Авторская разработка на тему: Замечательные точки треугольника

Авторская работа

по геометрии

на тему: «Замечательные точки треугольника».

Дубинина В.А.

Содержание. стр.

1. Введение. 3

2. Точка пересечения медиан треугольника. 4

3. Точка пресечения биссектрис треугольника. 6

4. Точка пересечения серединных перпендикуляров. 7

5. Точка пересечения высот треугольника. 9

6. Точки Жергона и Нагеля. 10

7. Точки Эйлера. 12

9. Конциклические точки. 14

10. Гармонические точки. 17

11. Изогональные точки треугольника. 19

12. Симметрично - обратные точки. 21

13. Изоциклические точки. 23

14. Изотомические точки треугольника. 24

15. Изотомически сопряженные или взаимные точки тр-ка. 25

16. Точки Енжабека. 26

17. Точка Лемуана. 27

18. Дополнительные и антидополнительные точки. 30

19. Постоянные точки. 32

20. Направляющая и добавочные точки. 34

21. Точки Брокара. 38

22. Точка Штейнера. 40

23. Точка Тарри. 42

24. Циклотомические точки. 43

25. Точка Торричелли. 45

Введение.

Согласно новым стандартам школьного математического образования, обучение в старших классах может осуществляться на двух уровнях - базовом и профильном. Профильный уровень предусматривает более глубокое изучение геометрии, включение в содержание некоторых новых тем, относящихся не только к стереометрии, но и к планиметрии и имеющих важное значение для математического образования учащихся старших классов, предполагающих связать свою дальнейшую профессиональную деятельность с математикой.

В моей работе рассматриваются замечательные точки тр-ка. К числу таких точек, изучаемых в школьном курсе геометрии, относятся: точка пересечения биссектрис (центр вписанной окружности); точка пересечения серединных перпендикуляров (центр описанной окружности); точка пересечения высот (ортоцентр); точка пересечения медиан (центроид). Я добавила к ним и другие замечательные точки тр-ка: точки Эйлера, конциклические точки, гармонические точки, изоциклические точки и др.

В данной работе я предлагаю материал для профильного уровня обучения геометрии, дополняющий традиционное содержание курса. Его можно также использовать при разработке элективных курсов по геометрии, проведении кружков и факультативов, для полготовки учащихся к олимпиадам, конкурсам, турнирам по математике.

3

Точка пересечения медиан треугольника.

Для начала ведем понятие средней линии треугольника.

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Докажем теорему о средней линии треугольника.

Теорема: средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине стороны.

Пусть МN - средняя линия треугольника АВС (рис. 1).

Докажем, что МN АС и МN = АС.

рис. 1

Треугольники ВМN и ВАС подобны по второму признаку подобия треугольника, поэтому

1 =2 и =.

Из равенства1 =2 следует, что МN АС, а из второго равенства, - что

МN = АС. Теорема доказана.

Пользуясь этой теоремой, докажем, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, являющейся центром тяжести треугольника (центроид), которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Рассмотрим произвольный треугольник АВС. Обозначим буквой О точку пересечения его медиан АА и ВВ и проведем среднюю линию АВ этого треугольника (рис. 2). Отрезок АВ параллелен стороне АВ, поэтому углы 1 и 2, а также углы З и 4 равны как накрест лежащие углы при пересечении

4

параллельных прямых АВ и АВ секущими АА и ВВ

Следовательно, треугольники

АОВ и АОВ подобны по двум

углам, и, значит, их стороны

пропорциональны:

.

рис.2

Но АВ = 2АВ поэтому АО = 2АО и ВО= 2ВО Таким образом, точка О пересечения медиан АА и ВВ делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины.

Аналогично доказывается, что все три медианы треугольника АВС пересекаются в точке О и делятся ею в отношении 2: 1, считая от вершины.

5

Точка пресечения биссектрис треугольника.

Докажем сначала теорему о биссектрисе угла.

Теорема

Каждая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон Обратно: каждая точка, лежащая внутри угла и равноудаленная от сторон угла, лежит на его биссектрисе.

Доказательство:

1) Возьмем произвольную точку М на биссектрисе угла ВАС, проведем перпендикуляры МК и МL к прямым АВ и АС и докажем, что МК=МL (рис. 3).

рис.3 Рассмотрим прямоугольные треугольники

АМК и АМL.Они равны по гипотенузе и

острому углу. Следовательно, МК = МL.

2) Пусть точка М лежит внутри угла ВАС и равноудалена от его сторон АВ и АС. Докажем, что луч АМ - биссектриса угла ВАС (см. рис. 3). Проведем перпендикуляры МК и МL к прямым АВ и АС. Прямоугольные треугольники АМК и АМL равны по гипотенузе и катету. Следовательно,1 =2.Но это и означает, что луч АМ - биссектриса угла ВАС. Теорема доказана.

Из этой теоремы следует, что три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, являющейся центром вписанной окружности.

В самом деле, обозначим буквой О точку пересечения биссектрис АА и ВВ треугольника АВС и проведем из этой точки перпендикуляры ОК, ОL и ОМ соответственно

рис.4 к прямым АВ, ВС и СА (рис. 4). По доказан-

ной теореме ОК= ОМ и ОК= ОL.

Поэтому ОМ= ОL т. е. точка О равноудалена от сторон угла АСВ и, значит, лежит на биссектрисе СС этого угла. Следовательно, все три биссектрисы треугольника АВС пересекаются в точке О, что и требовалось доказать.

6

Точка пересечения серединных перпендикуляров.

Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину данного отрезка и перпендикулярная к нему.

На рисунке 5 прямая а-серединный перпендикуляр к отрезку АВ.

Докажем теорему о серединном перпендикуляре к отрезку.

рис.5

Теорема.

Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.

Обратно: каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.

Доказательство:

Пусть прямая m - серединный перпендикуляр к отрезку АВ, точка О - средина этого отрезка (рис. 6, а).

