Последовательность введения понятия логарифма и логарифмической функции, а также их свойств в школьных учебниках, использующих в настоящее время

Последовательность введения понятия логарифма и логарифмической функции, а также их свойств в школьных учебниках, использующих в настоящее время.

Логарифмы и их свойства

А. Г. Мордкович, П. В. Семенов.

" Алгебра и начала анализа" 11 класс (профильный уровень).

Понятие логарифма вводится для обдумывания ситуации с показательным уравнением. А именно: показательное уравнение решается графически и по чертежу мы не можем определить значение корня, поэтому нужно вводить новый символ.

Определение: логарифмом положительного числа b по положительному и отличному от 1 основанию а называют показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число b.

На языке символов = b.

Операцию нахождения логарифма числа обычно называют логарифмированием. Эта операция является обратной по отношению к возведению в степень с соответствующим основанием.

Особо выделяют три формулы:

log_aa = 1

log_a1 = 0

log_aa^c = c

Одна и та же зависимость log_ab = c и a^c= b.

Логарифм по основанию 10 называется десятичным логарифмом.

Свойства логарифмов: (все свойства формулируются для положительных значений переменных, содержащихся под знаками логарифма)

1. Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел: log_abc = log_ab + log_ac.

Доказательство:

Введем следующее обозначения:

log_abc = х, log_ab = у, log_ac = z.

Нужно доказать, что выполняется равенство х = у + z.

Так как log_abc = х, то а^х = bc.

Так как log_ab = у, то а^у = b.

Так как log_ac = z, то а^z = c.

Итак, а^х = bc, а^у = b, а^z = c.

Значит, а^у · а^z = а^х, т.е. а^у+z = а^х.

Но если степени двух положительных чисел равны и основания степеней равны и отличны от 1, то равны и показатели степеней. Значит, у + z = х, что и требовалось доказать.

Теорема остается справедливой и для случая, когда логарифмируемое выражение представляет собой произведение более двух положительных чисел.

2. Если а, b,c - положительные числа, причем а 1, то справедливо равенство log_a = log_ab - log_ac. ( логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя или логарифм дроби равен разности логарифмов числителя и знаменателя). Без доказательства.

3. Если а и b - положительные числа, причем а 1, то для любого числа r справедливо равенство log_ab^r = r log_ab. (логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания степени.)

Доказательство:

Введем следующие обозначения:

log_ab^r = х, log_ab = у.

Нужно доказать, что х = rу.

Из log_ab^r = х следует, что а^х = b^r; из log_ab = у следует, что а^у = b. Возведя обе части последнего равенства в степень r, получим а^rу = b^r. Итак, а^х = b^r, а^rу = b^r, значит, а^х = а^rу, т.е. х = rу, что и требовалось доказать.

4. Равенство log_a t = log_a s, где а > 0, а 1, t > 0, s >0, справедливо тогда и только тогда, когда t = s. Без доказательства.

5. Если а, b,c - положительные числа, причем а и с отличны от 1, то имеет место равенство log_ab = .

Доказательство:

Введем следующие обозначения:

log_ab = х, log_cb = y, log_ca = z.

Нужно доказать, что х = .

Из log_ab = х следует, что а^х = b; из log_cb = y следует, что с^у = b. Итак, а^х = с^у. Далее, из log_ca = z следует, что с^z = а. Значит, (с^z)^х = с^у, т.е. zх = у, что и требовалось доказать.

Следствие 1: Если а и b - положительные и отличные от 1 числа, то справедливо равенство log_ab = .

Доказательство:

Применив формулу log_ab = к случаю, когда с = b, получим: log_ab = =.

Следствие 2: Если а и b - положительные числа, причем а 1, то для любого числа r 0 справедливо равенство log_ab = log_a^r b^r.

Доказательство:

Перейдем к выражению log_a^r b^r к логарифмам по основанию а: log_a^r b^r =

Вычисление значений логарифмов сводится к решению некоторого показательного уравнения.

А. Н. Колмогоров.

" Алгебра и начала математического анализа" 10 - 11 класс.

Уравнение a^x = b, a > 0 и а 1 не имеет решений при b0 и имеет единственный корень в случае b > 0. Этот корень называют логарифмом b по основанию а и обозначают log_ab, т.е. a^log_a ^b = b (основное логарифмическое тождество).

Определение: Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени , в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число b.

