Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами

Раздел Математика
Класс 5 класс
Тип Рабочие программы
Автор
Дата
Формат doc
Изображения Есть
For-Teacher.ru - все для учителя
Поделитесь с коллегами:

Муниципальное образовательное учреждение

Инсарская средняя общеобразовательная школа № 2

Элективный курс:

«Уравнения и неравенства с параметрами».

Составитель: Кузнецова О.Г.

Пояснительная записка:

Задачи с параметрами в настоящее время включены в программу большинства подготовительных факультативов, а также ряда базовых курсов алгебры и начал анализа в связи с потребностью подготовки учащихся к сдаче вступительных и единых экзаменов. Однако значимость этого курса не ограничивается лишь диагностической ценностью. Умение решать задачи с параметром способствует повышению качества знаний и умений учащихся, интеллектуальному развитию. Задачи с параметрами дают прекрасный материал для настоящей учебно-исследовательской работы. К сожалению, в школьных учебниках таких задач недостаточно. Основная цель курса расширить и углубить знания учащихся по умению решать задачи с параметром. Курс разработан на основе материалов газеты «Математика» и вступительных экзаменов в различные российские вузы.

Курс рассчитан на 17 часов. В неделю - 0,5 часа.

Цель:

Создать условия для формирования и развития у учащихся:

  • Интеллектуальных и научно-исследовательских способностей.

  • Интереса к изучению задач с параметрами, имеющих реальное внутриматематическое и прикладное значение.

  • Умения самостоятельно приобретать и применять знания.

Содержание программы

1. Введение (2 ч.)

2. Линейные уравнения и простейшие уравнения вида p(x)/q(x)=0.(2ч.)

3. Квадратные уравнения.(5ч.)

4.Простейшие иррациональные уравнения.(2ч.)

5.Рациональные неравенства.(3ч.)

6.Тригонометрические уравнения.(3ч.)

7.Функционально-графические методы решения задач с параметрами.(4ч.)

8. Уравнения степени выше второй.(2ч.)

9.Задачи с параметрами в разделе «Элементы математического анализа».(2ч.)

10. Семинар: решение задач с параметром, предлагаемых на ЕГЭ.(2ч.)

Литература.

Г.А.Ястребинецкий. Задачи с параметрами.

А.Г.Мордкович. Газета «Математика» №38 1994год.

Материалы вступительных экзаменов. Газета «Математика» 2002-2005г.


Введение

1.Что такое параметр?

Определение. Параметром называется независимая переменная, значение которой в задаче считается заданным фиксированным или произвольным действительным числом, или числом, принадлежащим заранее оговоренному множеству.

(Независимость параметра заключается в его «неподчинении» свойствам, вытекающим из условия задачи.)

Например: 2а (а -2) = а -2, где а - произвольное действительное число, т.е. параметр.

2. Что означает «решить задачу с параметром»?

Это зависит от вопроса в задаче.

Если требуется решить уравнение, неравенство и т. п., то это означает найти ответ для любого значения параметра.

Если надо найти значение параметра, при котором множество решений уравнения и т. д. удовлетворяет какому-то условию, то решение задачи состоит в поиске этих значений.

3. Основные типы задач с параметром.

Тип 1. Задачи, которые надо решить или для любого значения параметра, или для значений параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству.

Тип 2.Задачи, для которых требуется найти количество решений в зависимости от значений параметра.

Тип 3. Задачи, для которых надо найти все те значения параметра, при которых указанные задачи имеют заданное число решений.

Тип 4. Задачи, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.

4. Основные методы решения задач с параметром.

Способ 1. Аналитический. Самый трудный, требующий высокой грамотности и наибольших усилий по овладению им. Способ силового, прямого, «наглого» решения.

Способ 2. Графический. В зависимости от задачи рассматриваются графики или в координатной плоскости (х; у), или в координатной плоскости (х; а).

Графический способ применяют тогда, когда параметр присутствует в уравнении только в качестве слагаемого и не связан с переменной.

Способ 3. Решение относительно параметра. Переменные х и а принимаются равнозначными, и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение признается более простым. После упрощений возвращаемся к исходному смыслу переменных и заканчиваем решение.

План решения

Множество значений параметра разбиваем на подмножества, на которых происходит качественное изменение уравнения.

Для этого необходимо найти контрольные значения параметра. ( В дальнейшем будем обозначать К.З.)

Линейные уравнения и неравенства

Уравнение вида ах - b = 0, где а, b - параметры, называется линейным уравнением относительно х. Оно приводится к виду ах = b.

К.З. находятся при обращении старшего коэффициента в 0.

1. 0х = 0 множество решений.

2. 0х = с корней нет.

3. kx = b единственное решение.

Решение примеров.

1.Для каждого значения параметра, а найдите решение уравнения.

А). ах = 5.

Решение.

К.З: а = 0

Если а = 0, то 0х = 5 корней нет.

Если а  0, то х = Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами один корень.

Ответ: при а  0 х = Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами; при а = 0 корней нет.

Б). ах + 1 0.

Решение.

К.З. а = 0

Ответ: При а = 0 0х  -1 множество решений.

При а  0 х > Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами.

При а  0 х  Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами.

В). 2а (а -2)х = а - 2.

Решение.

К.З. 2а (а-2) = 0, а = 0, а = 2.

Ответ: При а = 0 0х = -2 корней нет.

При а = 2 0х = 0 множество корней.

При а ¹ 0, а ¹ 2 х = Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами один корень.

Г). (а2 - 9)х = а - 3.

Решение.

К.З. а = 3, а = -3

Ответ: При а = 3 0х = 0 множество решений.

При а = -3 0х = -6 корней нет.

При а¹ 3, а ¹ -3 х = Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами; один корень.

2. Сколько корней имеет уравнение ах = 3а + 8 при указанных значениях параметра а: а = 10, а = -2, а = ¼, а = 0.

Решение.

х = Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами , О.Д.З. а  0.

Ответ: При а = 10, а = -2, а = ¼ один корень.

При а = 0 корней нет.

3. При каких значениях параметра а среди корней уравнения

2ах - 4х - а2 + 4а - 4 = 0 есть корни больше 1?

Решение.

(2а - 4)х = (а - 2)2 К.З. а = 2.

При а = 2 0х = 0 множество решений, в том числе и больше 1.

При а  2 х = Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами . По условию х  1, значит Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами> 1, а > 4.

Ответ: при а = 2; а Є (4; +).

Задачи для самостоятельного решения.

Блок 1. Простейшие уравнения и неравенства.


задание

Ответ

1.

х - а = 0

при а Є R, x = a.

2.

5x = a

при а Є R, х = Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами

3.

ах = 0

при а = 0, х Є R; при а ≠ 0, х = 0.

4.

(а - 1)х = 6

при а = 1 корней нет, при а ≠ 1, х = Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами

5.

2ах = 1 - х

при а = - 0,5 корней нет, при а ≠ - 0,5 , х = Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами

6.

3 - ах = х

при а = - 1 корней нет, при а ≠ - 1, х = Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами

7.

ха2 = а + х

при а = ± 1 корней нет, при а ≠ ± 1, х = Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами

8.

4а - а2х = 2ах

при а = 0, х Є R, при а = -2 корней нет, при других а

х = Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами

9.

2 - 4)х = а2 + а - 6

при а = 2 х Є R, при а = -2 к.н., при других а

х = Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами

10

2 - 9)х = 9а2 -10а -51

при а = 3 х Є R, при а = -3 к.н., при других а

х = Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами

11.

2 -5а +6)х = а4 - 16

при а = 2, х Є R, при а ≠ 2 х = Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами, при а = 3 к.н.

12.

ах < 5

при а = 0 х Є R, при а > 0 х < Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами, при а < 0 х > Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами

13.

(а - 1)х > 6

при а = 1 к.н. при а > 1 х > Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами, при а < 1 х < Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами

14.

2а (а - 2)х < а - 2

при а = 2; 0 к.н., при а Є (- ∞;0)U(2;+ ∞) х < Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами, при др. а х > Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами.

15.

( а2 - 9)х > а + 3

при а = ± 3 к.н., при│а│ > 3 х > Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами, при др. а х < Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами.

