Рабочая программа по элективному курсу «ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА. СПОСОБЫ ПОЛУЧЕНИЯ И ПРИМЕРЫ ПОЛУЧЕНИЙ» 10 класс

Рабочая программа по элективному курсу

«ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА. СПОСОБЫ ПОЛУЧЕНИЯ И ПРИМЕРЫ ПОЛУЧЕНИЙ»

Пояснительная записка

Рабочая программа элективного курса «Замечательные неравенства» составлена на основе федерального компонента государственного стандарта основного общего образования и авторской программы элективного курса «Замечательные неравенства: 10-11 кл.». Автор: С.А.Гомонов, канд.физ.-мат.наук..

Изучение курса математики на базовом уровне среднего (полного) общего образования направлено на достижение следующих целей и задач:

Целью данного курса является изучение избранных классов неравенств с переменными и научное обоснование методов их получения, а также применение изученного теоретического материала при решении неравенств.

Задачи курса:

- закрепление основ знаний о неравенствах и их свойствах;

- расширение представления о неравенствах;

- формирование умений решать неравенства с переменными;

- повышение общей математической культуры;

- развитие логического мышления обучающихся.

Изучение элективного курса в 10 классе реализуется на основе использования следующего учебно-методического комплекта, используемого для достижения поставленной цели в соответствии с образовательной программой учреждения:

Гомонов С. А. Методические рекомендации к элективному курсу С.А. Гомонова Замечательные неравенства: способы получения и примеры применения. 10 -11 классы. Профильное обучение Элективные курсы. Москва. Дрофа 2007.

Общая характеристика учебного предмета, место в учебном плане.

Согласно федеральному базисному учебному плану для образовательных учреждений Российской Федерации на изучение геометрии в 10 классе отводится 35 часов (1 урок в неделю), из расчета 1 учебный час в неделю из школьного компонента.

Формы организации учебного процесса.

В данном классе ведущими методами обучения предмету являются: поисковый, объяснительно-иллюстративный и репродуктивный. На уроках используются элементы следующих технологий: личностно ориентированное обучение, обучение с применением опорных схем, ИКТ. Формы промежуточной аттестации. Промежуточная аттестация проводится в форме контрольных и зачётных работ. Формы организации учебного процесса : общеклассные или фронтальные учебные занятия; индивидуальные, парные, групповые, коллективные формы обучения .Формы текущего контроля знаний, умений, навыков : беседа; фронтальный опрос; промежуточная аттестация: тест, самостоятельные и контрольные работы. Формы итогового контроля знаний, умений, навыков: тестовые задания с выбором ответа или задания, требующие развёрнутого решения. В приведенном тематическом планировании предусмотрено использование различных форм уроков: уроки изучение нового материала, закрепление первичных знаний, урок комплексного применения знаний, контроль знаний, урок закрепления, урок обобщения и систематизации знаний, повторение пройденного материала, практикум, повторение материала. Урокам сопутствует компьютерное обеспечение: задания для устного опроса, электронный учебник. Использование компьютерных технологий в преподавании курса позволяет непрерывно мёнять формы работы на уроке, постоянно чередовать устные и письменные упражнения, осуществлять разные подходы к решению математических задач, а это постоянно создает и поддерживает интеллектуальное напряжение учащихся, формирует у них устойчивый интерес к изучению данного предмета.

. Требования к уровню подготовки учащихся

Учащиеся должны

знать / понимать:

- определение числового неравенства и его свойства;

- определение средних величин и их свойства;

уметь:

- правильно употреблять математическую терминологию;

- работать с литературными источниками, находить и использовать информацию в бумажных и электронных изданиях;

- исследовать функцию на выпуклость, вогнутость;

- находить наибольшее и наименьшее значения функции с помощью замечательных неравенств;

- применять неравенства при решении статистических и оптимизационных задач.

Учебно-тематическое планирование

№

Наименование разделов, тем

Кол-во часов

1

Числовые неравенства и их свойства

1

2

Основные методы установления истинности числовых неравенств

2

3

Основные методы решения задач на установление истинности неравенства с переменными. Частные случаи неравенства Коши, их обоснование и применение

4

4

Метод математической индукции и его применение к доказательствам неравенств. Неравенство Корни для произвольного числа переменных

5

5

Неравенство Коши-Буняковского и его применение к решению задач

2

6

Неравенства подсказывают методы их обоснования

7

7

Средние степенные величины: свойства, происхождение и применение.

6

8

Неравенство Чебышева и некоторые его обобщения.

