Методы и формы работы, направленные на развитие мышления учащихся на уроках математики

._________________________________________МОЙ УРОК. ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ИДЕИ

МЕТОДЫ И ФОРМЫ РАБОТЫ,

НАПРАВЛЕННЫЕ НА РАЗВИТИЕ МЫШЛЕНИЯ УЧАЩИХСЯ

НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ.

Пилишкина Нина Николаевна

Учитель математики

ГУ лицей, г.Аксу, Павлодарская область, 64563

Человек есть тайна. Ее надо разгадать,

и ежели будешь разгадывать всю жизнь,

то не говори, что потерял время…

Ф.М.Достоевский.

Человек! Сколько сокровенного и таинственного, великого и мелочного, разумного и дикого, сильного и слабого, хорошего и плохого кроется под этим магическим словом. И в зависимости от того, какие из этих сторон будут больше проявляться в нем, тем он и станет.

Каждый человек есть уникум. У каждого человека есть свои способности, воззрения, идеи и ценности, порой сильно отличающиеся от других.

Однако, в одном все люди сходятся. В стремлении к счастью и успеху… Для достижения этих целей личность должна выработать в себе соответствующие качества и отвечать всем требованиям новой эпохи.

Дорога к успеху проходит через постоянную и систематическую работу над собой и развитие тех способностей, которые когда-то возвысили нас над мамонтами, и стали особенно актуальны сейчас. Из выше изложенного можно понять, что речь идет об обучении приемам более рационального мышления, развития его образности, оперативности.

В разные эпохи, при различных системах обучения мышлению отводилась не одинаковая роль. Особенно возросла роль мышления в современной школе, где ученику необходимо не просто приобрести знания, умения, навыки, освоить сложившиеся способы человеческой деятельности, но и овладеть творческим подходом к ее осуществлению, развить устойчивые познавательные интересы и мотивы учения, потребность в самостоятельном самообразовании. Таким образом, на первый план выдвигаются задачи умственного развития, формирования творческого мышления учащихся.

Мышление - это творческий познавательный процесс, обобщенно и опосредованно отражающий отношения предметов и явлений, законы объективного мира.

При формировании мышления следует учитывать индивидуальные различия между учащимися. Эти различия мыслительных способностей школьников могут проявляться в качествах: глубине, гибкости ума, устойчивости, осознанности, самостоятельности.

Специфика сочетания и различные уровни развития этих качеств создают индивидуальные варианты обучаемости школьников.

Поэтому при развитии интеллектуальных способностей школьника особое внимание следует уделять учащимся с высокой обучаемостью. Таким детям предъявляются высокие требования (и по содержанию, и по методам), соответствующие их большим потенциальным возможностям. Девиз обучения таких учащихся - максимум учащихся, минимум помощи.

Исследования психологов доказали, что наиболее активный процесс формирования мышления - подростковый. Основной особенностью этого периода является нарастающая способность к абстрактному мышлению. Так, у подростков развивается способность к конкретизации, иллюстрированию. В этом возрасте мысль окончательно соединяется со словом, в результате чего образуется внутренняя речь, как основное средство организации мышления. Кроме этого идет активный процесс формирования научных понятий, гораздо лучше усваивается и запоминается отвлеченный материал. К подростковому возрасту значительно усиливается стремление добиться понимания того, что надо запомнить и воспроизвести. Для детей характерно заметное развитие критичности мышления. Очень важной особенностью подросткового возраста является формирование активного, самостоятельного творческого мышления. Известно, что активная самостоятельная работа мысли начинается только тогда, когда перед учащимися возникают проблема.

Именно поэтому в своей работе я уделяю огромное внимание развитию способов мыследеятельности, творческих способностей, логического мышления школьников. Эта работа проводится как на уроках, так и во внеурочное время.

Очень важно научить подростков приемам познавательной деятельности, то есть умению сопоставлять, обобщать, анализировать, конкретизировать, делать выводы, проверять правильность рассуждений, доказывать, выделять главное, группировать элементы, определять место полученных им знаний.