Основные свойства логарифмов: ( при любом а > 0, а 1 и любых

положительных х и у).

1. log_a 1 = 0.

2. log_aa = 1.

3. log_axy = log_ax + log_ay (логарифм произведения равен сумме логарифмов).

Доказательство:

Воспользуемся основным логарифмическим тождеством: х = а^log_a^x, y = a^log_a^y. Перемножая почленно эти равенства, получаем: ху = а^log_a^x· a^log_a^y = а^log_a^x+log_a^y, т.е. ху = а^log_a^x+log_a^y. Следовательно по определению логарифма log_axy = log_ax + log_ay.

4. log_a = log_ax - log_ay (логарифм частного равен разности логарифмов.)

Доказательство:

Воспользуемся основным логарифмическим тождеством: х = а^log_a^x, y = a^log_a^y. , следовательно, по определению log_a = log_ax - log_ay

5. log_ax^p = p log_ax , для любого действительного p.(логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания этой степени.)

Доказательство:

Воспользуемся тождеством х = а^log_a^x, откуда х^р = (а^log_a^x)^р = а^рlog_a^x. Следовательно, по определению log_ax^p = p log_ax.

6. log_ax = (формула перехода от одного основания логарифма к другому основанию.)

Доказательство:

По правилу логарифмирования степени и основному логарифмическому тождеству получаем: log_bx = log_b(а^log_a^x), откуда log_bx = log_ax·log_ba. Разделив обе части полученного равенства на log_ba, приходим к нужной формуле.

М. И. Башмаков.

" Алгебра и начала анализа" 10 - 11 класс.

Определение: Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в которую надо возвести а, чтобы получить число b. (t = log_ab)

На основе определения вводится понятие логарифма. Рассматривается только степень. Все выкладки и формулы производятся путем подстановки в равенство a^t = b. Например, подставляя в равенство a^t = b запись числа t в виде логарифма, получаем равенство, называемое основным логарифмическим тождеством: a^log_a^b = b.

Свойства логарифмов: (числа b, b₁, b₂ положительны)

1. log_ab₁b2 = log_ab₁ + log_ab₂ ( логарифм произведения равен сумме логарифмов множителей.)

Доказательство:

Обозначим log_ab₁ = t₁, log_ab₂ = t₂. По основному логарифмическому тождеству имеем: a^t1 = b₁ и a^t2 = b₂. Перемножим эти равенства: a^t1· a^t2 = b₁b₂. По свойству степеней a^t1· a^t2 = a^{t1+ t2}, т.е. b₁b₂ = a^{t1+ t2}. По определению логарифма log_ab₁b2 = log_ab₁ + log_ab₂, что и требовалось доказать.

2. log_a = log_ab₁ - log_ab₂ ( логарифм дроби равен разности логарифмов числителя и знаменателя). Без доказательства.

3. log_ab^k = k log_ab (логарифм степени равен показателю степени, умноженному на логарифм основания). Без доказательства.

Н. Я. Виленкин, О. С. Ивашев - Мусатов, С. И. Шварцбурд.

" Алгебра и математический анализ" 11 класс.

Вначале рассматривается только натуральный логарифм, как функция, который вводится на основе интеграла, а затем путем рассмотрения натурального логарифма и логарифмической функции получают логарифм х по основанию а. А уже показательная функция здесь основывается на логарифмической.

Свойства функции натурального логарифма:

1. ln ax = ln a + ln x

2. ln = ln a - ln x

3. ln xⁿ = n ln x

4. ln = ln x, x > 0

Свойства логарифма: (Без доказательства)

1. log_aa^x = x

2. a^log_a^b = b, b > 0

3. log_axy = log_ax + log_ay, x > 0, y > 0

4. log_a= log_ax - log_ay, x > 0, y > 0

5. log_a = log_ax, x>0

6. log_ab = , a > 0, b > 0, c > 0, c1

Логарифмическая функция

Рассмотрим последовательность введения логарифмической функции в современных школьных учебниках.

А. Г. Мордкович, П. В. Семенов.

" Алгебра и начала анализа" 11 класс (профильный уровень).

Рассматривается показательная функция у = а^х. Значит, по теореме об обратной функции для функции у = а^хсуществует обратная этой обратной функцией является х = log_aу или у = log_ах. Ее график получается из графика показательной функции у = а^х с помощью преобразования симметрии относительно прямой у = х. График функции у = log_ах называется логарифмической кривой.

