Лабораторные работы к факультативу по математике

Лабораторная работа №1

по теме: «Отрезок, прямая, луч»

1. Отметьте в тетради две точки А и В

2. Соедините их любыми тремя линиями

3. Выберите из всех проведенных линии самую короткую и наведите её цветной пастой.

4. Какая линия будет изображать кратчайший путь из т.А в т.В . Как назовём её?

5. Измерьте длину получившегося отрезка и запишите его.

6. Начертите ещё два отрезка, каждый из которых равен отрезку АВ, обозначьте их. Укажите, что все отрезки равны между собой и запишите их равенство.

7. Начертите два равных отрезка, у которых один конец общий.

8. Соедините отрезком их другие концы и найдите его длину.

Вывод: мы строим равные отрезки с помощью масштабной линейки.

9. Постройте отрезок МN и постройте на нем 4 точки: Е, F , К, Т. Запишите все получившиеся отрезки с концами в данных точках.

10. Начертите три произвольных отрезка. Обозначьте их. Как сравнить длины этих отрезков? (линейки нет).

11. С помощью циркуля-измерителя сравните отрезки попарно, пользуясь знаками > и <

12. Постройте две точки: С и D. Соедините их отрезком, который продолжите за точки С и D.

13. Постройте ещё две прямые, обозначив одну двумя заглавными буквами, (не нанося точек), а другую - строчной буквой.

14. Постройте прямую b и отметьте две точки, лежащие на прямой и три точки не лежащие на прямой, запишите принадлежность точек прямой с помощью знака принадлежности: (например: т.К4 b)

15. Выясните, как могут быть расположены две прямые друг относительно друга (пересекаться, или не пересекаться). Нарисуйте чертежи и выучите знак пересечения прямых: , например: ab=K

16. Нарисуйте возможные варианты взаимного расположения трех прямых друг относительно друга. Сделайте вывод.

17. Проведите прямую и ограничьте её точкой О с одной стороны. Вы получили луч, где т. О называется началом луча.

18. Зарисуйте и запомните способы обозначения лучей. Например: луч ОК, луч РS, луч h.

19. Постройте прямую а и отметьте на ней т. О

20. Запомните: т. О поделила прямую на два дополнительных луча. Обозначьте их.

21. Начертите три пересекающиеся прямые в т.О: АВ, СО, МN. Укажите: а) все образовавшиеся лучи, б) на сколько частей прямые поделили плоскость листа.

22. Постройте луч . Отметьте на нем т. О (начало луча), А, В, С. Назовите все лучи, образовавшиеся на чертеже. Какой луч самый длинный? 22.Постройте луч р и отрезокАВ=2см. Отложите на луче р последовательно 4 отрезка, равные отр. АВ. Сколько таких отрезков на луче можно отложить?

23. Постройте прямую m; луч ОК, не пересекающий прямую; отрезок МN, лежащий на прямой m и отрезок ЕF, пересекающий прямую m, и луч ОК и отрезок МN.

Лабораторная работа 2

по теме «Окружность, угол»

1. Начертите 6 равных отрезков с общим концом в т.А. Подумайте, как можно построить еще три таких отрезка с общим концом в т.А без масштабной линейки.

2. Поставьте острие циркуля в т.А, а карандаш на другой конец любого отрезка и проведите окружность. Что наблюдаете. Постройте три отрезка (см. п.1). Сколько таких отрезков еще можно построить?

3. Постройте производную окружность. Отметьте и запомните следующие обозначения:

• т.О -центр окружности

• отрезок ОА - радиус окружности (т.А лежит на окружающих)

• Радиус обозначают R

• Пишут: ОА=R

• отрезок МN -диаметр окружности (т.М и N лежит на окружности), он проходит через т.О и, обозначается D или d.

• Пишуг : MN=d

• отрезок EF- хорда ( т. Е и F лежат на окружности), она не проходит через т.О

• ЕF - дуга ЕF (часть окружности между т.Е и F)

4. Нарисуйте окружность с центром в т.О радиусом 6 см. Пишут: окр. (0;6 см). Постройте радиус и диаметр окружности, измерьте их длины, сравните и сделайте вывод.

5. Постройте окр. (О;7см). Постройте две хордs ЕF и СК, пресекающиеся в т.М. Измерьте отрезки СМ и МК, затем - ЕМ и МF. Сравните произведения отрезков ЕМ и МF с произведением отрезков СМ и МК.

6. Нарисуйте три окружности равного радиуса и постройте прямые а, в и с так, чтобы:

а) прямая а пересекла окружность в двух точках. Запомните: эту прямую называют секущей.

б) прямая b имеет с окружностью одну общую точку (например, т.К). Запомните: эту прямую называют касательной.

в) прямая с не имеет с окружностью общих точек.

7. Нарисуйте три окружности разного радиуса с общим центом в т.О.

Запомните: такие окружности называются концентрическими.

8. Нарисуйте две пересекающиеся окружности разных радиусов.

9. Нарисуйте две непересекающиеся окружности равных радиусов.

10. Нарисуйте окружность ( О; 5 см) Красной пастой постройте точки А,В,С, лежащие внутри окружности;

Зеленой пастой - точки Х, Y, Z:, лежащий вне окружности; синий пастой - точки М, N,Р, лежащие на окружности. Сравните отрезки ОС, ОZ:, и ОN с радиусом окружности. Сделайте вывод.

