Решение уравнений и неравенств

Решение уравнений и неравенств методом оценки

Главный вопрос, на который надо ответить при решении уравнения: когда, при каком значении X, это равенство будет истинным? Поиски правильного ответа на этот вопрос при решении сложных уравнений требуют применения нестандартных приёмов. Одним из таких нестандартных методов решения уравнений является метод оценки, илиметод мини-макса, или метод сравнения множеств значений.

Указания к применению метода оценки таковы:

1) Часто внешним признаком, побуждающим использовать метод мини-макса, является наличие в одном уравнении функций различной породы: алгебраических, тригонометрических, показательных, логарифмических и т.п., что затрудняет или делает невозможным использование стандартных методов.

2) Оценка одной из частей уравнения может быть сделана, исходя из очевидных соображений, или диктуется непосредственным видом этой части; тогда следует получать противоположную оценку для другой части уравнения, используя базовые неравенства.

Эта оценка позволяет определить единственное значение, при котором истинное равенство обеих частей уравнения возможно, выбрать наиболее простую часть уравнения приравнять её найденному числу и решить стандартным способом.

1. Найти значение х, при котором 3sin. (ЕГЭ-2009)

Найду область значений каждой части неравенства.

1) - квадратичная, ветви вверх, вершина (1,5; 3)
2) Sin x т.е. и неравенство следует рассматривать как уравнение 3sin. Решаем то, что проще.
x
x, D = 0, x = 1,5.
Можно выделить полный квадрат x т.е. вершина (1,5 3) и х = 1.5.

Ответ: х = 1,5.

2. Найти значение х, при котором 4cos. (ЕГЭ-2009).

Найду область значений каждой части неравенства.

1) Cos x[- 1; 1] 4cos[- 4; 4].
2) x-3x + т.е. вершина (1,5; 4), ветви вверх и
х- 3х + . Данное неравенство выполнимо, если каждая часть равна 4.
Решу уравнение х-3х + = 4 (х-1,5) + 4 = 4 х = 1,5.
Ответ: х = 1,5.

3. Решить уравнение:

2

Найду область значений каждой части уравнения

1) cos x [-1; 1] .
2) log
3) Система верна, если каждое выражение равно 2.
Решу уравнение: 2 + log

log
log(4x + 4x + 1) = 0
4x + 4x + 1 = 4x + 4x = 0 4x(x + 1) = 0 x = 0 x = -1

Проверка:

x = 0 2

2 + log

x = -1 2

Ответ: х = 0.

4. Решить уравнение:

1 +
1) log
2) cos x
3) т.е. уравнение может быть решено, если каждая часть равна 1.

Решу уравнение:

1 +

9x-39x + 43 = 4 = 1
3x-13x + 14 = 0 D = 169-168 = 1 x = 2 x = 2.
Проверка: x = 2 .
x = 2
Ответ: х = 2.

5. Решить уравнение:

Cos

1) Cos x
2) log
3)

т.е. уравнение может быть решено, если каждая часть равна 0.

Решу уравнение:

x + 5x + 7 = 1 x + 5x + 6 = 0 x = -3 x = - 2 (т. Виета)
Проверка: x = - 3 cos
x = - 2

Ответ: х = - 2.

6. Решить уравнение:

1)
2) cos x
3)

т.е. уравнение может быть решено, если каждая часть равна 0.

Решу уравнение:

4x₂- 5x + 3 = 1 2x₂ - 3x + 1 = 0 D = 9 - 8 = 1 x₁ = x₂ = 1.

Проверка:

x =
x = 1

Ответ: х = 1.

7. Решить уравнение:

1) cos
2) log
3)

т.е. уравнение может быть решено, если каждая часть равна 1.

Решу уравнение:

1 + log
log
log
x² - 5x + 6 = 0 x₁ = 2 x₂ = 3 (т. Виета)

Проверка: x = 2

x = 3

Ответ: х = 3.

8. Решить уравнение:

cos

1) cos x
2) log
3) т.е. уравнение может быть решено, если каждая часть равна 1. Решу уравнение:
1 + log
log
log
x² + x + 1 = 1 x(x + 1) = 0 x x.

Проверка: x = - 1 cos
x = 0 cos
Ответ: х = 0.

9. Решить уравнение:

cos

1)
2)
3) Равенство возможно, если каждая часть равна 1.

Решу уравнение: 1 +

log
x x - 5x + 6 = 0 x = 2 x = 3 (т. Виета)

Проверка: x = 2 cos((2 - 3)
x = 3 cos.

Ответ: х = 3.

10. Решить уравнение:

1)
2) cos x
3) Равенство возможно, если каждая часть равна 1.

Решу уравнение:

log
log(x - 3x + 3) = 0
x - 3x + 3 = 1 x x = 1 x = 2 (т. Виета)

Проверка: x = 1 cos

x = 2 cos

Ответ: х = 2.

11. Решить уравнение:

3 + log

1) log
2) cos x
3)

Равенство верно, если каждая часть равна 3.

Решу уравнение:

x x(x - 1) = 0 x = 0 x = 1.

Проверка: x = 0
x = 1 3
Ответ: х = 1.

12. Решить уравнение:

1)
2)
3) Каждая часть уравнения должна быть равна 2.
Решу уравнение: 2 + = 2

x + x - 2 = 0 (т. Виета)
Проверка: x = - 2 не существует.
x = 1
Ответ: x = 1.

13. Решить уравнение:

1)
2) arcsin( - x)
3) Каждая часть уравнения должна быть равна

Решу уравнение:

x x x
Проверка: x = 0
x = - 1

Ответ: x = - 1.

14. Решить уравнение:

1) arcos(x - 1)
2)
3) Равенство верно, если каждая часть равна 3.

Решу уравнение: 3 +

x

Проверка: x = - 2 не существует

x = 0

Ответ: x = 0.

15. Решить уравнение:

1)
2)
3) Уравнение верно, если каждая часть равна 2.

Решу уравнение: = 2

(т. Виета)

Проверка: x = - 1
x = 2
Ответ: x = 2.

16. Решить уравнение:

1. arcsin x

2. 

3. Уравнение имеет решение, если каждая часть равна .

Решу уравнение:


D = 49 - 24 = 25

Проверка: x = не существует

x = 3

Ответ: x = 3.

17. Решить уравнение:

.
1)
2)
3) Уравнение может быть решено, если каждая часть равна .

Решу уравнение:

(т. Виета)
Проверка: x = 5 не существует
x = 1
Ответ: x = 1.

18. Решить уравнение:

1)
2)
3) Уравнение можно решить, если каждая часть равна 1.

Решу уравнение:

+ 3x + 2 = 0 (т. Виета)
Проверка: x = - 1 не существует
x = - 2

Ответ: x = - 2.