3

9

Генераторы замечательных неравенств

2

10

Применение неравенств

3

Итого

35

Календарно - тематическое планирование

№

урока

Наименование раздела и тем

Кол-во
часов

Числовые неравенства и их свойства

1

1

Числовые неравенства и их свойства

Основные методы установления истинности числовых неравенств

2

2

Некоторые методы сравнения значений двух числовых выражений

3

Некоторые методы сравнения значений двух числовых выражений

Основные методы решения задач на установление истинности неравенства с переменными. Частные случаи нераве-нства Коши, их обоснование и применение

4

4

Неравенства с переменными, основные понятия и свойства. Некоторые методы установления истинности неравенств с переменными

5

Основные методы решения задач на установление истинности неравенств с переменными.

6

Основные методы решения задач на установление истинности неравенств неизвестными. Равносильные своими утверждениями задачи и теоремы. Частные случаи неравенства Коши.

7

Некоторые частные случаи неравенства Коши и их применение для нахождения наибольших и наименьших значений функций

Метод математической индукции и его применение к доказательствам неравенств. Неравенство Корни для произвольного числа переменных

5

8

Полная индукция - метод перебора всех вариантов и ее применение к решению задач.

9

Аксиома, принцип и метод математической индукции и их применение при доказательстве неравенств с переменными.

10

Теоремы о сравнениях соответствующих членов двух последовательностей.

11

Неравенство Коши для произвольного числа переменных.

12

Неравенство Коши для произвольного числа переменных.

Неравенство Коши-Буняковского и его применение к решению задач

2

13

Неравенство Коши-Буняковского и условия его реализации в варианте равенства.

14

Применение неравенства Коши-Буняковского к решению задач.

Неравенства подсказывают методы их обоснования

7

15

Метод выравнивания значений переменных и метод раздвигания значений переменных (метод Штурма).

16

Метод выравнивания значений переменных и метод раздвигания значений переменных (метод Штурма).

17

Использование для доказательств неравенств с переменными свойства симметричности функций.

18

Использование для доказательств неравенств с переменными свойства однородности функций. Условные тождества

19

Некоторые методы доказательств циклических неравенств.

20

Простейшие приемы установления геометрических неравенств.

21

Условные тождества и условные неравенства.

Средние степенные величины: свойства, происхождение и применение.

6

22

Среднее арифметическое, геометрическое, гармоническое и квадратическое и соотношения между ними.

23

Соотношения между средними гармоническим, геометрическим, арифметическим, и квадратическим и их геометрические интерпретации.

24

Симметрические средние и круговые неравенства.

25

Среднее арифметическое взвешенное и его свойства.

26

Средние степенные, их свойства и применение для обоснования неравенств.

27

Средние степенные взвешенные и его свойства.

Неравенство Чебышева и некоторые его обобщения.

3

28

Неравенство Чебышева, его доказательство и простейшие обобщения.

29

Дальнейшие обоснования неравенств Чебышеваи неравенств Коши-Буняковского.

30

Решение задач на применение обобщений неравенств Чебышева.

Генераторы замечательных неравенств

2

31

Линейная и квадратичная функции и неравенства с переменными

32

Неравенства геометрического происхождения. Определенный интеграл и методы трапеций и треугольников

Применение неравенств

3

33

Неравенства в финансовой математике

34

Некоторые задачи на оптимизацию, задача Дидоны

35

Решение задач на максимум и минимум с помощью замечательных неравенств

СОДЕРЖАНИЕ ПРОГРАММ УЧЕБНОГО КУРСА

Числовые неравенства и их свойства

Некоторые понятия и свойства, считающиеся известными. Понятия «больше» и «меньше» для действительных чисел. Числовые неравенства. Простейшие числовые неравенства. Цель - вспомнить понятие положительного и отрицательного числа, числа нуль; основные законы сложения и умножения чисел; понятия «больше», «меньше», «не больше», «не меньше» их геометрические интерпретации и свойства

Основные методы установления истинности числовых неравенств

Сравнение двух действительных чисел «по определению». Сравнение двух положительных чисел путем сравнения с единицей их отношения. Сравнение действительных чисел с помощью сравнения их степеней. Метод сравнения двух чисел с помощью нахождения «промежуточного» для них числа (метод оценок «сверху» и «снизу»). Метод применения замечательных неравенств.

Цель - закрепить навыки сравнение двух числовых выражений «по определению», путем сравнения их отношения с единицей, путем сравнения их степеней, путем сравнения их с промежуточным числом

Основные методы решения задач на установление истинности неравенства с переменными. Частные случаи неравенства Коши, их обоснование и применение

Цель - рассмотреть различные методы установления истинности неравенств с переменными: метод «от противного», метод анализа, метод подстановки; отработать эти методы на примерах

Метод математической индукции и его применение к доказательствам неравенств.

