Муниципальное образование «Тулунский район» Иркутской области

Районный конкурс исследовательских работ и проектов

детей младшего и среднего школьного возраста «За страницами учебника»

(исследовательская работа)

Выполнила:

учащаяся 7 класса

МОУ «Икейская СОШ»

Станько Евгения

Руководитель:

Буякова Елена Владимировна,

учитель математики

Тулун, 2015 г.

Содержание

Стр.

Введение………………………………………………………………………………....2-3

Глава I. Упрощённые приёмы устных вычислений при умножении натуральных чисел……………………………………………………………………………………...3-7

1. Умножение чисел на 11………………………………………………………..3-4

2. Умножение чисел на 22, 33,… , 99……………………………………….……4-5

3. Умножение чисел на 111 ,1111 , 11111 и т. д……………………………….5-6

4. Умножение чисел на 101 , 1001 и т.д………………………………………...6-7

5. Умножение чисел на 37………………………………………………………..7

Глава II. Алгоритмы ускоренных вычислений…………..…………………………...7-9

2.1. Алгоритм перемножения двузначных чисел, близких к 100 .............……...7-8

2.2. Алгоритм возведения в квадрат двузначных чисел начинающихся с 5………8

2.3. Алгоритм возведения в квадрат двузначных и трёхзначных чисел, оканчивающихся на 5………………………………………………………………..…8

2.4. Возведение в квадрат чисел состоящих только из 1………………………..….8

2.5. Алгоритм возведения в квадрат чисел, близких к 50………………………8-9

Глава III. «Интересные» числа с применением свойств умножения……………..9

3.1. Число Шехерезады ...……………………………………………………………9

3.2. Интересные цифры ……………………………………………………..............9

Глава IV. Исследование скорости и качества устных вычислений при умножении натуральных чисел учащихся 5 - 7 классов МОУ «Икейская СОШ»…………………………………………………………………………………....9-11

Заключение…………………………………………………………………………..….12

Литература ...…………………………………………………………………………....13

Приложения ..………………………………………………………………………..…14-16

Введение

Математика является одной из важнейших наук на земле и именно с ней человек встречается каждый день в своей жизни. Для жизни в современном обществе важным является формирование математического мышления, проявляющегося в определённых умственных навыках. При изучении математики нужно постоянно и широко использовать вычислительные навыки. Счет в уме является самым древним и простым способом вычисления.

Но в наше время мы уделяем устному счету значительно меньше времени и внимания, чем в прежние времена. Это неудивительно, учитывая повсеместное использование калькуляторов и компьютеров. Ведь в современном мире бытует мнение, что вычислительная работа принадлежит компьютерам, а человек должен отойти от этого занятия. Однако умение считать в уме иногда оказывается полезным. Кроме того, это отличное упражнение, позволяющее поддерживать мозг в состоянии «боевой готовности».

Всем известно, какую роль в школьном курсе обучения имеют вычислительные навыки. Ни один пример, ни одну задачу по математике, физике, химии, черчению нельзя решить, не обладая навыками элементарных способов вычисления. Знание упрощённых приёмов устных вычислений остаётся необходимым даже при полной механизации всех наиболее трудоёмких вычислительных процессов. Устные вычисления дают возможность не только быстро производить расчёты в уме, но и контролировать, оценивать, находить и исправлять ошибки в результатах вычислений, выполненных с помощью калькулятора. Кроме того, освоение вычислительных навыков развивает память и помогает полноценно усваивать предметы естественно - математического цикла.

Есть люди, умеющие невероятно быстро вычислять в уме. Они могут мгновенно умножить 21734 на 543, запомнить идущие подряд 1000 цифр, знают наизусть таблицу умножения чисел от 1 до 100, сразу отвечают, на какой день недели приходится 21 марта 4871 года, и вообще делают то, что обыкновенному человеку так же трудно, как поднять штангу, на которой повисли несколько человек. Но некоторыми приемами, ускоряющими вычисления, может овладеть любой человек.

