Практическая работа по математике с методическими рекомендациями. Тема: Комплексные числа

Дисциплина - «Математика»

Курс -2

Семестр -3

Практическая работа № 11

Тема: Комплексные числа и действия с ними.

Цель: сформировать умение выполнять арифметические действия с комплексными числами.

Методические указания для практической работы

Теоретические сведения к практической работе

1. Понятие комплексного числа

Комплексными числами называются числа вида

, (1.1)

где x, y - действительные (вещественные) числа, а число i определяемое равенством = - 1 (_{), называется мнимой единицей.}

Число x называется действительной (вещественной) частью комплексного числа (используется обозначение ); y - мнимой частью комплексного числа z ().

Выражение (1.1) называют алгебраической формой записи комплексного

числа.

Если x=0, то число z называют чисто мнимым; если , то получается вещественное число .

Два комплексных числа и называются сопряженными. Используя формулу разности квадратов, получаем, что .

Можно доказать, что корнями квадратного уравнения с отрицательным дискриминантом являются два сопряженных комплексных числа.

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. Дискриминант данного уравнения: меньше нуля, но теперь мы можем воспользоваться мнимой единицей:

, т.е. ; .

Два комплексных числа и равны друг другу, если и ; комплексное число z считается равным нулю, если .

Всякое комплексное число можно изобразить на плоскости, т.к. каждому z соответствует упорядоченная пара вещественных чисел:

х

Число z=0 ставится в соответствие началу координатной плоскости. Такую плоскость мы в дальнейшем будем называть комплексной плоскостью, ось абсцисс-действительной, а ось ординат-мнимой осью комплексной плоскости.

Число называется модулем комплексного числа и обозначается или .

2. Тригонометрическая форма комплексного числа Тригонометрическая форма комплексного числа. Каждому комплексному числу вида (1.1) можно поставить в соответствие точку M(x;y) на декартовой плоскости (при этом на оси Oх располагаются вещественные числа , а на оси OY - чисто мнимые числа ).

Модулем комплексного числа назовем длину отрезка (или расстояние от начала координат до точки M), т.е. . Аргументом комплексного числа () назовем угол, который вектор образует с положительным направлением оси Oх. Главное значение аргумента, которое, как правило, используется при осуществлении действий с комплексными числами, удовлетворяет условию .

При этом выражение вида

(1.2)

называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

Преобразуем (1.1)

и, сравнивая с (1.2), получаем, что φ - аргумент комплексного числа z можно найти, решив систему

или (1.3)

Заметим, что при выборе значений φ из последнего уравнения необходимо учитывать знаки x и y.

φ - аргумент комплексного числа z можно найти формул , (1.3) или в силу того, что , .

Пример 2. Записать комплексное число в тригонометрической форме:

1. 6i; b) _{, указать модуль и аргумент комплексного числа.}

Решение. a) Здесь х=0, у=6 .

Поскольку число 6i лежит на положительной полуоси Оу, то значение аргумента , поэтому .

2. Здесь х=1, у= .

По определению . Для определения аргумента воспользуемся формулой: . Получаем, что . Тригонометрическая форма заданного комплексного числа имеет вид: .

Пример 3. Записать в тригонометрической форме комплексное число .

Решение. Найдем модуль и аргумент комплексного числа: . Угол φ найдем из соотношений , . Тогда получим . Очевидно, точка находится во второй четверти: .

Подставляя в формулу (1.2) найденные r и φ, имеем .

3. Действия над комплексными числами

1) Сумма двух комплексных чисел и определяется согласно формуле .

2) Операция вычитания комплексных чисел определяется как операция, обратная сложению. Комплексное число , если , является разностью комплексных чисел z₁ и z₂. Тогда .

Пример 4. Выполнить действия: а) (4+2i)+(1+5i); b) (3+5i)-(6+3i).

а) По правилу сложения комплексных чисел получим

(4+2i)+(1+5i)=(4+1)+(2+5) i =5+7i.

b) По правилу вычитания комплексных чисел получим

(3+5i)-(6+3i)=(3-6)+(5-3)i=-3+2i.

3) Произведение двух комплексных чисел и определяется по формуле . В частности.

Можно получить формулу умножения комплексных чисел в тригонометрической форме.

Имеем .

Пример5. Выполнить действия: а) 2i 3i; b) (2-3i)-(2+3i); с) (5-4i)-(3+2i).

а) 2i 3i=6i²=-6;

b) (2-3i)-(2+3i)=4-9i²=4+9=13;

с) (5-4i)-(3+2i)=(53-(-4)2)+ i(5+3(-4)=23-2i.

Можно выполнить умножение по правилу умножения многочленов:

(5-4i)-(3+2i)=15+10i -12 i +8=23-2i.

4) Деление комплексных чисел определяется как операция, обратная умножению, то есть число называется частным от деления z₁ на z₂, если . Тогда

.

Окончательно .

B тригонометрической форме:

.

Операция деления возможна только в случае, когда ).

Пример 6. Выполнить действия: а) ; b) ; с) ; d)

и указать вещественную и мнимую части полученного комплексного числа.

Решение.

а)Умножаем делимое и делитель на i, получим .

b) Умножаем делимое и делитель на множитель, сопряженный делителю: .

с) Умножаем делимое и делитель на множитель, сопряженный делителю: .

d) Умножаем делимое и делитель на множитель, сопряженный делителю:

;

Вещественная и мнимая части равны: , .

5) Возведение в степень и извлечение корней. Если комплексное число задано тригонометрической формой , то справедлива формула Муавра

. (1.4)

6) Для извлечения корня n-й степени (n - целое число, большее 1) из комплексного числа, заданного в тригонометрической форме, применяется формула, дающая n значений этого корня:

, k=0,1,…,n-1. (1.5)

Пример 7. Вычислить: .

Решение. Чтобы воспользоваться формулой Муавра, необходимо представить комплексное число в тригонометрической форме.

Имеем: ; и , т.е. (так как соответствующая точка лежит во второй четверти). Следовательно, и (в силу (1.4)). Учитывая, что и используя свойства тригонометрических функций, получаем:

.

Пример 8. Возвести число в пятую степень.

Решение. Получим тригонометрическую форму записи числа z. . Отсюда , а . Тогда по формуле Муавра получим:

.

Пример 9. Вычислить: .

Тригонометрическая форма заданного числа имеет вид (|z|=1), поэтому в силу (1.5)

, k=0,1,2.

Выписываем три искомых корня:

;

;

.

Дисциплина - «Математика»

Курс -2

Семестр -3

Практическая работа № 11

Тема: Комплексные числа и действия с ними.

Цель: сформировать умение выполнять арифметические действия с комплексными числами.

Задание 1. Выполните сложение комплексных чисел, выпишите вещественную и мнимую части полученных комплексных чисел:

а) (5+3i)+(1+10i); б) (3+i)+(-3-8i); в) (-6+2i)+(-6-2i).

Задание 2. Выполните действия:

а) (2-3i)+(5+6i)+(-3-4i); б) (1-i)-(7-3i)-(2+i)+(6-2i).

Задание 3. Выполните умножение комплексных чисел:

а) (5-3i)2i ; б) -i в) (5+3i)(2-5i); г)(3+4i)(3-4i).

Задание 4. Выполните деление комплексных чисел:

а) ; б) ; в) ; г) .

Задание 5. Запишите комплексные числа в тригонометрической форме:

а) 3i ; б) ; в) 2-2i; г) -i

Задание 6. Решите уравнения:

а) ; г) ;

б) ; д) _;

в) ; е) _.

Задание 7. Выполните действия:

а)(1-i)¹²; б) ; в); г)

9