1) Рассмотрим произвольную точку М прямой m и докажем, что АМ=ВМ. Если точка М совпадает с точкой О, то это равенство верно, так как О - середина отрезка АВ. Пусть М и О - различные точки. Прямоугольные треугольники ОАМ и ОВМ равны по двум катетам (ОА=ОВ, ОМ - общий катет), поэтому АМ=ВМ.

2) Рассмотрим произвольную точку Н, равноудаленную от концов отрезка АВ, и докажем, что точка Н лежит на прямой m.

Если Н - точка прямой АВ, то она совпадает с серединой О отрезка АВ и потому лежит на прямой m. Если же точка Н не лежит на прямой АВ, то треугольник АВN равнобедренный, так

как АN=ВN (рис. 6, 6). Отрезок NО - медиана

рис.6 этого треугольника, а значит, и высота. Таким

образом, NОАВ, поэтому прямые ОN и m совпадают, т. е. N - точка прямой m. Теорема доказана.

7

Из этой теоремы следует, что серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, являющейся центром описанной окружности.

Для доказательства этого утверждения рассмотрим серединные перпендикуляры m и n к сторонам АВ и ВС треугольника АВС (рис. 7). Эти прямые пересекаются в некоторой точке О. В самом деле, если предположить противное, т. е. что m n, то

прямая ВА, будучи перпендикулярной к

рис.7 прямой m, была бы перпендикулярна и к параллельной ей прямой n , а тогда через точку В проходили бы две прямые ВА и ВС, перпендикулярные к прямой n , что невозможно.

По доказанной теореме ОВ=ОА и ОВ=ОС. Поэтому ОА=ОС, т. е. точка О равноудалена от концов отрезка АС и, значит, лежит на серединном перпендикуляре р к этому отрезку. Следовательно, все три серединных перпендикуляра n, m и р к сторонам треугольника АВС пересекаются в точке О.

8

Точка пересечения высот треугольника.

Мы доказали, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, серединные перпендикуляры к сторонам

треугольника пересекаются в одной точке и медианы треугольника пересекаются в одной точке. Оказывается, аналогичным свойством обладают и высоты треугольника.

Теорема

Высоты треугольника перёсекаются в одной точке, называемой ортоцентром.

Доказательство:

Рассмотрим произвольный треугольник АВС и докажем, что прямые АА, ВВ и СС содержащие его высоты, пересекаются в одной точке (рис. 8).Проведем через каждую вершину треугольника АВС

рис. 8 прямую, параллельную противоположной

стороне. Получим треугольник АВС. Точки А, В и С являются серединами сторон этого треугольника. Действительно, АВ=АС и АВ= СВ как противоположные стороны параллелограммов АВАС и АВСВ, поэтому

АС = СВ.

Аналогично СА=АВ и СВ=ВА. Кроме того, как следует из построения, СС АВ , а АА ВС и ВВ АС.Таким образом, прямые АА ВВ и СС являются серединными перпендикулярами к сторонам треугольника АВС. Следовательно, они пересекаются водной точке.

Теорема доказана.

9

Точки Жергона и Нагеля.

Прямые соединяющие вершины тр-ка с точками касания описанного или не вписанного круга, пересекаются в одной точке.

Пусть стороны тр-ка ВС, СА, АВ касаются вписанного круга (I) в точках ,,и не вписанных кругов

(I)в точках ,,,

(I) в точках ,,,

(I) в точках ,,.(рис.9)

Известно, что

А=А=В=В=С=С= р-а,

В=В=С=С=А=А=р-b

С=С=А=А=В=В=р-с

А=А=В=В=С=С=р,

где а=ВС, b=СА, с=АВ

и р=1/2(а+b+с).

Следовательно по теореме Чевы, прямые

А,В,Спересекаются в одной точке Т,

А,В,С пересекаются в одной точке Т,

А,В,С пересекаются в одной точке Т,

А,В,С пересекаются в одной точке Т.

Точка Т наз. точкой Жергона, а точки Т,Т,Т наз. добавочными точками Жергона.

10

Из предыдущих равенств следуют такое, что прямая, соединяющая вершины тр-ка с точками касания противоположных сторон и не вписанных окружностей или вписанной и двух не вписанных окружностей, пересекаются в одной точке.

рис.9

А,В,С пересекаются в одной точке N,

А,В,С пересекаются в одной точке N,

А,В,С пересекаются в одной точке N,

А,В,С пересекаются в одной точке N.

Точка N наз. точкой Нагеля, а точки N ,N ,N-добавочными точками Нагеля.

11

Точки Эйлера.

Середины отрезков высот тр-ка от вершин его до ортоцентра называются точками Эйлера.

Теорема Эйлера. Основания высот треугольника (Н, Н, Н), середины сторон (А, В, С) и точки Эйлера лежат на одной окружности.

Соединим ортоцентр тр-ка Н с центром описанного круга. О и обозначим через О середину НО И через R радиус описанного круга.

рис..10

Продолжив высоту АН до пересечения в D с описанной окружностью, увидим, что

;

поэтому НН=НD и ОН=ОА=ОD=. (рис.10)

Таким образом точки Н,А и Е лежат на окружности, описанной около через О радиусом ; то же справедливо и для точек Н, В, СЕ, Е, Н.

12

Точка Микеля.

Теорема Микеля. Окружности, описанные около четырех треугольников, составленных сторонами полного четырехугольника, пересекаются в одной точке.

Опишем окружности около тр-ков ABF и ADE и точку пересечения их P соединим с вершинами полного четырехугольника (рис. 11).

Так как

CDP или EDP=EAP

и CFP BFP=BAP EAP,

то CDP = EAP:

следовательно, окружность CDF проходит через точку P. Тоже справедливо и для окружности BCE.

Общая точка четырех окружностей, описанных около тр-ков, составленных сторонами полного четырехугольника, называется точкой Микеля.

