- Преподавателю
- Математика
- Сообщение по математике на тему Бином Ньютона
Сообщение по математике на тему Бином Ньютона
Раздел | Математика |
Класс | - |
Тип | Другие методич. материалы |
Автор | Уильямс М.(. |
Дата | 13.12.2015 |
Формат | docx |
Изображения | Есть |
Бином Ньютона
Бином Ньютона - формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных, имеющая вид
где - биномиальные коэффициенты, - неотрицательное целое число.
В таком виде эта формула была известна ещё индийским и исламским математикам; Ньютон вывел формулу бинома Ньютона для более общего случая, когда показатель степени - произвольное действительное (или даже комплексное) число. В этом случае бином представляет собой бесконечный ряд (см. ниже).
Доказательство
Доказательство
Докажем формулу бинома Ньютона индукцией по n:
База индукции:
Шаг индукции: Пусть утверждение для верно:
Тогда надо доказать утверждение для :
Начнём доказательство:
Извлечём из первой суммы слагаемое при
Извлечём из второй суммы слагаемое при
Теперь сложим преобразованные суммы:
Что и требовалось доказать.
Обобщения
Формула бинома Ньютона является частным случаем разложения функции в ряд Тейлора:
,
где r может быть комплексным числом (в частности, отрицательным или вещественным). Коэффициенты этого разложения находятся по формуле:
При этом ряд
.
сходится при .
В частности, при и получается тождество
Переходя к пределу при и используя второй замечательный предел , выводим тождество
которое именно таким образом было впервые получено Эйлером.
Мультиномиальная теорема
Бином Ньютона может быть обобщен до полинома Ньютона - возведения в степень суммы произвольного числа слагаемых:
где - мультиномиальные коэффициенты. Сумма берется по всем неотрицательным целым индексам , сумма которых равна n (то есть по всем композициям числа n длины m). При использовании полинома Ньютона считается, что выражения , даже если .
Мультиномиальная теорема легко доказывается либо по индукции по m, либо из комбинаторных соображений и комбинаторного смысла мультиномиального коэффициента.
При , выражая , получаем бином Ньютона.
Полные полиномы Белла
Пусть и ,тогда полные полиномы Белла обладают биномиальным разложением:
История
Долгое время считалось, что для натуральных показателей степени эту формулу, как и треугольник, позволяющий находить коэффициенты, изобрёл Блез Паскаль, описавший её в XVII веке. Однако историки науки обнаружили, что формула была известна ещё китайскому математику Яну Хуэю (англ.), жившему в XIII веке, а такжеисламским математикам ат-Туси (XIII век) и ал-Каши (XV век). В середине XVI века, Михаэль Штифель описал биномиальные коеффициенты и также составил их таблицу до степени 18.
Исаак Ньютон около 1677 года обобщил формулу для произвольного показателя степени (дробного, отрицательного и др.). Из биномиального разложения Ньютон, а позднее и Эйлер, выводили всю теорию бесконечных рядов.
В художественной литературе
В художественной литературе «бином Ньютона» появляется в нескольких запоминающихся контекстах, где речь идёт о чём-либо сложном.
-
В рассказе А. Конан Дойля «Последнее дело Холмса» Холмс говорит о математике профессоре Мориарти:
Когда ему исполнился двадцать один год, он написал трактат о биноме Ньютона, завоевавший ему европейскую известность. После этого он получил кафедру математики в одном из наших провинциальных университетов, и, по всей вероятности, его ожидала блестящая карьера.
-
В романе «Мастер и Маргарита» М. А. Булгакова:
«подумаешь, бином Ньютона! Умрет он через девять месяцев, в феврале будущего года, от рака печени в клинике Первого МГУ, в четвертой палате»
-
Позже это же выражение «Подумаешь, бином Ньютона!». упомянуто в фильме «Сталкер» А. А. Тарковского.
-
Дамский роман Е.Н. Вильмонт получил название "Мимолетности, или Подумаешь, бином Ньютона!"