РЕШЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ НА ВЫЧИСЛЕНИЕ В MS EXCEL

РЕШЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ НА ВЫЧИСЛЕНИЕ В MS EXCEL.

Лознян А.В., учитель математики I дидактической степени теоретического лицея имени Н.В. Гоголя мун. Бэлць. e-mail: [email protected]

К геометрическим задачам на вычисление относятся задачи на нахождение величины какого-либо элемента или отношения элементов указанной геометрической фигуры (тела) или совокупности фигур, когда известны размеры некоторых элементов фигуры, соотношения между самими фигурами, если их несколько^[1]. Часто процесс нахождения отдельного искомого элемента задачи выглядит следующим образом:

1. выписываем формулу для вычисления этого искомого элемента;

2. подставляем в эту формулу данные элементы;

3. если после этого в формуле переменных элементов не остаётся, то производим вычисление искомого по этой формуле, и на этом процесс нахождения этого искомого завершается;

4. если же в формуле после 2-го шага остаются переменные элементы, в зависимости от уровня сложности решаемой задачи, то для каждого из них повторяем 1-3-й шаги, и так до тех пор, пока не завершим процесс нахождения искомого.

А ведь это только один из этапов процесса решения задачи на вычисление, наряду с устным анализом, с построением чертежа объекта задачи, с возможной работой по включению искомых элементов в те же фигуры (обычно треугольники), в которые уже входят отрезки или углы с известными численными значениями.

Как и по другим предметам, задачи по математике можно условно разбить на элементарные и неэлементарные. Роль элементарных задач сводится к формированию навыков применения отдельных формул, теорем, определений, аксиом (или их небольшого числа)^[2]. Неэлементарная задача сводится к нескольким элементарным, и на некотором этапе обучения она сама может стать для учащегося «элементом» решения более сложной задачи. Согласно дидактическим принципам переход от элементарных задач к неэлементарным должен быть постепенным, а длительность такого перехода может определяться только учителем, исходя знаний учащихся и из уровней, сформированных у них умений и навыков. К сожалению, этот постепенный переход не всегда удаётся соблюсти. На уроках геометрии, начиная с 9 класса, нередко предлагаются задачи, которые содержат по 6-8 умозаключений и более. Естественно, что не все учащиеся понимают решения таких задач. Одним из часто используемых на уроках способов постепенного и осторожного перехода - решение задач по готовым чертежам. Но как помочь ученику проверить ряд сделанных умозаключений при самостоятельном решении неэлементарной задачи, например при выполнении домашнего задания?

Чаще всего программу MS Excel используют для высвобождения времени за счёт выполнения при помощи компьютера трудоёмких вычислительных работ. Используя для этого, два взаимодополняющих друг друга подхода: большой арсенал математических функций, представленных в данном приложении и/или создание необходимых для вычислений формул.

А) Функции в Excel используются для выполнения стандартных вычислений в рабочих книгах. Чтобы использовать функцию, нужно ввести ее как часть формулы в ячейку рабочего листа после знака равенства «=». Аргументы функции записываются в круглых скобках сразу после названия функции. Аргументы могут быть как числами, так и формулами. В свою очередь, формулы-аргументы могут содержать другие функции^[3]..

Пример: Необходимо вычислить длину гипотенузы прямоугольного треугольника с известными катетами (6 и 8 см). Вводим функцию, предназначенную для вычисления квадратного корня, указав в качестве аргумента значение суммы квадратов катетов.

MS Excel содержит более 300 встроенных функций. Для работы с функциями в Excel есть специальное средство - Мастер функций, содержащее краткое их описание.

Б) Формулой в MS Excel называется последовательность символов, начинающаяся со знака равенства «=», в которую могут входить постоянные значения, ссылки на ячейки, имена, функции или операторы. Результатом работы формулы является новое значение, получаемое по уже имеющимся данным. И что самое главное, если значения в ячейках, на которые есть ссылки в формулах, меняются, то результат изменяется автоматически.

Получается, что если рассмотреть все возможные формулы или зависимости между элементами какой-то фигуры или какого-то тела и записать их в виде формул в MS Excel, то можно заставить данную программу если не сразу же при вводе исходных данных задачи автоматически выдавать ответ, то хотя бы частично автоматизировать процесс её решения. Причём не обязательно данную работу должен проделать преподаватель. Учащиеся о возможности использования программы MS Excel для нужд математики узнают ещё в восьмом классе на уроках информатики и поэтому некоторую часть, если не всё, вполне возможно переложить на них.

