Конспект урока по математике на тему «Показательные уравнения» (11 класс)

Урок математики в 11 классе

Тема: « Показательные уравнения»

Урок 2, 3.

Цели:

образовательная - расширить и обобщить знания и умения по применению методов решения показательных уравнений;

развивающая - развивать умения наблюдать, сравнивать, обобщать, анализировать математические ситуации;

воспитательная - воспитывать познавательную активность, самостоятельность, взаимопомощь, умение работать в сотрудничестве в парах, культуру общения, упорство в достижении цели, заинтересованность в решении нестандартных показательных уравнений для подготовки к ЕГЭ.

Тип урока: урок комплексного применения знаний и навыков.

Оборудование: компьютер, интерактивная доска, проектор.

Учебно-методическое пособие под редакцией А.Г. Мордковича.

План урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

Историческая справка.

III. Работа в парах.

IV. Ученик выполняет тест на интерактивной доске.

V. Физкультминутка 1.

VI. Работа в тетради по вариантам.

VII. Проверка теста. Ученик объясняет решение.

VIII. Разноуровневая самостоятельная работа на 4 варианта.

IX. Физкультминутка 2.

X. Изучение нового материала.

XI. Подведение итогов урока, комментарии по домашнему заданию.

Ход урока

Слайд 1.

I. Организационный момент (проверяется готовность к уроку, объявляется цель урока, этапы урока).

Слайд 2.

Эпиграф к уроку: Метод решения хорош, если с самого начала

мы можем предвидеть - и впоследствии

подтвердить это, - что, следуя этому методу,

мы достигнем цели.

Лейбниц

II. Устная работа (по презентации к уроку).

1. Какая функция называется показательной?

2. Слайд 3.

Какие из функций являются показательными?

3. При каком условии показательная функция возрастает?

4. При каком условии показательная функция убывает?

5. Слайд 3.

Какие из данных функций являются возрастающими?

6. Слайд 4.

Найдите область определения и область значений функции.

7. Слайд 5.

Соотнесите график функции с формулой.

8. Слайд 6.

Историческая справка.

• По закону показательной функции размножалось бы все живое на Земле, если бы для этого имелись благоприятные условия, т.е. не было естественных врагов и было вдоволь пищи. Доказательство тому - распространение в Австралии кроликов, которых там не было раньше. Достаточно было выпустить пару особей, как через некоторое время их потомство стало национальным бедствием.

• В природе, технике и экономике встречаются многочисленные процессы, в ходе которых значение величины меняется в одно и то же число раз, т.е. по закону показательной функции. Например, рост бактерий в идеальных условиях; радиоактивный распад веществ, рост вклада в Сберегательном банке, восстановление гемоглобина в крови у донора или раненого, потерявшего много крови.

Слайд 7.

• Вот некоторые из Нобелевских лауреатов, получивших премию за исследования в области физики с использованием показательной функции:

Пьер Кюри - 1903 г.

Ричардсон Оуэн - 1928 г.

Игорь Тамм - 1958 г.

Альварес Луис - 1968 г.

Альфвен Ханнес - 1970 г.

Вильсон Роберт Вудро - 1978 г.

• Учащиеся смотрят видеозапись об использовании показательных уравнений в физике и химии.

9. Какое уравнение называется показательным?

10. Какие основные методы решения показательных уравнений Вы знаете?

Слайд 8.

III. Работа в парах.

1. На каждой парте лист с уравнениями. (Приложение 1)

Учащиеся перетаскивают уравнения к названию метода.

1)
2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

1.Метод уравнивания показателей

2.Функционально - графический

3.Метод введения новой переменной

4.Метод разложения на множители

5.Деление на выражение, содержащее показательную функцию

Проверка с помощью интерактивной доски (некоторые уравнения можно решить двумя способами).

2. Учащиеся называют уравнения, которые можно решить методом уравнивания показателей.

Устно решают уравнения 1, 6, 18.

3. Учащиеся называют уравнения, которые можно решить функционально - графическим методом.

Устно решают уравнения 4, 7, 11.

4. Учащиеся называют уравнения, которые можно решить методом введения новой переменной, методом разложения на множители, делением на выражение, содержащее показательную функцию.

Устно решают уравнения 2, 3.

IV. Ученик выполняет тест на интерактивной доске.

В1. Решите уравнение .

В2. Решите уравнение .

В3. Найти , если .

В4. Найти наименьшее значение функции .

С1. Решите уравнение .

