось упростить к табличному виду. Однако, последний полученный интеграл ничем не отличается от исходного. Поэтому перенесем его в левую часть равенства.

Таким образом, интеграл найден вообще без применения таблиц интегралов.

Пример.

Пример.

Пример.

Пример.

Пример.

Пример.

Пример.

Пример.

Пример.

Пример.

2. Выполнить следующие упражнения

Вычислить неопределенные интегралы

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

и)

к)

л)

м)

н)

Практическое занятие № 20 Интегрирование рациональных и иррациональных функций

Цели занятия: Научиться интегрировать рациональные и иррациональные функции

Ход занятия:

1. Ознакомиться с примерами интегрирования рациональных и иррациональных функций

Пример.

Пример.

Пример.

Пример:

Пример.

Т.к. (, то

Приводя к общему знаменателю и приравнивая соответствующие числители, получаем:

Итого:

Пример.

Т.к. дробь неправильная, то предварительно следует выделить у нее целую часть:

6x⁵ - 8x⁴ - 25x³ + 20x² - 76x - 7 3x³ - 4x² - 17x + 6

6x⁵ - 8x⁴ - 34x³ + 12x² 2x² + 3

9x³ + 8x² - 76x - 7

9x³ - 12x² - 51x +18

20x² - 25x - 25

Разложим знаменатель полученной дроби на множители. Видно, что при х = 3 знаменатель дроби превращается в ноль. Тогда:

3x³ - 4x² - 17x + 6 x - 3

3x³ - 9x² 3x² + 5x - 2

5x² - 17x

5x² - 15x

- 2x + 6

-2x + 6

0

Таким образом 3x³ - 4x² - 17x + 6 = (x - 3)(3x² + 5x - 2) = (x - 3)(x + 2 )(3x - 1). Тогда:

Для того, чтобы избежать при нахождении неопределенных коэффициентов раскрытия скобок, группировки и решения системы уравнений (которая в некоторых случаях может оказаться достаточно большой) применяют так называемый метод произвольных значений. Суть метода состоит в том, что в полученное выше выражение подставляются поочередно несколько (по числу неопределенных коэффициентов) произвольных значений х. Для упрощения вычислений принято в качестве произвольных значений принимать точки, при которых знаменатель дроби равен нулю, т.е. в нашем случае - 3, -2, 1/3. Получаем:

Окончательно получаем:

=

2. Выполнить следующие упражнения

Вычислить интегралы от дробно-рациональных функций

1. ;

2. ;

3. .

Практическое занятие № 21 Вычисление определенных интегралов.Вычисление площадей фигур с помощью определенного интеграла

Цели занятия: Научиться вычислять определенные интегралы

Ход занятия:

1. Ознакомиться с примерами вычисления определенных интегралов и нахождения площадей плоских фигур

Пример.

Пример.

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , .

Решение:

- парабола, вершина (m,n).

(0;2) - вершина

Найдём пределы интегрирования.

Ответ: (кв.ед).

2. Выполнить следующие упражнения

Вычислить определенные интегралы:

1. ;

2. ;

3. .

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Практическое занятие № 22 Вычисление несобственных интегралов

Цели занятия: Научиться вычислять несобственные интегралы и исследовать их на сходимость

Ход занятия:

1. Ознакомиться с примерами вычисления несобственных интегралов

Пример.

- не существует.

Несобственный интеграл расходится.

Пример.

- интеграл сходится

2. Выполнить следующие упражнения

. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

Практическое занятие № 23 Решение задач на приложение интегралов

Цели занятия: Научиться решать задачи, используя понятие интеграла

Ход занятия:

1. Ознакомиться с примерами задач, при решении которых используется понятие определенного интеграла

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = x, y = x², x = 2.

Искомая площадь (заштрихована на рисунке) может быть найдена по формуле:

(ед²)

Пример: Найти объем шара радиуса R.

y

R y

-R 0 x R x

В поперечных сечениях шара получаются окружности переменного радиуса у. В зависимости от текущей координаты х этот радиус выражается по формуле .