11. Отметьте в тетради т.О и проведите из нее два луча, не лежащие на одной прямой. Обозначьте их ОМ и ОN. Запомните: мы получили фигуру, которую называютуглом, Обозначается: МОN (или NОМ), где т.О - вершина угла, а лучи ОМ и ОN - стороны угла.

12. Постойте еще два угла обозначьте их так: М; hk

13. На отдельном листе бумаги постройте АОВ и МЕN. Предложите

способ сравнения углов.

14.Ножницами вырежьте углы, наложите их друг на друга, совместив

(вершины углов и сторон. Сделайте вывод).

15.Используя способ наложения, постройте <РRS, равный <АОВ.

16. Ознакомьтесь с чертежным инструментом для измерения углов - транспортиром.

17. С помощью транспортира постройте

а) АОВ=50 б) СОD=90 в) МОN=120 г) ЕОF=180

Запомните названия построенных углов: острый, прямой, тупой, развернутый..

1. Постройте РОТ=45 Продлите сторону ОТ за вершину О и измерьте транспортиром градусную меру получившегося тупого угла. Обозначьте его и запишите результат.

2. Найдите сумму РОТ и тупого угла. Сделайте вывод.

3. Постройте два угла так, чтобы у них одна сторона была общая, а две другие лежали на одной прямой.

4. Обозначьте эти углы, Запомните: такие углы называются смежные.

5. Найти сумму этих углов. Сформируйте и запомните свойство смежных углов.

6. Постройте две пересекающиеся прямые А и В. обозначьте получившиеся углы по порядку цифрами 1,2, 3,4.

7. Измерьте построенные углы. Что вы заметили?

8. Запомните:  1 и 3; 2 и 4; называют вертикальные углы.

9. Сформируйте и запомните свойство вертикальных углов.

10. Постройте  АОВ=150. Постройте луч ОК так, чтобы он поделил этот

угол пополам.

11. Запомните такой луч ОК называют биссектрисой АОВ. Обозначьте

равные углы на чертеже и запишите их равенство.

12. Постройте произвольный неразвернутый МАN, проведите внутри угла любой луч ОК. Запомните и запишите: МАN= МОК +КОN.

Лабораторная работа № 3

Тема «Треугольник»

1. Нарисуйте какой-нибудь треугольник. Обозначьте его АВС.

2. Измерьте длины всех его сторон.

3. Сравните длину какой-либо стороны этого треугольника с суммой длин других его сторон.

Вывод. В треугольнике АВС сумма длин двух любых его сторон больше третьей.

4. Измерьте величины всех углов треугольника и найдите сумму их градусных мер.

Вывод. В треугольнике АВС сумма всех углов близка к 180

5. Нарисуйте тупой угол А₁В₂С₃.

6. Попробуйте нарисовать треугольник А₁В₂С₃, у которого два тупых угла.

Вывод. Мы не смогли построить треугольник, у которого больше одного тупого угла.

7. Нарисуйте прямой угол МNК.

8. Нарисуйте треугольник МNК, у которого один прямой и один тупой угол.

Вывод. Мы не смогли построить треугольник, содержащий прямой и тупой угол одновременно.

9. Нарисуйте треугольник MNК, у которого два прямых угла.

Вывод. Мы не смогли построить треугольник с двумя прямыми углами.

10. Нарисуйте треугольник, в котором против угла 90°лежит сторона, равная 5 см, а один острый угол равен 60°.

11. Измерьте сторону, лежащую против угла 60°, еще один угол треугольника и сторону, лежащую против него.

Лабораторная работа № 4

Тема «Прямоугольник»

1. Нарисуйте какой-нибудь отрезок AD.

2. Постройте, используя чертежный угольник, прямые углы ВАD и СDА так, чтобы точки С и В лежали по одну сторону от АD.

3. Отложите на отрезках АВ и DС от точек А и D соответственно равные отрезки и их концы А₁ и D₁ соедините отрезком.

4. Убедитесь, что построенный четырехугольник-прямоугольник.

5. Нарисуйте отрезки АD₁ и А₁D. Точку их пересечения обозначьте буквой О.

6. Сравните длины отрезков АD₁ и А₁D. Отрезки AD₁ и А₁D в прямоугольнике АА₁D₁D называются диагоналями.

1. Вывод. Диагонали прямоугольника АА₁D₁D равны.

7. Посмотрите на диагонали АD₁ и А₁D и на точку их пересечения, сравните длины отрезков А₁О и ОD, АО и ОD ₁ и сформулируйте свои наблюдения.

Вывод. Диагонали прямоугольника АА1D1D точкой пересечения делятся пополам.

8. Нарисуйте от руки окружность с центром в точке О радиуса АО.

9. Проверьте точность вашего построения с помощью циркуля.

10. Нарисуйте отрезок МN.

11. Найдите середину отрезка МN - точку К.

12. Через прямую К проведите какую-нибудь прямую а.

13. Отметьте на прямой а точки L и Р такие, чтобы четырехугольник MLNP был прямоугольником, отрезки МN и LР - его диагоналями.

14. Проверьте, что нарисованный четырехугольник MLNP - прямоугольник.

Лабораторная работа № 5

Тема «Параллельные отрезки»

1. Нарисуйте отрезок ВС, найдите его середину и обозначьте её буквой О.

2. Отметьте точку А, не лежащую на отрезке ВС.

1. З. Соедините отрезками точки А и В,А и С, А и О.