Поэтому я поставила перед собой цель: найти и рассмотреть нестандартные приёмы устного умножения, которые непосредственно в школьном курсе математики не изучаются.

Объект исследования - вычислительные навыки и быстрый счёт на уроках предметов естественно-математического цикла.

Предмет исследования - нестандартные приёмы и навыки устного счёта при умножении натуральных чисел.

Гипотеза исследования: овладение приемами устного счета позволит повысить качество и скорость вычислений учащихся 7 класса.

Цель исследования: научиться быстрому счёту с использованием нестандартных приёмов устного счёта, овладеть знаниями упрощённых приёмов устных вычислений, когда вычисляющий не имеет в своём распоряжении таблиц и калькулятора.

Задачи:

1) изучить литературу и узнать о существующих упрощённых и нестандартных способах устных вычислений при умножении натуральных чисел;

2) познакомить учащихся 7 класса с приёмами устного счёта при умножении

3) проверить эффективность устных приемов счета;

4) исследовать скорость и качество устных вычислений при умножении натуральных чисел учащихся 7 класса МОУ «Икейская СОШ»;

5) разработать памятку для развития умения быстро производить устные вычисления.

Методы исследования:

• Изучение литературы по теме

• Исследование, сбор информации

• Анализ

• Систематизация и обобщение

Актуальность выбранной темы заключается в том, что нижеперечисленные способы быстрого счёта рассчитаны на ум обычного «человека» и не требуют уникальных способностей. Главное - более или менее продолжительная тренировка. Кроме того, освоение этих навыков развивает логику и память учащегося.

Кроме того, освоение вычислительных навыков развивает память и помогает школьникам полноценно усваивать предметы естественно-математического цикла.

Глава I. Упрощённые приёмы устных вычислений при умножении натуральных чисел.

1.1. Умножение чисел на 11¹

1-ый способ - Чтобы двузначное число, сумма цифр которого не превышает 10, умножить на 11, надо цифры этого числа раздвинуть и поставить между ними сумму этих цифр.

Примеры:

27 х 11= 2 (2+7) 7 = 297; 62 х 11= 6 (6+2) 2 = 682; 54 x 11 = 5(5+4)4 = 594

2-ой способ - Чтобы умножить на 11 двузначное число, сумма цифр которого 10 или больше10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре прибавить единицу, а вторую и последнюю (третью) оставить без изменения.

Пример:

86 х 11= 8 (8+6)6 = 8(14) 6 = (8+1)46 = 946.

78 x 11=7(7+8)8=7(15)8=(7+1)58=858

37 x 11=3(3+7)7=3(10)7=(3+1)07=407

97 x 11= 9(9+7)7= 9(16)7=(9+1)67=1067

3 способ - Есть ещё один способ умножения на 11 больших чисел: чтобы умножить число на 11, к нему приписывают 0 и прибавляют исходное число.

Например:

345 х 11 = 3450 + 345 = 3795;

4215 х 11 = 42150 + 4215 = 46365.

567 x 11 = 5670 + 567 = 6237

732 x 11 = 7320 + 732 = 8052

491 x 11 = 4910 + 491 = 5401

682 x 11 = 6820 + 682 = 7502

926 x 11 = 9260 + 926 = 10186

1.2.Умножение чисел на 22, 33,… ,99.

Чтобы двузначное число умножить на 22, 33, 44, …, 99, надо этот множитель представить в виде произведения однозначного числа (от 2 до 9) на 11,то есть 33 = 3 х 11; 44 = 4 х 11 и т.д. Затем произведение первых чисел умножить на 11.

