Обобщающий урок по теме Производная и применение производной

Обобщающий урок по теме "Производная и применение производной" Учитель математики

Готина Р. В.

гимназия №103

г. Минеральные Воды.

Тип урока: Урок обобщения и систематизации знаний.

Цели урока:

Дидактическая : создать условия для систематизации изученного материала, выявления уровня овладения системой знаний и умений

Образовательные: обобщить и систематизировать знаний учащихся по данной теме, закрепить умения нахождения производной, применения правил дифференцирования, составления уравнений касательной к графику функции в заданной точке, находить скорость и ускорение материальной точки; подготовить к ЕГЭ

Развивающие: способствовать формированию ключевых компетентностей, развитию элементов творческой самостоятельной деятельности учащихся, логического мышления, развитие математической речи, , сообразительности, внимательности

Воспитательные: воспитание устойчивого интереса к изучению математики через применение различных видов деятельности на уроке, толерантности, культуры речи, уверенности в себе, ответственности за качество и результат выполняемой работы на уроке,трудолюбия, аккуратности.

Оборудование: раздаточный материал с тестовыми заданиями,компьютерная презентация (PowerPoint.

Формы организации учебной деятельности: фронтальная, групповая, индивидуальная.

Форма урока: традиционная с элементами программированного обучения, с элементами адаптивной системы обучения.

Планируемый результат урока: Учащиеся должны знать правила нахождения производных и быть готовыми к выполнению контрольной работы, отработать навыки применения теоретических знаний расчета производной функции на учебных примерах, почуствовать ответственность за качество и результат выполняемой работы на уроке.

Показатели выполнения психологической задачи данного этапа:

• доброжелательный настрой учителя и учащихся;

• быстрое включение класса в деловой ритм;

• организация внимания всех учащихся;

• кратковременность организационного момента;

• полная готовность класса и оборудования к работе.

Ход урок

1. Организационный момент Добрый день, друзья! Рада вас видеть. Я желаю вам сегодня на уроке удачи, точных расчетов и вычислений, новых открытий. И ответьте, пожалуйста, на мой первый вопрос: «Какую тему мы изучаем?" (Производная и применение производной ") Посмотрим как вы умеете находить производные, вычислять их значение в данной точке, составлять уравнение касательной, решать различные задачи. Сегодня на уроке нам предстоит обобщить, систематизировать и углубить знания о производной.

Откройте тетради и запишите тему урока:" Производная и применение производной". А я расскажу короткую притчу о учебе и знаниях, от Леонардо Да Винчи.

Получив однажды сильный удар от огнива, кремень возмущенно спросил у обидчика: - С чего ты так набросилось на меня? Я тебя знать не знаю. Ты меня, видимо, с кем-то путаешь. Оставь, пожалуйста, мои бока в покое. Я никому не причиняю зла. - Не сердись попусту, сосед, - с улыбкой промолвило огниво в ответ. - Если ты наберешься немного терпения, то вскоре увидишь, какое чудо я извлеку из тебя. При этих словах кремень успокоился и стал терпеливо сносить удары огнива. И наконец из него был высечен огонь, способный творить подлинные чудеса. Так терпение кремня было по заслугам вознаграждено.

Притча сказана для тех, кто поначалу робеет в учебе. Но если запастись терпением и проявить старание, то посеянные семена знания непременно дадут добрые всходы. Ученья корень горек, да плод сладок. И так терпения вам и удачи.

II Актуализация опорных знаний (10мин) (Повторение и систематизация теоретических знаний).

1этап

Класс делится на пять группы, каждой группе выдается карточка с вопросами на повторение, в группах идет обсуждение ответов, коррекция знаний , подготовка к ответам. Первая команда выбирает вопрос, на который хотела бы услышать ответ и команду, которая будет отвечать, внимательно слушает ответ и дополняет, если ответ не полный. Затем команда ответившая, выбирает вопрос и команду, которая будет отвечать на следующий вопрос. Каждый член команды отвечает один раз, и второй раз после того как все в команде уже отвечали. Команды обмениваются вопросами, обсуждают ответы, пока все вопросы карточки не будут озвучены.(Все ответы и дополнения фиксируются в оценочный лист) Карточка команде для устной работы:

1. Что такое производная функции? В чем состоит физический и геометрический смысл производной.

2. Назовите правила нахождения производной суммы , степени, произведения и частного.