3. Постройте отрезок АА₁ так, чтобы точка О была его серединой. Соедините отрезками точки В и А₁,С и А₁.

4. В четырёхугольнике АВА₁С найдите параллельные отрезки и выпишите их.

5. Возьмите угольник, линейку и расположите угольник так, чтобы на одной из его сторон лежал отрезок АВ. Приложите к угольнику линейку и, двигая по ней угольник, убедитесь, что АВ и СА₁ параллельны. Таким же образом убедитесь, что АС и ВА₁ параллельны.

6. Выясните, являются ли отрезки АВ и А₁В параллельными. Установите признак, на основании которого можно сделать вывод о том, что АВ и А₁В не параллельны.

7. С помощью линейки и угольника начертите отрезки разной длины: МN и параллельный ему отрезок РК

8. Нарисуйте отрезки МР и NК.

9. Если получится четырехугольник, то установите, сколько у него пар параллельных сторон.

10. Выполните некоторые построение, из которого будет ясно, что прямые, на которых лежат отрезки МР и NК, не параллельны.

1. Проведите прямую ₁.

2. Возьмите угольник и одну его сторону, образующую прямой угол, положите на прямую ₁, а вторую сторону подоприте линейкой.

3. Сдвиньте вверх по линейке треугольник (линейку прижмите к листу бумаги) и проведите по стороне угольника карандашом, в результате получите отрезок; затем продлите его и получите прямую ₂

4. Возьмите какие-нибудь точки А и В на прямой 'и измерьте расстояния (см. лабораторную работу 4) от них до прямой ₁. Сравните их.

Вывод. Расстояние от точек А, В прямой ₂ (взятых произвольно) до прямой ₁, одно и то же. Расстоянием между прямыми ₁и ₂ ' назовем расстояние от какой-либо точки прямой ₂ до ₁. Прямые, расположенные на равном расстоянии друг от друга, называются параллельными.

5. Возьмите точку D, но не на прямых ₁ и ₂. Проведите перпендикуляр DN из этой точки к прямой ₁ (используя прямоугольный угольник).

6. Возьмите на прямой ₁ точку М, отличную от точки N. Проведите из нее с той же стороны от прямой ₁, где лежит и точка D, перпендикуляр к прямой ₁

7. На построенном перпендикуляре из точки М найдите точку С, удаленную от М на расстояние DN.

8. Через точки D и С проведите прямую ₃

9. Проверьте с помощью линейки и треугольника, что прямые ₃ и ₁ параллельны.

Вывод. Точки D и С, равноудаленные от прямой ₁, лежат на прямой ₁ параллельной ₁.

10. Посмотрите внимательно на чертеж, нет ли на нем еще пары параллельных прямых? Проверьте свое предположение с помощью линейки и треугольника.

Вывод. Построена прямая ₃ || ₁

Лабораторная работа № 6

по теме «Перпендикулярные отрезки»

1. Нарисуйте горизонтально отрезок.

2. Не двигая линейки, приложите к ней угольник так, чтобы можно было нарисовать отрезок, пересекающий первый отрезок. Нарисуйте его.

3. Нарисованные отрезки обозначьте а, b, а точку их пересечения А. Под рисунком запишите:

1) Отрезок а перпендикулярен b, так как они образуют прямой угол;

2) Отрезки а и b -перпендикулярны.

4. Расположите, чтобы отрезок а лежал на ней, затем «поставьте» на неё прямоугольный треугольник, таким образом, чтобы вторая сторона прямого угла не содержала отрезок b, и постройте отрезок с, перпендикулярный а.

5. На рисунке нарисованы три отрезка: а,b,с.

6. Выпишите:

а) пересекающиеся отрезки;

б) перпендикулярные отрезки;

в) пересекающиеся, но не перпендикулярные отрезки;

г) параллельные отрезки.

7. С помощью угольника нарисуйте треугольник, у которого две стороны перпендикулярны. Обозначьте его АВС (С - вершина прямого угла).

8. Возьмите угольник и расположите его так, чтобы сторона АС лежала на одной стороне его прямого угла, вершину прямого угла совместите с точкой А и постройте отрезок, перпендикулярный АС.

9. Расположите угольник так, чтобы из точки В можно было провести отрезок, перпендикулярный СВ. Постройте его.

10. Покажите, что прямые, на которых лежат построенные отрезки, перпендикулярные АС и ВС, пересекаются.

11. Точку пересечения обозначьте Р.

12. Сколько пар параллельных сторон в четырёхугольнике АРВС? Выпишите их.

13. Нарисуйте вертикально отрезок MN.

14. Используя угольник, начертите два отрезка разной длины, перпендикулярные отрезку MN. Обозначьте их МК и NL

15. Нарисуйте отрезок КL.

16. Выпишите стороны МКLN, которые:

а) перпендикулярны;

б) не перпендикулярны;

в) параллельны;

г) не параллельны.

17. Нарисуйте отрезок, проходящий через К перпендикулярный прямой, на которой лежит отрезок NL.

18. Имеется ли на рисунки отрезок, параллельный MN?

19. Сколько на рисунке отрезков, перпендикулярных LN?

20. Покажите, что из произвольно выбранной точки отрезка МК можно провести отрезок, перпендикулярный прямой NL и параллельный МN.

Лабораторная работа № 7

по теме «Свойства высот треугольника»

1. Нарисуйте треугольник АВС, у которого все углы острые (остроугольный).