16.

2ах ≤ 1 - х

при а = -0,5 х Є R, при а > -0,5; х ≤ Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами,при а < -0,5 х ≥ Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами


Уравнения вида P(X)/G(X) = 0.

К.З. находятся при обращении старшего коэффициента и знаменателя в 0.

1.Решить уравнение.

А). Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами = 0.

Решение.

К.З. х  а.

х2 - 9 = 0, х = 3, х = -3.

Ответ: При а = 3 х = -3. При а = -3 х = 3 При а  3, а ¹ -3, х = 3, х = -3.

Б). Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами = 0. О.Д.З. х ¹ 2, х ¹ -2.

Решение.

(а - 1)х - 5 = 0. К.З. а = 1.

При а = 1 0х = 5, корней нет.

При а ¹ 1, х = Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами; Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами¹ 2, Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами¹ -2.

а ¹ 3,5 а ¹ -1,5.

Ответ: при а = 1; а = 3,5; а = -1,5. корней нет.

при а ¹ 1; а ¹ 3,5; а ¹ -1,5. один корень х = Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами.

В). Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами = 3.

Решение.

К.З. а = 0, х  2а.

Преобразуем уравнение а = 6а - 3х, х = Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами.

При а =0 0 = 3 корней нет.

При а ¹ 0 х = Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами, Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами¹ 2а, а ¹ 0.

Ответ: при а = 0 корней нет. При а ¹ 0 один корень х = Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами.

Г). Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами - х - 1 = а. О.Д.З. х 

Решение.

Преобразуем уравнение к виду ах = 2а + 1. К.З. а = 0.

При а = 0 0 = 1 корней нет.

При а  0 х = Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами . Учтем О.Д.З. Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами 1, а  -1.

Ответ: при а = 0, а = -1 решений нет.

При а  0, а  -1 один корень х = Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами.

Д). при каких значениях а сократима дробь: Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами

Решение.

Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами.

Ответ: При а = -4; 3. дробь будет сократима.

Задачи для самостоятельного решения.

Блок 2. Дробно-рациональные уравнения.

задание

Ответ

1.

Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами= 0

при а = 1 к.н., при а ≠ 1, х = а.

2.

Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами= 0

при а = 0 к.н., при а ≠ 0 х = 0.

3.

Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами= 0

при а = 0 к.н., при а ≠ 0 х = 0.

4.

При каких а дробь сократима:

Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами

при а = 1; 64

5.

Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами

при а = -1; 4.


Зачет № 1

  1. Решить уравнение.

1). ах = 1

2). (а - 2)х = а2 -4.

3). (а2 - 4)х = (а + 2)(а - 3).

4). ах - 2х + а = 0.

  1. Сколько корней имеет уравнение (а2 -5а + 6)х = а4 - 16 при указанных значениях параметра а: а = 0, а = 1, а = 2, а = 3, а = -1.

  2. Найдите значения а, при каждом из которых уравнение а(3х - а) = 6х - 4 имеет положительный корень.

  3. При каких значениях а среди корней уравнения х - ах + а2 - 1 = 0 есть корни больше 1?

  4. При каких значениях параметра корни уравнения Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами = 2 будут не меньше -1

Квадратные уравнения

Уравнение вида ах2 + bx + c = 0, где a, b, c выражения, зависящие только от параметров, и а  0 называется квадратным уравнением относительно х.

К.З. находятся при обращении в 0 старшего коэффициента и дискриминанта.

10 правил расположения корней квадратного трехчлена

Правило 1. Квадратное уравнение не имеет корней, если D  0.

Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами


Правило 2. Квадратное уравнение имеет два различных корня, если D  0.

Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами


Правило 3. Квадратное уравнение имеет два кратных корня, если D = 0.

Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами


Правило 4. Квадратное уравнение имеет два корня х1 < М и х2 > М, если аf(М) < 0. (корни разных знаков, если М = 0.)

Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами

Правило 5. Квадратное уравнение имеет два разных корня х1, х2  ()М, если D > 0, af(M)  0, х0 > (<) M. (оба положительные или оба отрицательные, если М = 0)

Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами


Правило 6. Квадратное уравнение имеет один корень внутри интервала (m;M), а другой вне этого интервала, если f(m) f(M) < 0.

Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрамиY


 

m X1M X2X

Правило 7. Квадратное уравнение имеет единственное решение х1 = х2> М,

(Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрамих1 = х2 < М), если D = 0, х0> M. ( D = 0, х0< M).

Y


M X0X

Правило 8. Квадратное уравнение имеет разные корни внутри интервала (m;M) или промежутка [m; M], если D > 0, af(m) > 0, af(M) > 0, m < х0 < M, или D > 0, af(m) ³ 0, af(M) ³ 0, m < х0 < M.

Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами

m X1X2M

  X

Правило 9. Квадратное уравнение имеет корни вне интервала или промежутка, если af(m) < 0, af(M) < 0, или af(m) £ 0, af(M) £ 0.

Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами

 

X1 m M X2 X

Правило 10а. Квадратное уравнение имеет корни х1< m < х2< M, если af(m) < 0, af(M) > 0.

Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами

X1m X2M

  X


ПЕлективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрамиравило 10б. Квадратное уравнение имеет корни m < х1< M < х2, если аf(m) > 0, af(M) < 0.


  X

m X1M X2

Примеры решения задач

ПЕлективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрамиример 1. При каких значениях а уравнение х2 - 2ах + а2 + 2а - 3 = 0

1). Не имеет корней.

2). Имеет корни разных знаков.

3). Имеет положительные корни.

4). Имеет два разных отрицательных корня.

Решение.

1). Корней нет, если D < 0.

D = -4(2а - 3) < 0, при а  1,5.

2). Корни разных знаков для М = 0 имеем f (0) = а2 + 2а - 3  0, откуда а Є (-3; 1).

3). Положительные корни для М = 0, D ³ 0 при а £ 1,5; f (0) = а2 + 2а - 3 > 0

при а Є (-; -3)  (1; + ); (х0)' = а  0

Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрамиЕлективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрамиЕлективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами

-3 0 1 1,5

  //////// а

4).два разных отрицательных корня для М = 0, D  0 при а  Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами

f (0) = а2 + 2а - 3 > 0 при а Є (-; -3)  (1; + ) (х0)' = а  0

Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрамиЕлективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрамиЕлективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами

-3 0 1 1,5

/////// а

Ответ: 1). а  1,5. 2). а Є (-3; 1). 3). 1 ≤ а ≤ 1,5. 4). А  -3.

Пример 2. При каких значениях а уравнение х2 + 2(а - 1)х + а + 5 = 0 имеет хотя бы один положительный корень?

Решение

Если один корень положителен, то

1. Другой может быть отрицательным. Для М = 0 имеем f(0) = a + 5  0. a  -5.

2Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами. Другой корень может равняться 0.Для М = 0 имеем f(0) = a + 5 = 0.

0)' = 1 - а 0 , откуда а = -5.

3. Другой корень может быть положительным. ДЕлективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрамиля М = 0 имеем

D = a2 - 3a - 4 ≥ 0,

f(0) = a + 5  0.

0)' = 1 - а 0, откуда а Є (-5; -1.

Ответ: объединяя все три случая, получаем а Є (-∞; -1.

Пример 3. При каких значениях а уравнение х2 + 2(а - 1)х + а - 5 = 0 имеет корни разных знаков, не превосходящих по модулю 5?

Решение

РЕлективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрамиЕлективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрамиешим систему

f(-5) = 30 - 9a ≥ 0 a ≤ 10/3

f(0) = a - 5 < 0, a  5

f(5) = 11a + 10 ≥ 0. a ≥ -10/11,

Ответ: откуда а Є  -10/11; 10/3.

Пример 4. При каких значениях параметра а уравнение х2 - 2ах + 9 = 0 имеет один корень?

Решение

D = 0, D = 4a2 - 36 = 0, a = ± 3.

Ответ: а = ± 3.

Пример 5. При каких значениях параметра а уравнение ах2 - х + 3 = 0 имеет один корень?