рис.11

Очевидно, что все тр-ки, составленные сторонами полного четырехугольника, имеют общую прямую Симсона, соответствующую точке Микеля. Это значит, что проекции точки Микеля на стороны полного четырехугольника расположены на одной прямой.

13

Конциклические точки.

Четыре точки (или более), находящиеся на одной окружности, называются конциклическими или гомоциклическими.

Если четыре конциклические точки A, B, C, D соединить с точками. О и. О той же окружности, то

(О, ABCD) =(О, ABCD),

т.е. анагармоническое отношение четырех лучей пучка О, ABCD не зависит от положения точки О на окружности, а зависит только от относительного положения точек A, B, C, D.

Анагармоническое отношение четырех лучей пучка с вершиной на окружности называется анагармоническим отношением четырех конциклических точек, через которые проходят лучи этого пучка.

Если в точках А и В окружности , имеющей центр в О , провести касательные и обозначить точки их пересечения с произвольной третей касательной к ой же окружности через а и b, то

аОb=АОВ.

Поэтому, если касательные в четырех данных точках окружности(А, В, С, D) пересекаются с произвольной пятой касательной L к той же окружности в точках а,b, с, d, то ангармоническое отношение этих четырех точек не зависит от положения касательной L, а зависит только от относительного положения точек А, В, С, D или касательных в этих точках.

Ангармоническое отношение точек пересечения четырех касательных к окружности с пятой касательной наз. ангармоническим отношением четырех касательных.

Ангармоническое отношение четырех касательных к окружности равно ангармоническому отношению четырех точек касания.

14

Предположим, что основания двух рядов А, В, С,…..и А ВС…..совпадают, так, что оба ряда расположены на одной прямой L.

Если для одного ряда заданы четыре точки А, В, С, D, а для другого ряда можно найти такую четвертую точку D, что ряды будут проективны, т. е. (А, В, С, D)= (А, В, С, D).

Соединим какую-нибудь точку S произвольно взятой окружности с данными точками ряда и обозначим точки пересечения этой окружности этой окружности с лучами пучков S, АВСD и

S, АВС , через a, b, c, d и a, b, c (рис.12)

рис.12

Соединив a с a,b,c,d и a с a,b,c, через пересечение прямых ab и ab, acи aпроведем прямую l .

Точку пересечения l с ad соединим с а и пересечение полученной прямой с окружностью обозначим через d.

Прямая Sd пересечет основания рядов в искомой точке D.

Так как

(АВСD)=(S, abcd)= ( а,abcd)=( а,abcd)=

=(S, abcd)=( А ВСD).

15

Если точки а и а соединить с какой нибудь точкой прямой l и обозначить точки пересечения окружности с полученными прямыми через e и e , то прямые S e и S e пересекут общее основание рядов в соответственных точках Е и Е,

удовлетворяющих условию проективности, так что

(АВСD)=( А ВСD).

Если прямая l пересекается с окружностью в а и а, то пересечение прямых au и auс окружностью совпадут с точкой u , а поэтому прямая S u , пересечет основание рядов в их общей точке U , так что

(ABCU)= (ABCU).

Пересечение прямой S u с основанием рядов дает вторую их общую точку U.

Таким образом, проективные ряды с общим основанием могут иметь две общие точки.

Свойствами проективных рядов и пучков удобно пользоваться в таких случаях , когда требуется доказать, что несколько точек находится на одной прямой или что несколько прямых пересекаются в одной точке

16

Гармонические точки.

Четыре точки, ангармоническое отношение которых равно -1, наз. гармоническими точками.

Так если

(АВСD)= -1,

то А, В, С, D суть гармонических точек.

Из четырех точек , две точки, обозначенные в символе (АВСD) первыми двумя(А и В)= буквами или последними(С и D), наз. гармонически сопряженными.

Из четырех точек составляются всегда только две пары гармонически сопряженных.

Отрезки АВ и СD, ограниченные каждый двумя гармонически сопряженными точками, наз. также гармонически - сопряженными.

Из предыдущего следует, что четыре гармонические точки образуют на прямой только два отрезка гармонически сопряженных.

Из условия

(АВСD)=

следует, что

или,

Т. е. что отрезок АВ делится в точках C и D в одном и том же отношении. Таким образом концы одного из двух гармонически сопряженных отрезков образуют на другом внутреннее и внешнее деление в одном и том же отношении. Такое деление наз. гармоническим.

17

Рассматривая только абсолютную величину отрезков, из пропорции

находим, что при СА>СB и DA>DB,следовательно две точки (С и D), делящие гармонически данный отрезок (АВ), находятся по одну сторону от середины этого отрезка.

Если одна из этих точек (С и D), делящие гармонически данный отрезок (АВ), находится в середине его, то другая бесконечно удалена.

Так как, если С совпадает с серединой АВ , то , поэтому

; но

следовательно, равенство возможно только при DB=.

Если точка О служит началом ряда А, А, А……А и точка М того- же ряда удовлетворяет равенству

,

где n число точек А, А, А……А, то отрезок ОМ наз. средним гармоническим отрезков ОА, ОА,…., ОА.

Точка М в этом случае наз. центром средних гармонических точек А, А, А……А .

Таким образом, из равенства

следует, что:

Расстояние от одной гармонической точки до другой есть среднее гармоническое расстояние той- же точки от двух других гармонически сопряженных точек.

Каждая из четырех сопряженных точек, относительно сопряженной с ней точкой, есть центр средних гармонических остальных двух точек.

18

Изогональные точки треугольника.

Две точки наз. изогональными или изогонально-сопряженными точками треугольника, если прямые, соединяющие их с каждой вершиной этого треугольника, являются изогональными прямых.

(Две прямые, проходящие через вершину угла и составляющие равные углы с его биссектрисой наз. изогональными относительно этого угла или относительно его сторон.).