С этой целью на уроках математики большое внимание уделяется устным упражнениям. Устанавливаются родовые и видовые признаки и связи между элементами, классифицируются понятия и так далее.

Вот некоторые примеры из практики:

8 класс. Тема: «Четырехугольники»

1. Перечислите свойства параллелограмма. Какие из свойств четырехугольников принадлежат только параллелограмму?

2. Перечисли как можно больше свойств квадрата.

3. Укажи свойства, принадлежащие всем прямоугольникам.

4. Перечисли общие свойства трапеции и ромба, треугольника и параллелограмма, прямоугольника и ромба.

5. Какие свойства общие для прямоугольника и ромба.

6. Перечисли существенные признаки ромба.

7. Какие из следующих свойств трапеции являются существенными, а какие несущественными:

- две стороны трапеции параллельны;

- два угла при большем основании острые;

- сумма углов трапеции, принадлежащих к одной боковой стороне, равна 180 градусам;

- основания трапеции горизонтальные;

- оба угла при меньшем основании - тупые.

8. Для каждого из понятий подбери видовое отличие и дополни определение:

- квадрат - это четырехугольник …;

- трапеция - это четырехугольник …;

- квадрат - это параллелограмм … .

На уроках геометрии в 11 классе предлагаются задачи для устного решения:

1. Определить ребро куба, если площадь сечения, проведенного через диагонали противоположных боковых граней куба, равна 162.

2. Можно ли вписать цилиндр в прямую четырехугольную призму, площади боковых граней которых относятся как 3 : 5 : 7 : 9?

3. Вычислить поверхность сферы, описанной около прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны 1 дм, 2 дм, 3 дм.

Решение стереометрических задач значительно облегчается, если учащиеся способны анализировать. А это значит необходимо расчленить целостную систему на взаимосвязанные подсистемы, каждая из которых является отдельным, определенным целым, а так же установить связи между ними.

Так, например, первая задача в результате анализа сводится к решению двух планиметрических задач: задачи на теорему Пифагора и задачи на нахождение сторон прямоугольника по его площади. В итоге определение ребра куба свелось к определению меньшей стороны прямоугольника по его площади и определенной зависимости между сторонами.

Решение второй задачи, если перейти от комбинаций этих тел к их проекции на горизонтальную плоскость, эквивалентно решению следующей планиметрической задачи: «можно ли окружность вписать в четырехугольник, стороны которого относятся, как 3:5:7:9?».

И, наконец, решение третьей задачи сводится к планиметрической задаче на нахождение радиуса окружности, описанной около прямоугольника, если вместо предложенной комбинации тел рассмотреть одно из осевых сечений.

Следовательно, приучая учащихся к анализу, мы тем самым не только развиваем мышление, но и облегчаем им процесс приобретения навыков в решении стереометрических задач.

Устные упражнения для закрепления нового материала подбираются наиболее тщательно. Они должны быть небольшими по объему, но такими, чтобы с их помощью можно было бы наиболее эффективно проверить усвоение темы.

Так на уроке алгебры «Тождественные преобразования тригонометрических выражений» в 9 классе при закреплении основных тригонометрических тождеств используются рисунки, представляющие объединение или пересечение некоторых фигур. Согласно этой схемы и использования таких мыслительных операций как сравнение, синтез, обобщение необходимо ответить на вопрос к упражнению.

Установите связи между элементами фигур и назовите формулы

-sin, cos

 - tg, сtg

oo- sin2, cos2

 - ?

o -?

 - ?

При решении уравнений с учащимися 5, 6, 7 классов используются следующие карточки.

Задание: найди неизвестное число

Х-7=2

79

8+Х=15

15-4в

3в+1=13

-1

15-Х=10

?

Х+3=11

14в-20

8-3в=2

?

36

13

( 44 )

47

?

25

( 63 )

36

51

( ? )

43

13

ДЖ

16

КГ

?

ИП

В 11 классе на уроке алгебры и начал анализа, перед рассмотрением темы логарифмические уравнения предлагаю устные упражнения на закрепление определения логарифма и его свойств.