2. Возьмите чертежный угольник и расположите его так, чтобы одна сторона прямого угла лежала на отрезке АС, а вторая проходила через точку В. По этой стороне прямоугольного треугольника проведите отрезок ВL от точки В до отрезка АС. Так как угол ВLА прямой (по построению), то ВL - перпендикуляр к АС. (В треугольнике АВС отрезок ВL называют высотой.)

3. Теперь расположите угольник так, чтобы одна сторона прямого угла была расположена на отрезке ВС; подвиньте угольник по ВС так, чтобы вторая сторона прямого угла проходила через вершину А. Постройте высоту АМ треугольника АВС.

4. Что вы можете сказать о расположении высот ВL и АМ? (Точку их пересечения обозначьте О.)

5. Постройте высоту СК треугольник АВС.

6. Посмотрите на рисунок и установите, как расположены все три высоты АВС.

Вывод. В треугольнике АВС все три высоты пересеклись в одной точке О.

7. Нарисуйте треугольник А₁В₁С₁, в котором угол А₁С₁В₁ тупой.

8. Постройте высоту из вершины С₁.

9. Проведите высоту из вершины В₁. (Когда выясняется, что эта высота не попадет на отрезок А₁С₁, учитель предлагает провести луч А₁С₁)

10. Проведите высоту из вершины А₁.

11. Установите, как расположены прямые, на которых лежат высоты треугольника.

12. Сравните расположение точки пересечения высот в остроугольном треугольнике АВС и в тупоугольном треугольнике А₁В₁С₁.

13. Получили, что в остроугольном треугольнике АВС точка пересечения высот лежит внутри него, а точка пересечения прямых, на которых лежат высоты тупоугольного треугольника, находится вне его.

14. Возьмите в руки и рассмотрите чертежный угольник. Найдите две его высоты. Двумя пальцами возьмите треугольник в точке, где эти высоты пересекаются, и поднимите его.

15. Нарисуйте теперь простым карандашом прямоугольный треугольник А₂В₂С₂ (угол С₂ - прямой).

16. Проведите красным карандашом высоту из вершины В₂, синим - высоту из вершины А₂. Желтым карандашом отметьте точку пересечения этих высот.

17. Проведите зеленым карандашом, используя чертежный угольник, высоту из вершины С₂.

Вывод. Все три высоты в прямоугольном А₂В₂С₂ пересекаются в вершине прямого угла.

Далее ребята молча отвечают на следующие проверочные вопросы, показывая тот или иной рисунок или модель:

1) Верно ли, что в любом треугольнике его высоты пересекаются внутри треугольника?

2) Существует ли треугольник, высоты которого пересекаются в одной из его вершин?

3) Может ли одна из сторон треугольника являться и его высотой?

4) Могут ли две стороны треугольника быть его высотами?

Лабораторная работа № 8

по теме «Свойства серединного перпендикуляра»

1. Проведите отрезок, равный 8 см. Обозначьте его АВ.

2. Найдите середину отрезка - точку О.

3. С центром в точке А, а затем в точке В, радиусом 5 см постройте окружности. Точки их пересечения обозначьте К₁, L₁.

4. Сравните расстояние от точки К₁ до концов отрезка АВ, и от точки L₁ до концов отрезка АВ. (Хорошо, если ученики выполнят сравнение без измерения, логически.)

5. С центром в точке А, а затем в точке В, радиусом 6 см постройте окружности. Точки их пересечения обозначьте К₂, L₂.

6. Возьмите линейку и проведите через точки К₁ и К₂ прямую. Что вы заметили? (Все точки К₁, К₂, L₁, О лежат на этой прямой).

7. Установите, какой угол образуют прямые К₁К₂ и АВ? (Это можно сделать: а) используя транспортир; б) с помощью чертежного угольника; в) перегибанием листа, если уже введено понятие смежных углов.)

8. Как вы думаете, где будет находиться точка Х, если известно, что она находится на одинаковом расстоянии от концов отрезка АВ?

9. Возьмите произвольный радиус АХ больший, чем АО, и покажите, что точка, удаленная от точек А и В на одно и то же расстояние АХ, лежит ва прямой К₁К₂.

10. Отметьте на прямой К₁К₂ какую-нибудь точку Y. Соедините ее с точками А и В. Сравните отрезки АY и YВ.

Вывод. Точки, удаленные от концов отрезка АВ на равное расстояние, лежат на прямой К₁К₂, проходящей через середину отрезка АВ и перпендикулярной АВ. Назовем ее серединным перпендикуляром. Или, кратко, точки, равноудаленные от концов отрезка, лежат на его срединном перпендикуляре.

11. Нарисуйте какой-нибудь отрезок АВ. Без карандаша и инструментов изобразите фигуру, на которой лежит точка М, равноудаленная от концов отрезка АВ.

12. Нарисуйте два отрезка АВ и ВС. Опять найдите без карандаша и инструментов точку, равноудаленную от трех точек А, В и С (если она имеется). (Ребята выполняют эту работу, перегибая листочек).

Лабораторная работа № 9

по теме «Свойства медиан треугольника»

1. Нарисуйте остроугольный треугольник АВС.

2. Найдите середину стороны АС (перегибанием листа бумаги). Обозначьте ее Е.

3. Соедините отрезком точки В и Е. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, назовем медианой треугольника.

4. Найдите середину стороны ВС (точку М) и проведите отрезок АМ (медиану).

5. Проведите медиану из вершины С.

