Методическая разработка Теория и практика по теме Комплексные числа

16

Раздел III

ОСНОВЫ ТЕОРИИ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

Глава 8. Комплексные числа

Тема 8.1. Комплексные числа

1. Определение комплексных чисел в алгебраической форме

Одним из основных понятий математики является по­нятие числа. Это понятие прошло длительный путь раз­вития, обогащаясь новым содержанием. Исторически первыми возникли в практике и были вве­дены в науку натуральные числа, которые являются инст­рументом для счета количества отдельных предметов, на­пример количества пальцев на руке. Они образуют беско­нечное множество, которое принято обозначать буквой N.

Затем возникла необходимость во введении долей единицы и количества этих долей (например, для измерения длин от­резков), т. е. было введено так называемое дробное число.

Далее те же потребности измерения привели к необ­ходимости введения отрицательных чисел (например, если за начало отсчета берется уровень моря, то для отметки положения горы берется положительное число - высота горы, а для отметки положения глубины моря - отрица­тельное число). Целые отрицательные числа вместе с на­туральными числами и числом 0 образуют множество це­лых чисел, обозначаемое буквой Z

Множество, состоящее из всевозможных положитель­ных и отрицательных целых и дробных чисел и числа Q, называется множеством рациональных чисел и обозначает­ся буквой Q.

Очевидно, что N ZQ.

Потребности практики, а также внутренние требования самой математики, ее логического развития, показали не­достаточность множества рациональных чисел для реше­ния различных задач. Например, дано уравнение х² = 2,

или х = . Но не существует такого рационального чис­ла, квадрат которого равен 2. Такие числа получили не­знание иррациональных чисел.

Поэтому появилась необходимость создать новое рас­ширенное множество чисел, в котором для каждой точки числовой оси находилось бы числовое значение и в кото­ром решалось бы любое уравнение вида х^п = а.

Такое множество получило название вещественных(действительных ) чи­сел и обозначается буквой R, причем QR.

Развитие науки и практики показало недостаточность введенного множества вещественных чисел.

Например, даже такое простейшее квадратное урав­нение, как х² + 1 = 0, не имеет решения в множестве действительных чисел, так как не существует такого действительного числа а, что а² + 1 = 0. Это показывает необходимость дальнейшего расширения понятия числа. Кроме того, такие науки, как электротех­ника и различные разделы физики, рассматривают вели­чины сложной природы, которые не могут быть охваче­ны понятием вещественных чисел.

В связи с этим возникла потребность нового расшире­ния понятия числа.

Итальянские математики XVI в. Дж. Кардано и Р. Бомбелли, решая квадратные уравнения вида х² + а² = 0, ввели в рассмотрение символ , который в XVIII в. петербургский математик Л. Эйлер(1708-1783) обозначил через i_. Формальное решение уравнения х² + а² = 0 при использовании этого символа сводится к тому, что или, используя обозначение Эйлера, ai.

Таким образом, возникает необходимость в расширении множества действительных чисел до нового множества, такого, чтобы в этом мно­жестве уравнения вида х² + а² = 0имели решения.

Ниже мы изложим краткую теорию такого расширения.

Определение 1. Комплексным числом z называется выражение ви­да а+bi, a _{и b}-действительные числа, а символ i удовлетворяет условию i = - 1

Число а называется действительной частью комплексного числа, bi - мнимой частью, i- мнимой единицей.

Множество комплексных чисел обозначается буквой С.

Заметим, что множество R действительных чисел содержится в множестве комплексных чисел С: R C . В самом деле, всякое действительное число а можно рассматривать как комплексное число вида а+0i.

Комплексные числа вида biназываются чисто мнимыми. Они по­лучаются из комплексных чисел z₁ = а + biпри а = 0.

Определение 2. Два комплексных числа z₁ = а + bi и z₂ = с + di на­зываются равными, если, соответственно, равны их действительные части и коэффициенты при мнимой единице, т. е. если а = с, b= d.

Комплексное число z = 0 + 0i называется нулем и обозначается че­рез 0. Оно совпадает с числом нуль множества действительных чисел. Таким образом, z = а + bi = 0 тогда и только тогда, когда а = 0 и b= 0, или, что то же самое, когда а²+ b²= 0.

Определение 3. Комплексные числа а + bi и а - bi называются ком­плексно-сопряженными.