Изогональные точки треугольника иногда наз. обратными.

Из свойств изогональных прямых следует, что:

Произведения расстояния изогональных точек треугольника до каждой из его сторон равны.(рис. 13)

PP* QQ= PP* QQ= PP* QQ.

Проекция изогональных точек треугольника на его стороны расположены на одной окружности, центр которой находится в середине расстояния между этими точками.

Например, точки P,Q,P,Q.P,Q расположены на одной окружности , центр которой находится в середине О прямой РQ

(рис. 12), так что OP=OQ=OP…..

рис.13

19

Прямые, соединяющие одну из изогональных точек тр-ка с его вершинами, перпендикулярны к прямым, соединяющим проекции другой точки на стороны треугольника.

Так (рис.12) : АРQQ, ВРQQ, СРQQ,

и АQPP, BQPP, CQPP.

Прямые, соединяющие проекции изогональных точек на две стороны тр-ка , антипараллельны относительно этих сторон.

Например, PP и QQ антипараллельны относительно АВ и АС (рис. 12).

Точка, симметричная с одной из изогональных точек относительно сторон тр-ка, равно отстаёт от другой изогональной точки.

Например, если точка Pсимметрична с Р относительно ВС

(рис. 12), то PQ =2 PО.

Так как высоты тр-ка и диаметры описанного круга , проходящие через вершины его , являются изогональными прямых, то ортоцентр и центр описанного круга являются изогональными точки тр-ка.

Поэтому основания высот и медиан тр-ка находятся на одной окружности ; центр этой окружности делит пополам расстояние между ортоцентром и центром описанного круга, а радиус равен половине описанного круга.

Из свойств изогональных точек следует также, что радиусы круга, описанного около тр-ка , проведенный через его вершины, перпендикулярны к сторонам ортоцентрического тр-ка.

Точки, симметричные с ортоцентром тр-ка относительно его сторон, находятся на окружности, описанной около тр-ка.

Точки симметричные с центром описанного круга относительно сторон тр-ка, находятся на окружности , описанной из ортоцентра радиусом равным радиусу описанного круга.

20

Симметрично - обратные точки.

Если точки М и М обратные относительно вершины А тр-ка АВС и степень инверсии равна произведению АВ*АС=bс, то точка М, симметричная с Мотносительно биссектрисы угла А, наз. симметрично - обратной точки М относительно

вершины А тр-ка АВС. Точка М, симметричная с М относительно той же биссектрисы и точка М, обратная с М, тоже симметрично обратная.

Из определения следует, что симметрично - обратной точки относительно вершины тр-ка А находятся на прямых изогональных относительно угла А.

Так как

АМ * АМ= bс,

то АМ *АМ =АМ *АМ=bс,

так как АМ= АМ и АМ= АМ.(рис.14)

Теорема. Если из двух изогональных прямых относительно угла А тр-ка АВС одна пересекает сторону ВС в D, то

D и D симметрично обратные точки относительно вершины А тр-ка АВС.

рис.14

Так как из подобия тр-в АВD и. А DС следует, что

;

поэтому

AD*AD-AC*AB=b*c.

21

Следствие. Так как высота тр-ка АН и диаметр АЕ описанного круга изогональны относительно угла А, то Н и Е точки симметрично обратные относительно вершины А тр-ка АВС.

Теорема. Если М и N точки симметрично обратные с точками М и N, находящиеся на прямых, изогональных относительно угла А, то прямая MN и MN параллельны.

Последние две теоремы дают следующий простой способ построения точки М , симметрично обратной с данной точкой М относительно вершины А тр-ка АВС.(рис. 15)

Обозначив через D точку пересечения окружности АВС с прямой АМ, проведем через D прямую, параллельную ВС; пересечение этой прямой с окружностью АВС обозначим через Е.

Если прямая АЕ пересекается с ВС в точке D , то прямая, параллельная М D и проходящая через D, пересекается с АЕ в

искомой точке М.

Действительно, так как дуги

то прямая В D и СЕ равны, то

прямая А D и АЕ изогональны

относительно угла А; поэтому

А D* D= b*c.

Из подобия тр-ков АМ D и А DМ следует, что

;AD

рис. 15 отсюда

АМ*АМ- AD* А D=bc.

22

Изоциклические точки.

Точки пересечения прямой, проходящей через вершин. А тр-ка АВС, с окружностью, проходящей через вершины его В и С, наз. изоциклическими относительно ВС.

Теорема. Если М и N изогональные точки тр-ка АВС, а точки М и N,являются сочками симметрично - обратными относительно вершины А того-же тр-ка.

Так как , из равенства углов

ВАN= CAN

и

ANB=BCM=ACN

следует, что тр-ки АВ N и А NС подобны, а поэтому

,

Обратно, точка М, симметрично- обратная с М, изоциклична с точкой N.

Следствие. Так как

ABN=ANC,

то(рис.15) ABB=CNM=CBM;

следовательно, суть изогональные точки тр-ка АВС.

Таким образом, точки симметрично- обратные с изогональными точками тр-ка, тоже изогональные точки этого тр-ка.

Точки(М и N) симметрично-обратные с изоциклическими точками(М и N), тоже являются изоциклическими.

23

Изотомические точки треугольника.

Две точки на стороне тр-ка равноотстоящие от середины этой стороны, наз.изотомическими точками

Изотомические точки какой-либо стороны тр-ка, находятся на равном расстоянии от концов этой стороны.

Например, если А и А Изотомические точки стороны ВС тр-ка АВС, обозначив через А середину ВС по определению получим (рис.16):

АА=АА;

следовательно

ВА=СА или СА=ВА.

Две секущие тр-ка, пересекающие его стороны в изотомических точках наз. взаимно секущими.