Решение

1.D = 0, D = 1 - 12а = 0, а = Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами.

а = 0, линейное уравнение имеет один корень.

Ответ: а = Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами; 0.

Пример 6. Решить уравнение (а -1)х2 + 2(2а + 1)x +4а + 3 = 0

Решение

1. Уравнение имеет один корень, если а - 1 =0, а = 1. 6х + 7 =0, х = Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами. Уравнение имеет один корень, если а  1, D = 0, D = 20a + 16 = 0. a = Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами.

Ответ: а = 1; Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами.

2. Уравнение не имеет корней, если D  0, т.е. а  Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами.

Ответ: а < Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами

3. Уравнение имеет два корня, если D  0, а  Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами, а  1.

Ответ: а > -4/5; а  1.

График квадратного трехчлена

1. Что вы можете сказать о знаках параметров a, b, c, если график функции y = ax2 + bx + c имеет вид, изображенный на рис.1? рис.2?

Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрамиУ


Рис.2.

Рис.1

Х

Решение

1). Ветви параболы направлены вниз, поэтому а  0.

2).Т.к. парабола пересекает ось У в точке (0;с), то с  0.

3).х0 = Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами 0 значит Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами 0, b > 0 рис.1.

Решение

1). Ветви параболы направлены вверх, поэтому а  0.

2). Т.к. парабола пересекает ось У в точке (0;с), то с  0.

3). х0 = Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами 0, значит Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами  0, b >0 Рис.2.

2. При каких значениях параметра а корни уравнения (а - 2)х2 - 2ах + а + 3 = 0 положительны?

Решение

1). К.з. а = 2 х = Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами 0

2). а  2, тогда D ≥ 0, т.е. 6 - а ≥ 0, по теореме Виета х1х2 = Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами > 0,

х1 + х2 = Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами 0 т.к. оба корня положительны. В результате задача сводится к системе:

Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрамиЕлективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами> 0,

Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами  0

6 - а ≥ 0.

из которой находим а < -3, 2 < а ≤ 6.

Ответ: а < -3, 2 ≤ а ≤ 6.

3.При каких значениях а корни уравнения (а - 2)х2 - 2ах + а + 3 = 0. меньше 3?

Решение

Разделим обе части уравнения на а - 2, получим х2 - Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрамих + Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами = 0

1). К.з. а = 2 х = Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами < 3.

2Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами). а  2, тогда D ≥ 0, f(3)  0. х0 < 3. Получаем систему:

6 - а ≥ 0.

f(3) = Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами > 0,

х0 = Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами.

Из которой находим а < 2, Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами < а ≤ 6.

Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами

Х0 3 Х

Ответ: а < 2, Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами < а ≤ 6.

4. При каких значениях а корни уравнения (а - 2)х2 - 2ах + а + 3 = 0. заключены в интервале (1;3)?

Решение

Разделим обе части уравнения на а - 2, получим х2 - Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрамих + Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами = 0

1). К.з. а = 2 х = Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами этот корень лежит в данном интервале.

2Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами). а ¹ 2, тогда D ≥ 0, f(1)  0, f(3)  0, 1 < х0 < 3. получаем систему

6 - а ≥ 0.

Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами> 0,

Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами> 0,

1 < Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами < 3.

Из которой находим а = 2, Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами < а ≤ 6.

У

Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами

1 х0 3 Х

Ответ: а = 2, Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами < а ≤ 6.


Задачи для самостоятельного решения.

Блок 3. Исследование квадратных уравнений.

задание

Ответ

1.

Решить:

(а - 1)х2 - х + а = 0

при а = 1 х = 1; при а Є (-∞; - 0,2)U(1,2; +∞) к.н. при а = -0,2; 1,2 х = Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами, при других а два корня.

2.

ах2 - 2х + а - 1 = 0

при а = 0 х = 0,5; при а Є (-∞; - 0,6)U(1,6;+∞) к.н.

при а = - 0,6; 1,6 х = Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами; при других а два корня.

3.

ах2 - 2х + 4 = 0

при а = 0,25; х = 4; а = 0 х = 2; при а > 0,25 к.н.

при других а два корня.

4.

При каких а уравнение

имеет один корень?

2 - 4ах + 1 = 0

а = ± 1

5.

2 - 2х + а = 6 - ах

20 ± 6√5

6.

ах2 - 2х + 5 = 0

0; Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами.

Блок 4. Применение теоремы Виета и ей обратной.

задание

Ответ

1.

x2 - 2bx + b + 6 = 0

найти все b при которых

уравнение имеет:

Отрицательные корни

(- 6; - 2]

Положительные корни

[3; +∞)

Корни разных знаков

(- ∞;- 6]

2.

Исследуйте знаки корней.

(а - 2)х2 - 2ах + 2а - 3 = 0

При а Є [1; 1,5) оба отрицательны; при а = 1,5 х1 = 0, х2 < 0;

При а Є (1,5; 2) разные знаки; при а = 2 х = 0,25;

При а Є (2; 6] оба положительны.

3.

Найти все значения параметра,

при которых один корень

вдвое больше другого:

х2 + (2а - 1)х + а2 + 2 = 0

а = - 4

Разность корней равна 1

х2 + ах + 12 = 0

а = ± 7

Отношение корней равно 2

х2 + ах + а + 2 = 0

а = - 1,5; 6.

4.

при каких значениях параметра

сумма квадратов корней уравнения

наименьшая.

х2 + (2 - а) х - а - 3 = 0

а = 1

5.

при каких значениях параметра

оба корня уравнения лежат в

промежутке (- 1; 1)

4 х2 - 2х + а = 0

(- 2; 0,25]

Оба больше 1

(а - 1) х2 + 2ах + а - 2 = 0, а ¹ 1

(Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами; Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами)

3 разделяет корни

х2 - 2(а + 1)х + 4 - а = 0

(Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами; +∞)

Оба корня положительны

(а + 2) х2 - 2ах +3 а = 0

[- 3; - 2)


Зачет № 2

1. Исследуйте знаки корней: (а - 3) х2 - 6х + а + 5 = 0

Ответ:. при а Є [- 6; - 5) оба отрицательны, при а Є (- 5; 3) разных знаков,

при а Є (3; 4) оба положительны, при а = - 5 х1 = 0, х2 < 0, при а = 3 х = Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами

2. Найти все значения параметра, при которых разность корней уравнения равна 3

(а - 2) х2 - (а - 4)х - 2 = 0 Ответ: 1,5; 3

3. Найти все значения параметра, при которых отношение корней равно 1,5

а х2 - (а + 3)х + 3 = 0 Ответ: 2; 4,5

4. При каких значениях параметра сумма квадратов корней уравнения наибольшая

х2 + (а - 1)х + а2 - 1,5 = 0 Ответ: - 1

5. Нарисуйте различные случаи расположения параболы относительно осей координат и в каждом случае ответьте на вопросы о знаках a, b, c, D, f(0).

6. При каких значениях параметра оба корня уравнения лежат в промежутке (1; 3)

х2 - ах + 2 = 0 Ответ: [2Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами; 3)

7. При каких значениях параметра оба корня уравнения больше 3?

х2 - 6ах + 2 - 2а + 9а2 = 0 Ответ: (Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами; +∞)

8. При каких значениях параметра 2 разделяет корни?

а х2 + х + 1 = 0 Ответ: (-Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами; 0)

9. При каких значениях параметра оба корня уравнения положительны?

(а - 2) х2 - 2ах + 5а = 0 Ответ: [3; Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами]

10. При каких значениях параметра уравнение имеет один корень?

(2а - 5)х2 - 2(а - 1)х + 3 = 0 Ответ: 2,5; 4.

11. Решить для всех значений параметра уравнение: ах2 - х + 3 = 0

Ответ: при а = 0 х = 3; при а = Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами х = 6; при а > Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами к.н., при других а два корня.

12. При каких значениях параметра оба корня уравнения отрицательны?

х2 + (а + 1)х + а +4 = 0 Ответ: (5; +∞).

Простейшие иррациональные уравнения

Решение этих уравнений сводится к постепенному переходу от иррациональных к рациональным путем возведения в степень обеих частей уравнения. Решение должно сопровождаться тщательной проверкой.