Свойства функции y = log_ax, a>1:

1. D(f) = (0;+)

2. не является ни четной, ни нечетной.

3. возрастает на (0;+)

4. не ограничена сверху, не ограничена снизу

5. не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений

6. непрерывна

7. E(f) = (-; +)

8. выпукла вверх.

Свойства функции y = log_ax, 0<a<1:

1. D(f) = (0;+)

2. не является ни четной, ни нечетной.

3. убывает на (0;+)

4. не ограничена сверху, не ограничена снизу

5. не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений

6. непрерывна

7. E(f) = (-; +)

8. выпукла вниз.

А. Н. Колмогоров.

" Алгебра и начала математического анализа" 10 - 11 класс.

Определение: Функцию заданную формулой y = log_ax называют логарифмической функцией с основанием а.

Свойства:

1. Область определения логарифмической функции - множество всех положительных чисел R, т.е. D (log_a) = R₊.

2. Область значений логарифмической функции - множество всех действительных чисел.

3. Логарифмическая функция на всей области определения возрастает ( при а >1) или убывает (при 0<a<1).

Графики показательной и логарифмической функций симметричны относительно прямой у = х.

М. И. Башмаков.

" Алгебра и начала анализа" 10 - 11 класс.

Определение: Логарифмической функцией называется функция вида y = log_ax.

Определение логарифмов основано на понятии степени, при доказательстве свойств логарифмической функции используют свойства показательной функции.

Свойства:

1. Область определения - множество всех положительных чисел, т. е. промежуток (0;+).

2. Монотонность: если а>1, то логарифмическая функция строго возрастает, если 0<a<1, то она строго убывает.

3. Область значений: множество всех вещественных чисел R.

Доказательство:

Всякое вещественное число t может быть логарифмом некоторого числа х. Так как степень a^t определена при любом t, то, взяв х = а^t, получим log_aa^t = t, что и требовалось доказать.

Н. Я. Виленкин, О. С. Ивашев - Мусатов, С. И. Шварцбурд.

" Алгебра и математический анализ" 11 класс.

Вначале вводится определение ln x, ее свойства и график. Затем логарифмическая функция и степень с любым показателем. И только после изучения логарифмической функции изучается показательная функция.

Логарифмическая функция вводится на основе натурального логарифма, который в свою очередь представляет собой интеграл.

В профильных классах можно рассмотреть следующие свойства:

Свойство 1. При положительном основании отрицательные числа и нуль не имеют действительных логарифмов.

Дано: log_aN

N 0

a>0, a.

Доказать: не существует действительного значения для log_aN.

Доказательство: Предположим что log_aN, где N<0 существует и равен k т.е. log_aN = k. Тогда по определению логарифма a^k=N. Но a^k>0 (при положительном основании функция у=а^х- положительна), а N<0.

Таким образом, пришли к противоречию: положительное число (а^к) равно отрицательному числу или нулю (N).

Следовательно отрицательные числа и нуль при положительном основании не имеют логарифмов.

Свойство 2. При положительном основании каждое положительное число имеет логарифм.

Дано: N>0, a>0, a.

Доказать: lg_aN - действительное число.

Покажем на частном примере нахождение логарифма некоторого положительного числа по какому-либо основанию с любой степенью точности.

Пусть требуется например lg 2 с точностью до 0,1.

Положим lg 2 = . Отсюда ( по определению логарифма) = 2 или возвысив обе части последнего равенства в 10-ю степень получим:

10^x=2¹⁰ или 10^x= 10241000=10³, т.е. 10^x 10³ и x3.

Значит, lg 2 ==0,3.

Для нахождения log 2 с точностью до 0,01 положим lg 2 = .

Сделав аналогичные преобразования получим:

=2,10^x=2¹⁰⁰=(2¹⁰)¹⁰=1024¹⁰ (10³)¹⁰=10³⁰, т.е.

10^x 10³⁰ и x30, a lg 2 =0,3.

Замечание. Применяя указанный способ и рассмотренные ниже свойства логарифмов можно было бы составить таблицы логарифмов чисел по любому положительному основанию с любой степенью точности но указанный способ очень сложный. Математика дает более простые способы вычисления которые выходят за рамки школьной программы.

Свойство 3. Числа, имеющие при одном и том же основании равные логарифмы, равны между собой.

