Задачи на нахождение площади поверхности и объема. (подготовка к итоговой аттестации)

Консультации, 11 класс, Подготовка к ЕГЭ Жаркова Е.И.

Задачи на нахождение площади поверхности и объема.

1. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра,

радиус основания и высота которого равны 1. Найдите объем параллелепипеда.

2. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см.

Боковые ребра равны 4 см.Найдите объем цилиндра,

описанного около этой призмы.

3. В прямоугольный параллелепипед вписан шар радиуса 1 см. Найдите объем параллелепипеда.

4. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 12 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в 2 раза больше, чем у первого? Ответ выразите в сантиметрах.

5. Одна цилиндрическая кружка вдвое выше второй, зато вторая в два раза шире. Найдите отношение объема второй кружки к объему первой.

6. Через среднюю линию основания

треугольной призмы, объем которой равен 32,

проведена плоскость, параллельная боковому

ребру. Найдите объем отсеченной треугольной

призмы.

7. Во сколько раз увеличится площадь поверхности

октаэдра, если все его ребра увеличить в 3 раза?

8. Объем параллелепипеда равен 9.

Найдите объем треугольной пирамиды ^ABDA₁.

9. Объем куба равен 12. Найдите объем четырехугольной

пирамиды, основанием которой является грань куба,

а вершиной - центр куба.

10. Радиусы трех шаров равны 6, 8 и 10 см. Найдите радиус шара, объем которого равен сумме их объемов.

11. Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 2, а объем равен .

12. Найдите объем конуса, образующая которого равна 2 и наклонена к плоскости основания под углом 30 градусов.

13. Найдите объем призмы, в основаниях которой

лежат правильные шестиугольники со сторонами

2, а боковые ребра равны 2и наклонены

к плоскости основания под углом 30 градусов.

Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна

и образует углы 30, 30 и 45 градусов с плоскостями

граней параллелепипеда.

Найдите объем параллелепипеда.

Объем треугольной пирамиды равен 15.

Плоскость проходит через сторону основания этой

пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро

в точке, делящей его в отношении 1 :2 ,

считая от вершины пирамиды.

Найдите больший из объемов пирамид, на которые

плоскость разбивает исходную пирамиду.

Решения

Задача 14.

Проекцией диагонали на нижнее основание будет отрезок . Пусть диагональ образует угол градусов именно с плоскостью нижнего основания.
Рассмотрим прямоугольный треугольник . По теореме Пифагора, . Итак, мы нашли высоту параллелепипеда.

Проекцией на переднюю грань будет отрезок .
Из прямоугольного треугольника найдем . Мы нашли ширину параллелепипеда. А его длина (то есть отрезок ) находится аналогично. Она тоже равна . Объем параллелепипеда равен .

Ответ: .

Задача 15.

Эта задача уже поинтереснее - ей и до недалеко. Прежде всего, что значит «точка делит боковое ребро в отношении , считая от вершины»? Это значит, что она делит его на отрезки, длины которых и .

Плоскость делит пирамиду на две. У пирамид и общее основание . Ясно, что отношение их объемов равно отношению высот.

Проведем перпендикуляры и к плоскости основания пирамиды. - высота пирамиды ABC\mkern -2muS, - высота пирамиды . Очевидно, что отрезок параллелен отрезку , поскольку два перпендикуляра к одной плоскости параллельны друг другу. Через две параллельные прямые можно провести плоскость, причем только одну. Итак, точки и лежат в одной плоскости, то есть мы от стереометрической задачи перешли к плоской, планиметрической.

Треугольники и подобны, .

Значит, . Объем пирамиды равен объема пирамиды .

Ответ: .

Ответы; №1. 4, №2 100, №3 8, №4 3, №5 2, №6 8, №8 1.5, №9 2, № 10 12, №11 3, №12 1, № 13 18