Число, комплексно-сопряженное числу z, обозначается через . Так, если z = а + bi, то = а - bi, если же z = а − bi, то = а + bi. По­нятие сопряженности взаимное. Например, для комплексного числа z = = -2 + 4i комплексно-сопряженным является комплексное число = - 2 - 4i; точно также для комплексного числа -2 - 4i комплексно-со­пряженным является число -2 + 4i .

2. Геометрическая интерпретация комплексных чисел

Комплексное число z = а + bi геометрически можно представить точкой координатной плоскости Оху с координатами а, b (рис. 1).

Определение 4. Плоскость, служащая для изображения множества комплексных чисел, называется комплексной плоскостью. Так как любое комплексное число единственным образом определяется его действительной и мни­мой частями, то каждому комплексному числу в комплексной плоскости соответствует единственная точка на плоскости. Очевидно, что справедливо и обратное утверждение: каждой точке (х; у) плоскости Оху соответствует единственное комплексное число z = х + yi.

Таким образом, между множеством комплексных чисел и множеством точек плоскости существует взаимно-однозначное соответствие. При этом соответствии всякому действительному числу z = а + 0i соответствует точка А(а; 0) оси абсцисс, а всякому чисто мнимому числу z = 0 + bi - точка В(0; b) оси ординат. Числу z = i соответствует точка С(0; 1) (рис. 2). Если каждой точке М комплексной плоскости поставить в соответствие радиус-вектор ОМ этой точки, между множеством комплексных чисел множеством радиус-векторов можно также установить взаимно-однозначное соответствие. Ось Ох будем называть действительной осью, а ось Оу- мнимой.

Из определения комплексно-сопряженных чисел следует, что числа z и на комплекс­ной плоскости расположены симметрично от­носительно действительной оси (рис. 3).

Ранее мы отметили, что квадратное уравнение ax²+ bx + c = 0, для которого дискриминант D = b² - 4ас < 0, в множестве R (действительных чисел) не имеет решения, так как корень из отрицательного числа в этом множе­стве не имеет действительного значения. Однако в множестве С (ком­плексных чисел) такое уравнение имеет два комплексно-сопряженных решения. В самом деле, пусть дано квадратное уравнение

ах² + bx + c = 0_.

причем D < 0.

Решения этого уравнения

_,

представим в виде

,

где уже, а потому есть некоторое действительное число.

Следовательно, решениями квадратного уравнения будут два комплекс­но-сопряженных числа

, .

Пример 1. Решить квадратное уравнение .

Решение. Находим:

_.

Таким образом, решениями данного квадратного уравнения будут два комплексно-сопряженных числа

и _.

Итак, в множестве комплексных чисел любое квадратное уравнение имеет решение.

3. Действия над комплексными числами

Действия над комплексными числами определяются таким обра­зом, чтобы для частного случая действительных чисел эти операции совпадали с известными операциями над ними.

Сумма z комплексных чисел и определяется как комплексное число _. Его обозначают _.

Таким образом,

(1)

В частности, если , то , поэтому , следовательно, сумма комплексно-сопряженных чисел есть число дейст­вительное. Операцию сложения легко распространить и на сумму любо­го конечного числа комплексных чисел. Так, если

, , …,

то

. (2)

Пример 2. Найти комплексное число z из равенства _.

Решение. Пусть _. Тогда

или

_.

Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда соответственно равны их действительные и мнимые части. Следо­вательно,

х + 4 = 2;

у+ 1 =3.

Решив эту систему, находим х = - 2; у = 2. Таким образом, _.

Вычитание двух комплексных чисел определяется как операция обратная сложению. Комплексное число называется разностью комплексных чисел и , если .

Разность комплексных чисел z₁ и z₂, обозначается z₁- z₂-

Из определения следует, что

(3)

В частности,

_.

Умножение двух комплексных чисел и определяется следующим образом:

_. (4)

Отсюда следует, что два комплексных числа z₁ = а + b и z₂ = с - di можно умножать по правилу умножения многочленов при условии, что i² = −1.В самом деле,

(сравните результат с определением (1)). В частно­сти, если то _.

Пример 3. Найти произведение комплексных чисел и

Решение. Очевидно, что

Деление вводится как действие, обратное умножению. Частным от деления комплексного числа на число называется комплексное число такое, что , т. е.

а₁+ b₁ i = (a₃+ b₃ i)∙(a₂+b₂ i).

