Научно-исследовательская работа по теме Замечательная трапеция

ДОНЕЦКАЯ НАРОДНАЯ РЕСПУБЛИКА

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

УЧРЕЖДЕНИЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«Донецкая Республиканская Малая Академия Наук учащейся

молодежи»

Отделение: математика

Секция: математическое моделирование

ЗАМЕЧАТЕЛЬНАЯ ТРАПЕЦИЯ

Работу выполнил:

Лачков Андрей Геннадиевич,

ученик 10 класса

Донецкого технического лицея

Научный руководитель

Ярославцева Анжела Валериевна ,

учитель математики

Донецкого технического лицея

Донецк-2016

СОДЕРЖАНИЕ

Введение ………………………………………………………………………с. 3

Раздел 1 ………………………………….…………………………………...с. 4

Теоретическая часть………………………………………………………….. с. 4
Раздел 2 ………………………………………………………………………..с. 5

Практическая часть…………………………………………………………....с. 5

Выводы……………………………………………………………………..…с. 12

Список литературы…………………………………………………………. с. 13

Интернет-ресурсы …………………………………………………………. с. 14

ВВЕДЕНИЕ

Решение задач различными способами увлекательное занятие, требующее знаний всех разделов школьной математики. Так, на одном из уроков, в качестве домашнего задания учителем была предложена одна задача обычного содержания. Когда стали разбирать ее решение на следующем уроке, то оказалось, что она решена учениками различными способами. Эта задача меня заинтересовала, и я решил узнать больше о методах ее решения.

Считаю, что подобные задачи позволяют повторить достаточно большой объем пройденного материала. При решении геометрических задач полезно владеть различными методами, так как если один способ не приводит к цели или слишком громоздок, то можно обратиться к другому.

Цель работы: рассмотреть различные способы решения одной задачи, выполнить анализ полученных решений и выбрать наиболее рациональное решение; доказать, что одну и ту же задачу можно применять при изучении различных тем в 8, 9 классах и при повторении основного материала по планиметрии в 10 классе.

Для осуществления поставленной цели необходимо выполнить следующее:

• повторить весь материал по геометрии за 8, 9 классы;

• разобрать решение задачи различными способами;

• выполнить анализ полученных результатов.

Актуальность данной темы определяется необходимостью уметь решать геометрические задачи при сдаче ГИА, вступительных экзаменов в высшие учебные заведения. Большинство таких задач не решается с помощью жестких алгоритмов, почти каждая геометрическая задача требует своего подхода. Здесь уже мало иметь те или иные знания, нужно уметь применять их в каждом конкретном случае. Также этот материал будет полезен при изучении пространственных геометрических фигур в 10-11 классах.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Говоря о поисках решения геометрической задачи, приходится иметь в виду, что существуют различные методы ее решения. Поэтому поиски прежде всего следует направить на выбор конкретного метода, которые можно условно разбить на следующие группы:

• традиционный (использование соотношений в треугольнике и круге, признаками равенства и подобия и др., дополнительные построения);

• метод геометрических преобразований (движение, подобие);

• координатный и векторный методы (применение векторов);

• тригонометрический метод (применение теорем синусов, косинусов);

• переформулировка задачи (например, на векторный или координатный «язык» ).

Перечисленные методы могут пересекаться, в одном решении может применяться несколько методов.

При выполнении данной работы я использовал материал 8, 9 классов:

• теорема Пифагора;

• свойства вписанных углов;

• подобие фигур;

• теорема синусов;

• теорема косинусов;

• свойство отрезков хорд;

• вписанные и описанные четырехугольники

• свойства трапеции

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

В равнобедренной трапеции основания равны 6 см и 24 см, а боковая сторона 15 см. Найти радиус описанной окружности.

1способ

(основан на применении свойств вписанных углов и отрезков хорд окружности)

Пусть АВСD - данная трапеция, ВС||AD (Рис.1).

R - радиус описанной окружности.

Проведем хорду ВР, ВР AD.

К - точка пересечения AD и ВР. ВК - высота трапеции.

РВС=90°, значит, РС=2R.

АК=(24-6):2=9(см),

ВК²=АВ²- АК², ВК=12 см.

ВК·КР=АК·КD,

12·КР=9·15,

КР= см,

ВР=ВК+КР,

ВР=см.

РС²=ВР²+ВС²,

РС= см,

R=РС,

R= см.

Ответ. см.