Прием решения.

  1. По определению корня подставить данное значение х в уравнение.

  2. Найти ОДЗ полученного уравнения.

  3. Решить полученное уравнение с одним неизвестным (параметром).

  4. Сделать проверку.

  5. Записать ответ.

1.Решить уравнение (х - 1) Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами = 0 ОДЗ: х - а ≥ 0

Решение

1. Если х1 = 1, то х2 = а.

2. Если а = 1, то х1 = х2 = 1.

Если а < 1, то х1 = 1 удовлетворяет условию х ≥ а, т.е. является корнем.

Если а  1, то х1 = 1 не удовлетворяет условию х ≥ а, т.е. является посторонним корнем.

Ответ: 1).а < 1, то х1 = 1, х2 = а. 2).а ≥ 1,то х = а.

2.При каких значениях параметра уравнение имеет один корень?

(Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами - 2)(х - а) = 0 О.Д.З.: х ≥ 0

Решение

1. Если х1 = 4, то х2 = а.

2. Если а = 4, то корень будет единственный.

3. Если а < 0, то корень будет единственный

Ответ: уравнение имеет один корень, при а < 0 или а = 4.

3. Решить уравнение: Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами = 4х + а

Решение

ОДЗ: х ≥ - Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами. Воспользуемся методом замены переменной.

Заменим корень на у, и преобразуем уравнение у = 2(у2 - 1) + а. у ≥ 0.

2 - у + (а - 2) = 0. D = 17 - 8a. a = 2,125.

1. При а > 2,125 к.н.

2. При а = 2,125 у = 0,25 значит х = - Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами.

3. При а < 2,125 два корня у = Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами, причем Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами ≥ 0, решая неравенство, получим, что а Є[2; 2,125].

4. Решить уравнение: Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами = а - х

Решение

ОДЗ: а - х ≥ 0; х ≤ а.

Возведем обе части в квадрат: х2 -1 = (а - х)2, 2ах = а2 + 1, х = Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами, где а  0.

НЕлективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрамиЕлективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрамиайдем значения, при которых х ≤ а. Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами ≤ а.

1. а  0, а  0Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами

а2 + 1 ≤ 2а2. а2 ≥ 1

. -1 0 1 а а ≥ 1.

Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами

2Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами. а < 0, а < 0,

Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрамиа2 + 1 ≥ 2а2. а2 ≤ 1

. -1 0 1 а -1≤ а ≤.

Ответ: при а Є [-1; 0] U [1;+∞) , х = Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами

Рациональные неравенства

1.При каких значениях а неравенство х2 - 2ах + 9  0 выполняется для всех х?

Решение:

Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрамиУ

Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами-3 3

A


Т.к. а > 0, ветви параболы направлены вверх, значит корней нет, D < 0. 4а2 - 36 < 0. -3 < a < 3

Ответ: -3 < a < 3.

2.При каких значениях параметра неравенство ах2 + 2(а + 1)х + 2а + 2 ≤ 0 выполняется для всех х?

РЕлективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрамиешение

Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами

-1 0 1 а


Т.к. у ≤ 0, то ветви параболы направлены вниз, значит а < 0, D ≤ 0.

4(а + 1)2 - 4а(2а + 2) ≤ 0, 4а2 + 8а + 4 - 8а2 - 8а ≤ 0, -4а2 + 4 ≤ 0, а ≤ -1, а ≥ 1

Ответ: а ≤ -1.

3.При каких значениях параметра неравенство (х3 - 8)(а - х) ≥ 0 имеет один корень?

Решение

Преобразуем неравенств к виду (х - 2)(х2 + 2х +4)(х - а) ≤ 0.

Т.к. х2 + 2х +4 > 0 при всех х (D < 0), то получим неравенство (х - 2)(х - а) ≤ 0.

1. Если а = 2, то (х - 2)2 0, откуда х = 2.

2. Если а ¹ 2, то при а< 2 имеем а ≤ х ≤ 2.

при а > 2 имеем 2 ≤ х ≤ а.

Ответ: один корень при а = 2.

4.При каких значениях параметра решением неравенства (х - а)2(х - 3)(х + 1) ≤ 0.

служит сплошной промежуток?

Решение

Применим метод интервалов. К.т. х = а, х = 3, х = -1.

Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами

1). + + − +

а -1 3 Х

при а < -1, -1 ≤ х ≤ 3, х = а.

Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами

+ − − +

2). -1 а 3 Х

при -1 < a < 3, -1 ≤ х ≤ 3.

Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами

+ − + +

3). -

-1 3 a X

при а > 3, -1 ≤ х ≤ 3, х = а.

Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами

4). + − +

-1 3 Х

при а = -1 имеем неравенство (х + 1)3(х - 3) ≤ 0, откуда-1 ≤ х ≤ 3.

Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами

5). + − +

-1 3 Х

при а = 3 имеем неравенство (х + 1)3(х - 3) ≤ 0, откуда-1 ≤ х ≤ 3.

Ответ: -1 ≤ а ≤ 3.

5.При каких значениях параметра во множестве решений неравенства

(1 - х) (х - а) ≥ 0.содержиться 5 целых чисел?

Решение

Преобразуем неравенство (х - 1)(х - а) ≤ 0. К.т. х = 1, х = а.

Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами

1). + − +

а 1 Х

при а < 1, а ≤ х ≤ 1, т.е. 1,0,-1,-2,-3. -4 < а ≤ -3

Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами2).

+ − +

1 а Х

при а < 1, 1 ≤ х ≤ а, т.е. 1,2,3,4,5. 5 ≤ а <6.

Ответ: -4 < а ≤ -3; 5 ≤ а <6.

6.При каких значениях параметра неравенство Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами < 0 выполняется для всех х из отрезка [1; 2]

Решение

1. Если а = 2а + 1, то Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами < 1 к.н.

Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами2).

а 1 2 2а + 1 Х

ПЕлективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрамири а < 2a + 1, a < 1,

2 < 2a + 1.

½ < a < 1.

Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами3).

2а +1 1 2 а Х

ПЕлективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрамири а < 2a + 1, a > 2,

1 > 2a + 1. корней нет.

Ответ: Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами < a < 1.

Задачи для самостоятельного решения.

Блок 5. Исследование квадратных неравенств.

Задание

Ответ

1.

Решить для всех значений а

х2 -2ах + 1 > 0

при | а | > 1 x Є R; при а = 1 х = 1; при а = -1 х = -1

при др. а х Є (-∞; а - Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами)U(а + Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами;+ ∞);

2.

х2 -4ах + 9 ≤ 0

при | а | > 1,5 к.н. при а = ±1,5 х = ±3;

при др. а х Є [2а - Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами; 2а + Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами]

3.

2 + (а + 1)х + 1 > 0

при а = 0 х > -1; при а = 1 х Є (-∞; -1)U(-1; +∞);

при а > 1 х Є (-∞; -1)U(Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами; +∞);

при а < 0 х Є (-1; Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами)

при а Є (0; 1) х Є (-∞;Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами)U(-1; +∞);

4.

При каких а неравенство

выполняется для всех х?

х2 - (а + 2)х + 8а + 1 > 0

(0; 28).

5.

Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрамих2 + ах - а + 1 > 0

(Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами;Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами).

6.

При каких значениях а

нер-во не имеет решений?

ах2 + (2а + 3)х + а - 1 ≥ 0

(-∞; Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами ).

7.

(4 - а22 + 2(а + 2)х - 1 > 0

(-∞;-2].

Зачет №3.

1. При каких значениях параметра а неравенство (х - а) (х - 2) ≤ 0 имеет одно решение?

Ответ: а = 2.

2. Решить для всех значений параметра ах2 - (а + 2)х + 2 ≤ 0

Ответ:1). при а = 0 х ≥ 1; при а = 2 х = 1;

2). при а > 2 х Є [Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами; 1]

3). при а Є (0; 2) х Є [1; Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами]

4).при а < 0 х Є [-∞;Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами]U(1; +∞);

3. При каких а неравенство ах2 +2(а + 1)х + 2а + 2 > 0 выполняется для всех х?

Ответ: 0 < a < 1.