Тогда функция площадей сечений имеет вид: Q(x) = .

Получаем объем шара:

.

Пример: Найти объем произвольной пирамиды с высотой Н и площадью основания S.

Q S

x H x

При пересечении пирамиды плоскостями, перпендикулярными высоте, в сечении получаем фигуры, подобные основанию. Коэффициент подобия этих фигур равен отношению x/H, где х - расстояние от плоскости сечения до вершины пирамиды.

Из геометрии известно, что отношение площадей подобных фигур равно коэффициенту подобия в квадрате, т.е.

Отсюда получаем функцию площадей сечений:

Находим объем пирамиды:

2. Выполнить следующие упражнения

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) .

Найдите объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями:

1) вокруг оси ОХ;

2) вокруг оси ОХ;

3) вокруг оси ОХ;

4) вокруг оси ОY;

Практическое занятие № 24 Контрольная работа № 3 Вычисление неопределенных и определенных интегралов

Цели занятия: Проверить уровень подготовки студентов

Ход занятия: Решить предложенные задачи согласно своему варианту

Вариант № 1

1. Вычислите неопределенный интеграл:

2. Вычислите определенный интеграл:

3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной следующими кривыми:

y=x² , y=2-x²

4. Вычислите несобственный интеграл:

Вариант № 2

1. Вычислите неопределенный интеграл:

2. Вычислите определенный интеграл:

3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной следующими кривыми:

y²=9x , y=0, x=16, x=25

4. Вычислите несобственный интеграл:

Вариант № 3

1. Вычислите неопределенный интеграл:

2. Вычислите определенный интеграл:

3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной следующими кривыми:

y=x³ , y=8, x=0

4. Вычислите несобственный интеграл:

Вариант № 4

1. Вычислите неопределенный интеграл:

2. Вычислите определенный интеграл:

2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной следующими кривыми:

xy=4 , y=0, x=1, x=4

4. Вычислите несобственный интеграл:

Тема 3.4 Дифференциальное исчисление функции нескольких действительных переменных

Практическое занятие № 25 Нахождение области определения и вычисление пределов для функции нескольких переменных

Цели занятия:: Научиться находить область определения и вычислять предел функции нескольких действительных переменных

Ход занятия:

1. Ознакомиться с примерами нахождения области определения функции нескольких действительных переменных и вычисления пределов данных функций

Пример Найти область определения функции

Функция определена при Следовательно, областью определения функции является замкнутый круг единичного радиуса с центром в начале координат.

Пример Вычислить предел функции

. .

В этом примере мы воспользовались тем, что предел элементарной функции в области ее определения равен значению функции в точке.

Пример

.

Здесь мы воспользовались первым замечательным пределом.

.

.

В примерах 3 и 4 мы воспользовались тем, что x есть бесконечно малая функция, функции , есть ограниченные функции (по модулю не больше единицы), а произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию есть бесконечно малая функция.

2. Выполнить следующие упражнения

Найти область определения функции двух переменных (дать геометрическое истолкование).

1. . 3. .

2. . 4. .

Практическое занятие № 26 Вычисление частных производных и дифференциалов функций нескольких переменных

Цели занятия: Научиться находить частные производные и дифференциалы функции нескольких действительных переменных

Ход занятия:

1. Ознакомиться с примерами вычисления частных производных функций нескольких действительных переменных

ПримерНайти частные производные функции

Решение. Считая величину постоянной, получаем

Считая величину постоянной, получаем

Пример Найти частную производную от функции

Решение. Имеем

2. Выполнить следующие упражнения

Найти частные производные , от функции .

2.1. . 2.2. .

2.3. . 2.4. .

2.5. . 2.6. .

2.7. . 2.8. .

2.9. . 2.10. .