Примеры:

18 х 44 = 18 х 4 х 11 = 72 х 11 = 792

42 х 22 = 42 х 2 х 11 = 84 х 11 = 924

13 х 55 = 13 х 5 х 11 = 65 х 11 = 715

73 x 44 = 73 x 4 x 11 = 292 x 11 = 2920 + 292 = 3212

64 x 22 = 64 x 2 x 11 = 128 x 11 = 1280 + 128 = 1408

39 x 33 = 39 x 3 x 11 = 117 x 11 = 1170 + 117 = 1287

72 x 55 = 72 x 5 x 11 = 360 x 11 = 3600 + 360 = 3960

49 x 66 = 49 x 6 x 11 = 294 x 11 = 2940 + 294 = 3234

61 x 77 = 61 x 7 x 11 = 427 x 11 = 4270 + 427 = 4697

92 x 88 = 92 x 8 x 11 = 736 x 11 = 7360 + 736 = 8096

27 x 99 = 27 x 9 x 11 = 243 x 11 = 2430 + 243 = 2673

Кроме того, можно применить закон об одновременном увеличении в равное число раз одного сомножителя и уменьшении другого:

28 х 33 = (28 х 3) х (33:3) = 84 х 11 = 924

48 х 22 = (48 х 2) х (22:2) = 96 х 11 = 1056

54 x 55 = (54 x 5) x (55:5) = 270 x 11= 2700 + 270 = 2970

1.3. Умножение чисел на 111 ,1111 , 11111 и т. д.

Кто знает, как умножать на 11, может легко умножать на 111. Рассмотрим примеры. Если сумма цифр меньше 10, то легко умножать на 111, 1111 и т.д. по следующему принципу:

Чтобы двузначное число умножить на 111, 1111 и т.д., надо мысленно цифры этого числа раздвинуть на два, три и т.д. шага (на количество шагов, на единицу меньших количества единиц), сложить цифры и записать соответствующее количество раз их сумму между раздвинутыми числами.

Пример: 42 х 111111 = 4 (4+2) (4+2) (4+2) (4+2) (4+2) 2 = 4666662

Раздвинуть 4 и 2 на 5 шагов. Если единиц 6, то шагов будет на 1 меньше, то есть 5. Если единиц 7, то шагов будет 6 и т.д.

Примеры:

32 х 111 = 3 (3+2) (3+2) 2 = 3552

45 х 111 = 4 (4+5) (4+5) 5 = 4995

26 х 1111 = 2 (2+6) (2+6) (2+6) 6 = 28 886

52 х 1111 = 5 (5+2) (5+2) (5+2) 2 = 57 772

27 х 111 = 2(2+7)(2+7)7=2997

62 х 1111 = 6(6+2)(6+2)(6+2)2=68882

Немного сложнее, если сумма цифр равна 10 или более 10.

Примеры:

86 х 111 = 8 (8+6) (8+6) 6 = 8 (14) (14) 6 = (8+1) (4+1) 46 = 9546

В этом случае надо к первой цифре 8 прибавить 1, получим 9, далее 4+1 = 5; а последние цифры 4 и 6 оставляем без изменения. Получаем ответ 9546.

47 х 11111 = 4(4+7)(4+7)(4+7)(4+7)7= (4+1)(1+1)(1+1)(1+1)17 = 522217

11 11 11 11

57 х 111 = 5(5+7)(5+7)7= (5+1)(2+1)27 = 6327

12 12

69 х 1111 = 6 (15) (15) (15) 9 = (6+1) (5+1) (5+1) 59 = 76659

76 х 1 111 111 = 7 (13)(13)(13)(13)(13)(13) 6 =

= (7+1)(3+1)(3+1)(3+1)(3+1)(3+1)36= 84444436

97 х 11111 = 9(16)(16)(16)(16)7 = 9(1+6)(1+6)(1+6)(1+6)7 = 1077767

1.4. Умножение чисел на 101 , 1001 и т.д.²

Чтобы любое число умножить на 101, надо к этому числу приписать справа

это же число.

Примеры:

32 х 101 = 3232

47 х 101 = 4747

54 х 101 = 5454

93 х 101 = 9393

53 х 101 = 5353

Чтобы двузначное число умножить на 1001, 10001 и т.д., надо, воспользовавшись правилом выше, дописать в «центр» результата количество нулей, на один меньшее в записи второго множителя.

74 х 1001 = 74074

62 х 10001 = 620062

82 х 100001 = 8200082

Чтобы трёхзначное число умножить на 1001, надо к этому числу справа приписать это же число.