б. Посмотрите на рисунок и скажите, как расположены все три медианы треугольника АВС.

Вывод. У нас получилось, что медианы в остроугольном треугольнике АВС пересекаются в одной точке.

7. Нарисуйте треугольникА₂В₁С₁ (уголА₁С₁В₁ - тупой).

8. Проведите из вершины В₁ медиану В₁Е₁, из вершины С₁ медиану С₁К₁, а из вершины А₁ медиану А₁М₁.

9. Что вы сможете сказать о расположении медиан?

10. Где лежит их точка пересечения? (Обозначьте ее О₁.)

11. Нарисуйте теперь прямоугольный треугольник А₂В₂С₂ (угол С₂ прямой).

12. Проведите из вершины В₂ медиану В₂Е₂, из вершины С₂ медиану С₂К₂, из вершины А₂ медиану А₂М₂. Можно ли провести медиану А₂М₂ другим способом?

13. Точку пересечения этих медиан обозначьте О₂.

14. Возьмите циркуль и посмотрите, сколько раз отрезок уложится на А₂О₂ отрезок ОД - на С₂О₂ и отрезок ОД - на В₂О₂.

Вывод. У нас получилось, что в треугольнике А₂В₂С₂ точка О пересечения его медиан делит каждую медиану на две части, причем меньшая часть укладывается в большей два раза, а во всей медиане - три раза.

15. Проверьте, верна ли эта закономерность для треугольников А₁В₁С₁ и АВС.

Лабораторная работа № 10

по теме «Равнобедренный треугольник и его свойства»

и по теме: «Равносторонний треугольник и его свойства»

1. Нарисуйте отрезок АС.

2. Найдите его середину - точку К.

3. Проведите серединный перпендикуляр отрезка АС.

4. Возьмите на нем любую точку В, отличную от К, и соедините ее с точками А и С.

5. Сравните отрезки АВ и ВС (используйте для этого циркуль).

Вывод. У вас получилось, что в треугольнике АВС стороны АВ и ВС равны. Треугольник, в котором есть две равные стороны, назовем равнобедренным, а третью сторону будем называть основанием.

6. Возьмите чистый листок бумаги, нарисуйте на нем острый угол с вершиной В.

7. Отложите на сторонах его от вершины В равные отрезки ВА и ВС.

8. Соедините точки А и С.

9. Установите вид треугольника АВС по его сторонам. (Свое утверждение нужно обосновать.)

10. Проведите высоту ВК из вершины В.

11. Сравните отрезки АК и КС. (Как можно еще назвать высоту ВК, учитывая сделанный вывод об отрезках АК и КС?)

12. Сравните углы АВК и КВС (используя транспортир или наложением). (Как можно еще назвать высоту ВК, учитывая вывод об углах АВК и КВС?)

Вывод. Высота в равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС), проведенная из его вершины В, является одновременно и медианой, и биссектрисой.

13. Сравните углы А и С.

Вывод. Углы при основании равнобедренного треугольника АВС (АВ ВС) равны.

14. Нарисуйте на чистом листе тупой угол В₁ и постройте равнобедренный треугольник А₁В₁С₁ с углом В₁ при вершине.

15. Разделите основакиеА₁С₁ пополам (точкой К₁) и соедините точку К₁ с В₁.

16. Как можно назвать отрезок В₁К₁?

17. Возьмите угольник и транспортир и посмотрите, не является ли В₁К₁ высотой треугольника и его биссектрисой?

18. Каким еще способом можно выяснить эти факты? (Наложением.)

Вывод. В равнобедренном А₁В₁С₁ медиана является одновременно биссектрисой и высотой, если она проведена из вершины угла, образованного равными сторонами.

1. Нарисуйте отрезок АС.

2. Подумайте, как только с помощью циркуля найти точку В - вершину треугольника АВС, у которого все стороны равны. Треугольник, у которого все стороны равны, назовем равносторонним.

3. Равнобедренным мы называем треугольник, у которого две равные стороны. Можно ли равносторонний треугольник назвать равнобедренным?

4. Проведите биссектрису какого-нибудь, угла треугольника АВС, чтобы она была и медианой, высотой. (Делаем перегибанием листочка.)

Вывод. В равностороннем треугольнике биссектриса каждого его угла является одновременно и медианой, и высотой.

5. Мы знаем, что медианы в треугольнике пересекаются в одной точке, которая делит его на две части, меньшая из которых укладывается в большей два раза. Это свойство медиан треугольника. Проверьте, верно ли это свойство в равностороннем треугольнике для биссектрис и высот.

Лабораторная работа № 11

по теме «Расстояние от точки до прямой»

1. Нарисуйте какую-нибудь прямую l.

2. Возьмите некоторую точку О вне этой прямой.

3. Из точки О с помощью угольника проведите отрезок ОА, лежащий на прямой, перпендикулярной прямой l. (Будем называть его просто перпендикуляром.)

4. На прямой l возьмите несколько точек М, Н, Р, отличных от А.

5. Используя циркуль, сравните длины отрезков ОА, ОМ, ОН, ОР, ..., и найдите самый короткий из них.

Вывод. ОА - самый короткий отрезок из всех отрезков, соединяющих точку О с точками, лежащими на прямой l. (Длину этого отрезка назовем раcстоянием от точки О до прямой.) Значит, расстояние от точки О до прямой l равно длине перпендикуляра ОА.

7. Нарисуйте любые три попарно пересекающиеся прямые.