Отсюда на основании равенства (4.4) получаем:

_{; .} (5)

Решая систему уравнений (5) относительно а₃ и b₃ находим:

, ,

причем,, так как по условию . Таким образом

_. (6)

Равенство (6) можно получить путем умножения числителя и знаменателя дроби на число, комплексно-сопряженное знаменателю.

Пример 3. Найти частное от деления комплексного числа на число .

Решение. Очевидно, что

.

Возведение комплексного числа в степень п (пN) рассматривается как частный случай умножения комплексных чисел:

(п раз) (7)

Найдем натуральные степени мнимой единицы i. На основании ра­венства (4) получаем:

,

и вообще

где п - любое натуральное число.

Пример 4. Найти _.

Решение. При делении числа 59 на 4 имеем: 59 = 14 • 4 + 3, поэтому

.

Предоставляем проверить самостоятельно, что для комплексно-сопряженных чисел выполняются следующие равенства:

; ; ; . (8)

3.1. Решение алгебраических уравнений

Многочлены и алгебраические уравнения. Многочленом (поли­номом или целой рациональной функцией) п-й степени называется функция вида

p_n (z) = а_n zⁿ + а_n-1z^п-1 +…+a₁z+a_o (9)

где zC, а_o, а₁, .. . ,а_n- коэффициенты (вообще говоря, комплексные), причем а_п ≠ 0, nN- Уравнение

а_n zⁿ + а_n-1z^п-1 +…+a₁z+a_o = 0, а_n ≠ 0, (10)

называется алгебраическим уравнением п-й степени. Число z_o для которого р_n(z_о)=0, называется корнем многочлена (9) или уравнения (10).

Теорема Гаусса (основная теорема алгебры). Всякий много­член ненулевой степени имеет по крайней мере один корень (вообще говоря, комплексный).

Число z_o является корнем многочлена р_п (z) в том и только в том случае, когда р_п (z) делится без остатка на бином z-z_o, т. е.

p_п(z) = (z-z_о)·q_n-1(z),

где q_n-1(z) - многочлен (n −1)-й степени. Если p_n(z) делится без остатка на (z-z_o)^k, k ≥1, но не делится на (z-z_o)^{k +1}, то z_o назы­вается корнем кратности k многочлена р_n(z); при этом

p_п(z) = (z-z_o)^k q_n-k (z),

где q_n-k (z) ≠ 0.

Теорема Гаусса может быть уточнена следующим образом: много­член п-й степени имеет ровно п корней, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность.

Если коэффициенты многочлена (9)-действительные числа и z_o= x_o + iy_o - его комплексный корень, то сопряженное число - также корень этого многочлена, причем корни z₀ и имеют одинаковую кратность.

Пусть многочлен р_n(z) имеет корни z₁, z₂, z₃,..., z_т (т ≤ п) кpатностей соответственно k₁, k₂, …k_m (k₁+ k₂+ …+k_m = п) Тогда

его можно разложить на линейные множители, т. е. справедливо тож­дество

p_п(z) = a_n(z-z₁)^k1(z-z₂)^k2…(z-z_m)^km

Если при этом коэффициенты многочлена-действительные числа, то, объединяя скобки, соответствующие комплексно сопряжен­ным корням, можно разложить этот многочлен в произведение линейных и квадратичных множителей* с действительными коэффици­ентами.

Пример 5. Найти корни многочлена z⁶ + 2z³ + 1 и разложить его на множители.

Решение. Так как z⁶ + 2z³ + 1 = (z³ + 1)², то корнями этого многочлена яв­ляются корни 3-й степени из −1:

z₁ = -1;

;

При этом каждый корень имеет кратность k= 2. Разложение этого многочлена на линейные множители имеет вид

Объединяя последние две скобки в один сомножитель, получим раз­ложение на множители с действительными коэффициентами

z⁶ + 2z³ + 1 = (z +1)²(z² − z + 1)².

Пример 5. Решить квадратные уравнения:

1) z² + 2z + 5 = 0; 2) 4z² -2z + 1= 0; 3) z²+ (5−2i) z + 5(1 − i) = 0; 4) (z + 1)⁴ +16 = 0;

5) z⁴+18z² + 81=0.

Решение.

1) z² + 2z + 5 = 0; D = 4 − 4∙ 5 = 4 - 20 = -16; z₂ = −1 + 2i .