Примеры:

324 х 1001 = 324 324

675 х 1001 = 675 675

869 х 1001 = 869 869

765 х 1001 = 765 765

837 х 1001 = 837 837

Другие примеры:

6478 х 10001 = 64786478;

846932 х 1000001 = 846932846932.

6789 х 10001 = 67896789

847391 х 1000001 = 847391847391

5. Умножение чисел на 37.³

Прежде чем научиться устно умножать на 37, надо хорошо знать признак делимости и таблицу умножения на 3. Чтобы устно умножить число на 37, надо это число разделить на 3 и умножить на 111,

Примеры:

24 х 37 = (24:3) х 37 х 3 = 8 х 111 = 888; 18 х 37 = 18 : 3 х 111 = 6 х 111 = 666.

Глава II. Алгоритмы ускоренных вычислений

Алгебра позволяет найти удобные алгоритмы быстрого выполнения арифметических вычислений - например, для быстрого умножения чисел или возведения в квадрат.

Приведу примеры таких алгоритмов, сделав предварительно два замечания. При устных вычислениях удобно пользоваться «телефонным способом чтения чисел»: каждое число разбивается на группы по 1-2 цифры (иногда 3) в каждой, и каждая группа читается как отдельное число. Например: 5328 можно читать так : пятьдесят три - двадцать восемь; 14253 можно читать так: один - сорок два - пятьдесят три. Для облегчения формулировки многих алгоритмов ускоренных вычислений будем говорить: «К числу а приписать двумя цифрами (аналогично,тремя и т.д.) число б».Это означает: умножить число а на 100,1000 и т.д. и к тому, что получится, прибавить число б.

Например: приписать к числу 38 двумя цифрами число 9 означает: написать число 3809 или приписать к числу 98 2-мя цифрами число 7 означает: написать число 9807.

2.1. Алгоритм перемножения двузначных чисел, близких к 100.

Например: 98 х 97 = 9506

2 3

Здесь я пользуюсь таким алгоритмом: если хочешь перемножить два двузначных числа, близких к 100, то поступай так:

1) найди недостатки сомножителей до сотни;

2) вычти из одного сомножителя недостаток второго до сотни;

3) к результату припиши двумя цифрами произведение недостатков сомножителей до сотни.

Вот ещё примеры:

92 х 85 = 77(120) = 7(7+1)20 = 7820; 88 х 89 = 77(132) = 7(7+1)32 = 7832

8 15 12 11

2.2. Алгоритм возведения в квадрат двузначных и трёхзначных чисел, оканчивающихся на 5⁴.

Чтобы возвести в квадрат число, оканчивающееся цифрой 5 (например 65), умножают число его десятков (6), на число десятков увеличенное на 1 (на 6+1 = 7), и к полученному числу приписывают 25 (6 х 7=42. Ответ: 4225).

Например:

2.3. Возведение в квадрат чисел состоящих только из 1.

11 х 11 =121

111 х 111 = 12321

1111 х 1111 = 1234321

11111 х 11111 =123454321

111111 х 111111 = 12345654321

1111111 х 1111111 = 1234567654321

11111111 х 11111111 = 123456787654321

111111111 х 111111111 = 12345678987654321

1111111111*1111111111=12345678910987654321

2.4. Алгоритм возведения в квадрат чисел, близких к 50.

Если хочешь возвести в квадрат число, близкое к 50, но больше 50, то поступай так:

1) вычти из этого числа 25;

2) припиши к результату двумя цифрами квадрат избытка этого числа над 50.

Примеры:

58² = 3364 Пояснение: 58 - 25 = 33, 8² = 64, 58² = 3364.

57² = 3249 Пояснение: 57-25=32, 57-50=7, 7² =49, 57² = 3249

67² = 4289 Пояснение: 67-25=42 67-50=17 17²=289 67²=4(2+2)89 = 4489

64² = 4096

Пояснение:64 - 25 = 39, 64 - 50 = 14, 14² = 196, 64² = 3(9+1)96 = 4096.

