Урок по теме «Теорема Эйлера»

Урок по теме «Теорема Эйлера»

Целью данных уроков является знакомство учащихся с одним из наиболее важных свойств выпуклых многогранников - теоремой Эйлера. Эта теорема связывает вместе число вершин, ребер и граней выпуклого многогранника. Она положила начало одному из наиболее интенсивно развивающихся в настоящее время направлений геометрии - топологии.

Проверка домашнего задания

Начинаем урок с проверки домашнего задания предыдущего урока, посвященного выпуклым многогранникам и их свойствам. Затем слушаем заранее подготовленное сообщение ученика на тему «Жизнь и творчество JI. Эйлера».

При подготовке этого сообщения можно воспользоваться следующей литературой:

1. Гиндикин С.Г. Леонард Эйлер//Квант, 1983, № 10, 11.

2. Яковлев А.Я. Леонард Эйлер. -М.: Просвещение, 1983.

Новый материал

Учащимся предлагается заполнить таблицу, поставив в нее числа, соответствующие количеству вершин (В), ребер (Р) и граней (Г) указанных многогранников.

Название многогранника

В

Р

Г

Треугольная пирамида

4

6

4

Четырехугольная пирамида

5

8

5

Треугольная призма

6

9

5

Четырехугольная призма

8

12

6

n-угольная пирамида

n + 1

2n

n + 1

n-угольная призма

2n

Зn

n + 2

Вопрос. Какая зависимость имеется между числом вершин, ребер и граней этих многогранников?

Ответ. Для всех выбранных многогранников имеет место равенство В - Р + Г = 2.

Оказывается, что данное равенство справедливо не только для указанных многогранников, но и для произвольного выпуклого многогранника. Впервые это свойство выпуклых многогранников было доказано Леонардом Эйлером в 1752 году и получило название теоремы Эйлера.

Теорема Эйлера. Для любого выпуклого многогранника имеет место равенство

В - Р + Г = 2, (*)

где В - число вершин, Р - число ребер и Г - число граней данного многогранника.

Теорему Эйлера историки математики называют первой теоремой топологии - раздела геометрии, который изучает свойства фигур, не меняющихся при непрерывных деформациях, допускающих любые растяжения и сжатия, но без разрывов или дополнительных склеек. Такие свойства называются топологическими. Соотношение Эйлера В - Р + Г = 2 для выпуклых многогранников является как раз таким топологическим свойством. Многогранник можно как угодно деформировать, при этом ребра и грани могут искривляться, однако их число, а следовательно, и соотношение Эйлера не меняются. При этом многогранник может стать невыпуклым, тем не менее для него будет выполняться соотношение Эйлера. Однако есть невыпуклые многогранники, для которых соотношение Эйлера не выполняется. Пример такого многогранника приведен на рисунке 1. Он получается, если в кубе вырезать дыру в форме параллелепипеда.

Учащимся предлагается самостоятельно найти число вершин, ребер и граней этого многогранника.

В результате получаем:

В = 16, Р = 32, Г = 16, В - Р + Г = 0.

Оказывается, что для выполнимости соотношения Эйлера существенным является не столько выпуклость многогранника, сколько то, что у него нет дыр. Поверхность выпуклого многогранника непрерывной деформацией можно сделать такой же, как у шара, а с поверхностью многогранника, изображенного на рисунке 1, этого сделать нельзя.

Доказательство (теоремы Эйлера). Представим поверхность данного многогранника сделанной из эластичного материала. Удалим (вырежем) одну из его граней и оставшуюся поверхность растянем на плоскости.

Это можно сделать, например, с помощью центрального проектирования с центром в точке S, расположенной немного выше удаленной грани ABCDE (рис. 2).

В результате на плоскости получим сетку (рис. 3), состоящую из Г' = Г - 1 многоугольников (которые по-прежнему будем называть гранями), В вершин и Р ребер.

Рис.3

Для этой сетки нужно доказать равенство

В - Р + Г' = 1. (**)

Тогда для многогранника будет справедливо требуемое равенство (*).

Докажем, что соотношение (**) не изменится, если в каком-нибудь многоугольнике сетки провести диагональ. Действительно, после проведения такой диагонали (например, EF) в сетке будет В вершин, Р + 1 ребер и Г' + 1 граней, следовательно,

В - (Р + 1) + (Г' + 1) = В - Р + Г'.

Пользуясь этим свойством, проведем в сетке диагонали, разбивающие входящие в нее многоугольники на треугольники, и для полученной треугольной сетки (рис. 4) покажем выполнимость соотношения (**).

Для этого будем последовательно убирать крайние треугольники. При этом возможны два случая:

а) для удаления треугольника требуется снять одно ребро (на рис. 4 для удаления треугольника ABF требуется снять ребро АВ);

б) для удаления треугольника требуется снять два ребра (на рис. 5 для удаления треугольника BCF требуется снять ребра ВС и BF).