Тест по теме «Дифференциальное исчисление функции нескольких действительных переменных»

1. Функция Z = f(x,y) называется

   1. Переменной от нескольких функций

   2. Функцией от нескольких переменных

   3. Функцией от одной переменной

2. Если на множестве D задана функция двух переменных Z = f(x,y), то множество D называется

   1. Область определения функции

   2. Область значений функции

   3. Нет правильного ответа

3. Значение функции Z = f(x,y) в точке M(x₀,y₀) называется

   1. Общим значением

   2. Критическим значением

   3. Частным значением

4. Функцию нельзя задать

   1. Аналитически

   2. Графически

   3. Фактически

5. Геометрическим изображением функции Z = f(x,y) в прямоугольной системе координат Oxyz (графиком функции) является

   1. Некоторая плоскость

   2. Некоторое пространство

   3. Нет правильного ответа

6. Чтобы найти частную производную от функции Z = f(x,y) по переменной x, нужно найти производную от этой функции по x,

   1. считая, что x является постоянной.

   2. считая, что y является постоянной.

   3. считая, что x и у являются постоянными

7. Производная Z'_X называется

   1. Частной производной функции по переменной у

   2. Частной производной функции по переменной х

   3. Полной производной функции

8. Производная Z'_у называется

   1. Частной производной функции по переменной у

   2. Частной производной функции по переменной х

   3. Полной производной функции

9. Смешанными частными производными называются

   1. Z''_xx

   2. Z''_xy

   3. Z''_yy

10. Смешанные частные производные Z''_xy , Z''_yх

    1. Равны

    2. Не равны

Тема 3.5 Интегральное исчисление функции нескольких действительных переменных

Практическое занятие № 27 Вычисление двойных интегралов

Цели занятия: Научиться вычислять двойные интегралы

Ход занятия:

1. Ознакомиться с примерами вычисления двойных интегралов

Пример. Вычислить интеграл , если область D ограничена линиями: y = 0, y = x², x = 2.

y

4

D

0 2 x

=

=

2. Выполнить следующие упражнения

Изменить порядок интегрирования

Вычислить двойной интеграл по области D, определяемой условиями.

1. D:

2. D:

Практическое занятие № 28 Решение задач на приложения двойных интегралов

Цели занятия: Научиться решать задачи с использованием двойного интеграла

Ход занятия:

1. Ознакомиться с примерами решения задач с использованием двойных интегралов

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y² = 4x + 4;

x + y - 2 = 0.

Построим графики заданных функций:

Линии пересекаются в двух точках - (0, 2) и (8, -6). Таким образом, область интегрирования ограничена по оси Ох графиками кривых от до х = 2 - у, а по оси Оу - от -6 до 2. Тогда искомая площадь равна:

S =

Пример. Вычислить объем, ограниченный поверхностями: x² + y² = 1;

x + y + z =3 и плоскостью ХОY.

Пределы интегрирования: по оси ОХ:

по оси ОY: x₁ = -1; x₂ = 1;

2. Выполнить следующие упражнения

1. Вычислить с помощью двойного интеграла площадь области D,

1. ограниченной кривой .

2. определяемой уравнениями .

2. Вычислить с помощью двойного интеграла объем тела V, ограниченного поверхностями. Плотность тела V считать равной единице.

1. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле и сделать чертеж области интегрирования

2. Вычислить двойной интеграл по области D

3. Вычислить интеграл, перейдя от прямоугольных декартовых координат к полярным:

4. Вычислить площадь плоских фигур, ограниченных данными линиями

5. Вычислить интеграл . Область интегрирования R ограничена графиками функций .

6. Вычислить интеграл . Область интегрирования R ограничена прямыми .

Найти интеграл , где область R представляет собой сегмент окружности. Границы сегмента заданы уравнениями

Тема 3.6 Обыкновенные дифференциальные уравнения

Практическое занятие № 29-30 Решение дифференциальных уравнений 1-го порядка с разделяющимися переменными. Решение однородных дифференциальных уравнений 1-го порядка. Решение линейных дифференциальных уравнений 1-го порядка.