Задание: Используя основные свойства логарифмической функции и правила логарифмирования, установите закономерность заполнения таблицы и найдите х.

Задание

Решение

1 группа

1

2

8

3

8=2³ х=2

5

Х

log2

2

3

2

9

х^lg3=3 х=10

Х

lg3

3

3

64

4

3

2^{log 7}=7 х=2

7

2

log7

2группа

1

5

Х

log6

х=5^{log 6} х=36

3

81

4

2

lg5

Х

lg7

х=lg5+lg7=lg35 х=lg35

7

12

5

3

log27

log3

X

х= =3 х=3

6

3

2

3 группа

1

Х

2log5

х== х=5

2

32

5

2

7

2

5

х=log₃24-3log₃2 = log_{3 =}log ₃3 =1 х =1

log24

3log2

x

3

3

5

125

3 ^{log 5} =5 х=3

log_х 5

3

5

При решении упражнений подобного содержания формируются способности находить предметы по заданным признакам, быстро переключать мышление с одного объекта на другой, искать похожие предметы или свойства чисел, находить аналоги между различными непохожими предметами.

Так, решая первое задание, поступают следующим образом:

Естественно предположить, что искомое число каким-то образом связано с исходными уравнениями, решая которые находим цифры числа 79, то есть

Х - 7 = 2 => Х = 9,

8 + Х = 15 => Х = 7.

Анализируем: корень уравнения записанного слева, дает цифру единиц, справа - цифру десятков данного числа. Поступая аналогично, решаем уравнения, записанные в нижней строчке рисунка. Находим искомое число.

15 - Х = 10 => Х = 5,

Х + 3 = 11 => Х = 8.

Ответ: неизвестное число 85.

На уроке геометрии для работы над площадями фигур в 9 классе не стоит ограничивать детей в выборе самих фигур, поэтому предлагаются ученикам нестандартные фигуры, при конструировании которых используются простейшие геометрические фигуры.

Такие задачи необходимы не только для проверки знаний формул площадей, умения выполнять вычислительные операции, но и для развития умения разбить исходную фигуру на части, площади которых найти гораздо проще и, используя свойства площадей, выйти на конечный результат.

Вот некоторые из них.

Найдите площади следующих фигур:

Вот такие упражнения можно использовать на классификацию понятий:

1. Проведи классификацию понятия

а) треугольник (принимая во внимание одновременно два признака - сравнительную длину сторон и величину углов)

б) данных дробей (по двум признакам: правильная дробь и дробь со знаменателем)

2. Проверь правильность следующих классификаций:

а) треугольники делятся на: остроугольные, прямоугольные, тупоугольные, равносторонние, равнобедренные;

б) ромбы могут быть: равноугольными и неравноугольными;

в) прямоугольники могут быть равносторонними и неравносторонними;

г) параллелограммы делятся на прямоугольники, робы и квадраты;

д) геометрические фигуры делятся на многоугольники и окружности.

3. Какого вида треугольник, в котором:

- один из его углов больше суммы двух других;

- один из его углов равен сумме двух других;

- сумма двух любых углов больше 90 градусов;

- каждый из его углов меньше суммы двух других;

- сумма любых двух углов меньше 120 градусов.

4. Даны три понятия, между первыми двумя существует определенная связь, между третьим и неизвестным четвертым существует аналогичная связь, надо найти это четвертое слово:

А) слагаемое - сумма = множитель - ?

(разность, произведение, делитель, умножение);

Б) диаметр - радиус = окружность - ?

(дуга, сегмент, отрезок, линия).

5. Вам предлагается пять равносторонних ромбов с углами 60 и 120 градусов, расположенных раздельно, в беспорядке. Вопрос: что получится в результате синтеза (соединения) всех пяти ромбов?

Для развития интеллектуальной одаренности детей очень полезно решение задач чисто логического типа. Вот некоторые из таких задач:

1. В школе четыре одаренных старшеклассника Петухов, Тумашкин, Иванов, Сидоров. Один из них художник, другой - скрипач, третий - певец, четвертый - поэт. О них известно следующее:

а) Петухов и Тумашкин сидели в зале консерватории в тот вечер, когда певец выступал в сольном концерте в школе;

б) Иванов и поэт вместе позировали художнику;

в) поэт написал стихотворение о Сидорове и собирается написать оду о Петухове;

г) Петухов никогда не слышал о Тумашкине.

Кто чем занимается?

2. Цветков, Лимонов и Бабочкин живут в кооперативном доме. Один из них - слесарь, другой - сапожник, третий - электрик. Недавно сапожник хотел попросить своего знакомого слесаря сделать кое-что для своей квартиры, Но ему сказали, что слесарь работает в квартире электрика. Известно так же, что Бабочкин никогда не слышал о Лимонове. Кто чем занимается?

3. В одной фирме три подруги: бухгалтер, юрист, секретарша. Их фамилии: Деева, Синицына, Чайкина. У бухгалтера нет ни братьев, ни сестер. Она самая младшая из подруг. Чайкина замужем за братом Деевой, старше юриста. Назовите фамилии бухгалтера, юриста, секретарши.

4. В семье трое детей. Грише вдвое больше лет, чем будет Вите тогда, когда Олегу исполнится столько же лет, сколько Грише сейчас. Кто из них самый старший, кто самый младший, кто средний по возрасту?

5. В одной семье было много детей. Семеро из них любили картофель, шестеро - помидоры, пятеро - фасоль, четверо любили картофель и помидоры, трое - картофель и фасоль, двое - помидоры и фасоль. А один охотно ел и картофель, и помидоры, и фасоль. Сколько детей в семье?

Детям очень нравится находить ошибки, где помимо традиционных знаний, нужно обладать видением объекта в целом и не упустить «мелочь» в преобразованиях. Любителям курьезных заданий можно предложить:

1. Переставить один знак так, чтобы получилось верное равенство:

101 - 102 = 1

2. Найти ошибку:

16 - 36 = 25 - 45;

16 - 36 + = 25 - 45 + ;

(4 - )² = (5 - )²;

4 - = 5 - ;

4 = 5 !

При обобщении темы практикую проведение нестандартных уроков, так например зачетный урок алгебры в 8 классе, провожу в виде аукциона, где во втором лоте предлагаю не вопросы, а только подсказку к заданию.

Чтобы «купить» задание нужно проанализировать данную подсказку, выделить существенные признаки суждения, установить возможные связи, определиться с предполагаемым заданием и оценить свои возможности. Кроме перечисленных операций необходимо добавить скорость мышления, хорошую быструю реакцию, чтобы успеть «купить» этот вопрос.

Вот некоторые из них:

1. Вопрос связан с наглядным изображением зависимости двух величин.

(Задание: Построить график функции

а) у = ; б) у = ; в) у = - )

2. Вопрос о выполнении тождественных преобразований выражений, где чаще используются либо формулы сокращенного умножения, либо распределительный закон умножения.

(Задание Разложить на множители: а) х - у (х≥0; у≥0);

б) - + 7;

в) х + 6 + 9. )

3. Предлагается задание, где нужно провести рассуждения, в ходе которого устанавливается истинность или ложность какого-либо утверждения.

(Задание: Доказать: а) 9 · = ;

б) что число +

принадлежит множеству натуральных чисел. )

4. Следующее задание, в котором нужно привести к рациональному виду знаменатель дроби.

(Задание: Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби

а) ; б) ; в) . )

5. Вопрос о нахождении аргумента, при котором значения рассматриваемых функции равны.

(Задание: Решить уравнение: а) ()² = 9;

б) = 1;

в) = 2. )

Все данные формы и методы работы способствуют успешному обучению учащихся, формированию у них трех составляющих мышления:

1. Высокий уровень элементарных мыслительных способностей.

2. Высокий уровень активности, раскованности мышления.

3. Высокий уровень организованности и целенаправленности мышления.

Видимо, это и есть один из путей становления творческой стороны интеллекта, путь развития изобретательского и исследовательского таланта.

10