Методические указания к теме Дифференциальное и интегральное исчисление

Бюджетное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

Вологодской области

«Кадуйский политехнический техникум»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

для самостоятельной работы по математике

по теме «Дифференциальное и интегральное исчисление»

КАДУЙ

2013

ОДОБРЕНЫ

МЦК по ООД БОУ СПО ВО «Кадуйский политехнический техникум»

Протокол № от

Методические указания для самостоятельной работы по математике по теме «Дифференциальное и интегральное исчисление»

Методические указания предназначены для студентов очного отделения 2 курса для всех специальностей СПО. Указания содержат сведения о требованиях к написанию и оформлению контрольных работ, краткую теорию по данной теме, примеры решений и задания для внеаудиторной самостоятельной работы по теме «Дифференциальное и интегральное исчисление».

Составитель: Е.Е.Кормачева, преподаватель математики

Рецензент: В.И. Лукина, методист

Содержание

Введение ………………………………………………………………………….4

1. Требования к выполнению и оформлению контрольных работ ...................5

2. Теоретическая часть …………………………………………………………..5

3. Задания для самостоятельной работы……………………………………...11

4. Литература……………………………………………………………………13

Введение

Методические указания предназначены для студентов 2 курса всех специальностей для внеаудиторной самостоятельной работы по математике по теме «Дифференциальное и интегральное исчисление».

Данные указания содержат требования к выполнению контрольных работ по математике, теоретическую часть изучаемого материала, знание которого необходимо по указанной теме. В теоретической части содержатся примеры с решениями производных сложных функций.

Для более глубокого изучения производной сложной функции можно воспользоваться литературой, приведенной в методических указаниях, другими учебниками, а также конспектами лекций по курсу «Математика».

4

1. Требования к выполнению и оформлению контрольных работ

При выполнении контрольной работы необходимо строго придерживаться следующих требований:

1. Контрольная работа должна быть выполнена на отдельном двойном

листе в клетку пастой синего или фиолетового цвета.

2. Работы, содержащие задачи не своего варианта, не рецензируются.

3. Решение каждой задачи начинается с её условия.

4. Решение задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя все

действия по ходу решения.

5. Компьютерное оформление работы не рецензируется.

6. Незачтенная работа переписывается студентом, исправления

записывается в конце работы. Вносить исправления в текст работы

запрещается.

7. Контрольная работа сдается в установленные сроки.

2. Теоретическая часть по теме

«Дифференциальное и интегральное исчисление»

Цель работы: овладение методами вычисления производной сложной и обратных тригонометрических функций.

Умение и навыки, которые должны приобрести студенты: самостоятельно вычислять производные сложных функций, осуществлять поиск информации с использованием компьютерной техники и Интернета

Формирование компетенций:

Рекомендации по выполнению.

1.Разобрать решение примеров.

2.Выполнить задания, используя указания.

3.Оформить решение задач в тетради.

1.Разберите решение примеров:

Вычисление производных сложных функций осуществляется по правилу дифференцирования сложной функции:

5

Прежде всего, обратим внимание на запись . Здесь у нас две функции - и , причем функция , образно говоря, вложена в функцию . Функция такого вида (когда одна функция вложена в другую) и называется сложной функцией.

Пример 1

Найти производную функции

Под синусом у нас находится не просто , а целое выражение , поэтому найти производную сразу по таблице не получится. Также мы замечаем, что здесь невозможно применить первые четыре правила, вроде бы есть разность, но дело в том, что «разрывать на части» синус нельзя:
Функция - это сложная функция, причем многочлен является вложенной функцией , а - внешней функцией.

Первый шаг, который нужно выполнить при нахождении производной сложной функции состоит в том, чтобы разобраться, какая функция является вложенной, а какая - внешней.

После того, как определены вложенная и внешняя функции применяют правило дифференцирования сложной функции .

