Конспект урока по алгебре Применение производной к исследованию функций (10 класс)

ГБОУ Гимназия №1797 «Богородская», Москва

«Применение производной к исследованию функций»

Урок алгебры, 10 класс.

Выполнила:

Учитель математики

Назарова Г.А.

Применение производной к исследованию функций.

Тема: Примеры применения производной к исследованию функций.

Урок № 2.

Цели: развивать навыки исследования функций с помощью производной и построения графиков функций.

Ход урока:

1. Устная работа:

1. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

а) ƒ(х) = 1 - 2х;

Решение:

D (ƒ) = R.

ƒ'(x) = - 2 < 0 для любого х, поэтому ƒ(х) убывает на всей числовой прямой.

б) ƒ(х) = 14х - 5;

Решение:

D (ƒ) = R.

ƒ'(x) = 14 > 0 для любого х, поэтому ƒ(х) возрастает на всей числовой прямой.

в) ƒ(х) = - х² + 2х - 3;

Решение:

D (ƒ) = R.

ƒ'(x) = - 2х + 2 = - 2(х - 1).

ƒ'(x) > 0,если -2(х - 1) > 0, x < 1; ƒ'(x) < 0, если -2(х - 1) < 0,

x > 1.

Функция возрастает на ( - ∞; 1]; убывает на [1; + ∞). 2. Знак производной ƒ'(x) меняется по схеме, изображенной на

рисунке:

- + - - +

- 6 0 1 3 х

Определите на каких промежутках функция возрастает и на каких убывает.

3. На рисунке изображен график дифференцируемой функции

у = h(x).

Определите знак производной на промежутках:

а) [- 5; - 2); б) (- 2; 3); в) (3; 5].

Ответ: а) плюс; б) минус; в) плюс.

4. Какие из данных функций возрастают, а какие убывают на всей числовой прямой:

а) y = 2x + cosx; б) y = 3sin(x + π /4) + 4x - 7; в) у = - 6х + 9; г) у = 2х³?

Ответ: а) возрастающая; б) возрастающая; в) убывающая;

г) возрастающая.

5. Определите точки экстремума функции:

а) ƒ(х) = 4х + 1; б) ƒ(х) = х² - 3х + 1; в) ƒ(х) = 5х - х² .

Решение:

а) D (ƒ) = R.

ƒ'(x) = 4, т. к. 4 > 0, то ƒ(х) возрастает на всей её области определения, точек экстремума нет.

б) D (ƒ) = R.

ƒ'(x) = 2х - 3

если ƒ'(x) > 0, то 2x - 3 > 0

x > 1,5.

если ƒ'(x) < 0, то 2x - 3 < 0

x < 1,5.

ƒ(х) - возрастает х Є [1,5; + ∞); ƒ(х) - убывает на х Є ( - ∞;1,5]

х = 1, 5 - точка минимума.

6. Найдите критические точки функции, график которой изображен на рисунке: У

х₁ х₂ х₃ х₄ х₅ 0 х₆ х₇ х₈ Х

Ответ: х₂ ; х₄ ; х₅ ; х₆ ; х₇ .

Назовите точки максимума и минимума функции. Существует ли производная в соответствующей точке, если существует, то чему равно её значение?

7. Какие из функций являются четными, какие нечетными:

а) у = cosx - x²; б) у = sinx + 1; в) у = sinx + x; г) у = x² - 5.

Ответ: а) четная; б) ни четная, ни нечетная; в) нечетная; г) четная.

8. ( Все вместе). Повторить общую схему исследования функции:

1) область определения;

2) исследование на четность, нечетность, периодичность;

3) точки пересечения графика с осями координат;

4) промежутки знакопостоянства;

5) промежутки возрастания и убывания;

6) точки экстремума и значение ƒ в этих точках;

7) исследование поведения функции в окрестности «особых» точек и при больших по модулю х.

II. Выполнение упражнений:

1. Решить № 297(г)

Решение: ƒ(х) = 3х² - х³.

а) D (ƒ) = R;

б) функция не является ни четной, ни нечетной, не периодической;

в) найдем точки пересечения графика с осью ОХ (т. е. нули функции):

х²(3 - х) = 0; х₁ = 0; х₂ = 3.

Пересечение с осью ОУ: если х = 0, то ƒ(0) = 0;

г) находим производную:

ƒ'(x) = 3x(2 - x).

ƒ'(x) = 0, при х = 0, х = 2;

д) найденные критические точки разбивают числовую прямую на три промежутка: ( - ∞; 0), (0; 2), (2; + ∞).

ƒ(0) = 0, ƒ(2) = 4.

Составим таблицу:

х

( - ∞; 0)

0

(0; 2)

2

(2; + ∞)

ƒ'(x)

-

0

+

0

-

ƒ(x)

0

4

min

max

Строим график:

2. Исследовать функцию и построить её график:

х

^{У =} х² - 4

Учащиеся решают задание в тетрадях, обсуждая с учителем каждый шаг решения. Учитель демонстрирует решение задачи на экране с помощью мультипроектора.

3. Решить № 301 (в). ƒ(x) = х √2 - х .

Указание: D (ƒ) = ( - ∞; 2), возрастает на ( - ∞; 1⅓], убывает на

[1⅓; 2]; х = 1⅓ - точка максимума.

График:

У

3. Дополнительное задание на карточках, ученикам быстро справившимся с № 301(в):

По данным таблицы схематически построить график в тетради:

Вариант № 1

х

( - 7; 1)

1

(1; 6)

6

(6; 7)

ƒ'(x)

+

0

-

0

+

ƒ(x)

10

- 3

Вариант № 2

х

( - 3; 0)

0

(0; 4)

4

(4; 8)

8

(8; +∞)

ƒ'(x)

+

0

-

0

+

0

-

ƒ(x)

-3

-5

6

III. Итоги урока.

IV. Домашнее задание: п. 24; выполнить № 297 (б, в), № 301(б, г).

6