62²-25=37 Пояснение: 62-50=12, 12² =144, 62²=3(7+1)44=3844.

Глава III. «Интересные» числа с применением свойств умножения.

3.1 Число Шехерезады⁵

« Сказки 1001-й ночи…» Чем замечательно это число? Оно является произведением простых чисел 7, 11, 13. При умножении числа 1001 на любое трёхзначное число, записанное дважды данным трёхзначным числом. Например, 1001 х 347 = 347 347. На этом свойстве числа 1001 основаны некоторые «фокусы». Этот принцип умножения используется для угадывания чисел. Мы знаем, что приписывание такого числа равносильно умножению трёхзначного числа на 1001. Например, предлагаю записать любое трёхзначное число к нему приписать такое же число. Затем разделим полученное шестизначное число на 11, затем на 13 и наконец на 7.

( Мы знаем, что 11 х 13 х 7 = 1001, т.е. мы просили учеников разделить число на 1001.) О последнем частном вы сможете сказать: «Это число вы задумали».

3.2. Интересные цифры

Возьмите числа, кратные трём, от 3 до 297, умножьте их на 37 . Посмотрите, как занятно! Произведения трёхзначные. В каждом из них три раза повторяется то число, которое получится, если множимое разделить на 3:

Или ещё так:

3 х 37 = 111 33 х 3367 = 111111

6 х 37 = 222 66 х 3367 = 222222

9 х 37 = 333 99 х 3367 = 333333

12 х 37 = 444 132 х 3367 = 444444

15 х 37 = 555 165 х 3367 = 555555

18 х 37 = 666 198 х 3367 = 666666

21 х 37 = 777 231 х 3367 = 777777

24 х 37 = 888 264 х 3367 = 888888

27 х 37 = 999 297 х 3367 = 999999

Глава IV. Исследование скорости и качества устных вычислений при умножении натуральных чисел учащихся 7 класса МОУ «Икейская СОШ»

Для исследования скорости устных вычислений при умножении натуральных чисел по согласованию с учителем математики, я составила 4 варианта математического диктанта (см. Приложение № 2). Для диктантов я подобрала по 10 заданий на самые распространенные и общедоступные приемы устного умножения натуральных чисел.

На уроках, с разрешения учителя, я провела диктанты в 7 классе. В исследовании приняли 11 учащихся 7 класса нашей школы. Сначала был проведён диктант № 1. Главное условие - все вычисления ребята должны проводить в уме, а записывать только результат. Также я записывала время выполнения задания каждого ученика. Затем я познакомила ребят с теми приёмами, которые можно было применить, и через день я провела диктант № 2. После его проведения мы разобрали допущенные ошибки и рассмотрели еще несколько приемов. Следующие два диктанта проводились раз в неделю. Результаты проведённых диктантов я занесла в таблицу (см. Приложение 3).

Среднее количество правильных ответов представлено на диаграмме.

ВЫВОД: Из диаграммы видно, что с каждым разом количество правильных ответов увеличивается.

ВЫВОД: Из диаграммы №2 видно, что время выполнения работ уменьшается.

Анализируя полученные результаты, можно сказать, что скорость и качество вычислений повышались. Значит, первоначальная гипотеза о том, что знание и использование приемов быстрого счета позволит существенно увеличить скорость и качество счета, подтверждается.

Заключение

В своей работе я рассказала лишь о нескольких упрощённых нестандартных приёмах устных вычислений быстрого счёта при умножении натуральных чисел из существующих 30 способов, способствующих развитию памяти и повышению математической культуры мышления.

На основании своих исследований я сделала вывод о том, что знание упрощённых приёмов устных вычислений остаётся необходимым даже при полной механизации всех наиболее трудоёмких вычислительных процессов. Используя упрощённые примеры устных вычислений, мы повысили скорость и качество вычислений при выполнении наиболее трудоёмких случаев умножения натуральных чисел без применения калькулятора. Кроме того, освоение вычислительных навыков развивает память и помогает нам полноценно осваивать не только математику, но и физику, химию, информатику. Работа, проведенная мною, доказывает, что знание этих приёмов и их применение особенно важно в тех случаях, когда вычисляющий не имеет в своём распоряжении таблиц или калькулятора.