Вычислим производную:

Сначала находят производную внешней функции , по формуле . Все табличные формулы применимы и в том, случае, если заменить сложным выражением, в данном случае:

При выполнении вычислений вложенная функция не изменилась.

По формуле получаем:

Постоянный множитель обычно выносят в начало выражения:

Пример 2

Найти производную функции

Запишем

Определим где внешняя функция, а где вложенная. Для этого пробуем вычислить значение выражения при . Что нужно выполнить в первую очередь? В первую очередь нужно сосчитать чему равно основание: , значит, многочлен - и есть вложенная функция. И, только потом выполняется возведение в степень , следовательно, степенная функция - это внешняя функция.
По правилу дифференцирования сложной функции , сначала нужно найти производную от внешней функции, в данном случае, от степени. По формуле вычисляем производную:

Пример 3

Найти производную функции

Для того чтобы продифференцировать корень, его нужно представить в виде степени . Таким образом, сначала приводим функцию в надлежащий для дифференцирования вид:

7

Анализируя функцию, приходим к выводу, что сумма трех слагаемых - это вложенная функция, а возведение в степень - внешняя функция.По правилу дифференцирования сложной функции :

Степень снова представляем в виде радикала , а для производной вложенной функции применяем простое правило дифференцирования суммы:

Пример 4

Найти производную функции

Разбираемся во вложениях этой функции. Пробуем вычислить выражение подставив значение . Если использовать для вычислений калькулятор, то сначала нужно найти , значит, арксинус - самое глубокое вложение.

Затем этот арксинус единицы следует возвести в квадрат :

И, наконец, семерку возводим в степень :


То есть, в данном примере у нас три разные функции и два вложения, при этом, самой вложенной функцией является арксинус, а самой внешней функцией - показательная функция.

По правилу сначала нужно взять производную от внешней функции. Вычислим производную показательной функции: .Вместо рассмотрим сложное выражение , что не отменяет справедливость данной формулы. Итак, результат применения правила дифференцирования сложной функции следующий:

Теперь опять необходимо вычислить производную сложной функции взяв за вложенную функцию - арксинус, а за внешнюю функцию - степень. Согласно правилу дифференцирования сложной функции сначала нужно взять производную от степени:

Далее находим по таблице производную арксинуса:

9

Пример 5

Найти производную функции

Сначала используем правило дифференцирования суммы , заодно в первом слагаемом выносим постоянный множитель за знак производной по правилу :

Далее дважды необходимо применить правило :

Согласно правилу , получаем:

Обратите внимание на приоритет (порядок) применения правил: правило дифференцирования сложной функции применяется в последнюю очередь.

3. Задания для самостоятельной работы

1) ,

16) .

2) ,

17) .

3) ,

18) .

4) ,

19) ,

5) ,

20) .

6) ,

21) .

7) ,

22) .

8) ,

23) ,

9) ,

24) .

10) ,

25) .

11) ,

26) .

12) ,

27) ,

13) ,

28) .

14) ,

29) .

15) ,

30) .

Оформить решение примеров в тетради.

По результатам решения примеров выставляется оценка.

Шкала оценки образовательных достижений

Процент результативности

(правильных ответов)

Оценка уровня подготовки

Балл (оценка)

Вербальный аналог

90-100

5

отлично

80-89

4

хорошо

70-79

3

удовлетворительно

менее 70

2

неудовлетворительно

12

Литература

1. Григорьев С.Г., Задулина С.В. Под редакцией В.А. Гусева Математика. - М.: Образовательно-издательский центр «Академия», 2011

2. Пехлецкий И.Д. Математика. - М.: Образовательно-издательский центр «Академия», 2011.

Дополнительная литература:

3. Н.В. Богомолов. Практические занятия по математике. - М., ВШ,1990.

4. Н.В. Богомолов, П.И. Самойленко. Математика.-М., Дрофа,2006.

Интернет ресурсы:

1. www/mathematics.ru

2. tutoronline.ru/

3. exponenta.ru

13