Теорема. Если стороны тр-ка АВС пересекаются с какой нибудь прямой в точках А, В, С , то точки А, В, С Изотомические с А, В, С, находятся на одной прямой.(рис15)

рис.16

Теорема Шлемильха. Прямая соединяющая середины сторон треугольника с серединами соответственных высот тр-ка, пересекаются в одной точке.

24

Изотомически сопряженные или взаимные точки тр-ка.

Если три прямые, проходящие через вершины тр-ка, пересекаются в точке Х, а прямые изотомические с ними в

точке У, Х и У наз. изотомически сопряженными или взаимными точками тр-ка. (рис.17)

Прямые, соединяющие вершину тр-ка с его изотомически сопряженными точками, наз. также изотомически сопряженными.

Точка Жергона и точка Нагеля по сути изотомически сопряженные точки тр-ка. Добавочные точки Жергона с соответственными добавочными точками Нагеля образуют также три пары изотомически сопряженных точек тр-ка.

рис. 17

Центр окружности, описанной около тр-ка и точки пересечения прямых, соединяющих середины его сторон с серединами соответствующих высот, являются изотомически сопряженными точками дополнительного тр-ка.( по теореме Шлемильха)

25

Точки Енжабека.

Если прямая, поведенная от точки А параллельна сторонам тр-ка ( АВ, ВС, СА) до пересечения с другими сторонами( ВС, СА, АВ), равны то точка J наз. точкой Енжабека тр-ка АВС.(рис.18)

рис.18

Для построения точки Енжабека проводим через вершины тр-ка АВС прямые, параллельные противоположным его сторонам, и откладываем на них равные отрезки AL , BM, CN. Проведя затем через точки L,M, N прямые LL , MM , NN , параллельные АС, АВ и ВС, получим тр-к АВС, гомотетичный с АВС; центр гомотетии этих тр-ков, т. е общая точка прямых АА, ВВ, СС, есть искомая точка J .Тка кА поведя прямые JD, JE , JF параллельно АВ, ВС, СА, получим:

и ;

Следовательно, JD=JE=JF, т.е. J есть точка Енжабека.

Очевидно, что для тр-ка можно построить две точки Енжабека.

26

Точка Лемуана.

Точка пересечения симедиан тр-ка (К), наз. точкой Лемуана этого тр-ка.

Прямые симметричные с медианами тр-ка относительно его внутренних биссектрис, наз.. симедианами.

Из предыдущего видно, что точка Лемуана данного тр-ка есть точка, изогонально-сопряженная с барицентром этого тр-ка(центр медиан) .

Симедиан тр-ка являются прямыми, соединяющими вершины тангенциального тр-ка ККК (тр-к стороны, которого касаются круга, описанного около данного тр-ка в его вершинах , наз. тангенциальным тр-м)с точками касания его сторон и вписанной окружности ; поэтому точка Лемуана данного тр-ка служит точкой Жергона для тр-ка тангенциального.

Теорема Лемуана. Точка Лемуана К тр-ка АВС совпадает с барицентром тр-ка , вершины которого являются проекциями точки К на стороны АВ, ВС, СА.

Обозначим через D, E, F проекции точки Лемуана К тр-ка АВС на его стороны (рис.19)и обозначим

KD=x , KE=y, KF= z.

рис.19

Так как ВАС+EKF=180, то площади тр-ков АВС и KEF относятся, как произведения сторон, составляющих эти углы,т.е

;

по аналогии , ;

27

но

поэтому

следовательно, тр-ки KEF , KDF и KDE равновелики, а потому барицентр тр-ка DEF совпадает с точкой К.

Следствие. Перпендикуляры KD, KE и KF из точки Лемуана К тр-ка АВС на его стороны являются медианами тр-ка DEF.

Точка Лемуана тр-ка (АВС), стороны которого проходят через вершины другого тр-ка(DEF)и перпендикулярны к его медианам, совпадает с барицентром этого второго тр-ка.

Антипараллели тр-ка, проходящие через точку Лемуана, равны и делятся в этой точке пополам.

Прямые, соединяющие середины сторон тр-ка с серединами соответствующих высот, пересекаются в точке Лемуана.

Доказательство теоремы Шлемильха обнаруживает ,что точка Лемуана К данного тр-ка и центр О, описанного около него круга, являются изотомически сопряженными точками дополнительного тр-ка.

Теорема. Если симедианы тр-ка АВС пресекаются с описанной окружностью в А, В, С, то тр-ки АВС и АВС имеют общую точку Лемуана.

Из точки Лемуана К тр-ка АВС опустимна его стороны перпендикуляры KD, KE, KF.(рис.20). Так как чет-к BDKF вписывается в круг, то

KDF=KBF=BBA=AAB.

28

Чет-к CDKE также вписывается в круг; поэтому:

KDF=KCE=CCA=AAC

следовательно

EDF=ВАС

и по аналогии DEF=ABC=DEF=ACB

рис.20

Таким образом тр-ки DEF и АВСподобны.

Равенства углов KDF=AAB KDE=AAC,

и аналогичные им показывают, что точка К , отнесенная к тр-ку АВС , соответствует точке, изогонально-сопряженной с этой точкой относительно тр-ка DEF точка К служит

барицентром , а точка изогонально- сопряженная с К точкой Лемуана; следовательно ,К есть точка Лемуана тр-ка АВС.

29

Дополнительные и антидополнительные точки.

Пусть АВС и А''В''С'', являются дополнительным и антидополнительным тр-ми для тр-ка АВС.

Эти тр-ки гомотетичны относительно их общего барицентра G.(рис.21)

рис.21

Если М, М и М'' соответственные точки тр-ка АВС , А'В'С' и А''В''С'' , то точка М' ,наз. дополнительной , М'' антидополнительной точке М.

Такие три точки , как соответственные гомотетичных тр-в АВС, А'В'С' и А''В''С'', находятся на одной прямой, проходящей через их центр гомотетии G, при чем

GM'=1/2 GM и GM''=2GM.

