Решение задач из учебника Магницкого «Арифметика» методом 2-х ложных положений

Доклад подготовил

ученик 9 класса «А»

МБОУ СОШ №15 г. Кузнецка

Парамонов Данила.

Руководитель - учитель математики Прошина Н. В.

2014 год

Оглавление

Оглавление……………………………………………...2

Введение…………………………………………………3

Основная часть:………………………………………..4

1. История метода 2-х ложных положений…….4

2. Решение задач методом 2-х ложных положений из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого……………7

3. Современный способ решения задач…………9

4. Сравнительный анализ современного и старинного методов…………………………………………..10

Заключение…………………………………………….11

Список литературы……………………………………12

Приложения…………………………………………….13

Введение.

Магницкий Леонтий Филиппович (а при рождении Теляшин; 9 (19) июня 1669 - 19 (30) октября 1739) - русский математик, педагог, преподаватель математики в Школе математических и навигацких наук в Москве, а также автор первого в России учебного справочника по математике.

С самого детства Леонтий Филиппович удивлял всех своим умом и своей грамотностью. В 1685-1694 гг. учится в Славяно-греко-латинской академии, где математика не преподавалась. Видимо, он самостоятельно приобрёл столь глубокие математические познания.

На протяжение всей его жизни кто бы ему не встречался, все удивлялись его умственному развитию. Так при встрече с Петром I он произвёл на царя настолько сильное впечатление своими широкими познаниями, что правитель даже дал ему новую фамилию Магницкий «в сравнении того, как магнит привлекает к себе железо, так он природными и самообразованными способностями своими обратил внимание на себя».

Уже в возрасте 32-х лет по распоряжению Петра I Леонтий Филиппович был назначен преподавателем в школе «математических и навигацких, то есть мореходных хитростно наук учения», расположившейся в здании Сухаревской башни. Поначалу он был всего лишь помощником учителя математики, но уже вскоре и сам преподавал арифметику, вероятно, геометрию и тригонометрию. Также ему поручили написать учебник по математике и кораблевождению.

И Леонтий Филиппович Магницкий издает «Арифметику». Труд Леонтия Филипповича не был переводным, аналогов учебника в то время не существовало. Учебник содержит более 600 страниц и включает в себя как самые начала - таблицу сложения и умножения десятичных чисел, так и приложения математики к навигационным наукам.

В 1703 году вышло первое русское печатное руководство под длинным заглавием «Арифметика, сиречь наука числительная, с разных диалектов на словенский язык переведённая и во едино собрана и на две книги разделена…Сочинися сия книга чрез труды Леонтия Магницкого». В книге были сведения из механики, физики, гидравлики, метеорологии, навигации, корабельного дела и пр., то есть научный материал, который имел исключительное значение для всего русского народа, в том числе для поморов и М.В. Ломоносова.

В книге строго и последовательно проводилась одна форма изложения: каждое новое правило начиналось с простого примера, затем давалась его общая формулировка и, наконец, оно закреплялось большим количеством задач, преимущественно практического содержания. К каждому действию присоединялось правило проверки - «поведение». Магницкий впервые ввел термины: «множитель», «делитель», «произведение» и «извлечение из корня»; заменил устаревшие слова «тьма» и «легион» словами: «миллион», «биллион», «триллион», «квадриллион».

Великий русский ученый М. В. Ломоносов называл «Арифметику» Магницкого «вратами своей учености».

Основная часть.

Мне показался очень интересным способ, называемый методом 2-х ложных положений, который также был изложен Л.Ф. Магницким в своём труде.

История метода ложных положений. Существуют две разновидности правила ложных положений: правило одного ложного положения и правило двух ложных положений.

Правило одного ложного положения - это простейший метод решения линейных уравнений. Он был известен с древних времен. Способ состоял в замене неизвестного числа произвольно взятым числом и в следующем за тем определении истинной величины неизвестного на основании пропорциональности, существующей между ним, его произвольным значением и соответствующими результатами указываемых условиями задачи вычислений. Употребление этого правила встречается уже в Папирусе Ринда (древнеегипетском учебном руководстве по арифметике и геометрии периода Среднего царства, переписанном примерно в 1650 году до н. э. писцом по имени Ахмес).

Правило двух ложных положений было изобретено индусами, однако, скорее всего, было позаимствовано у китайских ученых. От индусов оно перешло к арабам, которые доставили ему очень распространенное применение как в собственной математической литературе под именем «правила чашек весов», так и в литературе Европы. Вот так звучало правило: «Рисуй весы и пиши над точкой опоры результат, который получается после указанных в задаче действий над неизвестным числом. Оба ложных положения пиши над чашками весов, погрешности «больше» пиши под весами, «меньше» - над весами. Ложные положения и погрешности умножить накрест. Бери разности произведений, если погрешности находятся по одну сторону от весов, бери их суммы, если погрешности стоят по разные стороны». Из западноевропейских арифметических положений оно перешло в русские арифметические рукописи XVIII в., в «Арифметику» Леонтия Филипповича Магницкого и в учебники XVIII и даже начала XIX вв.. Как и арабы, русские ввели в обращение только правило двух ложных положений, о величестве и могуществе которого имели очень большое представление.