Цели занятия: Научиться решать дифференциальные уравнения 1-го порядка

Ход занятия:

1. Ознакомиться с примерами решения дифференциальных уравнений 1-го порядка

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Это уравнение с разделяющимися переменными. Общее решение дифференциального уравнения ищется с помощью интегрирования левой и правой частей уравнения, которое предварительно преобразовано следующим образом:

Теперь интегрируем:

- это общее решение исходного дифференциального уравнения.

Допустим, заданы некоторые начальные условия: x₀ = 1; y₀ = 2, тогда имеем

При подстановке полученного значения постоянной в общее решение получаем частное решение при заданных начальных условиях (решение задачи Коши).

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения:

Интеграл, стоящий в левой части, берется по частям (см. Интегрирование по частям.):

• это есть общий интеграл исходного дифференциального уравнения, т.к. искомая функция и не выражена через независимую переменную. В этом и заключается отличие общего (частного) интеграла от общего (частного) решения.

Чтобы проверить правильность полученного ответа продифференцируем его по переменной х.

- верно

Пример. Решить дифференциальное уравнение

Выполним замену , тогда производная равна:.

Подставляем и в исходное уравнение :

получаем .

Сгруппируем члены в левой части и вынесем за скобки, например V, получим. Выражение в скобках приравняем к нулю: .

Это простейшее уравнение с разделяющимися переменными, решаем его.

Функция найдена. Обратите внимание, что константу на данном этапе мы не приписываем.

Далее подставляем найденную функцию в оставшуюся часть уравнения :

Функция найдена. А вот здесь уже добавляем константу .

Вспоминаем, с чего всё начиналось: .
Обе функции найдены:

Записываем общее решение:

2. Выполнить следующие упражнения

1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения

2. Найти общий интеграл дифференциального уравнения

3. Найти решение задачи Коши

4. Решить дифференциальные уравнения:

1. 

2. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию

3. 

4. 

5. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию

6. Найти решение задачи Коши для данного дифференциального уравнения
   ,

Практическое занятие № 31-32 Решение линейных однородных дифференциальных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Решение дифференциальных уравнений, допускающих понижение степеней

Цели занятия: Научиться решать линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения

Ход занятия:

1. Ознакомиться с примерами решения линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка

Пример. Решить уравнение .

Составим характеристическое уравнение:

Общее решение имеет вид:

Пример. Решить уравнение

Это линейное однородное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами второго порядка. Для нахождения общего решения необходимо отыскать какое - либо частное решение.

Таким частным решением будет являться функция

Исходное дифференциальное уравнение можно преобразовать:

Общее решение имеет вид:

Окончательно:

Пример. Решить уравнение

Характеристическое уравнение:

Общее решение:

Пример. Решить уравнение

Характеристическое уравнение:

Общее решение:

Пример. Решить уравнение .

Решим соответствующее однородное уравнение:

Теперь найдем частное решение исходного неоднородного уравнения.

Сопоставим правую часть уравнения с видом правой части, рассмотренным выше.

Частное решение ищем в виде: , где

Т.е.

Теперь определим неизвестные коэффициенты А и В.

Подставим частное решение в общем виде в исходное неоднородное дифференциальное уравнение.

Итого, частное решение:

Тогда общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения:

2. Выполнить следующие упражнения

Решить дифференциальные уравнения

1. ;

2. ;

3. ;

4. 

Практическое занятие № 33 Контрольная работа № 4. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Цели занятия: Проверить умение студентов решать дифференциальные уравнения

Ход занятия: Решить предложенные задачи согласно своему варианту.

