Обобщающий урок алгебры в 11-м классе по теме "Иррациональные уравнения"

Ковалева Т.М., учитель математики

Цель: Обобщить знания по теме: "Иррациональные уравнения"

Задачи:

Обучающие.

1. Обобщить и закрепить методы решения иррациональных уравнений.

2. Познакомить с новым нестандартным методом решения иррациональных уравнений - мажоранта.

Развивающие.

1. Развитие операций мышления (обобщение, анализа, выделение существенного). Развитие внимания.

2. Развития навыков сотрудничества.

Воспитательные.

1. Воспитание сознательного отношения к изучению алгебры.

2. Воспитание патриотизма.

3.Воспитание стремления к самосовершенствованию, продолжить воспитание у учащихся устойчивого интереса к математике, воспитание математической культуры. Ход урока .

1. Организационный момент.

На уроке используется презентация (Приложение 1), показанная с помощью проектора.

1 слайд.

Иррациональные уравнения.

"Мне приходится делить время между политикой и уравнениями.

Однако, уравнения, по-моему, гораздо важнее.

Политика существует для данного момента, а уравнения будут существовать вечно".

Эйнштейн

Здравствуйте, ребята. Здравствуйте, уважаемые учителя. Приглашаю Вас на урок алгебры в 11 классе "Иррациональные уравнения".

Эйнштейн говорил так: "Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако, уравнения, по-моему, гораздо важнее. Политика существует для данного момента, а уравнения будут существовать вечно".

Как Вы знаете, прославился он именно уравнением, названным "уравнение Эйнштейна". Вот и мы займемся уравнениями:

Обобщим знания по теме: "Иррациональные уравнения".

Необходимость изучения решения иррациональных уравнений очевидна, иррациональным уравнением выражаются формулы, описывающие многие физические процессы:

• Равноускоренное движение

• 1 и 2 космические скорости

• среднее значение скорости теплового движения молекул

• период радиоактивного полураспада и другие.

А так же иррациональные уравнения использует статистика.

Но для достижения духовного совершенства необходимо еще воспитать в себе определенные качества.

Как Вы думаете какие?

Ответственность, самостоятельность, терпение, настойчивость, упорство, трудолюбие и другие. Повторим методы решения уравнений, алгоритмы решения этими методами, познакомимся с новым методом мажорант.

Запишите в тетради число, тему урока.

На ваших партах лежат рабочие карты, подпишите их.

Рабочая карта ученика 11 класса ________________________

1.Метод

.Возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень.

2.Метод

Уравнение вида =

3. Метод

Введение новой переменной.

4.Метод

Уравнение вида =0

5.Метод

Вынесение за скобки общего множителя.

6.Метод Мажорант

7. Метод

Метод выделения полного квадрата в подкоренном выражении.

ИТОГ

В них вы будете отмечать успешность выполнения заданий символами:

«!» - владею свободно

«+» - могу решать, иногда ошибаюсь

«-» - надо еще поработать

1. Устно: Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

а) =-2

1)(-6;-3) 2) (-3;2) 3) (0;3) ;4) (3;6)

б) =-5

1) (-∞;-1) ; 2) 3)(4;21) ; 4)

в) =3

1) (4;11) ; 2) ; 3)(15;∞) ; 4) (-3;5)

II. 2.2. Основные методы решения иррациональных уравнений.

1.Возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень.

(Три ученика решают у доски.)

=х-2 =4х+1 +=3

Ответ:9 Ответ:0,5 Ответ:-1

2.Уравнение вида =

=-=0

Ответ:4 Ответ:1.

3.Введение новой переменной.

1)Найти произведение корней уравнения

10-3-3=0 Ответ:1

2)Решить уравнение:

+6-7=0

Ответ:3.

4.Уравнение вида =0

1).Решить уравнение устно: (3х+12)=0

2).Сколько корней имеет уравнение?

(-1)=0

Ответ:5.

5.Вынесение за скобки общего множителя.

1). Найти наименьший корень уравнения: 9-х=0 Ответ:1.

2).Найти произведение корней: 6-х=0 Ответ:-25

6.Подбором.

Решить уравнение:=4+cos Ответ:-0 .4 (ЕГЭ 2008 год)

7.Метод выделения полного квадрата в подкоренном выражении.

Повторить: ( а + б)

Решить уравнение:(ЕГЭ 2006 год)

1). ( ученик у доски)

2)Решить уравнение(самостоятельно) Iв Ответ:39 IIв. Ответ:42

3)Решить уравнение:

(ученик решает у доски)

Решить самостоятельно: (пример по выбору)

8.Нестандартные методы.

Решить уравнение:

Знакомство с методом мажорант.

Звучит музыка. Вы, конечно, узнали, что прозвучал музыкальный фрагмент к песне "День Победы" Давида Тухманова на слова Николая Харитонова. Эта песня посвящена Дню Победы в ВОВ нашего народа. В этом году все наши дела мы посвящаем 60-летию Победы. Прозвучавшая музыка носит торжественный, жизнеутверждающий, "мажорный" характер.

В математике есть метод решения иррациональных уравнений, который называется метод мажорант. (словарь)

7 слайд:

Мажоранта и миноранта - (от франц.), две функции, значение первой из которых не меньше, а второй не больше соответствующих значений данной функции.

Мажорирование - нахождение точек ограничения функции (словарь).

Метод мажорант - метод оценки левой и правой части уравнения.

Метод мажорант используется для решения уравнений повышенной сложности, которые соответствуют части С в ЕГЭ.

Ведем запись в тетради. Пример решения иррационального уравнения методом мажорант заполняя пропуски .

8 слайд:

М - мажоранта.

Если f(х) = g(х)

и f(х) < М и g(х) > М,

то М = f(х) и М = g(х).

Пример: (объяснение у доски)

Решить уравнение: х² - 6х + 11.

Решение:

О Д З: х - 2 > 0 и 4 - х > 0, т.е. х > 2 и х > 4. Значит 2 < х < 4.

Рассмотрим правую часть уравнения. Введём функцию у = х² - 6х = 11.

Графиком функции является парабола с вершиной А(3;2).Наименьшее значение функции у(3) = 2, т.е. у = х² - 6х + 11.

Рассмотрим левую часть уравнения. Введём функцию у = . С помощью производной найдём max функции, которая дифференцируема на (2;4).

у' = .

у' = 0, если 0,

4 - х = х - 2,

2х = 6,

х = 3.

g (3) = 2

Имеем g = < 2. В результате у (3) > 2, g (3) < 2, отсюда у (3) = 2 и g (3) = 2. Из этих условий составим систему уравнений:

х² - 6х + 11 = 2 и 2. решение этой системы х = 3. Это подтверждает проверка.

И так, по какому алгоритму решаются уравнения методом мажорант?

9 Слайд :

Метод мажорант

- Оценим левую часть

- Оценим правую часть

- Составим систему уравнений

- Сделаем вывод

- Проверка

Но для достижения духовного совершенства необходимо еще воспитать в себе определенные качества.

Как Вы думаете какие?

Ответственность, самостоятельность, терпение, настойчивость, упорство, трудолюбие и другие. 6) Подведение итогов: (заполняем карточки рефлексии).

Подведите итоги своей работы на уроке в своей рабочей карте.

Я желаю Вам достичь заветной цели, а главное стремиться к постоянному самосовершенствованию.