Долгое время этот метод заменял применение уравнений первой степени при решении задач, приводимых к этим уравнениям. Л.Ф. Магницкий называет раздел своей "Арифметики", трактующей этот вопрос "О правилах фальшивых или гадательных".

Пример расположения вычислений при применении «фальшивого правила» у Л. Ф. Магницкого: «Спросил некто учителя: «Сколько у тебя в классе учеников, так как хочу отдать тебе в ученики моего сына». Учитель ответил: «Если придёт учеников столько же, сколько имею, и полстолька, и четвёртая часть, и твой сын, тогда учеников у меня будет сто». Удивившись ответу, спрашиватель отошёл и стал изыскивать посредством сей науки так:

«Через второе фальшивое правило» 792 : 22 = 36 - толико бяше в том училище учеников».

В первом столбце подсчитывается, что при первом предположении (учеников было 24), мы получим всего 67, менее чем 100 на 33. Во втором столбце таким же образом находится, что при втором предположении (учеников было 32), получается 89, меньше 100 на 11.

Л. Ф. Магницкий пишет: «Через второе фальшивое правило», т. е. имеем тот случай, когда оба положения дали «меньше». В середине он выписывает оба положения и оба отклонения. Тут же крестом указывает, какое число на какое надо умножить, и выполняется умножение: 32 × 33 = 1056 и 24 × 11 = 264. Затем находится разница первого и второго произведений 1056 - 264 = 292, и указывается, что по «второму фальшивому правилу» надо найти разность отклонений 33 - 11 = 22. После способом вычерчивания выполняется деление 792 : 22 = 36 - «толико бяше в том училище учеников».

По методу «весов» решение располагалось бы так. Даём 3 решения при следующих положениях:

Решение задач методом 2-х ложных положений. Л.Ф. Магницкий записывает в своей «Арифметике» это правило так: "Возьми неизвестное число, какое ты хочешь, назови его "первое положение" и поступай согласно условию задачи. Если оно подходит к условию, то это и есть неизвестное, но если оно отклоняется в ту или другую сторону, назови разницу первым отклонением. Тогда возьми другое число и назови вторым положением; если оно не удовлетворяет условию, то даст второе отклонение. После этого умножай первое положение на второе отклонение и назови произведение первым результатом; затем второе положение умножай на первое отклонение и это есть второй результат. Если оба отклонения в одно и тоже время больше или оба меньше, дели разность двух результатов на разность двух отклонении; если дело обстоит иначе, дели сумму двух результатов на сумму отклонений; частное и есть искомое число».

В настоящее время это правило практически не используется и представляет интерес только для историков математики.

Правило двух ложных положений стало важной вехой в развитии арифметики как науки. В принципе, оно могло бы использоваться и сейчас, но слишком громоздко и неудобно. Оно распространялось и использовалось в мире на протяжении тридцати веков.

Итак, перейдём к решению задач из «Арифметики» Магницкого методом 2-х ложных положений. В своей работе я рассмотрел 2 возможных случая решения задачи этим методом.

Задача. Найти такое число, что если к нему добавить третью часть и от полученной суммы отнять её шестую часть, то будет 100.

I способ (метод 2-х ложных положений).

1 случай (результат 2-х вычислений больше данного числа) .

а) Предположим, что неизвестное число есть 126, и проделаем с ним описанные в задаче операции:

1/3 × 126 = 42, 126 + 42 = 168

1/6 × 168 = 28, 168 - 28 = 140

140 ≠ 100,

неверно, полученный результат больше 100.

б) Предположим, что неизвестное число есть 108, и проделаем с ним описанные в задаче операции:

1/3 × 108 = 36, 108 + 36 = 144

1/6× 144 = 24, 144 - 24 = 120

120 ≠ 100,

неверно, полученный результат больше 100.

в) По результатам двух неудачных попыток можно найти искомое число.

Вычисляем, на сколько мы ошиблись:

1 случай: 2 случай:

140 - 100 = 40 120 - 100 = 20

Нарисуем схему:

126 40

108 20

Проведём следующие вычисления:

1. 108 × 40 = 4320

2. 126 × 20 = 2520

Разделим разность произведений на разность ошибок:

3. 4320 - 2520 = 1800

4. 40 - 20 = 20

5. 1800 : 20 = 90 - искомое число.

2 случай (результат одного вычисления больше данного числа, а результат другого - меньше).

а) Предположим, что это число есть 81, и проделаем с ним описанные в задаче операции:

1/3 × 81 = 27 81 + 27 = 108

1/6 × 108 = 18 108 - 18 = 90

80 ≠ 100,

неверно, полученный результат меньше 100.

