Задачи с параметрами и методы их решения

Задачи с параметрами и методы их решения

(Д.К. Гутнова, учитель математики МБОУ СОШ с.Фиагдон

Ардонского района РСО-Алания, e-mail: [email protected])

Задачи с параметром часто встречаются в заданиях ЕГЭ по математике с развернутым ответом, а также в олимпиадах по математике различной степени сложности. В программах математики для неспециализированных школ таким задачам отводится незначительное место.

К задачам с параметрами, рассматриваемым в школьном курсе, можно отнести, например, поиск решений линейных и квадратных уравнений в общем виде, исследование количества их корней в зависимости от значений параметров.

Но большинство учащихся либо вовсе не справляются с такими задачами, либо приводят громоздкие выкладки. Причиной этого является отсутствие системы заданий по данной теме в школьных учебниках.

Задачи с параметрами очень многообразны.

В данной работе рассматриваются:

1. задачи, которые решаются аналитически с использованием равносильных переходов, основанных на монотонности функций;

2. задачи, решаемые геометрически, с помощью графиков функций.

Построение графиков функций - задача сама по себе не простая. Умение строить графики позволяет существенно облегчить решение многих с виду сложных задач с параметрами. В школьном курсе сначала исследуют линейную, квадратичную и другие функции и уравнение окружности. В приведенных ниже примерах графики функций строятся без применения производной.

Основной принцип решения параметрических уравнений можно сформулировать так: необходимо разбить область изменения параметра на участки такие, что при изменении параметра в каждом из них получающиеся уравнения можно решить одним и тем же путем. Ответ задачи состоит из списка участков изменения параметра с указанием ответов каждого участка.

Ниже приведены решения нескольких задач, отобранных из списка заданий ЕГЭ прошлых лет и задачи из XI командной олимпиады по математике и информатике математического факультета СОГУ 2015.

Пример 1. При каких значениях параметра уравнение

имеет два действительных корня?

Решение

Исходное уравнение принимает вид , где - возрастающая функция на (как сумма двух возрастающих функций).

Таким образом, используя равносильный переход при условии монотонности функции, получим уравнение

.

Перепишем его в виде:

.

При имеем один корень .

При уравнение является квадратным и имеет 2 корня при , т.е. при .

Итак, при исходное уравнение имеет два действительных решения.

Ответ: .

Пример 2. При каких значениях система имеет ровно одно решение:

Решение (геометрический способ)

- уравнение окружности с центром в точке с координатами , лежащей на биссектрисе .

Рассмотрим точки , тогда первое уравнение системы это сумма расстояний .

Так как длина отрезка , то в силу неравенства треугольника точка должна лежать на .

Итак, первое уравнение системы - это отрезок : ,

При окружность касается отрезка, и система имеет ровно одно решение.

Окружность проходит через точку при .

Причем при окружность пересекает отрезок в двух точках, а при - в одной точке.

При отрезок и окружность не пересекаются.

Итак, система имеет ровно одно решение при .

Ответ: .

Пример 3. При каких значениях система имеет ровно одно решение:

Решение (аналитический способ)



f(y)

(3)

(2)

(1)

1

1

2

3

4

y

-1

-2

2

Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке .

Т.к. , то нули функции будут одного знака.

Уравнение имеет одно решение на в трех случаях:

1)   ;

2)  ;

3)  .

Ответ: при система имеет ровно одно решение.

Пример 4. При каких значениях система

имеет 4 решения?

Решение

Рассмотрим второе уравнение системы. Нетрудно получить, что

или .

Графиками данных функций являются параллельные прямые, расположенные симметрично относительно оси абсцисс.

Первое уравнение системы удобно рассматривать отдельно в каждой из четырех четвертей координатной плоскости. В I четверти получаем

.

Графиком полученной функции является ромб.

Аналогичным образом получаем ромбы во II, III и IV четвертях.

Следовательно, график исходной функции

будет выглядеть следующим образом:

Из рисунка видно, что система будет иметь 4 решения при , , , . Таким образом, получаем совокупность



Ответ: при исходная система имеет 4 решения.