2 способ

(следствие из теоремы синусов)

Проведем диагональ ВD (Рис.2).

Из ∆ВКD (К=90°):

ВD²=ВК² + КD²,

ВD= см.

Из ∆ВКА ( К=90°):

sinA=BK/AB,

sinA=4/5.

R - радиус описанной окружности около данной трапеции и одновременно около ∆АВD.

Следовательно, R=BD/2sinA,

R= см.

Ответ. см.

3 способ

(применение формулы радиуса описанной окружности около треугольника)

Рассмотрим ∆АВD (Рис.2).

АВ=15 см, ВD=см, АD=24 см.

S=0,5BK·AD, S=144 см².

R=AB·BD·AD/4S,

R= см.

Ответ. см.

4 способ

(применение теоремы Пифагора)

Нужно выяснить расположение центра описанной окружности (Рис.3).

Рассмотрим ∆АВD:

АD - большая сторона,

АD² < АВ² + ВD², значит, АВD - острый.

Следовательно, О - внутренняя точка трапеции.

Проведем высоту трапеции МN через точку О,

МС=ВМ, ND=AN.

Применим теорему Пифагора к ∆ОМС и ∆ОND:

ОС²=ОМ² + МС²,

ОD²=ОN² + ND².

Пусть OC=OD=R=x, а ON=y.

MN=12 см.

Тогда получим систему уравнений

Решив систему, получим y=, x= .

Отсюда, R=см.

Ответ. см.

5 способ

( применение свойства отрезков хорд)

Проведем диаметр SТ так, что SТВС, STAD (Рис.4).

ST пересечет основания трапеции в точках

M и N. MN=12 см

Пусть SM=x, a NT=y.

Получим систему уравнений

Решив систему уравнений, получим

,

.

SТ= SM+NT+ MN,

MN=12 см.

SТ=см,

R=см.

Ответ. см.

6 способ

( подобие треугольников, свойства вписанных углов)

Проведем диаметр BL (Рис.5).

По свойствам вписанных углов

ADB=ALB,

LAB=90˚,

BKD=90˚.

Следовательно, ΔBKD ̴ ΔABL.

Из подобия треугольников следует

,

,

BL=см,

R=0,5 BL,

R=см.

Ответ. см.

7 способ

(координатный способ)

Введем прямоугольную систему координат так, что ось Оx будет содержать основание трапеции АD, а ось Oy будет являться осью симметрии трапеции (Рис.6).

Тогда вершины трапеции будут иметь следующие координаты: D(12;0), С(3;12), а центр окружности будет иметь координаты (0;b).

Уравнение окружности имеет вид (x-a)²+(y-b)²=R²,

где (a,b)-координаты центра, R-радиус.

Подставим координаты точек D и С в уравнение окружности.

Получим систему уравнений:

Решив эту систему, получим

b=,

R=см.

Ответ. см.

8 способ

(формула расстояния между точками)

Введем прямоугольную систему координат (Рис.6).

Для вычисления радиуса описанной окружности можно применить формулу расстояния между точками и составить уравнение 12²+b²=3²+(12-b)², заметив, что выполняется равенство ОD=ОC=R. В таком случае высоту трапеции можно не вычислять, а координаты вершины С можно найти, используя формулу расстояния между точками С и D.

Получим, b=, R=см.

Ответ. см.

9 способ

(применение векторов)

Введем прямоугольную систему координат (Рис.6).

Для вычисления радиуса описанной окружности можно применить векторы:

(3;12-b), (12;-b),

,

,

,

,

,

,

,

,

.

Составим и решим уравнение

9+(12- b)²-2(3·12+ (12-b)·(-b))-144+ b²=225.

Получим b=,

см.

По свойству трапеции, вписанной в окружность BC+AD=AB+CD. Поэтому в этой задаче можно найти и радиус вписанной окружности:

r=1/2 BK, r=6 см.

Ответ. см.

ВЫВОДЫ

В своей работе я рассмотрел различные способы решений одной геометрической задачи, используя известные мне методы. Анализируя все решения, я сделал для себя следующий вывод: подробный разбор способов решения задач является хорошим подспорьем для того, чтобы освежить в памяти пройденный материал, способствует формированию навыков исследовательской деятельности.