3. Как найти производную сложной функции? Как называют операцию нахождения производной?

4. Назовите производные тригонометрических функций.

5. Написать уравнение касательной и формулу Лагранжа. Слайд 2

2этап

Составь пару. Работа в группах. (слайд 6)

Объяснение задания: В клетках таблицы записаны функции. Для каждой функции найдите производную и запишите соответствие клеток. Например:следовательно: ответ:1- 9; и т.д.

1.

6.

11.

16.

в

2.

Х

7.

12.

- 3

17.

cos x

3.

-9x

8.

sin x

13.

- sin x

18.

4.

-8

9.

14.

19.

0

5.

-9

10.

15.

вх

20.

Ответы: 1-9; 6-3; 11-14; 16-19; 2-4; 7-18; 12-19; 17-13; 3-5; 8-17; 4-19; 5-19; 15-16;10-20. (слайд 6)

Ученики выставляют в оценочный лист баллы, 1 балл за один правильный ответ. Затем проверяем вместе. Каждой группе по 4 вопроса.

III. Практическое задание №1( 5 мин.)

У каждой группе на столе лежит карточка с заданием на применение правил дифференцирования «Найдите производную функции», содержащая одну функцию.

По одному ученику от группы выходят к доске выполняют и комментируют решение на доске. Примеры карточек:

№1 у=3sin4x+5 x² №2 y= tgx -4x² ; №3 y =2 cos(3x+1) №4 y=sin(5x+1)-8х

№5 у=(2х+3)15+3 x² .

IV. Решение уравнений с помощью производной

- Как найти точки, в которых производная равна нулю?

Чтобы найти точки, в которых производная данной функции равна нулю, нужно:

- определить характер функции,
- найти область определения функции,
- найти производную данной функции,
- решить уравнение f '(x) = 0,
- выбрать верный ответ.

Задача 1.(на доске)

Дано: у = х - sin x.
Найти: точки, в которых производная равна нулю.
Решение. Функция определена и дифференцируема на множестве всех действительных чисел, так как на множестве всех действительных чисел определены и дифференцируемы функции g(x) = x и t(x) = - sin x.
Используя правила дифференцирования, получим f '(x) = (x - sin x)' = (x)' - ( sin x)' = 1 - cos x.
Если f '(x) = 0, то 1 - cos x = 0.
cos x = 1/; избавимся от иррациональности в знаменателе, получим cos x = /2.
По формуле t = ± arccos a + 2n, n Z, получим: х = ± arccos /2 + 2n, n Z.
Ответ: х = ± /4 + 2n, n Z.

V. Тренировочные задания из КИМов( устно).Группы работают самостоятельно, а потом каждая группа отчитывается.

№1. На рисунке изображены график функции у= f(x) и касательная к этому графику, проведенная в точке с абсциссой х_о. Найдите значение производной в точке х_о

№2 На рисунке изображены график функции у= f(x) и касательная к этому графику, проведенная в точке с абсциссой хо. Найдите значение производной в точке хо

3. На рисунке изображены график функции у= f(x) и касательная к этому графику, проведенная в точке с абсциссой хо. Найдите значение производной в точке хо

№4. К графику функции y = f(x) в его точке с абсциссой х₀ = -3 проведена касательная. Определите угловой коэффициент касательной, если на рисунке изображен график производной этой функции.

№5. На рисунке изображен график производной y= f'(x) функции f(x)
определенной на интервале (-3;3). Укажите абсциссу точки, в которой
касательная к графику функции y=f(x) параллельна прямой у=4+х или
совпадает с ней

VI. "Пик знаний"(5мин).

Подъем к "Пику знаний" будет нелегким, могут быть и завалы, и обвалы, и заносы. Но будут и привалы.Чтобы продвинуться вперед, надо показать знания.

Просто знать - ещё не всё,

Знания нужно использовать.

Гёте.

Каждая группа пройдет "по своей лесенке". Кто первый решит подходит к учителю.

Задача группы №1. Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции f(x)= 2-x²+3x⁴в его точке с абсциссой x₀=-1.

Задача группы № 2. Составьте уравнение касательной к графику функции y= x²-2x в точке x₀=-1

Задача группы №3. Через точку графика функции y(x)= -0,5x²+4x+7 с абсциссой x₀=2 проведена касательная . Найдите тангенс угла наклона этой касательной к оси абсцисс.