В обоих случаях соотношение (**) не изменится. Например, в первом случае после удаления треугольника сетка будет состоять из В вершин, Р - 1 ребер и Г' - 1 граней, В - (Р - 1) + (Г' - 1) = В - Р + Г'.

Самостоятельно рассмотрите второй случай (рис. 6).

Таким образом, удаление одного треугольника не меняет соотношения (**). Продолжая этот процесс удаления треугольников, в конце концов мы придем к сетке, состоящей из одного треугольника. Для такой сетки В = 3, Р = 3, Г' = 1, следовательно,

В - Р + Г = 1.

Значит, соотношение (**) имеет место и для исходной сетки, откуда окончательно получаем, что для данного многогранника справедливо соотношение (*).

Решение задач

Задача 1. Гранями выпуклого многогранника являются только треугольники. Сколько у него вершин и граней, если он имеет 12 ребер? Нарисуйте такой многогранник.

Решение. Пусть у данного многогранника будет В вершин, Р ребер и Г граней. Тогда ЗГ = 2Р, где Р = 12, значит, Г = 8. Применяем теорему Эйлера, из которой следует, что В = 2 + Р - Г. В нашем случае В = 2 +12-8 = 6. Итак, В = 6, Р = 12, Г = 8. Примером такого многогранника является октаэдр (рис. 7).

Задача 2. Из каждой вершины выпуклого многогранника выходит три ребра. Сколько он имеет вершин и граней, если число ребер равно 12? Нарисуйте такой многогранник.

Решение. ЗВ = 2Р, учитывая, что Р = 12, имеем: В = 8. По теореме Эйлера

Г=2-В + Р, Г = 2- 8 + 12 = 6.

Таким образом, у данного выпуклого многогранника В = 8, Р=12иГ = 6. Примером такого многогранника является куб.

Задача 3*. Докажите, что в любом выпуклом многограннике число треугольных граней плюс число трехгранных углов больше или равно восьми.

Решение. Обозначим через Г_n число граней с п ребрами. Тогда Г = Г₃ + +++ ... Каждая треугольная грань имеет три ребра, и число треугольных граней равно Г₃. Поэтому общее число ребер в треугольных гранях равно З Аналогично, общее число ребер в четырехугольных гранях равно 4, и т.д.

Поскольку каждое ребро многогранника содержится ровно в двух гранях, то при таком подсчете ребер мы каждое ребро посчитаем дважды, следовательно, будет иметь место равенство

2Р = ЗГ₃++++… .

Аналогичным образом обозначим через В число вершин, в которых сходится п ребер.

Тогда В = В₃ + + + В₆ + ...

Значит, для числа ребер (Р) будет иметь место равенство

2Р = ++++…

Воспользуемся равенством 4В - 4Р + 4Г = 8, получающимся умножением обеих частей равенства Эйлера на 4.

Имеем

4В = ++++…

4Г = 4 + 4 + 4++…

4Р = 2Р + 2Р = З+ 4, + 5 +

++…+++++…

Подставляя эти выражения в указанное равенство, получим:

В₃ + Г₃-(В₅ + 2В₆+... + Г₅ + 2Г₆ +...) = 8.

Из этого следует, что В₃₊Г₃ ≥ 8, что и требовалось доказать.

В качестве приложения теоремы Эйлера рассмотрим задачу Эйлера о трех домиках и трех колодцах.

Задача 4. Три соседа имеют три общих колодца. Можно ли провести непересекающиеся дорожки от каждого дома к каждому колодцу?

Решение. Попробуем провести требуемые дорожки. На рисунке 8 показано расположение дорожек, две из которых пересекаются. Попытки провести непересекающиеся дорожки к успеху не приводят. Однако это не означает, что этого нельзя сделать. То, что не получается у нас, может получиться у кого-нибудь другого. Если же мы предполагаем, что непересекающиеся дорожки провести нельзя, то это нужно доказать. Доказательство будем вести от противного. Предположим, что это можно сделать. Каждую точку-домик соединим с каждой точкой-колодцем. Получим девять ребер, которые попарно не пересекаются.

Рис.8

Эти ребра образуют на плоскости сетку, аналогичную той, которая была получена при доказательстве теоремы Эйлера. Поэтому для числа вершин, ребер и граней этой сетки должно выполняться соотношение Эйлера В - Р+Г' - 1. Добавим к ней еще одну грань - внешнюю часть плоскости по отношению к исходному многоугольнику. Тогда соотношение Эйлера примет вид В - Р + Г = 2, причем В = 6 и Р = 9. Следовательно, Г должно равняться пяти.