8. Возьмите точку М вне этих прямых.

9. Найдите расстояние от точки М до каждой из этих прямых. (При необходимости учитель повторяет алгоритм построения перпендикуляра из точки на прямую.)

10. К какой из прямых точка М расположена ближе?

Лабораторная работа № 12

по теме «Свойство биссектрисы угла»

1. Нарисуйте острый угол АОВ.

2. Перегните листок так, чтобы лучи ОА и ОВ совпали и ногтем проведите по линии сгиба, начиная от вершины угла. Полученный луч обозначьте ОК. Разогните листочек и обведите луч ОК карандашом.

3. Что вы скажете о величине углов АОК и КОВ?

4. Как можно назвать луч ОК?

5. Отметьте на биссектрисе ОК какую-нибудь точку М.

б. Возьмите угольник и постройте перпендикуляр МН из точки М на ОА и перпендикуляр МР из точки М на ОВ.

7. Измёрьте длину отрезков МН и МР.

8. В п. 7 были найдены расстояния от точки М до сторон угла. Сравните их.

9. Возьмите на биссектрисе ОК еще какую-нибудь точку Р, отличную от О и М.

10. Постройте перпендикуляры из Р на стороны угла и сравните их длины.

Вывод. Какую бы точку на биссектрисе ОК угла АОВ мы не взяли, расстояние от нее до сторон угла одно и то же.

Лабораторная работа №13- 14

по теме «Задачи на построение:»

Постройте:

а) отрезок, равный данному

б) угол, равный данному

в) биссектрису угла

г) перпендикулярные прямые

д) середину отрезка

Лабораторная работа № 16

по теме «Признаки равенства прямоугольных треугольников»

1. Нарисуйте прямоугольный треугольник. Обозначьте его АВС (угол С - прямой).

2. На отдельном листке проведите прямую l и от точки N отложите отрезок NМ, равный СВ.

3. Из точки N постройте перпендикуляр к прямой l и на нем отложите отрезок NК, равный СА.

4. Соедините точки К и М.

5. Проверьте наложением, равны ли треугольники КNМ и АВС?

Вывод. В прямоугольных треугольниках АВС и КNМ стороны, образующие прямые углы, соответственно равны (КN=АС, NМ=ВС). Поэтому треугольники АВС и КNМ равны.

6. На другом листке проведите прямую l и возьмите на ней точку L.

7. От точки L на прямой l₁отложите отрезок LF, равный ВС.

8. Найдите другим способом вершину Р прямоугольного треугольника РLF равного ему треугольника АBС.

Вывод. Два прямоугольных треугольника равны, если у них соответственно равны любые две стороны, или сторона и острый угол.

Лабораторная работа № 17

по теме «Признаки равенства треугольников»

1. Нарисуйте любой остроугольный треугольник.

2. Подумайте, сколько элементов этого треугольника (сторон, углов) надо знать, чтобы построить треугольник, равный данному.

3. Проверьте свою гипотезу: измерьте, постройте, проверьте равенство треугольников.

4. Обобщаем все способы построения равных треугольников, используемые ребятами, и кратко записываем их в выводах.

5. Ту же работу дома ученики выполняют с тупоугольным треугольником.

Лабораторная работа № 18

по теме «Квадрат и его свойства»

1. Построение квадрата. Каким образом можно нарисовать квадрат со стороной 5 см?

Способ 1. а) На прямой l откладываем отревок АВ = 5 см;

б) из концов А и В строим по одну сторону отрезка перпендикуляры;

в) откладываем на каждом из них отрезки АD и ВС длиной 5 см;

г) соединяем точки D и С.

Способ II. а) Рисуем прямоугольный треугольник АDВ, причем его стороны АD и АВ, образующие прямой угол, равны по 5 см;

б) перегибаем листочек бумаги по ВD;

в) иголкой циркуля делаем прокол в точке А и обозначаем полученную точку буквой С;

г) соединяем точки D и С, С и В.

2. Исследование свойств квадрата. С помощью линейки и треугольника проверить, что противоположные стороны построенного квадрата параллельны.

3. Проведите отрезки, соединяющие противоположные вершины квадрата А и С, В и D (их называют диагоналями.> Выяснить, как они расположены (точку их пересечения обозначим через О).

4. Сравнить расстояния от точки О до вершин А и С, от точки О до вершин В и D.

Вывод. а) диагонали АС и ВD квадрата АВСD равны и в точке пересечения делятся пополам;

б) точка пересечения диагоналей квадрата равноудалена от всех его вершин.

5. Установите, какой угол образуют диагонали квадрата.

6. На другом листке нарисуйте отрезок АС.

7. Проведите срединный перпендикуляр отрезка АС.

8. От середины отрезка АС точки О на срединном перпендикуляре, по обе стороны от отрезка АС, отложите отрезки ОВ и ОD, равные ОА.

9. Соедините последовательно точки А, В, С, D.

10. Возьмите инструменты и исследуйте, какая получилась фигура. (Ребята сначала на глаз определяют, что АВСD - квадрат, затем сравнивают его стороны и углы и

убеждаются в этом.)

Вывод. 1) В квадрате диагонали равны, взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам.

2) Если построить два равных взаимно перпендикулярных отрезка, делящихся точкой пересечения пополам и последовательно соединить отрезками их концы, то получится квадрат.

11. Найдите середины отрезков АВ, ВС, СD, DА и последовательно соедините их.

