Конспект урока по математике на тему Функция у=√ (n&x), их свойства и графики

План урока №______

__________________

_______

Тема урока: Функция , их свойства и графики.

Тип урока: урок изучения новых знаний

Цели урока:

• Образовательная: формирование у учащихся целостного представления о корне n-ой степени, навыков сознательного и рационального использования свойств корня при решении различных задач.

• Развивающая: развитие интеллектуальных способностей, умения переносить знания в новые ситуации.

• Воспитательная: воспитание интереса к предмету.

Оборудование: учебник «Математика» А.Г. Мордкович, раздаточный материал.

Ход урока

1. Организационный момент

1. Организация внимания

2. Проверка готовности учащихся к уроку

2. Подготовка учащихся к изучению нового материала

1. Сообщение темы

2. Формулировка целей и задач изучения нового материала

3. Мотивация изучения нового материала

4. Постановка учебных проблем

3. Повторение изученного

1

2

3

4

5

6

7

По горизонтали:

3. Как можно иначе назвать корень третьей степени? (кубический)

4. Есть у любого слова, у растения, может быть n-й степени. (корень)

5. Степень корня, кратная 2.(четная)

6. Так называют выражение хⁿ. (степень)

7. Степень корня 2 k+1. (нечетная).

По вертикали:

1. Действие, посредством которого отыскивают корень (извлечение).

2. Положительный корень. (арифметический).

3. Как можно иначе назвать арифметический корень второй степени? (квадратный).

4. Изучение нового материала

Корень n-ой степени.

Рассмотрим основную элементарную функцию, которая задается формулой , где n - натуральное число, большее единицы.

Корень n-ой степени, n - четное число.

Начнем с функции корень n-ой степени при четных значениях показателя корня n.

Для примера приведем рисунок с изображениями графиков функций и , им соответствуют черная, красная и синяя линии.

Аналогичный вид имеют графики функций корень четной степени при других значениях показателя.

Свойства функции корень n-ой степени при четных n.

• Область определения: множество всех неотрицательных действительных чисел .

• При x=0 функция принимает значение, равное нулю.

• Эта функция общего вида (не является четной или нечетной).

• Область значений функции: .

• Функция при четных показателях корня возрастает на всей области определения.

• Эта функция имеет выпуклость, направленную вверх, на всей области определения, точек перегиба нет.

• Асимптот нет.

• График функции корень n-ой степени при четных n проходит через точки (0,0) и(1,1).

Корень n-ой степени, n - нечетное число.

Функция корень n-ой степени с нечетным показателем корня n определена на всем множестве действительных чисел. Для примера приведем графики функций и , им соответствуют черная, красная и синяя кривые.

При других нечетных значениях показателя корня графики функции будут иметь схожий вид.

Свойства функции корень n-ой степени при нечетных n.

• Область определения: множество всех действительных чисел.

• Эта функция нечетная.

• Область значений функции: множество всех действительных чисел.

• Функция при нечетных показателях корня возрастает на всей области определения.

• Эта функция вогнутая на промежутке и выпуклая на промежутке , точка с координатами (0,0) - точка перегиба.

• Асимптот нет.

• График функции корень n-ой степени при нечетных n проходит через точки (-1,-1),(0,0) и (1,1).

Степенная функция.

Степенная функция задается формулой вида .

Рассмотрим вид графиков степенной функции и свойства степенной функции в зависимости от значения показателя степени.

Начнем со степенной функции с целым показателем a. В этом случае вид графиков степенных функций и свойства функций зависят от четности или нечетности показателя степени, а также от его знака. Поэтому сначала рассмотрим степенные функции при нечетных положительных значениях показателя a, далее - при четных положительных, далее - при нечетных отрицательных показателях степени, и, наконец, при четных отрицательных a.

Свойства степенных функций с дробными и иррациональными показателями (как и вид графиков таких степенных функций) зависят от значения показателя a. Их будем рассматривать, во-первых, при a от нуля до единицы, во-вторых, при a больших единицы, в-третьих, при a от минус единицы до нуля, в-четвертых, при a меньших минус единицы.

В заключении этого пункта для полноты картины опишем степенную функцию с нулевым показателем.

Степенная функция с нечетным положительным показателем.

Рассмотрим степенную функцию при нечетном положительном показателе степени, то есть, при а=1,3,5,….

На рисунке ниже приведены графики степенных фнукций - черная линия, - синяя линия, - красная линия, - зеленая линия. При а=1 имеем линейную функцию y=x.

Свойства степенной функции с нечетным положительным показателем.

• Область определения: .

• Область значений: .

• Функция нечетная, так как .

• Функция возрастает при .

• Функция выпуклая при и вогнутая при (кроме линейной функции).

• Точка (0;0) является точкой перегиба (кроме линейной функции).

• Асимптот нет.

• Функция проходит через точки (-1;-1), (0;0), (1;1).

Степенная функция с четным положительным показателем.

Рассмотрим степенную функцию с четным положительным показателем степени, то есть, при а=2,4,6,….

В качестве примера приведем графики степенных функций - черная линия, - синяя линия, - красная линия. При а=2 имеем квадратичную функцию, графиком которой является квадратичная парабола.

Свойства степенной функции с четным положительным показателем.

• Область определения: .

• Область значений: .

• Функция четная, так как .

• Функция возрастает при , убывает при .

• Функция вогнутая при .

• Точек перегиба нет.

• Асимптот нет.

• Функция проходит через точки (-1;1), (0;0), (1;1).

Степенная функция с нечетным отрицательным показателем.

Посмотрите на графики степенной функции при нечетных отрицательных значениях показателя степени, то есть, при а=-1,-3,-5,….

На рисунке в качестве примеров показаны графики степенных функций - черная линия, - синяя линия, - красная линия, - зеленая линия. При а=-1имеем обратную пропорциональность, графиком которой является гипербола.

Свойства степенной функции с нечетным отрицательным показателем.

• Область определения: .
  При x=0 имеем разрыв второго рода, так как приа=-1,-3,-5,…. Следовательно, прямая x=0 является вертикальной асимптотой.

• Область значений: .

• Функция нечетная, так как .

• Функция убывает при .

• Функция выпуклая при и вогнутая при .

• Точек перегиба нет.

• Горизонтальной асимптотой является прямая y = 0, так как
  
  при а=-1,-3,-5,….

• Функция проходит через точки (-1;-1), (1;1).

Степенная функция с четным отрицательным показателем.

Перейдем к степенной функции при а=-2,-4,-6,….

На рисунке изображены графики степенных функций - черная линия, - синяя линия, - красная линия.

Свойства степенной функции с четным отрицательным показателем.

• Область определения: .
  При x=0 имеем разрыв второго рода, так как приа=-2,-4,-6,…. Следовательно, прямая x=0 является вертикальной асимптотой.

• Область значений: .

• Функция четная, так как .

• Функция возрастает при , убывает при .

• Функция вогнутая при .

• Точек перегиба нет.

• Горизонтальной асимптотой является прямая y=0, так как
  
  при а=-2,-4,-6,….

• Функция проходит через точки (-1;1), (1;1).

5. Закрепление

6. Информация учащимся о домашнем задании

1. Мотивация домашнего задания

2. Указания по выполнению домашнего задания

3. Домашнее задание_____________________________________________________________________

7. Итог урока

Преподаватель: ______________________/Шаляпина О.Р./