4. Решить для всех значений параметра.

(а - 1)х2 + 2(2а+ 1)х + (4а + 3) ≤ 0

Ответ:1). при а < Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами множество решений.

2).при а = Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами множество решений.

3). при Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами < a < 1 два корня.

4)при а = 1 х ≤ Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами

5). при а > 1 [x2; x1]

5. При каких а неравенство ах2 + 4ах + а + 3 < 0 выполняется для всех х?

Ответ: (-∞;-4).

6. При каких а неравенство ах2 - 4ах - 3 ≤ 0 выполняется для всех х?

Ответ: [-0.75; 0]

7. При каких значениях параметра а неравенство не имеет решений?

А) х2 + 2ах + 1 < 0

Ответ: [-1; 1].

Б) ах2 + 4ах + 5 ≤ 0

Ответ: [0; 1,25).

Тригонометрические уравнения

1.Решить уравнение sin x = 3a - 2

Решение

1.Если -1 ≤ 3a - 2 ≤ 1, т.е. Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами ≤ a ≤ 1, то х = (-1)narcsin(3a - 2) + πn.

2.Если а < Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами; a > 1, то корней нет.

2.Решить уравнение сos2x = 2a - 1

Решение

По формуле понижения степени получим сos2х = 4а - 3. Далее рассуждаем, как в первом примере.

3.При каких значениях параметра уравнение Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрамиsin x + сosx = a имеет корни.

Решение

Преобразуем уравнение к виду 2(Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрамиsin x + Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами сosx) = а, или sin(х + Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами) = Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами.

Ответ: -1 ≤ Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами ≤ 1, -2 ≤ a ≤ 2.

4.При каких значениях параметра уравнение sin2x = a имеет 5 корней в промежутке [0;2π]

Решение

1. Если а < -1; a > 1, то корней нет,

2 Если а = -1, то sin2x = -1, х = - Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами + πn. Данному промежутку принадлежит только два корня: 3 Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами и 7 Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами, что не соответствует условию.

3.Если а = 1, то sin2x = 1, х = Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами + πn. Данному промежутку принадлежит только

два корня, что не соответствует условию.

4.Если -1 ≤ a ≤ 1, только при а = 0 будет 5 значений. sin2x = 0, х = Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами.Данному промежутку принадлежат корни: 0; Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами; Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами; π; 2π.

Ответ: а = 0.

5.Решить уравнение (5а - 1) сosx = 2а + 3

Решение

1. Если а = Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами, то 0 = 2а + 3 корней нет.

2. Если а  Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами, то сosх = Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами , -1 ≤ Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами ≤ 1, решим методом интервалов. Преобразовав, получим: Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами ≤ 0, Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами≥ 0.

Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами − + −

-2/7 1/5 4/3 Х

+ − +

Ответ:1). если а Є (-∞; -Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами]U[Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами;+∞), то х = ±arccosЕлективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами + 2 πn.

2).если а Є (-Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами;Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами), то корней нет.

6.Решить уравнение (а2 - 1) sin x = а + 1

Решение

1.Если а = 1, то 0 = 2, к.н.

2. Если а = -1, то 0 = 0, множество корней.

3. Если а  ±1, то sin x = Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами = 1/(а - 1). -1 ≤ Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами ≤ 1, решим методом

интервалов. Преобразовав, получим: Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами ≤ 0, Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами ≥ 0.

Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами

+ - +

Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами0 1 2 Х

- + -

Ответ:1). если а Є (-∞; -1)U(-1; 0]U[2;+∞),то х = (-1)karcsin Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами + πk, k Є Z.

2).если а = -1, множество корней.

3).если а Є (0;2), то к.н.

7.Найти все целые значения параметра, для каждого из которых уравнение имеет решения. 5 - 4 sin2х - 8 сos2 Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами = 3а

Решение

Преобразовав, получим 4 сos2x - 4 сosx - 3 - 3а = 0. Пусть сosx = t. где -1 ≤ t ≤ 1,

Получим 4t2 - 4t - 3 - 3a = 0 Найдем все значения а, при которых:

1. оба корня принадлежат [-1;1];

2. хотя бы один корень принадлежит [-1;1];

РЕлективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрамиассмотрим три случая возможного расположения параболы.

1). D ≥ 0,

Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрамиf(-1) ≥ 0,

f(1) ≥ 0.

Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами

64 + 48а ≥ 0.

5 - 3а ≥ 0, f(-1) f(1)

-3 - 3а ≥ 0.

-1 t1t2 1 t

Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами ≤ а ≤ - 1.

2Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами). Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрамиЕлективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами D ≥ 0,

f(-1) ≥ 0,

f(1) ≤ 0. f(-1)

Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрамиa ≥ Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами -1 t1 1 t2 t

a ≤ Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами,

a ≥ -1. f(1)

-1 ≤ a ≤ Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами

3Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами). D ≥ 0,

Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрамиf(-1) ≤ 0,

f(1) ≥ 0.

Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрамиa ≥ Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами, f(1)

a ≥ Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами, t1 -1 t2 1 t

a ≤ -1. f(-1)

Корней нет.

Если а Є [Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами; Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами], то уравнение имеет решение. Целые значения а = -1; 0; 1.

1. а = -1. t = 0; 1. сosx = 0 или сosx = 1

х = Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами + πn, n Є Z. x = 2 πk, k Є Z.

2. a = 0 t = Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами; Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами. сosx = Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами или сosx = Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами

x = ± Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами + 2πp, p Є Z. к.н.

3. а = 1 t = -0,8; 1,8. сosx = -0,8 или сosx = 1,8

х = ±arccos(-0,8) + 2πm, m Є Z. к.н.

Ответ: 1). если а = -1,то х = Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами + πn, n Є Z. x = 2 πk, k Є Z. 2).если а = 0, то

x = ± Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами + 2πp, p Є Z. 3).если а = 1, то х = ±arccos(-0,8) + 2πm, m Є Z.

8.Найти все значения параметра, для каждого из которых уравнение имеет решения.

сos4х - (а + 2) cos2х - а - 3 = 0

Решение

Пусть cos2х = z, 0 ≤ z ≤ 1. z2 - (a + 2)z - a - 3 = 0. D = (a + 4)2 ≥ 0, z = -1; a + 3.

1. z = -1 не удовлетворяет условию , 0 ≤ z ≤ 1.

2. 0 ≤ а + 3 ≤ 1, -3≤ а ≤ -2; cos2х = a + 3, cosх = ± Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами, х = ±arccos Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами + πn, n Є Z.

Ответ:1). при -3≤ а ≤ -2 х = ±arccos Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами + πn, n Є Z.

2). при а < -3 или a > -2 корней нет.

Задачи для самостоятельного решения.

Блок 6. Тригонометрические уравнения.

Задание

Ответ

1.

Решить для всех а

2 - 9) sin x = а + 3

а Є (-∞; -3)U(-3; 2]U[4;+∞), то х = (-1)karcsin Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами + πk, k Є Z.

а = -3, то х Є R. a Є (2; 4), то к.н.

2.

a2 tgx + 7 = 25tgx + a + 2

a  ±5, то х = arctg Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами + πk, k Є Z.

a = 5, то х Є R. кроме х = Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами + πn, n Є Z.

а = 5, то к.н.

3.

Найти все целые а для

которых есть корни.

2 sin2x + 6 cos2х/2 = 5 - 2а

а =0, то х = Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами + πn, n Є Z.

а = 1, то x = ± Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами + 2πp, p Є Z.

а = 2, то х = ±arccos(-0,8) + 2 πk, k Є Z.

4.

2 - 8sin x/2cosх/2 - 2cos2х =4а

а = 0, то х = πn, n Є Z. и х = Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами + 2πm, m Є Z.

a = 1, то х = (-1)k + 1arcsin 0,7 + πk, k Є Z

а = 2, то х = - Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами + 2πn, n Є Z.

5.

4 cos2х - 4(а + 2) cosх + а2 + 4а = 0

-2 ≤ а ≤ 2, то х = ±arccosЕлективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами + 2πm, m Є Z.

-6 ≤ а ≤ -2, то х = ±arccosЕлективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами + 2πk, k Є Z.

a < -6 или a > 2, то к.н.