12. Установите, какая получилась фигура.

13. Проделайте это еще раз с новым квадратом.

Лабораторная работа № 19

по теме «Ромб и его свойства»

В лабораторной работе № 9 мы установили, что в квадрате диагонали взаимно перпендикулярны, равны и в точке пересечения делятся пополам.

1. Проверьте, получим ли мы квадрат в результате следующих построений:

а) нарисуйте отрезок АС;

б) нарисуйте его срединный перпендикуляр; в)от середины отрезка точки О, в обе стороны отложите на срединном перпендикуляре равные между собой отрезки ОВ и OD, но не равные ОА.

Ученики устанавливают, что в этом четырехугольнике стороны равны, но углы не являются прямыми и делают вывод, что это не квадрат.

Назовем четырехугольник АВСD, у которого все стороны равны ромбом.

2. Нарисуйте острый угол с вершиной А.

3. Придумайте как, используя только циркуль, найти все вершины ромба, у которого одной вершиной является точка А, а две стороны лежат на сторонах угла А.

4. Постройте такой ромб.

5. Нарисуйте тупой угол N и постройте ромб с вершиной N и сторонами, лежащими на сторонах угла N.

6. Нарисуйте прямой угол К и постройте ромб с вершиной К и сторонами, лежащими на сторонах угла К.

7. Подумайте, как можно назвать этот ромб с вершиной К.

8. Докажите, что существуют ромбы, которые не являются квадратами. (Ребятам это просто сделать, используя построенные ромбы с вершинами А и N.)

9. Найдите одинаковые свойства ромба, не являющегося квадратом, и квадрата.

10. Установите различные свойства.

Вывод. Ромб может быть квадратом, но существуют ромбы, не являющиеся квадратами. Любой квадрат есть ромб.

Лабораторная работа № 20

по теме «Параллелограмм и его свойства»

Напоминание: 1) в квадрате диагонали равны, взаимно перпендикулярны, в точке пересечения делятся пополам;

2) в ромбе, не являющемся квадратом, диагонали не равны, взаимно перпендикулярны, в точке пересечения делятся пополам.

В ромбе, не являющемся квадратом, нарушено первое из свойств, которыми не обладает квадрат, но сохранено второе и третье.

Попробуем теперь нарушить не только первое свойство квадрата, но и второе, сохранив при этом третье.

Нарисуем такой четырехугольник и убедимся, что он не является ромбом.

1. Нарисуйте отрезок АС.

2. Найдите его середину - точку О.

3. Проведите через точку О прямую l, перпендикулярную АС.

4. Отложите на l в обе стороны от точки О равные между собой отрезки ОВ и OD, но не равные ОА.

5. Последовательно соедините все четыре точки.

6. Убедитесь, используя инструменты, что этот четырехугольник АВСD не является ромбом.

7. Может ли четырехугольник АВСD оказаться квадратом? (Нет, так как он не ромб.)

8. Проверьте, являются ли отрезки АD и ВС, АВ и DС параллельными?

Назовем четырехугольник АВСD, противоположные стороны которого попарно параллельны, параллелограммом.

9. На другом листке нарисуйте прямую l₁

10. Возьмите точку В вне этой прямой и используя линейку и угольник, проведите через точку В луч ВN, параллельный l, и какой-нибудь луч ВА, пересекающий прямую l в точке А, но не перпендикулярный l₁.

11. Возьмите теперь на луче ВN какую-нибудь точку С, отличную от В.

12. Через точку С, используя линейку и угольник, проведите луч СР, пересекающий l₁ в точке D.

13. Выясните, какой четырехугольник получен. Обоснуйте свой вывод. (Используя определение, школьники доказывают, что АВСР - параллелограмм.)

14. Проведите его диагонали: отрезки АС, BD.

15. Выясните, как они расположены.

16. Рассмотрите, на какие части каждая диагональ делится точкой пересечения.

Вывод. В параллелограмме АВСD диагонали АС и ВD в точке пересечения делятся пополам. Если они к тому же и перпендикулярны, то этот параллелограмм будет ромбом. Если же они еще и равны, то этот параллелограмм является квадратом.

Лабораторная работа № 21

по теме «Прямоугольник и его свойства»

1. В лабораторной работе № 8 мы строили четырехугольник, в котором диагонали не равны, не взаимно перпендикулярны, но в точке пересечения делятся пополам. Было установлено, что у такого четырехугольника противоположные стороны попарно параллельны. Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, мы назвали параллелограммом.

Возникает вопрос: существует ли параллелограмм, у которого диагонали равны?

Попробуем повторить первые 3 пункта построения лабораторной работы № 7.

4. На прямой l, проходящей через точку O, середину отрезка АС (l не перпендикулярна АВ), отложите отрезки OD=OB=OA.

5. Соедините последовательно точки А, В, С, D.

6. Проверьте, будет ли АВСD параллелограммом (параллельность противоположных сторон проверяется с помощью линейки и угольника).

7. Посмотрите на параллелограмм АBСD и установите, чем он отличается от всех параллелограммов, которые мы строили в работе № 20. (У него все углы А, В, С, D - прямые.)

Параллелограмм, у которого все углы прямые, назовем прямоугольником.

Вывод. У нас получилось, что АВСD - прямоугольник, у него диагонали равны и в точке пересечения делятся пополам.

8. Нарисуйте квадрат МNКL

9. Укажите свойство, которое убеждает нас в том, что квадрат МNКL - параллелограмм.