Вариант № 1

1. Найти частное решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными:

(2x+1)dy+y²dx=0 y(4)=1

2. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения 1-го порядка:

xy' - y=x³

3. Найти частное решение линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка:

у″-2у′-3у=0 у(0)=1, у′(0)=1

4. Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка: у″-у′-6у=2

Вариант № 2

1. Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными:

е^у(x²+1)dy-2х(1+е^у)dx=0

2. Найти частное решение линейного дифференциального уравнения 1-го порядка:

xy' + y=3 у(1)=0

3. Найти частное решение линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка:

у″-4у′+3у=0 у(0)=1, у′(0)=0

4. Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка: у″-2у′=2е^х

Вариант № 3

1. Найти частное решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными:

(1-x²)dy+хydx=0 y(0)=4

2. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения 1-го порядка:

y'=2х-2хy

3. Найти частное решение линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка:

у″+2у′+у=0 у(0)=1, у′(0)=0

4. Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка: у″-у′=4+х

Вариант № 4

1. Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными:

хуdх+(х+1)dу=0

2. Найти частное решение линейного дифференциального уравнения 1-го порядка:

xy' - y=-х у(1)=0

3. Найти частное решение линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка:

у″+2у′-3у=0 у(0)=1, у′(0)=1

4. Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка: у″-2у′-3у=е^4х

Тест по разделу «Основы математического анализа»

1. 1. 1. Укажите число экстремумов для функции, производная которой равна y'=x- 4

a. 0

b. 2

c. 1

2. .Как называется предел

a. Первый замечательный предел

b. Второй замечательный предел

c. Полезный предел

3. Производная функции y= sin x равна

a. cos x

b. -cos x

c. sin x

4. Производная функции y= cos x равна

a. sin x

b. -sin x

c. cos x

5. Если f(-x)= f(x), то функция f(x)

a. общего вида

b. нечетная

c. четная

6. Если f(-x)= -f(x), то функция f(x)

a. общего вида

b. нечетная

c. четная

7. Если производная функции на некотором интервале положительна, то функция на этом интервале

a. постоянна

b. убывает

c. возрастает

8. Если производная функции на некотором интервале отрицательна, то функция на этом интервале

a. постоянна

b. убывает

c. возрастает

9. Как называется предел

a. Первый замечательный предел

b. Второй замечательный предел

c. Полезный предел

10. Если предел функции при х стремящемся к бесконечности равен некоторому числу b, то прямая y=b является для графика функции

a. вертикальной асимптотой

b. наклонной асимптотой

c. горизонтальной асимптотой

11. Если первая производная функции в некоторой точке х0 равна нулю, то эта точка может являться

a. точкой экстремума

b. точкой перегиба

c. точкой разрыва

12.Чему равна производная от постоянного числа

a. самому числу

b. нулю

c. бесконечности

13. С помощью какой производной можно найти точки перегиба

a. третьей

b. второй

c. первой

14. Как называется функция, производная которой равна данной функции?

a) Подынтегральная функция

b) Первообразная функция

c) Неопределенный интеграл

15. Какое из утверждений верно? Определенный интеграл - это:

a) Функция от х

b) Число

c) Фукнция от f(x)

16. Сколько начальных условий необходимо задать для определения

постоянных величин C 1, C2 в общем решении дифференциального

уравнения второго порядка?

a) 1

b) 0

c) 2

17. Чем определяется порядок дифференциального уравнения?

a) Высшим порядком производной, входящей в уравнение

b) Максимальной степенью переменной х

c) Количеством переменных величин в правой части

18. Сколько произвольных постоянных величин содержит решение

дифференциального уравнения 2-го порядка, если начальные условия не

заданы?

a) 0

b) 1

c) 2

19.Вертикальной асимптотой функции у=(х-1)/(x-7) является прямая

a) у = 0

b) х = 7

c) х = 1

20. Интеграл вида называется

a) двойным

b) повторным

c) двоичным

Раздел 4. Основы теории комплексных чисел

Практическое занятие № 34 Действия над комплексными числами в алгебраической и тригонометрической формах

Цели занятия: Научиться выполнять действия над комплексными числами

Ход занятия:

1. Ознакомиться с примерами выполнения действий над комплексными числами

Пример. Даны два комплексных числа . Требуется а) найти значение выражения в алгебраической форме, б) для числа найти тригонометрическую форму, найти z²⁰, найти корни уравнения

1. Очевидно, справедливо следующее преобразование:

Далее производим деление двух комплексных чисел:

Получаем значение заданного выражения: 16(-i)⁴ = 16i⁴ =16.

