Погружение Методы решения тригонометрических уравнений

Погружение на уроках математики в 10 классе по теме

«Методы решения тригонометрических уравнений» 6 часов в 10 .(профильном) классе.

Цели урока:

1. Образовательные - обеспечить повторение и систематизацию материала темы. Научить при решении уравнений применять формулы понижения степени. Создать условия контроля усвоения знаний и умений.

2. Развивающие - способствовать формированию умений применять приемы: сравнения, обобщения, выявления главного, переноса знаний в новую ситуацию, развитию математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти.

3. Воспитательные - содействовать воспитанию интереса к математике и ее приложениям, активности, мобильности, умения общаться, общей культуры.

Методы обучения: частично - поисковый. Проверка уровня знаний,, работа по обобщающей схеме, решение познавательных обобщающих задач, системные обобщения, самопроверка, восприятие нового материала, взаимопроверка.

Формы организации урока: индивидуальная, фронтальная, работа в парах, групповая.

Оборудование и источники информации: экран; мультимедийный проектор; ноутбук. У учащихся на партах листы учета знаний; системно - обобщающая схема; по два подписанных листочка и два бланка для записи ответов.

Ход работы

1. Устная работа.

2. Повторение. Экспресс-тест.

3. Лекция.

4. Закрепление. Работа в парах.

5. Применение изученного материала при решении уравнений. Решение тригонометрических уравнений из заданий ЕГЭ. Групповая форма работы.

6. Обобщение пройденного материала.

7. Домашнее задание.

8. Рефлексия.

1. Устная работа

Слайды 2, 3.

2. Повторение.

1. Область значения и область определения тригонометрических функций;

2. Решение простейших тригонометрических функций;

3. Частные случаи простейших тригонометрических уравнений.

Слайды 4-9

Тест на повторение.

4. Лекция.

Применение презентации при объяснении нового материала.

Методы решения тригонометрических уравнений. Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов: преобразование уравнения для получения его простейшего вида ( см. выше ) и решение полученного простейшего тригонометрического уравнения. Существует семь основных методов решения тригонометрических уравнений.

1. Алгебраический метод. Этот метод нам хорошо известен из алгебры

( метод замены переменной и подстановки ).

2. Разложение на множители. Этот метод рассмотрим на примерах.

П р и м е р 1. Решить уравнение: sin x + cos x = 1 .

Р е ш е н и е . Перенесём все члены уравнения влево:

sin x + cos x - 1 = 0 ,

преобразуем и разложим на множители выражение в

левой части уравнения:

П р и м е р 2. Решить уравнение: cos ²x + sin x · cos x = 1.

Р е ш е н и е . cos ²x + sin x · cos x - sin ²x - cos ²x = 0 ,

sin x · cos x - sin ²x = 0 ,

sin x · ( cos x - sin x ) = 0 ,

П р и м е р 3. Решить уравнение: cos 2x - cos 8x + cos 6x = 1.

Р е ш е н и е . cos 2x + cos 6x = 1 + cos 8x ,

2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x ,

cos 4x · ( cos 2x - cos 4x ) = 0 ,

cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 ,

1). cos 4x = 0 , 2). sin 3x = 0 , 3). sin x = 0 ,

3.

Приведение к однородному уравнению. Уравнение называется однородным относительно sin и cos, если все его члены одной и той же степени относительно sin и cos одного и того же угла. Чтобы решить однородное уравнение, надо:

а) перенести все его члены в левую часть;

б) вынести все общие множители за скобки;

в) приравнять все множители и скобки нулю;

г) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на

cos ( или sin ) в старшей степени;

д) решить полученное алгебраическое уравнение относительно tg .

П р и м е р . Решить уравнение: 3sin ² x + 4 sin x · cos x + 5 cos ² x = 2.

Р е ш е н и е . 3sin ² x + 4 sin x · cos x + 5 cos ² x = 2sin ² x + 2cos ² x ,

sin ² x + 4 sin x · cos x + 3 cos ² x = 0 ,

tg ² x + 4 tg x + 3 = 0 , отсюда y ² + 4y +3 = 0 ,

корни этого уравнения: y₁ = 1, y₂ = 3, отсюда

1) tg x = -1, 2) tg x = -3,

4. Переход к половинному углу.

П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin x - 5 cos x = 7.

Р е ш е н и е . 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) - 5 cos ² ( x / 2 ) + 5 sin ² ( x / 2 ) =

= 7 sin ² ( x / 2 ) + 7 cos ² ( x / 2 ) ,

2 sin ² ( x / 2 ) - 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos ² ( x / 2 ) = 0 ,

tan ² ( x / 2 ) - 3 tan ( x / 2 ) + 6 = 0 ,

. . . . . . . . . .

5. Введение вспомогательного угла. Рассмотрим уравнение вида:

a sin x + b cos x = c ,

где a, b, c - коэффициенты; x - неизвестное.

Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса, а именно: модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1. Тогда можно обозначить их соответственно как cos и sin ( здесь - так называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение принимает вид:

5. Преобразование произведения в сумму.

Здесь используются соответствующие формулы.

П р и м е р . Решить уравнение: 2 sin 2x · sin 6x = cos 4x.

Р е ш е н и е . Преобразуем левую часть в сумму:

cos 4x - cos 8x = cos 4x ,

cos 8x = 0 ,

8x = p / 2 + pk ,

x = p / 16 + pk / 8 .

7. Универсальная подстановка.

4.Закрепление.

Работа в парах

Применение методов решения тригонометрических уравнений

Методы решения

^{1.Разложение на множители.}

^{2.Введение новой переменной:}

^{а) сведение к квадратному;}

^{б) универсальная подстановка;}

^{в) введение вспомогательного аргумента.}

^{3. Сведение к однородному уравнению.}

^{4. Использование свойств функций, входящих в уравнение:}

^{а) обращение к условию равенства тригонометрических функций;}

^{б) использование свойства ограниченности функции.}

№

уравнения

Методы решения

1

Sin x/3 - cos 6x = 2

4б

2

5 sinx - 2 cosx = 1

3, 2(б, в)

3

sin3x cos2x = 1

4б

4

1 - sin2x = cos x - sin x

1,2(б, в), 3

5

cos3x = sin x

4а

6

4 - cos2 x = 4 sin x

2а

7

sin3x - sin5x = 0

4б

8

2 tg x/2 - cos x = 2

1,2(а,б,в),3,4(а)

5.Применение методов решения тригонометрических уравнений при выполнении заданий ЕГЭ.

Групповая форма работы.

6.Обобщение изученного материала.

7.Рефлексия.

8. Домашнее задание.