V. Физкультминутка 1. (Приложение 3)

VI. Работа в тетради по вариантам.

(Учащиеся в тетради работают самостоятельно, по одному ученику с варианта по уравнению решают на доске)

I вариант: решают уравнения 21, 10, 15.

II вариант: решают уравнения 8, 14, 5.

Учитель осуществляет помощь тем учащимся, у которых данные уравнения вызывают затруднение.

VII. Проверка теста. Ученик объясняет решение.

VIII. Разноуровневая самостоятельная работа на 4 варианта. (Приложение 2)

Учитель сообщает учащимся о времени, отведенном на самостоятельную работу (20 мин) и раздает карточки.

«3» - любые 4 уравнения;

«4» - 4, 5, 6, 7;

«5» - 5, 6, 7, 8.

Вариант 1.

Решите уравнения:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8*)

Вариант 2.

Решите уравнения:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8*)

Вариант 3.

Решите уравнения:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8*)

Вариант 4.

Решите уравнения:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8*)

IX. Физкультминутка 2. (Приложение 4)

X. Изучение нового материала.

Создаётся проблемная ситуация: как решить оставшиеся уравнения с листа? Учащиеся знакомятся на уроке с функциональным методом решения уравнений. (С данным методом учащиеся знакомились в 10 классе при решении тригонометрических уравнений)

Одним из методов решения уравнений является функциональный, основанный на использова­нии свойств функций. В отличие от графического метода, знание свойств функций позволяет находить точные корни уравнения, при этом не требуется построения графиков функ­ций. Использование свойств функций способствует рационализа­ции решений уравнений.

Учитель записывает решение уравнений 17, 22, 16 на доске, привлекая к объяснению учащихся.

17) . (Используется свойство монотонности функции)

Решение.

ОДЗ уравнения: х є R.

Функция у(х) = - убывает на R.

Функция g(х) = - возрастает на R,

Значит, уравнение имеет не более одного корня.

Подбором x = 1.

Ответ: 1.

22) .(Используется свойство четности функции)

Решение.

В обеих частях уравнения имеем четные функции. Поэтому достаточно найти решение для х ≥ 0.

При х ≥ 0 имеем:

Функция у(х) = - возрастает ,

Функция g(х) = - убывает.

Значит, уравнение имеет не более одного корня.

Подбором x = 1.

Тогда x = - 1 также является корнем уравнения.

Ответ: ±1.

16) .(Используется понятие области значений функции)

Решение.

ОДЗ:

> 0,

≤ - 4,5 ( у (х) = - квадратичная функция, график - парабола, ветви направлены вверх, х ₀=, у ₀ = - 4,5 )

Следовательно, уравнение корней не имеет.

Ответ: Ø

XI. Подведение итогов урока, комментарии по домашнему заданию.

Учитель: итак, мы с вами повторили общие методы решения показательных уравнений. Это не значит, что других методов нет. В каждом случае при решении уравнения необходимо руководствоваться знаниями, интуицией и здравым смыслом.

Учитель отмечает работу на уроке отдельных учащихся, при необходимости выставляет отметки.

Домашнее задание: 40.13г, 40.14г, 40.15 г, 40.25б,

1 *

2 *

Основная часть задания рассчитана на среднего ученика.

* отмечены номера повышенного уровня сложности. Учащиеся их решают по желанию.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

Приложение 1.

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

1.Метод уравнивания показателей

2.Функционально - графический

3.Метод введения новой переменной

4.Метод разложения на множители

5.Деление на выражение, содержащее показательную функцию

Приложение 3.

Физкультминутка.

Учитель читает предложения.

Если ученики согласны с утверждением, то они 3 раза хлопают в ладоши.

Если ученики не согласны с утверждением, то они 3 раза топают ногами.

1. Графиком показательной функции является кривая, которую называют экспонентой. (Да)

2. Функция монотонно возрастает. (Нет)

3. Показательная функция является четной. (Нет)

4. Функцию называют показательно - степенной. (Да)

5. Я не умею решать показательные уравнения.

Приложение 4.

Физкультминутка.

1. Упражнение для кистей рук.

2. Гимнастика для глаз.

3. Оздоровительные упражнения для шеи.

Вариант 1.

Решите уравнения:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8*)

Вариант 2.

Решите уравнения:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8*)

Вариант 3.

Решите уравнения:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8*)

Вариант 4.

Решите уравнения:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8*)

Приложение 2.

Вариант 1.

Решите уравнения:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8*)

Вариант 2.

Решите уравнения:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8*)

Вариант 3.

Решите уравнения:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8*)

Вариант 4.

Решите уравнения:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8*)