2) 4z² − 2z + 1= 0; D = 4 − 4∙ 4∙ 1 = 4 - 16 = -12;

3) z²+ (5−2i) z + 5(1 − i) = 0; D = (5−2i)² − 4∙5(1 − i) = 25 −20i +4i² −20 +20i = 1;

.

4) (z + 1)⁴ +16 = 0; (z + 1)⁴ = −16; (z + 1)² = ± 4i; z + 1 = ± 2 = ± 2;

; .

5. z⁴+18z² + 81=0;

Обозначим t = z² , тогда имеем

t² +18t + 81=0; D = 18² - 4 ∙1∙81 = 324-324 = 0; два одинаковых корня t_1,2= -9

t = z²; z² = -9; z_1,2= z_3,4= ± 3i.

Ответ. 1) −1 ± 2i; 2) 3) 3 ± i; 4) ; ; 5) ± 3i.

4. Полярные координаты точки на плоскости

Возьмем на плоскости произвольную точку О и некоторую ось Or проходящую через эту точку. Ось может быть задана, например, еди­ничным вектором ОЕ (рис. 4).

Произвольную точку М плоскости, не совпадающую с точкой С можно задать двумя числами: r - длиной отрезка ОМ и φ - углом, который образует отрезок ОМ с осью ОР в положительном направлении

Числа r и φ называются полярными координатами точки М. При этом r называется полярным радиусом точки М, а φ- ее полярным углом. Совокупность точки О и оси ОР образует систему координат на плоскости, которая называется полярной системой. Точка О называется полюсом, а ось ОР- полярной осью.

Так же, как и для декартовых коор­динат точки, полярные координаты точки будем заключать в круглые скобки. Так, точка М, заданная на рис. 5, имеет полярные координаты .

­

Точка О характеризуется условием r = 0.Полярный угол φ для этой точки не определен.

Будем считать, что полярные координаты точек плоскости изменя­ются в следующих пределах:;_.

Для построения точки по полярным координатам необходимо по­строить луч с началом в точке О, на котором лежит искомая точка, и на этом луче от полюса отложить отрезок, длина которого равна полярно­му радиусу.

Пусть на плоскости выбраны одновременно полярные и прямоуголь­ные системы координат таким образом, что полюс совпадает с началом декартовых координат, а полярная ось - с положительным направлением оси абсцисс (рис. 6). Если произвольная точка М в полярной системе имеет координатами числа r и φ , а в прямоугольной х, у, то очевидно

; (11)

; , (12)

Таким образом, полярные и прямоугольные координаты одной и той же точки плоскости при указанном выборе систем координат связа­ны соотношениями (11) и (12). При этом из соотношения (11) по заданным полярным координатам r и φ определяются прямоугольные координаты, а из соотношений (12) по заданным прямоугольным ко­ординатам хи у определяются полярные координаты. Необходимо учесть, что из второй формулы (12) угол ср определяется не однознач­но. Поэтому, вместо этого соотношения лучше воспользоваться соот­ношениями ; .

Пример. Даны полярная и прямоугольная системы координат (рис. 7). Найти: а) полярные координаты точки; б) прямоугольные координаты точки .

Решение, а) Пользуясь соотношениями (12), получим

;

; .

Из этих соотношений следует, что точ­ка расположена в четвертой четверти, поэтому ;

б) пользуясь соотношениями (11), получим ; . Следовательно,.

5. Тригонометрическая форма комплексного числа

Выберем на комплексной плоскости вместе с прямоугольной и по­лярную систему координат таким образом, как это изображено на рис. 6 Так как произвольное комплексное числоизображается точкой, то числа х и у являются ее прямоугольными координатами. Пусть и- полярные координаты точки М(х;у). Полярный радиусназывается модулем, или абсолютной величиной комплексного числа z и обозначается _, а полярный угол ф называется аргумен­том комплексного числа и обозначается arg. Так как

и , то или

. (13)

Правая часть (13) называется тригонометрической формой ком­плексного числа.

Запись комплексного числа z в виденазывается алгебраической формой комплексного числа. Переход от алгебраической формы записи к тригонометрической и обратно осуществляется по формулам

; ;

; .

Пример 1. Составить тригонометрическую форму записи ком­плексного числа

Решение. Имеем: , .

По таблице тригонометрических функций или на калькуляторе на­ходим.