Задача группы № 4Найдите угол наклона касательной, проведенной к графику функции f(x) = tg x+ в точке с абсциссой x₀=

Задача группы № 5Составьте уравнение касательной к графику функции y = 2+x, параллельной прямой y= 2x

Представитель каждой группы решает свое задание у доски.

Учитель. В чем состоит физический смысл производной?

Ученик. Если материальная точка движется прямолинейно по закону S(t) , то производная функции y=S(t)выражает мгновенную скорость материальной точки в момент времени t₀ , т.е. v= S′(t).Производная от координаты по времени есть скорость .Производная от скорости по времени есть ускорение.

Практическое задание №2 от каждой группы по1 ученику.

Задача №1 группы. При движении тела по прямой расстояние S( в метрах) от начальной точки изменяется по закону S(t)=t³-t²+5t+1( t- время движения в секундах). Найти скорость в (м/с) тела через 3 секунды после начала движения.

Задача №2 группы. Тело движется по прямой так, что расстояние S ( в м) от него до точки М этой прямой изменяется по закону S ( t ) = t⁴-t³ + 3t² -21. Чему будет равна мгновенная скорость ( (м/с) через 3 секунды после начала движения?

Задача №3 группы. Материальная точка движется по закону x(t) = t³-5t²+6t+7 ( x - перемещение в м, t- врем в с). Через сколько секунд после начала движения ускорение точки будет равно 8м/ с²

Задача №4 группы.Материальная точка движется по закону x(t)=2 t⁴-2t³ + t² +6. перемещение, t-время в с). Через сколько секунд после начала движения ускорение точки будет равно 4 м/с²

Задача №5группы.Материальная точка движется по закону x(t)= t⁴-3t³ + t² +5. перемещение, t-время в с). Через сколько секунд после начала движения ускорение точки будет равно 3 м/с²

VПI Открытие и формирование новых знаний и способов действий.

Посмотрите на задание. Я взяла его из КИМов. Подумайте. Как его будем решать.
Прямая y = 3x + 1 является касательной к графику функции ax² + 2x + 3. Найдите a.

Если не найдете пути решения, я помогу.

Решение. 2 способа.

Ответ: 0,125.

По смыслу задачи a ≠ 0, а значит, график заданной функции - парабола. Касательная к параболе (а также и к гиперболе) имеет с ней единственную общую точку. Поэтому необходимо и достаточно, чтобы уравнениеax² + 2x + 3 = 3x + 1 имело единственно решение. Для этого дискриминант 1 − 8а уравнения ax² − x + 2 = 0 должен быть равен нулю. Искомое значение а равно 0,125

Ответ: 0,125.

VIII. Программированный контроль

У каждого ученика на столе лежит карточка программированного контроля. Карточки приготовлены индивидуально (по уровню сложности).В результате выполнения задания вы узнаете фамилию математика , который внес большой вклад в изучение дифференциального исчисления.

Лозунгом многих математиков 17 века был: "Двигайтесь вперед, и вера в правильность результатов к вам придет".

Задания 1 группы

1. Найти производную функции f(x)=3х⁴ - 7х³ + х + π

А) 12х⁴ - 21х³ + х + π В) 12х³ - 21х² + π

Б)9х³ - 14х² +1 Г) 12х³ - 21х² +1

1

А Б В Г

2. Найти производную функции f(x)=2 sin x - 3 cos x + 5

А) 2 cos x - 3 sin x В) 2 cos x + 3 sin x

Б) 2 cos x - 3 sin x +5 Г) cos x + sin x +5

2

А Б В Г

3. Точка движется прямолинейно по закону S (t)= 2t³ - 0,5t² + 3t (S - путь в метрах, t - время в секундах). Вычислить скорость движения точки в момент времени t=1с.