Заметим, что поскольку дорожки не соединяют между собой никакие два домика и никакие два колодца, то у рассматриваемой сетки нет треугольных граней. Каждая из пяти граней имеет по крайней мере четыре ребра. Так как каждое ребро лежит ровно в двух гранях, то количество ребер должно быть не меньше =10, что противоречит тому, что их число равно 9. Полученное противоречие показывает, что ответ в задаче отрицателен - нельзя провести непересекающиеся дорожки от каждого домика к каждому колодцу.

Задание на дом

1. Гранями выпуклого многогранника являются только четырехугольники. Сколько у него вершин и граней, если число ребер равно 12? Нарисуйте такой многогранник.

2. В каждой вершине выпуклого многогранника сходится по четыре ребра. Сколько он имеет вершин и граней, если число ребер равно 12? Нарисуйте такой многогранник.

3. Гранями многогранника являются двенадцать правильных пятиугольников, и в каждой вершине сходится три ребра. Сколько у него вершин и ребер? Приведите пример такого многогранника.

4*. Докажите, что у любого выпуклого многогранника найдется треугольная, четырехугольная или пятиугольная грань.

5*. Докажите, что у любого выпуклого многогранника найдется трехгранный, четырехгранный или пятигранный угол.

6. Можно ли четыре домика соединить непересекающимися дорожками с четырьмя колодцами так, чтобы каждый домик был соединен с тремя колодцами и каждый колодец - с тремя домиками?

Ответы и решения

1. 4Г = 2Р, Г = 6, В = 2 + Р - Г, В = 2 + 12 - 6 = 8. Итак, В = 8, Р = 12 и Г = 6. Примером такого многогранника является куб.

2. 4В = 2Р, В = 6, Г = 2 - В + Р, Г = 2 - 6 + 12 = 8. Итак, В = 6, Р = 12, Г = 8. Примером такого многогранника является октаэдр.

3. ЗВ = 2Р, 5Г = 2Р. Подставляя выражения для В и Г в равенство В - Р + Г = 2, получим: - Р-Р+Р=2.

Откуда находим Р = 30, В = 20. Примером такого многогранника является додекаэдр.

4*. Имеем равенства: 2Р = ЗВ₃ + 4В₄ + 5В₅ + 6В₆ + ..., 2Р = ЗГ₃ + 4Г₄ + 5Г₅ + 6Г₆ + ... Предположим, что у выпуклого многогранника нет треугольных, четырехугольных и пятиугольных граней. Тогда второе равенство можно переписать в виде 2Р = 6Г₆ + ..., и из него следует неравенство 2Р ≥ 6Г. Из первого равенства следует неравенство 2Р ≥ ЗВ и, следовательно, неравенство 4Р ≥ 6В. Используя эти неравенства, получим: 6В - 6Р + 6Г ≤ 0. С другой стороны, по теореме Эйлера 6В - 6Р + 6Г = 12. Получили противоречие. Значит, у любого выпуклого многогранника обязательно найдется треугольная, четырехугольная или пятиугольная грань.

5*. Решение аналогично решению задачи 4*.

6. Да.

Обводим линии

Попробуем линию, изображенную на рисунке 1, обвести одним росчерком, то есть не отрывая карандаша от листа бумаги и не проходя по одной и той же части линии более одного раза.

Рис.1

Фигура эта, такая простая на вид, оказывается, имеет интересную особенность. Если мы начнем движение из узла В, то у нас это обязательно получится. Один из вариантов обвода показан на рисунке 2.

Рис.2

А что будет, если мы начнем движение из узла А? Легко убедиться, что обвести линию в этом случае нам не удастся: у нас всегда будут оставаться не пройденные отрезки, добраться до которых уже невозможно. Две такие неудачные попытки обхода показаны на рисунках 3 и 4.

Кергнуеногу

Решите задачи 1-5:

1. а) Удастся ли обвести линию (см. рис. 1), если начать движение из узла С? а из узла D?

б) Вы начали движение из узла В. Где вы закончите движение?

2. Назовите все узлы линии (рис. 5), начав с которых ее можно обвести одним росчерком. Начертите в тетради линию одним росчерком, отметьте начало движения и покажите стрелками направление движения.

Рпворроллрлрлррлрлрлр

3. На рисунке б изображена линия, которую вы, наверное, умеете рисовать одним росчерком. Это звезда. Оказывается, хотя она и выглядит значительно более сложной, чем предыдущие линии, обвести ее можно, начав с любого узла.

Рис. 6

Начертите звезду несколько раз, начиная движение из разных узлов.

4. 
   
   Линию, изображенную на рисунке 7, как и звезду, можно начертить одним росчерком, начав движение из любого узла. Вычертите эту линию дважды: начав с узла, из которого выходят два отрезка, а затем из узла, из которого выходят четыре отрезка.

1. а)

б)

Рис.7