В процессе выполнения работы я изучил материалы по геометрии за 7-10 классы. На основе их были подобраны и проанализированы решения к данной задаче. В результате исследования, проведённого в данной работе, было выявлено, что даже самая простая задача с минимальным условием может быть решена разными способами, каждый из которых имеет свои преимущества. Я считаю, что математика - это такая наука, изучение которой не сводится к зубрёжке формул и решению задач по одним и тем же шаблонам. Особенно геометрия! Творческий подход и нестандартное мышление просто необходимы для достижения новых высот в познании мира.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Геометрия. 7-9 классы: учеб. Для общеобразоват. Учреждений (Л. С. Атанасян, Б. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.).- 20-е изд. - М.: Просвещение, 2010.-384 с.

2. Амелькин В. В., Т. И. Рабцевич, В. Л. Тимохович Геометрия на плоскости: Теория, задачи, решения: Учеб. пособие по математике Мн.: ООО «Асар», 2003. - 592 c

3. Полонский В.Б., Рабинович Е.М., Якир М.С. Учимся решать задачи по геометрии.- К.: «Магистр-S», 1996. - 256 с.

4. Кушнир И.А. Векторные методы решения задач - М.; «Обериг», 1994. - 209с.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы, Егерев В.К., Зайцев В.В., Сканави М.И., 2013.

ИНТЕРНЕТ-РЕСУРСЫ

• referat.ru/referat/neskolko-sposobov-resheniya-odnoy-geometricheskoy-zadachi-21411/2

• nsportal.ru/ap/library/nauchno-tekhnicheskoe-tvorchestvo/2013/12/13/reshenie-geometricheskikh-zadach-raznymi-metodami

• metodportal.net/node/15904

ТЕЗИСЫ

Замечательная трапеция
Лачков Андрей Геннадиевич
Донецкий технический лицей
10 класс
Ярославцева Анжела Валериевна
учитель математики Донецкого технического лицея

Учебный материал с каждым годом изменяется, появляются новые правила и теоремы, благодаря которым появляются новые подходы и методы решения задач. Задача, решаемая несколькими способами, помогает определить достоинства и недостатки того или иного алгоритма решения, найти наиболее подходящий и удобный алгоритм, а также повторить большинство изученного и нового материала.
В работе «Замечательная трапеция» была подобрана и решена несколькими способами одна из таких задач. Некоторые из представленных методов решения задачи не являются удобными и рациональными для решения приведенной задачи, но ее можно использовать как модель для демонстрации и отработки различных математических методов.

Цель работы: рассмотреть различные способы решения одной задачи, выполнить анализ полученных решений и доказать, что одну и ту же задачу можно применять при изучении большинства тем в 8-10 классах.

Для осуществления поставленной цели автор повторил весь материал по геометрии за 8-9 класс, нашел девять способов решений одной задачи, выполнил анализ полученных результатов. Актуальность данной темы определяется необходимостью уметь решать геометрические задачи при сдаче ГИА, вступительных экзаменов в высшие учебные заведения.
Результат проведенной работы будет полезен как для преподавателей, которые смогут давать в пример одну и ту же задачу для усвоения пройденного и нового материала, так и ученикам, которые смогут повторить огромное количество материала, быстро ориентироваться в задачах подобного типа и научатся находить разные подходы к решению задач.

Отзыв

на научно-исследовательскую работу

«Замечательная трапеция»,

ученика 10 класса Донецкого технического лицея

Лачкова Андрея

Работа посвящена задаче, которая послужила моделью для отработки различных математических методов решения. Задача решена автором самостоятельно.

Работа написана доступным, лаконичным языком. Определены цели и задачи, которые успешно выполнены.

При выполнении работы были проявлены хорошая математическая подготовка, способности к самообразованию и творческому труду. Автор самостоятельно систематизировал и обобщил весь материал 7-9 класса по геометрии.

Несмотря на небольшой объем, автором выполнена огромная и кропотливая работа, начиная с изучения теоретического материала до оформления.

Тема, раскрытая в исследовательской работе, актуальна в плане расширения кругозора, развития мышления, формирования нестандартного подхода к решению задач. Она выражает прикладную направленность.

Результат проведенной работы может быть использован при систематизации и обобщения пройденного материла, подготовке к ГИА, вступительным экзаменам, как модель для демонстрации различных способов решения геометрических задач.

Считаю, что цель работы достигнута. Работа рекомендована к представлению на конкурс Малой Академии Наук.

Научный руководитель,

учитель математики

Донецкого технического лицея А. В. Ярославцева