10. Укажите свойство, которое поможет параллелограмм МNКL (по построению - квадрат) отнести к прямоугольникам.

Вывод. Квадрат МNКL - прямоугольник.

11. Найдите на вашем столе фигуры, которые можно назвать прямоугольниками.

12. Подумайте, есть ли среди каких параллелограмм.

13. Подумайте, есть ли среди них квадрат?

Лабораторная работа № 23

по теме «Правильные фигуры»

1. Постройте окружность с любым центром О, любого радиуса.

2. Возьмите на ней какую-нибудь точку А и с центром в этой точке, тем же радиусом, проведите дугу, точки пересечения ее с окружностью обозначьте В и С.

3. Через точку А проведите диаметр АD.

4. Соедините точки В и D, D и С, В и С.

5. Измерьте транспортиром углы треугольника ВDC и с помощью циркуля сравните его стороны.

6. Проведите радиусы ОВ и ОС и измерьте углы ОВС и ОCB.

7. Как вы думаете, будут ли стороны четырехугольника АВОС равны? (Конечно, ведь мы проводили из точки А окружность радиусом, равным ОВ.)

8. Возьмите угольник и проверьте, являются ли прямые АD и ВС перпендикулярными. Постройте высоты треугольника из вершин В и С.

9. Возьмите неравнобедренный угольник и найдите величину угла ВDС. Найдите на рисунке все углы, ему равные. (Подразумевается, что ребята уже измеряли углытреугольника и знают, что один из них -острый, равный 30°, другой 60°.)

10. Докажите, что диагонали четырехугольника АВОС делятся в точке пересечения пополам.

11. Достройте треугольник ВОD до четырехугольника ВОDК, в котором ВD являлась диагональю, и диагонали его в точке пересечения делились пополам.

12. Аналогичную работу проделайте с треугольником DОС (DС - диагональ).

13. Все шесть получившихся на окружности точек последовательно соедините и сравните длины сторон получившегося шестиугольника и измерьте транспортиром его углы.

14. Какими одинаковыми свойствами обладают получившийся шестиугольник и треугольник ВDС?

Лабораторная работа № 24

по теме «Площадь треугольника»

1. Начертите какой-нибудь прямоугольник.

2. Измерьте длины его сторон и вычислите площадь.

3. Начертите прямоугольник, площадь которого 42 см².

4. Проведите какой-нибудь отрезок так, чтобы он отсек от этого прямоугольника треугольник площадью 21 см².

Доказать равенство треугольников можно либо наложением, либо довериться интуиции.

5. Начертите произвольный прямоугольный треугольник. Дорисуйте его до прямоугольника так, чтобы прямой угол треугольника был и углом прямоугольника.

6. Придумайте способ нахождения площади прямоугольного треугольника (предыдущие задания подскажут, что достаточно сначала найти площадь прямоугольника, затем уменьшить ее в два раза).

7. Запишите, чему равно произведение катетов прямоугольного треугольника.

8. Сравните найденное значение с площадью прямоугольного треугольника, которую вычислили в п. 6 и сделайте вывод.

9. Запишите формулу для нахождения площади прямоугольного треугольника, катетах которого а и b.

10. Нарисуйте какой-нибудь прямоугольный треугольник. Измерьте длины его катетов и вычислите его площадь.

11. Нарисуйте прямоугольный треугольник, площадь которого равна 6 см².

12. Нарисуйте равный ему треугольник.

13. Нарисуйте фигуру, состоящую из этих двух равных прямоугольных треугольников так, чтобы один катет у них был общим и чтобы они были расположены по разные его стороны.

14. Вычислите площадь построенного треугольника.

15. Подумайте, как можно вычислить площадь этого треугольника, если не знать величину площади каждого его составляющего прямоугольного треугольника. Какие отрезки на чертеже для этого надо измерить?

16. Нарисуйте произвольный остроугольный треугольник, посмотрите на предыдущий рисунок и подумайте, какие дополнительные построения надо сделать, какие отрезки измерить, чтобы вычислить его площадь.

Хорошо, если эта работа закончится записью формулы площади треугольника.

Лабораторная работа № 25

по теме «Площадь остроугольного и прямоугольного треугольников»

1. Изобразите остроугольный треугольник АВС.

2. Измерьте длину каждой его стороны.

3. Проведите высоту АК на сторону ВС и измерьте ее длину.

4. Вычислите половину произведения ВС и АК.

5. Вычислите площади треугольников АКВ и АКС.

6. Сравните сумму площадей треугольников АВК и АКС с произведением, полученным в п. 4.

7. Зная, что площадь треугольника равна половине произведения основания на его высоту, нарисуйте остроугольный треугольник АВС, площадь которого равна 6 см².

8. Начертите еще несколько треугольников площадью б см, у которых с данным треугольником АВС общая сторона АС.

9. Нарисуйте остроугольный треугольник АВС, площадь которого равна 9 см².

10. На АС возьмите точку К так, чтобы треугольник АВК был тупоугольным.

11. Измерьте площадь треугольника ВКС.

12. Запишите как, зная площади треугольника АВС и КВС вычислить площадь треугольника АВК.

13. Обведите цветным карандашом высоту треугольника АВК, проведенную из вершины В на продолжение стороны АК.

14. Вычислите произведение 1/2АК· ВN.

Вывод. Площадь любого треугольника равна половине произведения основания на высоту.