Понятие неравенства с переменными и его решения. Неравенство-следствие. Равносильные неравенства. Опровержимые неравенства.

Цель -ввести понятие индукции вообще и в математике в частности; рассмотреть схему применения принципа математической индукции и некоторые ее модификации на примерах

Неравенство Коши для произвольного числа переменных

Основные методы решения задач на установление истинности неравенств с переменными. Частные случаи неравенства Коши, их обоснование и применение.

Цель - рассмотреть неравенство Коши для произвольного числа переменных; его функциональное доказательство и некоторые неравенство, эквивалентные неравенству Коши

Неравенство Коши-Буняковского и его применение к решению задач

Метод математической индукции и его применение к доказательствам неравенств. Неравенство. Корни для произвольного числа переменных
Цель - рассмотреть геометрическую интерпретацию неравенства Коши-Буняковского и векторный вариант записи этого неравенства; решить задания на применение неравенства Коши-Буняковского

Неравенства подсказывают методы их обоснования

Метод выравнивания значений переменных и метод раздвигания значений переменных (метод Штурма).

Цель - рассмотреть методы обоснования неравенств: метод штурма; использование симметричности, однородности цикличности левой и правой частей неравенства; геометрический метод

Неравенство Чебышева и некоторые его обобщения

Дальнейшие обоснования неравенств Чебышеваи неравенств Коши-Буняковского.

Цель - рассмотреть простейший вариант неравенства Чебышева и его обобщение.

Средние степенные величины: свойства, происхождение и применение

Соотношения между средними гармоническим, геометрическим, арифметическим, и квадратическим и их геометрические интерпретации. Симметрические средние и круговые неравенства. Среднее арифметическое взвешенное и его свойства.

Цель - ввести понятия средних степенных и средних взвешенных степенных;

рассмотреть их свойства; решить задания на их применение

Генераторы замечательных неравенств Линейная и квадратичная функции и неравенства с переменными Неравенства геометрического происхождения. Определенный интеграл и методы трапеций и треугольников

Цель - рассмотреть достаточные условия выпуклости и вогнутости функции, заданной на указанном промежутке; рассмотреть примеры функций, чья выпуклость и вогнутость устанавливается этими теоремам

Применение неравенств

Неравенства в финансовой математике. Некоторые задачи на оптимизацию, задача Дидоны. Задачи на максимум и минимум с помощью замечательных неравенств

Цель - рассмотреть задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции с помощью замечательных неравенств, обсудить применение неравенств в математической статистике и экономике; рассмотреть задачу Дидоны (упрощенный вариант)

Перечень учебно-методических средств обучения

Литература:

1. Ивлев Б.М. (и др.). Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа. Учебное пособие для 10-11-й кл. / Б.М. Ивлев. М; Просвещение, 1990.

2. Звавич Л. И. (и др.). Алгебра и начала анализа: 3600 задач для школьников и поступающих в вузы. / Л.И. Звавич, Л.Я. Шляпочник, М.В. Чинкина. М; Дрофа, 1999.

3. Балаяи Э.Н. Математика. Сам себе репетитор. Задачи повышенной сложности. Ростов-на-Дону; Издательство "Феникс", 2004.

4. Шабунин М.И. Математика для поступающих в вузы. Уравнения и системы уравнений. Учебное пособие. М; Аквариум, 1997.

5. Мерзляк А.Г.(и др.). Алгебраический тренажер: Пособие для школьников и абитуриентов. / Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. М; Илекса, 1998.

6. Саакян С.М. (и др.). Задачи по алгебре и началам анализа: Пособие для учащихся 10-11-й кл. / С.М. Саакян, А.М. Гольдман, Д.В. Денисов. М; Просвещение, 2001.

7. Гомонов С. А. Методические рекомендации к элективному курсу С.А.

Гомонова Замечательные неравенства: способы получения и примеры применения. 10 -11 классы. Профильное обучение Элективные курсы. Москва. Дрофа 2009.

8. Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Факультативный курс по математике: Решение задач. - М.: Просвещение, 1991.

9. Сканави М.И., Сборник задач по математике для поступающих во втузы. - М.: ОНИКС 21 век, Мир и Образование, Альянс-В, 2001.

Интернет-ресурсы:

school-collection.edu.ru/

prosv.ru - сайт издательства «Просвещение» (рубрика «Математика»)

http:/mnemozina.ru - сайт издательства Мнемозина (рубрика «Математика»)

http:/drofa.ru - сайт издательства Дрофа (рубрика «Математика»)