Отсюда следует, что отрезок ММ'' делится пополам в точке М'; отрезок ММ' делится гармонически в точках G и M'' в отношении 2:1.

Вершины тр-в А'В'С' и А''В''С'' являются дополнительными и антидополнительными точками вершин тр-каАВС.

30

Центры I ,I', I'' кругов, вписанных в тр-ки АВС, А'В'С', А''В''С'' являются соответственными точками тр-в; поэтому I' и I'' являются дополнительными и антидополнительными точками для точки I., следовательно, эти три точки находятся на одной прямой, походящей через барицентр G тр-ка АВС.

Центр круга О, описанного около тр-ка АВС, есть ортоцентр дополнительного тр-ка А'В'С' ; поэтому О есть дополнительная точка ортоцентра Н тр-ка АВС; следовательно , прямая Эйлера НО тр-ка проходит через его его барицентр G.

Центр О' окружности, описанной около тр-ка А'В'С' , т.е. центр окружности Эйлера, есть точка дополнительная центру круга О, находится на прямой Элера НО и отрезок GH делится гармонически в О и О'.

31

Постоянные точки.

Теорема. На окружности подобия трех прямо подобных фигур есть три постоянные точки, через которые проходят соответственные прямые этих фигур, пересекающиеся на окружности подобия.

Через центр гомологии К тр-в SSS и DDDпроведем прямую, параллельную сторонам последнего тр-ка и обозначим точки пересечения этих прямых с окружностью подобия через Р, Р, Р.(рис.22).

рис. 22

Так как

и

,

то КР, КР, КР соответственные прямые прямо подобных фигур

F,F,F.

32

Для различных тр-в DDD точка К имеет различные положения на окружности SSS ; но точки Р, Р, Р остаются одни и те же; так как ,например, угол SKP равен углу, который образует прямая DK и DD и поэтому сохраняет постоянную величину.

Три точки Р, Р, Р на окружности подобия трех прямо подобных фигур, через которые проходят соответственные прямые этих фигур, пересекаются на окружности подобия, наз. постоянными точками.

Постоянные точки прямо подобных фигур являются соответственными точками этих фигур.

Прямые соединяющие постоянные точки трех прямо подобных фигур с какой-нибудь точкой окружности подобия, являются соответственными прямыми этих фигур.

33

Направляющая и добавочные точки.

Центр гомологии Е постоянного тр-ка и тр-ка подобия трех прямо подобных фигур, наз. направляющей точкой этих фигур.

Расстояния направляющей точки Е трех прямо подобных фигур от сторон постоянного тр-ка РРР обратно пропорциональны соответствующим отрезкам а, а, а этих фигур.

Три прямо подобные фигуры FFF определяются их направляющей точкой Е и тр-м подобия SSS или постоянным тр-м РРР.

Если точка S' фигуры F, есть соответственная общей точке S фигур F и F и подобные же значения имеют точки S' и S' относительно точек S и S , то S'S' S' наз. добавочными точками трех прямо подобных фигур F,F,F .

Теорема. Постоянный тр-к РРР , тр-к подобия SSS и тр-к S'S'S' имеющий вершинами добавочные точки трех прямо подобных фигур, гомологичны и имеют общий центр гомологии в направляющей точке Е этих фигур.

Так как S' S и Sсоответственные точки подобных фигур F,F,F , то S' Р, S Ри S Р соответственные прямые этих фигур, пересекающиеся в одной точке , значит, прямая S' Р проходит через S; подобным же образом, прямые S' Р и S' Р проходят через S и S, следовательно, тр-ки РРР, SSS и

S'S' S' гомологичны и имеют общий центр гомологии в

точке Е.

Теорема Нейберга. Если три соответственные точки прямо подобных фигур находятся на одной прямой, то эта прямая проходит через направляющую точку этих фигур.

34

Пусть С,С,Ссоответственные точки прямо подобных фигур F,F,F , расположенные на одной прямой (рис.22).

Так как Sесть центр подобия фигур F и F, то тр-ки С S С и

Р SР подобны, а потому

S С С=S Р Р=S S Е;

подобным образом убедимся, что

S С С=SSЕ,

следовательно,

S С S=SЕS,

т.е. Снаходится на окружности SЕS, а поэтому

S СЕ +S С С= S СЕ +S S Е=180,

значит, прямая С,С,С проходит через точку Е.

Следствие. Соответственные точки С,С,С прямо подобных фигур расположенные на одной прямой, находятся соответственно на окружностях SЕS , SЕ Sи SЕS.

Так как S' S и S соответственные точки фигур F,F,F,то окружность SЕS, проходит через добавочную точку S'.

Прямые РС, РС, РС пересекаются в одной точке на окружности подобия

35

Обозначим через Н ортоцентр тр-ка АВС, через Н, Н, Н основания его высот и через Е, Е, Е точки Эйлера, т.е. середины отрезков АН, ВН, СН. Так как стороны ортоцентрического тр-ка ННН антипараллельны сторонам тр-ка АВС, так что

А=ВНН=С НН,

В=А НН=С Н Н,

А Н Н=А Н Н=В Н Н,

то тр-ки А НН, В Н Н и С НН подобны и сходственно расположены.

Отрезки А Н, НВ и ННсоответственные прямые этих тр-в; но

А Н=АВ* cos А,

НВ = АВ * cosВ,

НН= АВ * cosС;

поэтому, если а, а, а соответственные отрезки прямых этих тр-в, то

.

Обозначив через , , углы, составляемые соответственными прямыми тр-в ВНН и С ННи А НН,

А НН и В Н Нполучим:

=ВНН= 180=А,

=А НН=180= В,

=А Н Н=180=С.