6.

Найти все целые а для

которых есть корни

1 + а cosх = а2 + 2а + 1

-3; -2; -1; 0.

Зачет № 4.

1. Решить для всех а: 3 cosх = 4а + 1

Ответ: 1). а Є [-1; ½], то х = ±arccosЕлективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами + 2πm, m Є Z.

2).а Є (-∞; -1)U(Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами;+∞), к.н.

2.Найти все целые а для которых есть корни: 2 - 2 cos2х = 3а + 4 sin x

Ответ: 1). а = 0, то х = πn, n Є Z и х = Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами + 2πm, m Є Z.

2).a = 1,то х = (-1)k + 1 Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами + πk, k Є Z

3). а = 2, то х = (-1)larcsin 0,8 + πl, l Є Z

3. Решить для всех а: sin2x - 4a sin x + 4a2 - 2 = 0

Ответ:1). -3≤ а ≤ -2, то х = (-1)karcsin (2а + 5) + πk, k Є Z

2).2≤ а ≤ 3, то х = (-1)karcsin (2а - 5) + πk, k Є Z

3).При других нет корней.

4. Решить для всех а: sin x - Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами = cos2х + 2

Ответ: 1).а = 0, то х = Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами + πn, n Є Z.

2).а  0, то к.н.

5.Решить для всех а: sin4x + (a - 6) sin2x - 4(a - 2) = 0

Ответ: 1).1≤ а ≤ 2, то х = ±arccosЕлективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами + πk, k Є Z.

2).а < 1 или а > 2 к.н.

Функционально-графические методы решения задач с параметрами


Графический метод решения особенно эффективен, когда нужно установить, сколько корней имеет уравнение в зависимости от параметра а.

1.Сколько корней имеет уравнение | | х| - 2| = а при различных значениях параметра

Решение

Построим график функции у = | | х| - 2|

Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами3 у = а, а > 2

у = 2

у = а, 0 < a < 2

Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами0 у = 0

у = а, а < 0.

Ответ:1). если а < 0, то к.н.

2).если а = 0, а > 2, то два корня

3). если а = 2, то три корня

4).если 0 < a < 2, то четыре корня.

2. Сколько корней имеет уравнение | х2 - 2|х| - 3| = а при различных значениях а?

РЕлективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрамиешение: Построим график функции у = | х2 - 2|х| - 3 |

5

у = а, а > 4

4 y = 4

y = а, 3 < a < 4

у = 3

3 y = a, 0 < a < 3

y = 0

y = a, a < 0

Ответ:1). a < 0, к.н.; 2). a = 0, a > 4 два корня; 3). 0 < a < 3, a = 4 четыре корня;

4). а = 3 пять корней; 5). 3 < a < 4 шесть корней.

3.Решить уравнение |х - 1| + |х - 3| = а

Решение

Построим график функции у = | х - 1| + |х - 3|

Построение:

- - + - + +

Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами1 3

1. у = 1 - х + 3 - х = -2х + 4

2. у = -1 + х - х + 3 = 2

3Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами. у = 2х - 4

3 y = a, a > 2

Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами

2 y = 2

1 y = a, a < 2.

1 3 Х

Ответ:1). a < 2, к.н. 2). а = 2, х Є [1; 3] 3). a > 2, x = Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами

4. Сколько корней имеет уравнение (а - 1)х2 - 4(а - 1)х + 3а - 4 = 0 при различных значениях параметра а?

Решение

Выразим а = Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами ОДЗ: х  1, х 3

Горизонтальная асимптота равна 1, т.к. limЕлективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами = 1; вертикальные асимптоты

хЕлективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами = 1, х = 3; а(х) = -2х + 4, х = 2 - точка максимума; пересечение с осью ОУ в точке (0; Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами)


1

1 3 Х


Ответ:1). 0 < a ≤ 1, к.н.; 2). a > 1, a < 0 два корня 3). а = 0 один корень

5. Сколько корней имеет уравнение | х - 4| = ах + 2 при различных значениях а?

Решение

1. x < 4 a = Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами - 1 гипербола

2. х > 4 а = 1 - Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами гипербола

Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрамиА

Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами1

4 Х

-1



Ответ: 1) -1 ≤ а < 0 к.н. 2). 0 < a < 1 два корня 3).а ≥ 1, а = 0, а < -1 один корень.

6. Сколько корней имеет уравнение Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами = х - а при различных значениях параметра а

Решение

у = Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами у = Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрамиЕлективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами= 1 х0 = Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами а0 = -Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами

у = х - а k = 1 угол наклона прямой равен 450

Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрамиУ

у = х - а, а < a0 y = x, a = 0

а0


Х

y = x - a0 y = x - a, a > 0

Ответ: 1). a > 0, а = а0 один корень

2).a < a0 к.н.

3). а0 < a ≤ 0 два корня.

7. Сколько корней имеет уравнение Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами = -х + а при различных значениях параметра а?

Решение

Построим графики функций левой и правой части данного уравнения.

Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрамиУ


2

Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами1

-1 1 2 3 Х

Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами-1

Ответ:1). а ≤0, а ≥2 один корень

2). 0 < a < 2 два корня.

8.При каких значениях параметра уравнение х2 + а | х - 2| = 0 имеет три корня?

Решение

Приведем уравнение к виду х2 = -а | х - 2|

Построим графики у = х2 и у = - а | х - 2|

Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрамиУ

2 Х

-2


Ответ: а ≤ 8.

9. Сколько корней имеет уравнение х + 1 = а| х - 1| при различных значениях параметра а?

Решение

Приведем уравнение к виду а = Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами.

Построим график.

У

Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами

5

4

3

2

1

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 Х

Ответ: 1). а ≤ -1 корней нет;

2). -1 < a ≤ 1 один корень

3). а > 1 два корня.

10. Сколько корней имеет уравнение Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами - х2 = х + а при различных значениях параметра а?

Решение

Построим графики функций у = Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами - х2 полуокружность, у = х + а прямая.

Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрамиУ

y = х + а, а > a0

В

2

М y = x - 2

y = x + a, a < -2

С О

-2 2 Х

y = x + a0

y = x + 2


Найдем а0. ОС = ОВ = а0, ОМ = 2, значит ОВ = ОМЕлективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами, т.е. а0 = 2Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами

Ответ: 1). а < -2, а > 2Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами к.н.

2). -2 ≤ а < 2, а = 2Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами один корень

3). 2 ≤ а < 2Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами два корня.

Задачи для самостоятельного решения.

Блок 7. Графический метод решения.

задание

Ответ

1.

Сколько корней имеет ур-ие

х + 2 = а | х - 1|

а ≤ -1, к.н. -1 < а ≤ 1 один корень; а > 1 два корня

2.

| х + 1| = а (х - 1)

а ≤ -1, а > 1, а = 0, один корень; -1 < а < 0, два корня;

0 < а ≤ 1, к.н.

3.

2| х | - 1 = а (х - 1)

а ≤ -2, а > 2, а = 1, один корень;

-2 < а < 1 , два корня; 1 < а ≤ 2 к.н.

4.

При каких значениях

параметра уравнение имеет

три корня ах2 + | х - 1| = 0

а = -Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами

5.

При каких значениях

параметра уравнение имеет

один корня |3 х + 3| = ах + 5

-3 ≤ а ≤ 3

Зачет № 5

Сколько корней имеет уравнение при различных значениях параметра а?

1. |  х  - 3| = а

Ответ:1). а < 0, к.н. 2).а = 0, а > 3, два корня

3). а = 3 три корня 4). 0 < а < 3 четыре корня.

2. | х + 1| + | х + 2 | = а

Ответ:1). а < 1 к.н. 2).а = 1 множество корней из [-2; -1] 3). a > 1 , два корня

3. х2 - 4 х  + 3 = а

Ответ:1).а < 0 к.н. 2).а = 0, а < 3 четыре корня

3).0 < а < 1 восемь корней 4).а = 1 шесть корней

5). а = 3 три корня 6). а > 3 два корня.