б) Предположим, что это число есть 99, и проделаем с ним описанные в задаче операции:

1/3 × 99 = 33 99 + 33 = 132

1/6 ×132 = 22 132 - 22 = 110

110 ≠ 100,

Неверно, полученный результат больше 100.

в) Вычисляем, на сколько мы ошиблись:

100 - 90 = 10 110 - 100 = 10

Нарисуем схему:

81 10

99 10

Произведём следующие вычисления:

1. 99 × 10 = 990

2. 81 × 10 = 810

Разделим сумму произведений на сумму ошибок:

3. 990 + 810 = 1800

4. 10 + 10 = 20

5. 1800 : 20 = 90 - искомое число.

II способ (современный).

Пусть x - искомое число. Тогда его треть равна ^х/₃. Сумма числа с его третей частью равна ^4х/₃. После вычитания из полученной суммы шестой части получим ^4х/₃ - ¹/₆ × ^4х/₃ = ^10х/₉, что по условию задачи равно 100. Получаем уравнение:

10х : 9 = 100

10х = 900

х = 90 - искомое число.

Ответ: 90 - искомое число.

Сравнительная характеристика старинного и современного способов. Для того чтобы решить эту задачу современным способом, надо знать как найти дробь от числа, правила сложения и вычитания дробей, умение решать линейное уравнение. Современный способ решения имеет преимущество над старинным в том, что в нём нет громоздких, трудно запоминающихся правил решения. Но в старинных задачах есть интересное условие, необычный язык, форма изложения, различные единицы измерения. Всё это вызывает интерес к их решению, стимулирует желание их решить, воспитывает волевые качества личности, трудолюбие и терпение.

Заключение.

Таким образом, мы можем сделать вывод, что великое пособие по математике Л. Ф. Магницкого «Арифметика» действительно уникально и увлекательно, а задачи, изложенные в нём, имеют практическую и прикладную направленность, решаются алгебраическим и арифметическим способами. Метод двух ложных положений достаточно громоздкий, требует знания четкого алгоритма действий, но на мой взгляд он интересен и я с удовольствием его изучил.

Необходимо ещё раз отметить, что подобного рода задачи встречаются нам на протяжении всей жизни, на каждом шагу.

И хотелось бы закончить словами Л. Ф. Магницкого, что находятся на обороте титульного листа «Арифметики»:

«Арифметике любезно учися,
В ней разных правил и штук придержися,
Ибо в гражданстве к делам есть потребно...
И пути в небе решит, и на мори,
Еще на войне полезно, и в поли...»

Смысл всего стихотворения таков: математика дает человеку возможность рассчитывать и соображать свои поступки в разных обстоятельствах.

Список литературы.

• ru.wikipedia.org/wiki/Магницкий,_Леонтий_Филиппович

• gigabaza.ru/doc/29472.html

• school-assistant.ru/?predmet=matematika&theme=pramaja_i_obratnaja_proporzionalnaa_zavisimost

• refinst.ru/novosti/arifmetika-lf-magnitckogo/

• azbukivedi-istoria.ru/publ/prochee/l_f_magnickij_pervyj_uchitel_matematiki_i_morskikh_nauk_v_rossii/5-1-0-114

• Шикман А. П. Деятели отечественной истории. Биографический справочник. Москва, 1997 г.

• Магницкий Л. Ф. Электронные Толковые словари

• Магницкий Леонтий Филиппович // Энциклопедический словарь

Приложение.

Сборник задач на метод двух ложных положений.

1. Спросил некто учителя: «Скажи, сколько у тебя в классе учеников, так как хочу отдать к тебе в учение своего сына». Учитель ответил: «Если придет ещё столько же, сколько имею, и полстолька и четверть столько и твой сын, тогда будет у меня 100 учеников». Сколько учеников было у учителя? (36 учеников)

2. Купил некто сукно трех сортов, а всего 106 аршин. Первого купил на 12 аршин больше, чем второго, а второго на 9 аршин больше, чем третьего. Сколько сукна каждого сорта было куплено? (1 сорт - 46¹/₃ аршина, 2 - 34¹/₃, 3 - 25¹/₃).

3. Два человека хотят купить корову. Говорит первый второму: «Если ты дашь мне 2/3 твоих денег, то я один смогу заплатить цену». А второй отвечает первому: «Дай мне 3/4 твоих денег, тогда и я заплачу за нее цену». Сколько у каждого из них денег, если корова стоит 24 рубля? (у 1-го было 16 рублей, а у 2-го - 12 рублей).

4. Три человека беседуют. Первый, обращаясь к двум другим, говорит: «Если бы я взял из ваших денег по половине, то у меня было бы 17 рублей». Второй же, обращаясь к первому и третьему, сказал, что если бы они дали ему по одной трети своих денег, то у него также стало бы 17 рублей. На что третий ответил, что если бы они дали ему одну четвертую своих денег, то у него стало бы 17 рублей. Сколько денег имеет каждый? (у 1-го было 5 рублей, у 2-го - 11 рублей, у 3-го - 13 рублей).