Легче всего такую программу реализовать для решения задач по теме «Пирамида», так как практически все задачи первого и второго уровней сводятся к рассмотрению всего двух типов прямых правильных пирамид: треугольной и четырёхугольной. Рассмотрев ряд определений и теорем, характеризующие указанные выше тела и изучив условия задач по этой теме в учебнике 9 класса и в сборнике задач, можно прийти к выводу, что в качестве неизвестных, например, для правильной четырёхугольной пирамиды, могут фигурировать ряд величин: a = AB =BC = CD = DA - сторона основания пирамиды;

l = SN - апофема пирамиды;

m = SD = SC = SA = SB - боковое ребро пирамиды;

h = OS - Высота пирамиды;

d = BD = AC - диагональ основания;

r = ON - радиус вписанной окружности в основание;

R = OA = OD = OC = OB - радиус описанной окружности;

Pосн - периметр основания;

Аосн - площадь основания пирамиды;

Абок - площадь боковой поверхности пирамиды;

Аполн - площадь полной поверхности пирамиды;

V - объём пирамиды.

Поскольку перечисленные величины взаимосвязаны друг с другом, это позволяет использовать указанные в условии известные значения величин для определения неизвестных, тем самым выполняя решение задачи. Для того чтобы автоматизировать процесс решения задачи, необходимо рассмотреть и сгруппировать все возможные формулы и взаимосвязи связывающие перечисленные выше величины. Удобнее всего это сделать в виде таблицы, каждая строка которой будет отвечать за одну единственную формулу, связывающую определённые величины, а столбец за возможный способ нахождения только одной величины.

Точно такая же таблица создаётся в программе MS Excel, только вместо изображенных формул задаётся соответствующая ей формула Excel, как это показано на рисунке. Таким образом, в данной ячейке получим уже вычисленное значение искомой величины. Для ввода известных данных оставляем пустую строку (в нашем случае это 9 строка).

В качестве примера выполним решение задачи из проверочной работы на стр. 195 в учебнике за 9 класс. Данные: l=5 см, h=9 см, P_осн=16 см вводим в соответствующие ячейки таблицы:

Автоматически вычисляются значения а=4 см и А_бок=40 см². Полученными значениями заполняем ячейки строки предназначенной для ввода данных. Это позволяет определить А_осн =16 см². Заполнив и этим значением соответствующею ячейку мы получим искомые в задачи значения А_полн =56 см² и V =48 см³. Таким образом, буквально за минуту мы узнали не только ответ задачи, но и используемые для решения формулы, а также последовательность их применения.

На этом возможности проделанной работы не ограничиваются. Если продолжить вводить поэтапно получаемые данные, то можем получить интересную ситуацию, когда у одной и той же величины будут несколько совершенно разных значения или к тому, что значение величины не удаётся вычислить в силу не возможности извлечения квадратного корня из отрицательного числа:

Это будет означать только одно, что исходные данные не соответствуют реальной ситуации. Тем самым данная программа может стать инструментом для проверки на соответствие действительности исходных данных задачи.

Выполнив с десяток решений задач при помощи подобной программы, ученик учиться прогнозировать решение данного класса задач. Формирование умения прогнозировать, предвидеть результаты, к которым приведёт каждый отдельный шаг в процессе поиска решения задачи, является важным компонентом развития мышления учащихся^[2].

Проделанной работой или изложенной идеей может воспользоваться и преподаватель, который получает возможность при помощи MS Excel создавать собственные задачи, не затрачивая время на придумывание реальных значений измерений тела и на их решение.

Приблизительное отображение иррациональных чисел в процессе решения исключает процесс бездумного списывания учеником хода решения и полученных результатов. Учителю сразу станет ясно, что без техники при решении задачи не обошлось. Но даже это не мешает убедиться в корректности решения.

Литература:

1. Фридман Л.М. Турецкий Е.Н. Как научиться решать задачи. М.: Просвещение, 1984.

2. Груденов Я.И. Совершенствование методики работы учителя математики.

М.: Просвещение, 1990.

3. Гремальски А., Гремальски Л. Информатика. Учебник для 8 класса. Ch.:

Î. E. P. Ştiinţa, 2005.

4. Акири И., Брайков А., Шпунтенко О. Математика. Учебник для 9 класса. Ch.: Prut Internaţional, 2010.

5. Акири И., Брайков А., Шпунтенко О., Яворски В. Математика. Сборник задач и упражнений для 9 класса. Ch.: Prut Internaţional, 2004.