Следовательно,.

Пример 2. Доказать, что.

Решение. На комплексной плоскости построим числа z₁ и z₂ (рис. 8). Неравенства, подлежащие доказательству, вытекают из известной теоремы геометрии о сторонах треугольника (разность двух сторон тре­угольника не больше третьей стороны, а сумма двух сторон не меньше третьей стороны).

Следует заметить, что для комплексных чисел понятия «больше» и «меньше» лишены смысла, так как эти числа, в отличие от дейст­вительных, располагаются на плоскости, точки которой нельзя линейно упорядочить, в то время как точки прямой могут быть линейно упорядочены.

5.1. Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме

Пусть даны два комплексных числа в тригонометрической форме:

(14)

Перемножая их, получим

т. е.

(15)

Таким образом, при умножении ком­плексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы скла­дываются:

Пример 1. Дано

ВЫЧИСЛИТЬ

Решение. Применяем формулу (15):

На комплексной плоскости числа z₁ и z₂ представим, соответствен­но, векторами и (рис. 9). Чтобы построить вектор изображающий комплексное число z = z₁z₂ надо (см. равенство (11)) векторповернуть на угол против часовой стрелки, затем умно­жить его длину на числоr. Это есть геометрическая интерпретация ум­ножения комплексных чисел.

В частности, так как , то умножение любого комплексного числа z на число i с геометрической точки зрения можно рассматривать как операцию поворота вектора, изображающего число z, на угол в положительном направлении (против движения часовой стрелки).

Разделим теперь первое комплексное число (14) на вто­рое:

(имея i²= -1, получим:)

, где

Итак,

Таким образом, при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются:

Пример 2. Дано , . Вычислить.

Решение. Имеем:

Для построения вектора изображающего комплексное число , нужно вектор изображающий комплексное число z₁, повернуть на угол по часовой стрелке и уменьшить его длину в r₂ раз.

Деление комплексного числа z на i с геометрической точки зрения можно рассматривать как операцию поворота радиус-вектора точки z на угол по часовой стрелке.

Возведение комплексного числа в натуральную степень п рассматривается как и-кратное умножение z на самое себя:

т. е.

(16)

Таким образом, при возведении комплексного числа в степень п мо­дуль этого числа возводится в степень п, а аргумент умножается на п:

;

Формулу (16) можно записать в виде

(17)

В частности, при r = 1 из равенства (17) следует формула Муавра, имеющая широкое применение в математике:

Пример 3. Выразите sin 4φ и cos 4φ через sin φ и cos φ.

Решение. Применяя формулу Муавра при п = 4, получим:

(18)

Но

(19)

Сравнивая действительные и мнимые части равенств (18) и (19), получим

Пусть п - натуральное число.

Корнем п-й степени из комплексного числа называется комплексное число для которого wⁿ = z. Это число обозначается

Так как два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их модули, а аргументы отличаются на целое число, кратное 2л, то

,

откуда

Таким образом,

(20)

Подставляя вместо к значения 0, 1, 2, ..., п - 1, получим п различ­ных значений корня. Для k = п, п + 1, п + 2, ... или k = -1, -2, ... корни будут принимать полученные ранее значения.

Так, например, при k = 2 имеем: и при k = п + 2

Читатель может проверить, что и для функции косинуса получается то же самое.

Пример 4. Найти все значения

Решение. Так как 1 = l(cos 0 + i sin 0), то

Придавая k последовательно значения 0, 1, 2, 3, 4, соответственно, получим:

z₁ = 1 при k = 0;

при k = 1;

при k = 2;
при k = 3;

при k = 4.

Дадим геометрическую интерпретацию полученных значений . Модули всех этих значений равны 1. Следовательно, точки z₁, z₂, z₃, z₄, z₅ лежат на окружности радиуса 1 с центром в начале координат. Построив аргументы значений z₁, ... , z₅ (рис. 10), заметим, что точки, изобра­жающие числа z₁,..., z₅, являются вершинами правильного пятиугольника.

Исходя из формулы (20) можно показать, что геометрически точки, соответствующие различным значениям корня n-й степени из комплексного числа располагаются в вершинах правильного п-угольника с центром в точке О, причем одна из вершин (соответствующая k = 0) имеет полярные координаты.

6. Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера

Найдем тригонометрическую форму комплексного числа z, если Так как в записи выражение

есть действительная, а - мнимая часть и комплексно-

сопряженные числа отличаются знаком мнимых частей, то

(21)

Функция косинус - четная, а синус - нечетная, поэтому соотно­шение (21) можно записать в виде

Из геометрических соображений можно заключить, что точка, изо­бражающая комплексное число 1, получается из точки, изображающей число z, в результате ее симметричного отображения относительно оси абсцисс. Значит,

Из правил умножения и деления комплексных чисел в тригономет­рической форме следует, что аргумент комплексного числа ведет себя так же, как показатель степени при умножении степеней с одинаковыми основаниями: Это обстоятельство навело Л. Эйлера на

мысль представлять комплексные числа в виде

(22)

где е - основание натурального логарифма.

К комплексным числам, записанным в форме (22), применимы правила действий над степенью. А именно, если , , то

откуда следуют известные нам правила:

,

Аналогично получаем

т. е. при делении комплексных чисел справедливы равенства и

Далее, возведя комплексное число (22) в степень п, получим

Следовательно, при возведении комплексного числа в степень |zⁿ| = |z|ⁿ,arg(zⁿ) = n arg z.

Таким образом, представление комплексного числа в виде (22) формально находит оправдание. Запись (22) называется показатель­ной или экспоненциальной формой комплексного числа.

Если z представлено в форме (22), то комплексно-сопряженное число

Сравнивая записи комплексного числа в известных нам формах, будем иметь При r = 1

(23)

Это соотношение называется тождеством Эйлера. Аналогично можно записать

(24)

Путем сложения и вычитания равенств (23) и (24), соответст­венно, получаем

Эти равенства находят широкое применение в различных вопросах математики.

Пример 5. Представить в экспоненциальной форме комплексное чис­ло

Решение. Находим Следовательно,

7. Понятие функции комплексной переменной

Пусть даны две комплексные плоскости Оху (плоскость z) и O'uv (плоскость w).

Определение. Если каждой точке (числу) zD (D - множество точек плоскости z ) по некоторому закону f ставится в соответ­ствие единственная точка w Е (Е - множество точек плоско­сти w), то говорят, что w есть функция от z (однозначная):

w = f (z), (25)

с областью определения D, значения которой принадлежат множе­ству Е (рис. 11). Т.е. говорят, что на мно­жестве определена однозначная функция комплексного переменно­го w = f(z), отображающая множество D в множество Е. Если множество значений функции f (z) исчерпывает все множество Е, то Е называется множеством значений (областью изменения) функции f (z). В этом случае пишут

Е = f (D).(26)

Если каждому z D соответствует несколько значений w, то функция w = f(z) называется многозначной.

Множества D и Е можно изображать на одной комплексной пло­скости.

Рис. 11.

Таким образом, каждая комплексная функция реа­лизует однозначное в одну сторону отображение одного множества на другое. Благодаря этому комплекс­ные функции находят свое применение в таких науках, как гидро­динамика и аэродинамика, так как с их помощью удобно описы­вать «историю» движения объема жидкости (или газа).

a) б)

Рис. 12.

Раздел математики, изучающий свойства комплексных функций, носит название теории функций комплексной переменной.

Пример6. Во что переходит сектор Е

_,

(рис. 12, а) при отображении w = z²?

Имеем

arg w = 2argz < π и |w| = |z|² < 1.

Поэтому отображенная область E ' представляет собой полукруг (рис. 12, б).

Далее, как правило, будем рассматривать такие функции w = f(z), для которых множества D и Е₁ являются областями. Областью комплексной плоскости называется множество точек плоскос­ти, обладающих свойствами открытости и связности.

Функцию w = f(z) можно записать в виде

u + iv = f(x + iy),

т. е.

f(x + iy) = и(х; у) + iv(x; у),

где

и = и(х;у) = Ref(z), v = v(x;у) = Imf(z), (х; у) D.

Функцию и(х;у) при этом называют действительной частью функции f(z), a v(x;y) - мнимой.

Таким образом, задание функции комплексного переменного равно­сильно заданию двух функций двух действительных переменных.

Пример 7. Найти действительную и мнимую части функции w = z².

Решение: Функцию w = z² можно записать в виде и + iv = (х + iy)²,

т.е.

и + iv = х² - у² + i 2ху.

Отсюда следует: и = х² -у², v = 2ху.