Дано: log_aN₁=log_aN₂.

Доказать: N₁=N₂.

Доказательство. Обозначив log_aN₁=log_aN₂ через к по определению логарифма получим: N₁=a^k и N₂=a^k, откуда N₁=N₂.

(Две величины порознь равные третьей равны между собой.)

Свойство 4. При одном и том же основании равные числа имеют равные логарифмы.

Дано: N₁=N₂

Доказать: log_aN₁=log_aN₂.

Доказательство. Положив log_aN₁=k , a log_aN₂=m (1) рассмотрим относительно основания а два случая: 1) а>1

2)a<1

Случай 1. (а>1). Из (1) по определению логарифма имеем: a^k=N₁ и a^m=N_2, откуда a^k=a^m, или a^k-a^m=0, a^k(1-a^m-k)=0. Но a^k 0, следовательно, 1- a^m-k=0,

a^m-k=1.

Последнее равенство возможно при m-k =0, т.е. при m=k. В самом деле если

m-k>0, то a^m-k>1, а если m-k<0, то a^m-k<1 ( по свойству показательной функции при а >1).

Случай 2 доказывается аналогично.

Итак доказано, что m=k, т. е. log_aN₁=log_aN₂.

Замечание. Так как логарифм есть показатель степени, то это свойство можно сформулировать и так: если степени равны, основания степеней равны, то и показатели степеней равны.

Из свойств 2 и 4 заключаем:

Каждое положительное число имеет единственный логарифм.

Свойство 5: (Теорема о логарифмах).

Я считаю целесообразным доказать справедливость теоремы о логарифмировании произведения произвольного числа n сомножителей, применяя метод математической индукции.

Будем считать доказанным равенство:

log_a(N₁ ·N₂) = log_aN₁+log_aN_2.

Докажем справедливость равенства:

log_a(N₁N₂N₃…N_n-1N_n) = log_aN₁+logN₂+…+log_nN_n-1+log_aN_n. (1)

Доказательство:

1. Теорема справедлива для произведения двух сомножителей:

log_a(N₁ ·N₂) = log_aN₁+log_aN₂.

2. Предположим, что теорема справедлива и для произведения произвольного числа k сомножителей, т.е. что

log_a(N₁N₂...N_k) = log_aN₁+log_aN₂+…log_aN_k.

Докажем, что эта теорема будет справедлива и для произведения k+1 сомножителя, т.е. справедливо равенство:

log_a(N₁N₂…N_kN_k+1) = log_aN₁+log_aN₂+…+log_aN_k+log_aN_k+1.

Действительно:

log_a(N₁N₂…N_kN_k+1) = log_a((N₁N₂…N_k)N_k+1) = log_a(N₁N₂…N_k)+log_aN_k+1.

Но по предположению

log_a(N₁N₂…N_k) = log_aN₁+log_aN₂+…+log_aN_k.

Следовательно, окончательно имеем:

log_a(N₁N₂…N_kN_k+1) = log_aN₁+log_aN₂+…+log_aN_k+log_aN_k+1.

что и требовалось доказать.

Свойство 6: (Основное логарифмическое тождество).

a^log_a^N = N

Это тождество вытекает из определения логарифма. В самом деле, положив log_aN=k, получим a^k=N, но k=log_aN, а поэтому a^log_a^N=N.

Пользуясь этим тождеством, можно доказать теоремы о логарифмах.

Свойство 7: ( Модуль перехода от одной системы логарифмов к другой).

Существуют различные системы логарифмов. Основными являются десятичные (основание 10) и натуральные (основание - иррациональное число е=2,718231…). Покажем, как, зная логарифм некоторого числа по основанию, например а, найти логарифм того же числа по основанию b.

Итак, пусть log_bN=k. Найдем log_aN.

Log_bN=k, отсюда b^k=N.

Прологарифмировав обе части полученного равенства по основанию а, получим: k·log_ab=log_aN, откуда

k=log_aN/log_ab, т. е.

logbN=log_aN/log_ab.

Поясним на примере, как с помощью этой формулы, зная логарифм числа по одному основанию, найти логарифм того же числа по другому основанию. Например, пользуясь десятичными таблицами логарифмов, найдем log₂8.

Таким образом, с помощью этой формулы, пользуясь таблицей десятичных логарифмов чисел, мы можем найти логарифм любого положительного числа по другому положительному основанию.