Поэтому всем школьникам обязательно нужно взять на вооружение основные приемы устного счета и постоянно тренироваться в этом, что я и собираюсь делать в дальнейшем. Я уверена, что это позволит мне сэкономить время на выполнение сложных заданий на контрольных работах, мониторингах и экзаменах.

Литература

1. Филиппов Г. А. Устный счет - гимнастика ума // Математика. - 2001. - №3. - С. 25-27.

2. Минаева С. И. Формирование вычислительных умений в основной школе // Математика в школе.- 2006.- №2.- С. 3-6.

3. Федотова Л., Повышение вычислительной культуры учащихся // Математика в школе. - 2004. - №35. - С. 3-7.

4. Федотова Л. Повышение вычислительной культуры учащихся // Математика в школе. - 2004. - №43. - С. 2-5.

5. Мельникова Н. Развитие вычислительной культуры учащихся // Математика в школе.- 2001.- №18 - С. 9-14.

6. Белошистая А. В. Прием формирования устных вычислительных умений //Начальная школа.- 2001 - №7.- С. 44-49.

7. Бабинская И.Л. Задачи математических олимпиад //Издательство: Наука - 1975

8. Козлова Е.Г. Сказки и подсказки (задачи для математического кружка). Математика для школьников // МЦНМО (Московский центр непрерывного математического образования). Издание 2-е, исправленное и дополненное - 2009г.

9. Бикташева Л.В. Алгоритмы ускоренных вычислений. //Библиотечка «Первое сентября» - 2013 г.

ИНТЕРНЕТ-ИСТОЧНИКИ

ru.wikipedia.org/wiki/Навыки устного счета

Приложение 1.

Памятка для развития умения быстро производить устные вычисления

1. Необходимо в совершенстве усвоить таблицы сложения, вычитания, умножения и деления.

2. Уметь легко и быстро находить дополнения чисел до любого большего круглого числа (т. е. кратные 10).

3. Уметь быстро делить и умножать на 2.

4. Уметь раскладывать любые числа по разрядам, т.е. представить их в виде суммы.

5. Хорошо знать основные законы четырех арифметических действий, зависимость между компонентами и результатами действий.

6. Уметь представлять число в виде разности двух чисел.

7. Использовать при вычислениях возможность замены одних действий другими действиями.

8. Знать значение квадратов чисел до 20.

Приложение 2.

Математический диктант № 1.

Математический диктант № 2.

Математический диктант № 3.

Математический диктант № 4.

Приложение № 3.

Результаты математических диктантов.

1Филиппов Г. А. Устный счет - гимнастика ума // Математика. - 2001. - №3. - С. 25-27. ;

Минаева С. И. Формирование вычислительных умений в основной школе // Математика в школе.- 2006.- №2.- С. 3-6.

2Федотова Л., Повышение вычислительной культуры учащихся // Математика в школе. - 2004. - №35. - С. 3-7. ;

Федотова Л. Повышение вычислительной культуры учащихся // Математика в школе. - 2004. - №43. - С. 2-5.

3Мельникова Н. Развитие вычислительной культуры учащихся // Математика в школе.- 2001.- №18 - С. 9-14.

Белошистая А. В. Прием формирования устных вычислительных умений //Начальная школа.- 2001 - №7.- С. 44-49.

4Бабинская И.Л. Задачи математических олимпиад //Издательство: Наука - 1975 г.

Козлова Е.Г. Сказки и подсказки (задачи для математического кружка). Математика для школьников // МЦНМО (Московский центр непрерывного математического образования). Издание 2-е, исправленное и дополненное - 2009г.

5Бикташева Л.В. Алгоритмы ускоренных вычислений. //Библиотечка «Первое сентября» - 2013 г.

ru.wikipedia.org/wiki/Навыки устного счета