б) Число представим в виде , где

Тогда .

Для нахождения воспльзуемся формулой Муавра.

Если , то

2. Выполнить следующие упражнения

1. Изобразите геометрически комплексные числа и им сопряженные:

2; -i; -2; 3 - 2i; 1 + 2i; - 1 - i.

2. а) Найдите сумму и произведение комплексных чисел и если:

1)

2)

б) Найдите разность и частное комплексных чисел и , если:

3.Найдите мнимую часть Z, если:

1)

4.Выполните действия:

Практическое занятие № 35 Переход от алгебраической формы к тригонометрической и обратно

Цели занятия: Научиться выполнять переход от алгебраической формы к тригонометрической и обратно

Ход занятия:

1. Ознакомиться с примерами перехода комплексных чисел от алгебраической формы к тригонометрической

Заданы комплексные числа: а); б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

Представить z₁, z₂, z₃ в тригонометрической, а z₄, z₅, z₆ - в показательной форме и изобразить точками на комплексной площади.

Решение:

а) имеем (см. рис. 1.2) r = 1; j = p, (1.1)
б) имеем (см. рис. 1.2) r = 2; , ;

в) имеем ; согласно рис. 1.2 точка z₃ принадлежит первому квадранту, поэтому , так что (1.2);

рис. 1.2

г) имеем согласно рис. 1.2, точка z₄ принадлежит второму квадранту, поэтому так что ;

д) имеет , , согласно рис. 1.2, точка z₅ принадлежит третьему квадранту, поэтому , так что (1.3);

е) имеем , согласно рис. 1.2, точка z₆ принадлежит четвертому квадранту, поэтому .

2. Выполнить следующие упражнения

. Представьте в тригонометрической и показательной формах комплексные числа:

1) ,

2) ,

3) ,

8. Записать комплексное число в алгебраической и в тригонометрической формах:

1) ,

2) ,

3) ,

9. Представить в тригонометрической форме комплексное число Z:

1) ,

2) .

10 . Записать комплексное число Z в алгебраической форме:

1) ,

2) ,

число Z в тригонометрической форме:

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

Тест по разделу «Основы теории комплексных чисел»

1. Что представляет собой мнимая единица ?

a) корень квадратный из -1

b) -1

c) 1

2. Представить число Z = -3 в виде комплексного числа

a) Z=3i

b) Z=-3+i0

c) Z=-3i

3. Дано комплексное число Z= -3+2i. Найти координаты точки на

плоскости хоу ему соответсвующие

a) (3;2)

b) (-3;2)

c) (-3;-2)

4. Модуль, не равный 13, имеет одно из следующих комплексных чисел …

5. Комплексное число в тригонометрической форме имеет вид…

Список рекомендуемых источников

Основная

1. Богомолов Н.В. Математика: Учебник. - М.: Дрофа, 2010. - 395 с.

2. Григорьев С.Г. Математика: Учебник. - М.: Академия, 2014. - 416 с.

3. Лисичкин В.Т. Математика в задачах с решениями: Учебное пособие. - СПб.: Лань, 2011. - 464 с.

4. Пехлецкий И.Д. . Математика: Учебник. - М.: Академия, 2012. - 304 с.

Интернет-ресурсы:

1. Портал Math.ru: библиотека, медиатека, олимпиады, задачи, научные школы, учительская, история математики

math.ru

2. Математика в Открытом колледже

mathematics.ru

3. Материалы по математике в Единой коллекции цифровых образовательных ресурсов

school_collection.edu.ru/collection/matematika/

4. Образовательный математический сайт Exponenta.ru

exponenta.ru

5. Общероссийский математический портал Math_Net.Ru

mathnet.ru

6. Портал Allmath.ru - вся математика в одном месте

allmath.ru

7. Интернет-библиотека физико-математической литературы

ilib.mccme.ru

8. Математика онлайн: справочная информация в помощь студенту

mathem.h1.ru