36

Точки Н, Н, Н и Е, Е, Е -центры подобия и постоянные точки рассматриваемых тр-в ; поэтому окружность Эйлера ННН есть окружность их подобия; ортоцентр Н- направляющая точка, а вершины тр-ка АВС добавочные точки. Из этого следует, что прямые, ,проходящая через точки Е, Е, Е и пересекающиеся на окружности Эйлера, являются соответственными прямыми тр-в А НН, В Н Н и С НН. Точки пересечения всякой прямой, проходящей через ортоцентр Н, с окружностями Н НН, Н НН и Н Н Н этих же тр-в.

37

Точки Брокара.

Центры гомологий и треугольника АВС и первого треугольника Брокара (рис.23) называются точками Брокара треугольника АВС. Из предыдущего видно, что:

Каждая из точек Брокара, есть общая точка трех непарных сопряженных окружностей треугольника.

Точки Брокара находятся на окружности Брокара.

Точки Брокара суть изогонально-сопряженной точки треугольника.

Прямые, соединяющая вершины треугольника с точками Брокара образуют со сторонами треугольника углы равные углу Брокара.

Точки Брокара и иногда обозначаются через и называются первой и второй точкой Брокара.

рис. 23

Первая точка Брокара называется также положительной или возвратной, вторая точка Брокара в таком случае называется отрицательной или прямой.

38

Прямая Брокара.

Прямая , соединяющая точки Брокара треугольника, называется прямою Брокара.

Так как прямая параллельна , то

и ;

следовательно

а поэтому прямая Брокара перпендикулярна к прямой Тукера КО.

Из этого следует, что и , где - угол Брокара.

Теорема. Прямые, проходящие через вершины треугольника АВС и параллельные противоположным сторонам первого треугольника Брокара пересекаются в одной точке на окружности АВС.

Предположим, что прямая, проходящая через А и параллельная , пересекается в одной точке на окружности АВС.

Прямые ВС и как соответственные прямые подобных треугольников АВС и , составляющих равные углы с осью Штейнера хх', поэтому и AR параллельны ВС и , образуют также равные углы с хх', а так как эти прямые проходят через соответственные точки и А треугольников и АВС, то они также суть соответственных прямых этих треугольников.

Таким образом прямые, проходящие через А, В, С и параллельные , , суть соответственных прямых , , пересекающимися в одной точке К на окружности , следовательно, они пересекаются в одной точке R на окружности АВС.

39

Точка Штейнера.

Точка пересечения R прямых ,походящих через вершины тр-ка АВС и параллельных противоположным сторонам первого тр-ка Брокара АВС ,наз. точкой Штейнера тр-ка АВС.

рис.24

Из доказательств последней теоремы следует, что точка Штейнера R и точка Лемуана К тр-ка АВС являются соответственными точками тр-в АВС и АВС.

Теорема. Перпендикуляры из вершин тр-ка АВС на противоположные стороны первого тр-ка Брокара АВС пресекаются в одной точке на окружности АВС.

40

Положим, что перпендикуляр из а на ВС пересекается с окружностью АВС в точкеN (рис .24 ).

Так как ВС и ВС как соответственные прямые подобных тр-в АВС и АВС составляют равные углы с осью Штейнера хх,то перпендикуляры АА и AN к этим прчмым , проходящие через соответственные точки А и А тр-в АВС и АВС ,являются также соответственными прямыми этих тр-в.

Таким образом, перпендикуляры А, В, С на ВС, СА, АВ, являются прямыми соответственными прямым АА,ВВ, СС, пересекающимися в одной точке О на окружности АВС; следовательно, они пересекаются на одной точке N на окружности АВС.

41

Точка Тарри.

Точка пересечения N перпендикуляров из вершин тр-ка АВС на противоположные стороны первого тр-ка Брокара АВС , наз. точкой Тарри тр-ка АВС.

Примечание. Треугольник АВС (рис. 25), вершины которого являются точками пересечения окружности Брокара с параллелями Лемуана тр-ка АВС, наз. первым тр-ком Брокара.

рис.25

Из доказательства предыдущей теоремы видно, что точка Тарри N и центр круга О , описанного около тр-ка АВС , являются соответственными точками тр-ка АВС и АВС.

Так как точка Лемуана К и центр О круга АВС являются диаметрально противоположными точками окружности АВС, то соответственные им точка Штейнера В и точка Тарри N являются диаметрально противоположными точками окружности АВС.

42

Циклотомические точки.

Если три окружности ВМС, СМА, АМВ, являются хордами стороны треугольника АВС, пересекаются в одной точке М, а окружность симметрична с ними относительно сторон треугольника в точке N, то точки N и M называются циклотомическими точками треугольника АВС.

Если одна из циклотомических точек находится внутри треугольника или в одном из его вертикальных углов, то другая находится в одном из внешних углов того же треугольника. Обратно, если одна из этих точек лежит во внешнем углу треугольника, то другая находится или внутри треугольника, или в одном из его вертикальных углов.

Теорема. Если внешняя дуга трех окружностей, имеющих хордами стороны данного треугольника, вмещают углы , равные углам другого тр-ка, то такие три окружности пересекаются в одной точке.

Пусть даны два треугольника АВС и A'B'C'. Положим, что ровная дуга окружности АВ, АС и ВС, имеющих хордами стороны треугольника АВС, вмещают углы C', B', A' и обозначим через D точку пересечения окружностей АВ и АС.

Если D находится внутри треугольника АВС

то

и

следовательно, внутренняя дуга окружности ВС, вмещающая угол

также проходит через точку D.

Если D получится в одном из вертикальных углов треугольника АВС, например в вертикальном угле А , то

и

значит и в этом случае внутренняя дуга окружности ВС проходит через точку D.

43

Заметим, что рассматриваемые три окружности не могут иметь общую точку D в части плоскости ограниченной одной стороной треугольника, например ВС, в продолжении двух других сторон его ибо, в этом случае должно-бы быть

что невозможно, так как через D проходили бы внутренние дуги окружностей АВ и АС, вмещающие углы

и внешняя дуга окружности ВС, имеющая

угол А'.