4. . х2 - 6 х  + 5 = а

Ответ:1). а < 0 к.н. 2). а = 0, 4 < а < 5 четыре корня

3).0 < а < 4 восемь корней 4). а = 4 шесть корней 5). а = 5 три корня

6). а > 5 два корня

5. | 3х + 6| = ах + 2

Ответ: 1).а ≤ -3, а > 3, а = 1 один корень

2). -3 < а < 1 два корня.

6. х4 - 2х2 + 3 = а

Ответ: 1).а < 2 к.н. 2). а = 2, а > 3 два корня

3). а = 3 три корня 4). 2 < а < 3 четыре корня

7. х3 - 3х2 + 2 = а

Ответ: 1). а > 2, а < -2 один корень

2). а = 2, а = -2 два корня 3). -2 < а < 2 три корня

8. 3х2 - х3 = а

Ответ:1). а > 4, а < 0 один корень 2). а = 4, а = 0 два корня

3). 0 < а < 4 три корня

Уравнения степени выше второй


Иногда уравнения можно рассматривать как квадратные не только относительно одной из своих неизвестных, но и относительно параметра. Рассмотрим этот метод.

Задача 1. Найти все значения параметра, при которых уравнение

2 - а) = 6 х2 - 4х - 2а имеет три корня.

Решение

Преобразуем уравнение к виду а2 + 2а(1 - х2) + х4 - 6 х2 + 4х = 0

Корни этого уравнения: а = х2 + 2х - 2, а = х2 - 2х. Построим эти параболы.

Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами

У

2

1

-3 -2 -1 1 2 3 Х а = -3/4

-1 а = -1

-2

-3

Ответ: а = Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами; а = -1.

Задача 2. Найти число корней в зависимости от параметра.

х4 - 10х3 - 2(а - 11) х2 + 2(5а + 6)х + 2а + а2 = 0

Решение

Преобразуем уравнение к виду

а2 + 2(1 - х2 + 5х) а + х4 + 10х3 + 22 х2 + 12х = 0

Корни уравнения, а = х2 - 4х - 2, а = х2 - 6х. Построим эти параболы.

Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами

А

-1 2 4 6 8 х

-2

-4

-6

-8

Ответ: 1). а < -9 к.н. 2) а = -9 один корень 3) -9 < a < -6 два корня

4) а = -6; -5 три корня 5) -6 < а < -5, а > -5 четыре корня.

Задача 3. Найти число корней в зависимости от параметра х4 - 2а х2 + а2 - 1 = 0

Решение

Преобразуем уравнение к виду а2 - 2а х2 + х4 - 1 = 0

Корни уравнения: а = х2 - 1, а = х2 + 1 Построим эти параболы.

Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами

а

2

1

-2 -1 1 2 х

-1

Ответ: 1) а < -1 к.н. 2) а = -1 один корень 3) -1 < а < 1 два корня

4) а = 1 три корня 5) а > 1 четыре корня.

Задача 4. При каких значениях параметра уравнение х4 + (1 - 2а) х2 + а2 - 1 = 0

имеет четыре корня?

Решение

Заменим х2 = t, получим t2 + (1 - 2a)t + а2 - 1 = 0

Первоначальное уравнение имеет четыре корня тогда, когда полученное квадратное уравнение имеет два различных положительных корня, т.е.

Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрамиD = -4а + 5 > 0,

t0 = Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами > 0.

f(0) = а2 - 1 > 0.

Ответ: a Є (1; Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами)

Задача 5. При каких значениях параметра уравнение х4 + (1 - 2а) х2 + а2 - 1 = 0 имеет три корня?

Решение

Заменим х2 = t, получим t2 + (1 - 2a)t + а2 - 1 = 0

Первоначальное уравнение имеет три корня тогда, когда полученное квадратное уравнение имеет один положительный корень и один корень равный 0, т.е.

Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрамиt0 = (2a - 1) > 0,

f(0) = а2 - 1 = 0.

Ответ: a = 1.

Задача 6. При каких значениях параметра уравнение х4 + (1 - 2а) х2 + а2 - 1 = 0

имеет два корня?

Решение

Заменим х2 = t, получим t2 + (1 - 2a)t + а2 - 1 = 0

Первоначальное уравнение имеет два корня тогда, когда полученное квадратное уравнение имеет либо один положительный и один отрицательный корни (1), либо один кратный положительный корень (2).

1). f(0) = а2 - 1< 0, откуда: a Є (-1; 1)

Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами2).

t0 = (2a - 1) > 0,

D = -4а + 5 = 0, откуда а = Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами

Ответ: a Є (-1; 1) U {Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами}

Задача 7. При каких значениях параметра уравнение х4 + (1 - 2а) х2 + а2 - 1 = 0

имеет один корень?

Решение

Заменим х2 = t, получим t2 + (1 - 2a)t + а2 - 1 = 0

Первоначальное уравнение имеет один корень тогда, когда полученное квадратное уравнение имеет один неположительный корень и корень равный 0, т.е.

Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрамиt0 = Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами ≤ 0.

f(0) = а2 - 1 = 0.

Ответ: а = -1

Задача 8. При каких значениях параметра уравнение х4 + (1 - 2а) х2 + а2 - 1 = 0

не имеет корней?

Решение

Заменим х2 = t, получим t2 + (1 - 2a)t + а2 - 1 = 0

Первоначальное уравнение не имеет корней тогда, когда полученное квадратное уравнение само не имеет корней (1), а также когда его возможные корни отрицательны (2)

1). D = -4a +5 < 0, откуда а > Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами

2).

Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами0 = Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами < 0.

f(0) = а2 - 1 > 0.

откуда а < -1

Ответ: a Є (-; 1)U(Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами;+∞)

Задача 9. При каких значениях параметра уравнение sin2x + (1 - 2а) sinx + а2 - 1 = 0

не имеет корней?

Решение

Заменим sinx= t, получим t2 + (1 - 2a)t + а2 - 1 = 0

Первоначальное уравнение не имеет корней тогда, когда полученное квадратное уравнение

1). Само не имеет корней.

2). Его возможные корни меньше -1.

3). Его возможные корни больше -1.

4). Имеет корни х1 < -1 и х2 > 1.

1). D = -4a + 5 < 0, откуда а > Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами.

2Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами). t¢0 = Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами < -1,

f (-1) = а2 + 2a - 1 > 0, откуда а < -1 - Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами.

3Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами). t¢0 = Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами > 1,

f (1) = а2 - 2a + 1 > 0, откуда a Є (Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами; +∞)

Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами

4). f (-1) = а2 + 2a - 1 < 0,

f (1) = а2 - 2a + 1 < 0, корней нет.

Ответ: a Є (-∞;- 1 - Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами)(Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами;+)

Задачи для самостоятельного решения.

Блок 8. Уравнения степени выше второй.

задание

Ответ

1.

Найти значения параметра при которых уравнение

имеет три корня

(2 х2 -а)2 = 13х2 + 6х - 2а

А = Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами; Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами

2.

Найти значения параметра при которых уравнение

имеет четыре корня

х (х + 1)(х + а) (х + 1 + а) = а2

 а | > Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами + 2, | а | < Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами - 2

3.

Найти значения параметра при которых уравнение

имеет корни

tg2x + tgx - a = 0

[-0.25;+)

4.

Найти значения параметра при которых уравнение

не имеет корней

4 - 2ах2 + а2 - 2 = 0

(-;-Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами)U(2;+ ¥)

5.

Найти значения параметра при которых уравнение

не имеет корней

25х + (а + 4)5х - 2а2 - 10а - 12 = 0

[-3;-2]

Зачет № 6.

1. При каких значениях параметра уравнение (а + 2х)2 = х4 + 4х + 2а - 1 имеет три корня?

Ответ: а = 0; 1; 2.

2. Найти число корней в зависимости от параметра х4 - 4х2 + 4а - а2 = 0

Ответ: 1) а < 0, а > 4, а = 2 два корня

а = 0, а = 4, 0< а < 2, 2< а < 4 три корня

3. Найти число корней в зависимости от параметра х3 - ах2 - 2х - 2а2х - 2а = 0

Ответ: при любом значении параметра три корня.

4. При каких значениях параметра уравнение х4 - 4х2 = а имеет четыре корня?