У) 8 м/с В) 10 м/с

Б) 7 м/с Г) 4,5 м/с

3

У Б В Г

4. Найти производную сложной функции f(x)= (3 - 2х)³

А) 3 (3 - 2х)² В) 6 (3 - 2х)²

Б) -3 (3 - 2х)² С) -6 (3 -2х)²

4

А Б В С

5. Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции у= 3х³ - 2х + 1 в его точке с абсциссой х₀ = 1

А) 5 В) 9

С) 7 Г) 11

5

А С В Г

Проверка - через фамилию математика, который внес большой вклад в изучение дифференциального исчисления. ( Гаусс)

Задания 2 группы

1. Найти производную функции f(x)=3х⁴ - 6х³ + 2х + π

К) 12х⁴ - 18х³ + 2х + π В) 12х³ - 18х² + π

Э) 12х³ - 18х² +2 Е) 9х³ - 12х² + 2

1

К Э В Е

2. Найти производную функции f(x)=+ х⁶

А) В) -

Т) Й) -

2

А Б Т Й

3. Точка движется прямолинейно по закону S (t)= t⁵ - t⁴ + 6 (S - путь в метрах, t - время в секундах). Вычислить скорость движения точки в момент времени t=2с.

Л) 48 м/с И) 70 м/с

Б) 54 м/с Г) 88 м/с

3

Л Б И Г

4. Найти производную сложной функции f(x)= (5 + 2х)³

А) 3 (5 + 2х)² Е) 6 (5 + 2х)²

Б) 3 (5 + 2х)³ Г) 15 (5 + 2х)²

4

А Б Е Г

5. Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции у= 3х² - 5х + 1 в его точке с абсциссой х₀ = 2

А) 3 В) 1

Б) 8 Р) 7

5

А Б В Р

Проверка - через фамилию математика, который внес большой вклад в изучение дифференциального исчисления.(Эйлер)

Руководители 1 и 4 группы выставляют баллы в оценочный лист в зависимости от выполненных заданий.

Задания 3 группы

1. Найти производную функции f(x)=7х⁵ - 5х² + х + 3π

А) 15х⁴ - 14х³ + х + π В) 15х³ - 14х² + π

Н) 35х³ - 10х² +1 Г) 12х³ - 7х² + 1

1

А Н В Г

2. Найти производную функции f(x)=7 sin x - 9 cos x + 75

А) 2 cos x - 3 sin x Ь) 7 cos x + 39sin x

Б) 2 cos x - 3 sin x +5 Г) cos x + sin x +5

2

А Б Ь Г

3. Точка движется прямолинейно по закону S (t)= 8t³ - t² + 4t (S - путь в метрах, t - время в секундах). Вычислить скорость движения точки в момент времени t=1с.

А) 8 м/с Ю) 26 м/с

Б) 7 м/с Г) 4,5 м/с

3

А Б Ю Г

4. Найти производную сложной функции f(x)= (3х - 7)⁵

А) 5 (3х - 7)⁴ В) -35 (3х - 7)⁴

Т) 15 (3х - 7)⁴ Г) 4 (3х -7)⁴

4

А Т В Г

5. Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции у= 5х² - 9х + 18 в его точке с абсциссой х₀ = 1

О) 1 В) 11

Б) 23 Н) 1

5

О Б В Н

Проверка - через фамилию математика, который внес большой вклад в изучение дифференциального исчисления. (НЬЮТОН)

Задания 4 группы

1. Найти производную функции f(x)=3х⁴ - 6х³ + 2х + π

К) 12х⁴ - 18х³ + 2х + π В) 12х³ - 18х² + π

Э) 12х³ - 18х² +2 Е) 9х³ - 12х² + 2

1

К Э В Е

2. Найти производную функции f(x)=+ х⁶

А) В) -

Т) Й) -

2

А Б Т Й

3. Точка движется прямолинейно по закону S (t)= t⁵ - t⁴ + 6 (S - путь в метрах, t - время в секундах). Вычислить скорость движения точки в момент времени t=2с.

Л) 48 м/с И) 70 м/с

Б) 54 м/с Г) 88 м/с

3

Л Б И Г

4. Найти производную сложной функции f(x)= (5 + 2х)³

А) 3 (5 + 2х)² Е) 6 (5 + 2х)²

Б) 3 (5 + 2х)³ Г) 15 (5 + 2х)²

4

А Б Е Г

Проверка - через фамилию математика, который внес большой вклад в изучение дифференциального исчисления.(Эйлер)

Руководители 1 и 4 группы выставляют баллы в оценочный лист в зависимости от выполненных заданий.