Следствие. Три окружности, описанные на сторонах треугольника АВС так, что внутренние дуги их вмещают углы равные углам треугольника A'B'C', пересекаются в одной точке Е, циклотомической с точкой D.

Ибо эти окружности симметричны с окружностями ADB, BDC,CDA относительно сторон треугольника ABC.

Точка Е как циклотомическая с D не может быть внутри треугольника АВС не в одну из вертикальных углов его, а всегда находится в одном из внутренних углов треугольника.

44

Точка Торричелли.

Изогонические центры.

Точки из которых стороны данного треугольника АВС видимы под углами в или называются изогоническими центрами этого треугольника.

По этому определению, Изогонические центры какого-либо треугольника АВС суть его метаполюсы относительно правильного треугольника; следовательно, изогонические центры треугольника U и U' суть точки, изогонально сопряженной с его изодинамическими центрами W и W'.

Очевидно, что общие точки U и U' трех внешних и трех внутренних окружностей Торричелли тр-ка АВС являются изогоническими точками тр-ка.

Изогонические центры U и U' тр-ка АВС, как метаполюсы этого тр-ка, являются циклотомическими точками, поэтому один из них U', наз. первым , всегда находится или внутри тр-ка или в одном из вертикальных его углов второй изогонический центр U' лежит всегда в одном из внешних углов тр-ка.

Если каждый из углов тр-ка АВС не превышает 120, то первый изогонический центрU находится внутри тр-ка и поэтому наз. внутренними.

Внутренний изогонический центр U тр-ка АВС наз. также точкой Торричелли этого треугольника.

Теорема. Сумма расстояний точек Торричелли треугольника от его вершин есть min.

Будем считать, что точка Z плоскости треугольника АВС

(рис. 26 ) удовлетворяет условию:

Z+BZ+CZ=minim.

Описав около точки А окружность радиусом AZ и проведя к этой окружности касательную в точку Z, заметим, что при данном расстоянии AZ и при условии:

BZ+CZ=minim;

45

касательная должна составлять равные углы и с AZ.Рассуждая также относительно вершины В прейдем к заключению, что прямая AZ и CZ должны составлять равные углы с BZ. Следовательно, точка Z должна удовлетворять условию:

,

которая выполняется, когда Z совпадает с точкой Торричелли треугольника U

Теорема. Прямая соединяющая вершины треугольника АВС с противолежащими вершинами внешних или правильных внутренних треугольников, построенных на его сторонах, равны и пересекаются в изогоническом центре треугольника.

рис. 26

Действительно, треугольники FAC и EAB (рис.27) равны, так как

и AF=AB, AC=A; значит, BE=CF и по аналогии,

AD=BE=CF.

Так как ,

то ;

следовательно, прямая FC проходит через U, что и требовалось доказать.

Аналогичным способом можно убедиться, что

AD'=BE'=CF'

и что эти прямые проходят через U штрих.

46

Правильные антиподарные треугольники.

Обозначим через A'B'C'(рис. 27) антиподарный треугольник точки U относительно треугольника АВС. Так как стороны этого треугольника B'C', C'A', A' B' соответственно перпендикулярны к прямым UA,UB,UC и потому параллельны сторонам правильного треугольника abc, то этот треугольник (A'B'C') правильный.

Антиподарный треугольник точки U' относительно треугольника АВС также правильный. Итак:

Антиподарные треугольники изогонических центров U и U' треугольника АВС относительно этого треугольника является правильными треугольниками.

Очевидно, что вершины правильных антиподарных треугольников треугольника АВС находятся на окружностях Торричелли этого треугольника

рис.27 рис.27

47

Прямые UA', UB', UC', соединяющие изоганический центр U с вершинами правильного антиподарного треугольника, являющиеся диаметрами окружностей Торричелли; поэтому углы UDA', UEB', UFC' - прямые и прямые A'D, B'E, C'F параллельны B'C', C'A',A'B'; значит, прямые AD, BE, CF равны высотам правильного треугольника A'B'C'. Таким образом:

Прямые, соединяющие вершины треугольника АВС с противолежащими вершинами правильных внешних и внутренних треугольников, построенных на его сторонах, равны высотам правильных антиподарных треугольников.

Если изогонический центр U находится внутри треугольника АВС, то, обозначив через H' высоту правильного антиподарного треугольника H'B'C' и через a'- его сторону, получим:

a'* (UA+UB+UC) = a'*H',

отсюда UA+UB+UC=H'=AD=BE=CF

Таким образом сумма расстояний точек Торричелли треугольника от его вершин равна высоте правильного антиподарного треугольника.

Если же U находится в одном из вертикальных углов треугольника АВС, например в вертикальном углу А, то

a'*(UB+UC-UA)=a'*H',

то есть UB+UC-UA=H'=AD=…

для изогонического центра U', находящегося в части плоскости, ограниченной стороной ВС и продолжениями сторон АВ и АС (рис. 27), имеет место равенство:

U'B+U'C-U'A=H"=AD'=BE'=CF',

где H"-высота правильного антиподарного треугольника (A"B"C") точки U' относительно треугольника АВС.

48

Литература

1. 1. Адамар Ж. Элементарная геометрия. Ч. I: Планиметрия. - М.: Учпедгиз, 1936.

2. Ефремов Д. Новая геометрия треугольника. - Одесса, 1902.

3. Зетель С.И. Новая геометрия треугольника. - М.:

Учпедгиз, 1962.

4. КоксетерГ.С.М. Введение в геометрию. - М.: Наука, 1966.

5. Коксетер Г.С.М., Грейтцер С.Л. Новые

встречи с геометрией. - М.: Наука, 1978.

б Перепелкин ДИ. Курс элементарной геометрии. ч. 1:

Геометрия на плоскости. - М.: Учпедгиз, 1949.

7. Понарин Я.П. Элементарная геометрия. Т. 1. - М.:

МЦНМО,2004.