Ответ: (-4;0)

5. При каких значениях параметра уравнение sin4x + cos2x - a = 0 не имеет корней?

Ответ: (-∞;Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами)U(1;+∞)


Задачи с параметрами в разделе «Элементы математического анализа»


1. При каком значении параметра касательная к графику функции у = ах2 + 5х + 4

в точке х = 1 образует с осью х угол 1350?

Решение

k = tg1350 = -1

y = 2ax + 5, k =y(1) = 2a + 5 = -1, a = -3.

Ответ: а = -3.

2. При каких значениях параметра функция у = ах3 + 3ах2 + 6х + 7 возрастает на всей числовой оси?

Решение

yЕлективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами = 3ах2 + 6ах + 6 ≥ 0, при условии

3а > 0

D < 0.

D = 36a2 - 72а < 0 , а = 0, а = 2.

Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами

+ - +

0 2 х

Ответ: 0 < а < 2.

3. При каком значении параметра функция у = 2х3 - 6а2 х + 3 имеет минимум в точке х = 3?

Решение

y = 6х2 - 6а2 = 6(х - а) (х + а) = 0

При а = 0, y¢ = 6 х2 ≥ 0, т.е. функция возрастающая, минимум в точке х = 3 иметь не

может.

При а  0, а > 0 х = а - точка минимума, т. е если а = 3 ,то х = 3 точка минимума.

+ - +

Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрамиХ

-a a y

При а  0, а < 0 х = - а - точка минимума, т. е если а = -3 ,то х = 3 точка минимума.

+ - +

Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрамиХ

a -a y

Ответ: а = 3, а = -3.

4. При каком значении параметра а > 0 площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями у = Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами, х = 1, у = 0, х = а, равна 2?

Решение: Задача сводится к решению уравнения ∫dx/x = 2, откуда находим а = е2.

5.При каких значениях параметра наименьшее значение функции у = х3 -12х + а на [1;3] равно 0?

Решение

у(1) = -11 + а, у(3) = -9 + а, y¢ = 3 х2 - 12 = 0, х = ± 2.

Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами

+ - +

-2 1 2 3 х

у(2) = -16 + а, т.к. в точке х = 2 - минимум, то в ней и наименьшее значение функции, значит -16 + а = 0, а = 16.

Ответ: а = 16

6. При каких значениях параметра наименьшее значение функции у = х + еа - х

равно 4

Решение

y¢ = 1 - еа - х = 0, а - х = 0, а = х.

- +

Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрамиа х

т.к. в точке х = а - минимум, то в ней и наименьшее значение функции, значит у (а) = а + 1 = 4, а = 3.

Ответ: а = 3

7. При каких значениях параметра функция у = х3 + 3 х2 + ах возрастает на всей числовой оси?

Решение

y¢ = 3 х2 + 6х + а > 0, D = 36 - 12а = 0, а = 3.

+ - D

Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрамиа

3

1). Если а ≥ 3, то D ≤ 0, y¢ > 0 функция возрастает.

2). Если а < 3, то D > 0, уравнение имеет два корня, функция не монотонна.

Ответ: а ≥ 3.

8. При каком значении параметра прямая у = ах - 7 касается параболы

у = 2х2 - 5х + 1?

Решение

Уравнение касательной у = (4х0 - 5)х - 2х02 + 1

Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами - 2х02 + 1 = -7,

0 - 5 = а.

х0 = ± 2, а = 3, а = -13.

Ответ: а = 3, а = -13.

9. При каком значении параметра прямая у = 2х + 6 касается графика функции

у = Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами?

Решение

Найдем уравнение касательной.

1). у0 = 2 - Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами

2). y¢ = Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами

3). y¢(х0) = Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами

4). у = 2 - Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами + Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами(х - х0) = Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами х + 2 - 2Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами

Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрамиЕлективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрамиЕлективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрамиЕлективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами= 2, а = 2 х02 х = -1,

2 - 2Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами = 6. -4 Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами = 4. а = 2.

Ответ: а = 2.

Задачи для самостоятельного решения.

Блок 9. Параметры в математическом анализе.


задание

Ответ

1.

При каком значении параметра прямая 4х + у + 3 = 0 касается графика функции у = Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами

а = -2

2.

При каком значении параметра прямая 16х + у - 13 = 0; касается графика функции у = Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами

а = 1

3.

При каких значениях параметра функция у = х3 + ах2 + 3х + 21

убывает на всей числовой оси?

а Є R

4.

При каких значениях параметра наименьшее значение функции

у = 2х3 - 6а2 х + 3 равно 0?


5.

При каком значении параметра функция у = х + еа - х имеет максимум в точке х = 3?




Зачет № 7.


1.При каком значении параметра прямая 4х + у - 6 = 0 касается графика функции

у = Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами?

Ответ: а = -1.

2. При каком значении параметра касательная к графику функции у = х3 - ах

в точке х = 1 проходит через точку (2;3).

Ответ: а = 0,5; -1.

3. При каких значениях параметра функция у = 2х3 - 3а2 х + 7 возрастает в интервале (а - 1, а + 1)?

Ответ: а ≤ -1, а ≥ 2.

4. При каком значении параметра функция у = х3 - 3а х2 + 27х - 5 имеет одну стационарную точку?

Ответ: а = ± 3.


Решение задач с параметром, предлагаемых на ЕГЭ


1. При каких значениях параметра уравнение log32x - (2a + 3)log3x + a2 + 3a = 0 имеет два различных корня, равноудаленных от точки х = 42?

Решение

Пусть log3x = t, тогда уравнение примет вид t2 - (2a + 3)t + a2 + 3a = 0,

его корни t = a + 3; a.

log3x = a + 3 или log3x = а

х1 = 3а + 3 х2 = 3а.

Точка х = 42 является серединой отрезка. По формуле координаты середины отрезка: Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами = 42, откуда а = 1.

Ответ: а = 1.

2. При каких значениях параметра уравнение (2а + 3)х2 + (а + 3)х + 1 = 0

а) имеет хотя бы один корень

б) число различных корней равных числу различных корней уравнения:

Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами

Решение

а) 2а + 3 = 0, а = -1,5. один корень.

D = 0, если 2а + 3  0, а = -1, 3.

б) (2х + 1)(Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами + 3). = 21 -а.

Построим графики функций 1). у = (2х + 1)(Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами + 3). и 2).у = 21 -а.

1. ОДЗ х ≥ 3, у > 0, функция возрастает, у(3) = 21, у = 21 -а

2. прямая, 21 - а ≥ 21, значит а ≤ 0

Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрамиу


21


  1. х

ОЕлективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрамибъединим решения а) и б)

-1,5 -1 0 3 а

Ответ: а = -1,5; -1.

3. При каких значениях параметра уравнение 6sin3x = a - 5cos2x не имеет корней?

Решение

Пусть sinx = t, где -1 ≤ t ≤ 1, тогда уравнение примет вид 6t3 - 10t2 + 5 = 0.

РЕлективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрамиассмотрим функцию у = 6t3 - 10t2 + 5, у = 18t2 - 10t = 0. t = 0; Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами.

+ - +

-1 0 5/9 1 t

y(-1) = -11, y(1) = 1, y(0) = 5

Ответ: (-∞; -11)U(5; +)

4. При каких целых значениях параметра уравнение х2(х - 4) +а = 0 имеет три корня?

Решение

Построим графики функций у = х2(х - 4) и у = - а.

1). у = 3х3 - 4х2, у = 3х2 - 8х = 0, х = 0; Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами

При х = 0, у = 0. при у = 0, х = 0; 4

При х = Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами, у = -9,5

+ - +

Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрами0 8/3 х

max min

Елективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрамиу

8/3 х



-9,5

При -9,5 < - a < 0 , 0 < a < 9,5

Ответ: 1,2,3,4,5,6,7,8,9.

5. При каких значениях параметра уравнение  sinx  = ÷cosx ÷ + a имеет целые положительные корни?

РЕлективный курс на тему уравнения и неравенства с параматрамиешение

|cosx|

1

|sinx|

Ответ: а = 1.

39

© 2010-2018