Задания 5 группы

1. Найти производную функции f(x)=3х⁴ - 8х³ + х + π

А) 12х⁴ - 24х³ + х + π В) 12х³ - 24х² + π

Б) 12х³ - 24х² +1 Г) 9х³ - 14х² + 1

1

А Б В Г

2. Найти производную функции f(x)=2 sin x + 4cos x + 6

А) 2 cos x + 4sin x В) 2 cos x - 4 sin x

Б) 2 cos x+ 4sin x +5 Г) cos x - 4sin x +5

2

А Б В Г

3. Точка движется прямолинейно по закону S (t)= 2t⁵ - 0,5t⁴ + 3t (S - путь в метрах, t - время в секундах). Вычислить скорость движения точки в момент времени t=1с.

А) 8 м/с В) 10 м/с

Б) 7 м/с Г) 11 м/с

3

А Б В Г

4. Найти производную сложной функции f(x)= (31 - 2х)⁷

А) -14 (31 - 2х)⁶ В) 217 (31 - 2х)⁶

Б) -2 (31 - 2х)⁶ Г) 14 (31 -2х)⁶

4

А Б В Г

5. Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции у= -2х² + 3х + 5 в его точке с абсциссой х₀ = -1

А) 7 В) 0

Б) 1 Г) 5

5

А Б В Г

Назовите фамилии математиков, которые внесли большой вклад в изучение дифференциального исчисления и расскажите коротно о них.

«Исторические сведения о возникновении дифференциального исчисления»

Дифференциальное исчисление создано Ньютоном и Лейбницем в конце 17 столетия. Понятие производной встречалось в работах итальянского математика Тартальи ( около 1500 - 1557 гг. ) - здесь появилась касательная в ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается наибольшая дальность полета снаряда.

В 17 веке на основе учения Г.Галилея о движении активно развивалась кинематическая концепция производной. Различные изложения стали встречаться в работах у Декарта, французского математика Роберваля, английского ученого Л. Грегори, а также в работах Ньютона. Учащиеся могут рассказать несколько фактов из биографии Ньютона.

Большой вклад в изучение дифференциального исчисления внесли Лейбниц, Лопиталь, Бернулли, Лагранж, Эйлер, Гаусс.

Однако у создателей дифференциального исчисления возникли проблемы, связанные с тем, что точные определения таких основных понятий как предел, непрерывность, действительное число, отсутствовали, рассуждения содержали логические пробелы, а иногда были ошибочны. Таким образом, "новая" математика не отвечала стандартам строгости, привычным для ученых, воспитанных на классических образцах греческих математиков. Гениальная интуиция таких гигантов, как Ньютон, Лейбниц, Эйлер помогала им избегать ошибок.

Характерны 2 высказывания, относящиеся к 18-му столетию. Известный математик М. Ролль писал, что новая наука есть коллекция гениальных ошибок. А великий французский мыслитель - Вольтер заметил, что это исчисление представляет собой искусство вычислять и точно измерять вещи, существование которых не может быть доказано.

Начальный период развития новых ветвей математики, связанных с понятиями функции, бесконечно малых величин, пределов и производных, был охарактеризован Марксом как "мистический".

Лозунгом многих математиков 17 века был: "Двигайтесь вперед, и вера в правильность результатов к вам придет".

IX. Подведение. Выставляются оценки .Каждый ученик сдает лист с программированным контролем ( для проверки учителем) и руководители групп оценочные листы.

X. Рефлексия урока

Продолжите фразу:

- Сегодня на уроке я узнал …

- Сегодня на уроке я научился …

- Сегодня на уроке я познакомился …

- Сегодня на уроке я повторил …

- Сегодня на уроке я закрепил

Урок мне:

Понравился. Не очень. Остались сомнения.

Дифференцированная домашняя работа

№1 -«3», + №2- «4».+3№-«5»

1. Решить неравенство f^/(х)+g^/(х) =0,если f(х)=2х³+12х²,

g(x)=9x²+72x

2. Решите уравнение f^/(x)=0, если f(x)=3sinx-4cosx-2x

3. Найти уравнение параболы у=ах²+bx+с, касающейся прямой у=7х+2 в точке М (1,8).

Спасибо за хорошую работу.

Оценочный лист

№п/п

Ф И учашегося

Устный счет (оценивается

учителем)

Составь пару (оценивается учеником)

Правктическая №1 (оценивается руководителем группы или учителем)

КИМы (оценивается

учеником)

Пик знаний

Правктическая №2 (оценивается руководителем группы или учителем

Программи-рованный

(оценивается учеником Итог

Итог

1

Руководи-тель группы

2

3

4

5