Решение задач ЕГЭ по математике координатно-векторным способом

Решение задач ЕГЭ по математике координатно-векторным способом

Автор: Волчёк Наталия Львовна.

С 2 (№ 1).

В правильной четырехугольной пирамиде SАВСD, все ребра которой равны 1, найдите синус угла между плоскостью SAD и плоскостью, проходящей через точку А перпендикулярно прямой BD.

Решение.

Введем прямоугольную систему координат так, что её начало, находится в точке О - точке пересечения диагоналей основания. Ось абсцисс сонаправлена вектору , ось ординат сонаправлена вектору , ось апликат сонаправлена вектору . Тогда O(0; 0; 0). Составим уравнение плоскости (SAD) в отрезках. Так как OD=OA=OS= , то (SAD):.

Нормальный вектор плоскости (SAD) .

Нормальным вектором плоскости, проходящей через точку А перпендикулярно прямой BD можно считать . Найдем косинус угла α между векторами и . =

Ответ:

С5 (№ 2).

При каких значениях параметра а система уравнений:

имеет единственное решение

Решение.

1)

Рассмотрим векторы , ,

тогда , ,

, .

Так как из данного уравнения , то //// и их координаты пропорциональны.

Получим, .

2) Исходная система будет иметь решение, если будет иметь решение при

Построим в одной системе координат графики уравнений при и .

Графиком уравнения при будет отрезок с концами в точках А (0;6) и В (8;0), графиком является окружность с центром в точке (0;0) и радиусом R=/а/

Система уравнений имеет единственное решение если:

1) Окружность касается отрезка, т.е. высота ∆АВО, проведенная к гипотенузе равна радиусу окружности.

2) Окружность пересекает отрезок только в одной точке. Это возможно, если

Ответ: