МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ ТЕМЫ:

"ФУНКЦИИ В РАМКАХ ШКОЛЬНОГО КУРСА"

Воронеж 2006

Введение

Одной из сложнейших тем школьного курса математики являются функции. Появившись в 7-м классе и изучаясь эпизодически, функциональные зависимости в полном объеме предлагаются в 10-11 классах. Предполагается, что старшеклассник, занимаясь функциональным анализом должен совершенно свободно оперировать простейшими функциями. В этот момент возникает большая опасность того, что, работая в данной области математики, ученик займется чисто механической стороной всех исследований, у него сформируется база навыков, совершенно оторванных от реально существующих задач прикладного характера. Если исключить математические классы, то большинство старшеклассников теряется в мире функций, идет отторжение сложного и непонятного материала. В этой ситуации можно попробовать заняться изучением функций прямо с 5-го класса, постепенно приучая к ним ребят и держа постоянную связь с чисто практическими задачами, носящими функциональную окраску.

Подобная практическая окраска функций в рамках школьного курса должна помочь не только формированию прочных знаний в области математики, но и развитию творческого подхода к изучению функционального анализа.

К сожалению, наши выпускники порой не понимают роли математических законов в объяснении фактов, изучаемых на уроках, не обращаются к ним при рассмотрении физических, химических, биологических явлений. Знания о природе у них состоят из множества фактов, явлений, формул, правил не объединенных единой основой.

Надо помочь молодому человеку сформировать у себя основополагающие понятия всех изучаемых наук, понятия, которые входят в состав ядра естественных наук, в "золотой фонд" естественно-научного образования и которые будут способствовать созданию единого взгляда на мир.

В сознании человека знания об окружающем мире не просто преломляются как "солнце в малой капле вод", они во многом формируют отношение человека к миру, влияют на его нравственные качества, особенно в детском возрасте. Не просто знания о природе, а глубокое проникновение в тайны природы, через которые раскрывается обаяние науки, возникает благоговение перед нею - вот что имеет воспитательную силу, может помочь ученику полюбить идею и истину, помогает ставить духовные наслаждения выше телесных, духовные достоинства - выше наружного блеска внешней оболочки.

Научное обоснование проблемы на базе исследования

психологических аспектов развития учащихся

Предлагаемая мною методика ведения "Функций" применима при работе с любым учебником математики 5-го класса, включая учебник Л. Г. Петерсон. Автор там пытается проводить функциональную линию уже с первого класса, но она ограничивается лишь введением таблиц и обучением чтению графика функции (это отрабатывается в течение 4 лет). Подобная практическая подготовка облегчит введение самого понятия функции в 5 классе и позволит расширить чтение предложенных графиков функций до начальных этапов исследования функциональных зависимостей по графикам.

Прежде чем будет изложена сама идея рассмотрения функции с 5-го класса, хотелось бы поговорить о психологических особенностях учеников, вызвавших мысль о подобной работе в рамках теории функции.

Попытка ввести функции раньше 5-го класса просто неосуществима в силу наличия у детей до 9-10 лет лишь репродуктивных образов-представлений об известных объектах или событиях не воспринимаемых в данный момент времени. Причем эти образы в основном статичны, и заставить ребенка представить динамику изменений двух взаимосвязанных величин, да еще обобщить ее до функциональной зависимости невозможно.

Объем, устойчивость, переключаемость и концентрация произвольного внимания к 5-му классу у детей становятся почти такими же, как и у взрослого человека. Что касается переключаемости, то она в этом возрасте даже выше, чем в среднем у взрослых. Здесь и появляется реальная возможность поговорить о зависимостях. Однако внимание ребенка еще сохраняет некоторые признаки «детскости». Свои наиболее совершенные черты внимание у детей обнаруживает лишь тогда, когда предмет или явление, непосредственно привлекшие внимание, особенно интересны для ребенка. Поэтому вводить понятие функции надо сопровождая как можно более яркими примерами из жизни; показать ребятам всевозможные красочные способы оформления практических работ по функциям, прекрасно, если они при желании начнут использовать здесь компьютер.

Исследовательский характер введения понятия функции естественно будет раскрываться учителем с помощью диалога, а это как нельзя лучше поможет разрешить проблему перехода ученика к новой ступени самостоятельности от начальных классов к среднему звену, будет способствовать психологическому выравниванию ребят в связи с их переходом к новому учителю.

К 13-14 годам у учеников появляется возможность заниматься теоретическими рассуждениями и самоанализом. Отмечается способность к дедукции и индукции, формируются важнейшие интеллектуальные приобретения - это умение оперировать гипотезами, появляется теоретическое мышление. Вот именно тогда и стоит переходить от практических функциональных задач к абстракциям мира зависимостей. Здесь можно вводить строгое определение функции.

С переходом в среднее звено школы изменяется положение детей в системе деловых и личных взаимоотношений с окружающими людьми. Все больше времени в их жизни начинают занимать серьезные дела. Возрастают требования к интеллекту ребенка, которые одновременно предъявляют и его сверстники, и взрослые люди. Учителя и родители начинают переходить на новый стиль общения с подростками, больше апеллируя к их разуму и логике. Почувствовать себя увереннее, самостоятельнее и значимее для себя и для других поможет работа с функциями, где ученик исследует, анализирует и делает выводы в соавторстве с учителем, а в последствии и самостоятельно. Именно работа с функциями и математическим моделированием является интересной и интеллектуально захватывающей деятельностью.

На интересной, интеллектуально захватывающей деятельности или на такой работе, которая мотивирована соображениями престижности, подростки могут длительное время удерживать внимание, быть в состоянии переключать или распределять его между несколькими действиями и поддерживать довольно высокий темп работы. Поэтому уже с 6-7 классов не стоит бояться достаточно серьезно разговаривать с учениками на темы, связанные с функциональным анализом. Это наоборот будет стимулировать ожидание взросления, поможет формированию уважения к самому процессу исследования.

В подростковом возрасте происходят важные процессы, связанные с перестройкой памяти. Вследствие появления в школе многих новых учебных предметов значительно увеличивается количество информации, которую должен запоминать подросток, в том числе механически. У него возникают проблемы с памятью, и жалобы на плохую память в этом возрасте встречаются намного чаще, чем у младших школьников.

К сожалению, по существующей программе именно этот период приходится на начало введения понятия функций и сопровождающие дополнительные определения. Здесь впервые и возникает серьезное отторжение нового материала и, как следствие, блокировка его изучения в будущем. Давняя же дружба с функциями (начиная с 5-го класса) позволит пережить эти неприятные моменты менее болезненно.

Исследования памяти детей данного возраста (13-15 лет) показали, что для подростка вспоминать - значит мыслить. Его процесс запоминания сводится к мышлению, к установлению логических отношений внутри запоминаемого материала, а припоминание заключается в восстановлении материала по этим отношениям, поэтому, воспоминания о функциях 5-6 классов в 7-8 классе должны дать хорошие плоды (теоретический материал будет основываться на базе двухлетней практической работы).

Именно в подростковом возрасте появляется склонность к экспериментированию, проявляющаяся, в частности, в нежелании все принимать на веру. Подростки обнаруживают широкие познавательные интересы, связанные со стремлением все самостоятельно перепроверить, лично удостовериться в истинности. Прекрасно! Предлагайте им серию практических работ с последующим выходом на математические конференции. Ведь именно подростковый возраст отличается повышенной интеллектуальной активностью, которая стимулируется не только естественной возрастной любознательностью подростков, но и желанием развить, продемонстрировать окружающим свои способности, получить высокую оценку с их стороны. В этой связи, подростки на людях стремятся брать на себя наиболее сложные и престижные задачи, нередко проявляют не только высоко развитый интеллект, но и незаурядные способности.

Для них характерна эмоционально-отрицательная аффективная реакция на слишком простые задачи. Такие задачи их не привлекают, и они отказываются их выполнять из-за соображений престижности. А этого делать не придется. Хорошая практическая база 5-7 класса позволит уже с 8 класса погрузиться в мир абстракций функциональных зависимостей и общаться с учащимися, используя серьезные теоретические выводы, основанные на трехлетней исследовательской работе. Естественный интерес, повышенную любознательность детей данного возраста следует использовать в активном привлечении учащихся к поиску функций за рамками школьного учебника (в химии, физике, биологии, и т.д.). Если удастся в этом возрасте (14-15 лет) приступить к формированию единого восприятия мира, поиску межпредметных связей, то это поможет в последствии в становлении высоко развитых интеллектуальных личностей, видящих целостную картину процесса познания.

Вопросы, которые задает подросток взрослым детям, учителям и родителям, нередко достаточно глубоки и касаются самой сути вещей.

Подростки могут формулировать гипотезы, рассуждать предположительно, исследовать и сравнивать между собой различные альтернативы при решении одних и тех же задач. Сфера познавательных, в том числе учебных, интересов подростков выходит за пределы школы и приобретает форму познавательной самодеятельности - стремления к поиску и приобретению знаний, к формированию полезных умений и навыков. Подростки находят занятия и книги, соответствующие их интересам, способные дать интеллектуальное удовлетворение. Стремление к самообразованию - характерная особенность: и подросткового, и раннего юношеского возраста. Задача учителя, лишь поддержать воспитанника в этот период как можно большей похвалой и возвеличиванием его поисков новых решений и новых тем в области математики.

Самостоятельность мышления проявляется в независимости выбора способа поведения учителя. Подростки и особенно юноши принимают лишь то, что лично им кажется разумным, целесообразным и полезным, поэтому надо успеть за 5-7 класс (пока все принимается на веру) убедить ребенка в том, что функции действительно нужны, что мир, окружающий нас состоит из зависимостей и познать их - наша задача. Лишь тогда в старших классах появится возможность серьезно заниматься функциональным анализом, не боясь, что этот материал будет всего лишь навязан учителем.

МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ ТЕМЫ "ФУНКЦИИ" В 5-8-х классах

Перейдем к способам введения темы "Функции".

5 класс

1. Впервые функции должны появиться в теме: "Формулы"

Первый урок

Введя понятие "формулы" имеет смысл начать рассмотрение материала в следующем порядке:

а) формула периметра квадрата:

Р=4а

- Скажите, пожалуйста, ребята, что мы по этой формуле вычисляем? А что задаем?

- Что от чего зависит: периметр от длины стороны? Или наоборот?

Р(а)!

- Давайте зададим эту зависимость таблицей.

а, см

1

2

3

4

…

Р(а), см

- Какой может быть длина стороны квадрата? а>0

- Каким тогда будет периметр? Р(а) >0

- Ребята! Мы сейчас с вами познакомились с первой зависимостью, которую мы будем называть функцией.

Итак, функция - это зависимость одной величины от другой (дальнейшая конкретизация этого понятия будет чуть позже).

- А как мы с вами, используя язык математики, можем показать, что у нас есть зависимость?

(Формулой или таблицей)

- Попробуйте задать еще какую-нибудь функцию, характеризующую квадрат.

(В этот день в устный счет обязательно надо включить вычисления квадратов и кубов чисел)

б) S(a)=a² (задаются вопросы, аналогичные а)) В качестве домашнего задания предлагается приготовить рассказ о функции V(a) объем куба.

в) Остальные номера предлагаются из учебника на усмотрение учителя.

Второй урок

1. Ученик у доски готовит рассказ о V(a).

(Проверка домашнего задания)

А в это время учитель устно с классом вспоминает функции на примере формулы для вычисления длины стороны квадрата, когда периметр задается.

а(Р) = Р/4

Р, см

4

8

12

16

• • •

а(Р), см

2. Рассматриваются вопросы о существовании зависимостей в окружающем нас мире, например, высота солнца над горизонтом в зависимости от времени суток. Обращается внимание на то, что не все зависимости можно выразить формулой и назвать функцией. Например, зависимость настроения мамы от поведения ее ребенка. Следует заострить внимание учеников на том, что изучать окружающие нас зависимости и призвана математика и от того сколь хорошо удастся ученику овладеть правилами исследования функций, зависит глубина его познаний мира.

3. Дальнейшее изучение материала ведется в соответствии с учебником Виленкина.

II. Вспоминать о функциях надо до конца 5-го класса: в устном счете, при решении задач с обыкновенными, а затем десятичными дробями.

Особое внимание функциям следует уделить в конце года в период повторения. Рассматривая уже известные функции можно пытаться расширить их спектр, вводя, например, функциональные зависимости, связанные с движением. Надо приучать детей к мысли о возможности исследования этих зависимостей (что увеличивается, что уменьшается, какой может быть вводимая переменная, а какой тогда становится зависимая величина)

В зависимости от уровня развитости детей рекомендуется попробовать серию практических работ (домашних):

1. Придумай задачу, задающую функцию.

2. Запиши формулу, соответствующую этой функции.

3. Задай функцию таблицей.

4. Исследуй функцию.

Основная задача 5-го класса - подготовить ребенка к восприятию исследовательского характера понятия "функция", дать возможность почувствовать мир функций с практической стороны.

6 класс

Нельзя забывать о функциях и в 6-м классе. Уместно применить их сразу в I четверти, используя понятия четных и нечетных чисел.

а(п)=2п; Ь(п)=2п+1

Надо продолжать стимулировать пусть пока простое, но все же исследование функций. Учить ребят самостоятельно задавать вопросы друг другу по функциональным зависимостям.

Повторив известные функции в рамках тем: "Сложение, вычитание, умножение и деление обыкновенных дробей" можно вводить новые формулы, рассматривая темы: "Длина окружности и площадь круга".

C(r)=2nr; C(d)= πd; S(r)= nr²

Фигурируют функции и в теме "Прямая и обратная пропорциональность"

Р(а)==4а; v(t)=250/t;

S(t)=50t; t(v)=250/v;

Наибольший расцвет получают зависимости при появлении темы "Координатная плоскость". Здесь можно ввести графический способ задания функций. Показав на одном из уроков построение графика какой-либо функции, следует предложить ребятам серию домашних практических работ (с опорой на стенды в кабинете математики, где должны присутствовать образцы оформленных заданий, так как на уроке на это времени почти не остается).

Как только все известные функциональные зависимости будут повторены с помощью графиков, впервые можно уточнить определение понятия "функции" (каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной).

Стоит вспомнить, что не всякая зависимость является функцией.

Итогом 6-го класса должно стать осознанное знакомство учащихся с практическими задачами, сводящимися к составлению и исследованию элементарных функций школьного курса.

y=kx; y=kx+b; y=k/x; у=х²; у=х³; у=|х|;

Но пока отсутствуют абстракции вида "х" и "у" ребята рассматривают лишь части графиков предложенных функций, которые соответствуют смыслу задачи.

V(a)=a³

V(а), дм³,

а, дм

Р(а), м

7 класс

После такого рода подготовительной работы 5 и 6 класса, в 7-м ученики должны встретиться с функциями как с хорошими знакомыми:

Ребята будут готовы к введению строгого определения "функции". База практических задач даст возможность осмысленно перейти к абстрактным функциям и сопутствующим терминам - "область определения" и "область значения" функции.

7-й класс рассчитан на закрепление накопленного материала по функциям в соответствии с темами учебника.

Единственно о чем нельзя забывать - это о практических работах, связанных с зависимостями. Появляется возможность расширить прикладной характер математики, охватывая другие предметы школьного курса. Правда на этом этапе для учеников работа будет носить ознакомительный характер. Учитель сам предлагает подобранный материал и учит его обрабатывать (бесценной здесь является работа со стендами в кабинете математики).

Прекрасно если в качестве летнего домашнего задания учитель предлагает оформить доклады по темам: "История возникновения функций", "Применение функций в различных областях науки".

С этого и следует начать 8-й класс, посвятить этому первый урок алгебры.

8-й класс

Урок начинается с монолога учителя.

Невозможно побывать на всех перекрестках математики, физики, химии, биологии, находясь на которых можно познавать мир природы и объяснять происходящие процессы и явления, не все еще известны перекрестки, на которых уже побывали люди, проникающие в мир природы и накапливающие знания о ней для последующих поколений. Нет возможности охватить их все. Но я думаю, что и нет такой необходимости. Я затеяла сегодняшнюю беседу лишь с одной целью - возбудить в сознании слушателей ощущение безграничности знаний, пробудить ум и воображение, показать неоднозначность и красоту уже известных фактов...

Оставшееся время урока предлагается посвятить анализу материала, подобранного детьми за лето.

Последующее знакомство с элементами функционального анализа можно проводить четко с выбранной программой школьного курса, не забывая лишь о том, что дети уже несколько лет работают с функциями, и необходимо поддерживать их исследовательский подход к изучению нового материала, сохраняя практическую окраску каждой из новых функций.

Идеально если начиная с пятого класса у учителя есть возможность вести дополнительные занятия в форме кружковой работы, тогда можно воспользоваться предложенным планом.

Функции в рамках школьной программы.

Цели: помочь учащимся осмыслить и усвоить понятия функции на высоком теоретическом уровне; почувствовать прикладной характер математики; научиться применять элементы функционального анализа при исследовании всевозможных процессов в природе и технике.

Тематический план, 5 класс.

Наименование тем

Количество часов

Всего

Лекции

Практика

Сам. работа

1. Как возникло и развивалось понятие функции.

5

2

2

1

2. Способы задания функций: а) табличный способ

б) аналитический способ

в) графический способ

4

2

4

2

2

2

2

2

3. Знакомство с параметрами

3

1

1

1

4. Бесконечность?

1

1

5. В поисках оптимальных решений

2

2

6. Завершающие дискуссии на тему: "Что я узнал нового? На чем бы хотел остановиться в следующем году?"

1

1

Предложенный тематический план рекомендуется использовать ежегодно. Это даст возможность, двигаясь по спирали, на каждом витке углублять представление учащихся о рассматриваемом материале. Не следует забывать лишь о том, что по мере взросления учеников им придется предлагать все более серьезные задачи исследовательского характера, носящие функциональную окраску.

Тема 1. Знакомство с историей возникновения понятия функции. Рассмотрение основных этапов развития функционального анализа. Знакомство с терминами и обозначениями.

Практическое задание: составить описание самостоятельно подобранных функций.

Тема 2. Классификация способов задания функций. Отработка навыков выбора наиболее оптимального способа задания для каждой отдельно взятой функциональной зависимости. Угадывание функций по их характеристикам.

Практическое задание: подбор функций для каждого из способов задания.

Тема 3. Знакомство с понятием параметра. Поиск заданий школьного курса завуалировано сводимых, к параметрическим.

Практическое задание; самостоятельный подбор заданий, к которым можно применить теорию параметров.

Тема 4. Знакомство с понятием "бесконечность". Рассмотрение

процессов в природе и технике характеризующихся бесконечностью.

Тема 5. Знакомство с задачами на оптимизацию, на примерах решения простейших задач, с использованием понятия площади, периметра, геометрических фигур.

Выводы

Классическая педагогика прошлого утверждала - " Смертельный грех учителя - быть скучным". Когда ребенок занимается из-под палки, он доставляет учителю массу хлопот и огорчений, когда же дети занимаются с охотой, то дело идет совсем по-другому. Активизация познавательной деятельности ученика без развития его познавательного интереса не только трудна, но практически и невозможна. Вот почему в процессе обучения необходимо систематически возбуждать, развивать и укреплять познавательный интерес учащихся и как важный мотив учения, и как стойкую черту личности, и как мощное средство воспитывающего обучения, повышения его качества.

Однажды известного физика Альберта Эйнштейна спросили: "Как делаются открытия?" Эйнштейн ответил: "А так: все знают, что вот этого нельзя. И вдруг появляется такой человек, который не знает, что этого нельзя. Он и делает открытие". Конечно, это была лишь шутка. Но все же, вероятно, Эйнштейн вкладывал в нее глубокий смысл. Может быть, он намекал в том числе и на собственное открытие более правильной и точной картины мироздания, изложенное им в знаменитой теории относительности. Может быть, он из озорства гения высказал серьезную мысль в шутливой форме. Дело не в том, чтобы "не знать". Знать надо! А дело в том, чтобы "сомневаться", не брать на веру все, чему учили деды. И вдруг появляется человек, которого не останавливает инерция привычных представлений. Вот он и делает открытие.

Задача каждого педагога и заключается в том, чтобы провоцировать ситуации сомнения в душе будущих гениев.

В приложении я попыталась собрать материал, который позволит несколько выйти за рамки стандартного преподавания математики.

п р и л о ж е н и я

Задание № 1

Используя таблицу зависимости двух величин подобрать формулу зависимости.

x

-1

0

1

3

4

5

y

-2

0

2

6

8

10

Ответ:

x

-2

0

2

4

5

10

y

1

3

5

7

8

13

Ответ:

x

-2

-1

0

1

2

3

y

4

1

0

1

4

9

Ответ:

Задание № 2

Волосы на голове у человека растут примерно со скоростью 0,4 мм в сутки. Через сколько дней длина волос у мальчика достигнет 5 см, если считать, что их первоначальная длина была 3 см. Какой будет длина волос у этого мальчика через пять дней (формула l = 30 +0,4t, где l - длина в миллиметрах, t - количество дней.

Турист проехал от города 10 км на автобусе, а затем двигался равномерно, продолжая движение в том же направлении со скоростью 4 км/ч, шел пешком.

а) Записать формулу линейной зависимости проделанного пути от города S (в км) от времени движения туриста t (в часах).

(ответ: S = 10 + 4t)

б) Найти значение одной переменной в зависимости от значения другой.

Таблица 1

t

0,5

Таблица 3

t

1,5

S

20

S

12

Таблица 2

t

0,8

Таблица 4

t

1,2

S

15

S

18

Задание № 3

Используя график зависимости веса M, г рыбки от массы корма m, г ответьте на вопросы.

1. Является ли функция M(m) линейной?

2. Какой вес будет иметь рыбка, поедающая 15 г сухого корма, и рыбка, поедающая 15 г живого корма?

3. Сделать вывод о зависимости M(m)? Одинакова ли эта зависимость для рыбки на сухом корме и рыбки на живом корме?

Задание № 4

Используя определение линейной функции построить график, который описывает следующий процесс:

В середине марта на дереве начинают появляться первые листочки и уже к июню количество листьев на нем достигает 200 штук. С середины августа дерево начинает готовиться к зиме и уже к середине октября на дереве не остается ни одного листа.

Результат работы должен выглядеть так:

Приложение 1

Знакомство с параметром

Известно, что в программах по математике для неспециализированных школ этим задачам отводится незначительное место. Поэтому, в первую очередь, укажем разделы общеобразовательной математики, в которых 'вообще присутствует сама идея параметра.

Так, с параметрами учащиеся встречаются при введении некоторых понятий. Не приводя подробных определений, рассмотрим в качестве примеров следующие объекты:

1. функция прямая пропорциональность: у = kx (x и у - переменные; k - параметр, k 0);

2. линейная функция: у = kx+b (x и у - переменные; k и
   Ь - параметры);

3. линейное уравнение: ах + Ь = О (х - переменная, a и b - параметры);

• уравнение первой степени: ах + Ь = 0 (х - переменная; а и Ь - параметры, а 0);

• квадратное уравнение: ах² + bx + c = 0 (x - переменная, а, Ь и с - параметры, а0), и т.д.

К задачам с параметрами, рассматриваемым в школьном курсе, можно отнести, например, поиск решений линейных и квадратных уравнений в общем виде, исследование количества их корней в зависимости от значений параметров.

Естественно, такой небольшой класс задач многим не позволяет усвоить главное: параметр, будучи фиксированным, но неизвестным числом, имеет как бы двойственную природу. Во-первых, предполагаемая известность позволяет «общаться» с параметром как с числом, а во-вторых, - степень свободы общения ограничивается его неизвестностью. Так, деление на выражение, содержащее параметр, извлечение корня четной степени из подобных выражении требуют предварительных исследований. Как правило, результаты этих исследований влияют и на решение, и на ответ.

Основное, что нужно усвоить при первом знакомстве с параметром, - это необходимость осторожного, даже, если хотите, деликатного обращения с фиксированным, но неизвестным числом.

Поэтому знакомство с параметрами стоит начинать прямо с 5-го класса, как только по изложенной ранее методике, вводится понятие функций. Хотя не навязчиво появиться параметр может и в начале 5-го класса при устном счете:

вычислить (36-18*2):(3919-46*5), а если

(36-18*2):(110243+123*13), а если

(36-18*2):(19929785+159*999), а если

(36-18*2):(99888-99888*1), а если

(36-18*2):а ?

Какое выражение получится?

Какое может быть "а"?

Повторяя подобные серии выражений несколько уроков, можно добиться первоначального осмысления понятия параметра, после чего путем дальнейших тренировок попытаться удержать в сознании ребенка разницу между понятием "переменная" и "параметр". Легче всего это демонстрировать практически при рассмотрении серии параметров линейных функций и функций прямой пропорциональности, но это уже 6-ой класс.

А в 5-ом классе можно предложить подобные задания:

1. Решить уравнение ах=1

Если а=0, то нет решений.

Если а 0, то х=.

2. ах=b

Если , то х - любое число.

Если , то нет решений.

Если а, то .

3. ах=0

Если подобные задания дублировать в течение года, то желаемое представление о закодированном числе уложится в сознании ребенка, тогда в 6-ом классе параметрам легче будет "всплыть" в теме "модуль числа".

Предлагаемые задания:

1. ах=а²

при каких а уравнение равносильно неравенству ?

• При а уравнение имеет единственное решение, а неравенство - бесконечно много.

• Если а=0, то решением как уравнения, так и неравенства является все множество действительных чисел, поэтому ответ: а=0.

2)

Если а<0, то решений нет;

Если а0, то х=а

3)

Если а0, то х=а

Если а>0, то решений нет.

4) ²

Если а=0, то х=0

Если а, то решений нет

5)

Если а=0, то х=0

Если а, то решений нет

6) Решить уравнение: ²=0

Если а=0, то х=3

Если а, - +

3

- +

₀

В 6-ом классе надо очень серьезно поработать в теме "Координатная плоскость" над функцией прямой пропорциональности.

y=kx (x; y - переменные, k - параметр, k)

Если параметр k положителен, то <90⁰

Если параметр k отрицателен, то 90⁰< <180⁰

Надо дать возможность детям почувствовать, что с помощью параметра мы можем задавать целое множество функций, объединяющихся по определенным признакам.

Аналогично надо работать и с линейной функцией y=kx+b

(x; y - переменные, k и b - параметры).

В 7-ом классе в теме "Уравнения, содержащие переменную в знаменателе" можно начать с уравнения: (а² -1)х = а+1

Если а =1, то 0х = 2 и нет решений

Если а = -1, то 0х = 0 и х - любое число

Если а, то

Как только рассмотрены, согласно программе, уравнения с переменной в знаменателе, можно попробовать порешать подобные задания:

1) Решить уравнение:

Если а, то х=0

Если а=1, то решений нет

2)

Если а=0, то х<0 или х>0?

Если а=2, то решений нет

Если а, а, то х=а

3)

Если а=-2, то решений нет

Если а, то х=2

4)

Если а, то х=а

5)

Если а=0, то решений нет

Если а, то х=-2а

6)

Если а=0, то х<2 или х >2

Если а=2, то решений нет

Если аи а, то х=а

В теме сравнение чисел можно рассмотреть задания:

1. Сравнить - а и 3а

Если a< 0, то -а> 3a

Если a= 0, то -а= 3a

Если a> 0, то -а< 3a

После отработки темы ""Неравенства с одной переменной" можно перейти к заданиям вида:

1. Решить неравенство: ах < 1

a < 0, то x >

а = 0, то х - любое число

a > 0, то x <

2. Решить неравенство:

а 0, то х - любое число

а = 0, то х < -3 или x > -3

3. При каких а неравенство 2x + a > 0 является следствием неравенства x + 1 - 3a > 0?

x > - и x > 3a - 1

Учитывая условие, отметим, что множество решений неравенства x > - должно содержать множество решений неравенства x > 3a - 1. Это требование выполняется, если

- 3a - 1, т.е. .

4. При каких а неравенство x > a является следствием неравенства

Нетрудно догадаться, что a > 0 не подходит. Действительно, при a > 0 рассматриваемые неравенства не имеют ни одного общего решения. При неравенство не имеет решений. А это нас устраивает, так как неравенство x > a, играющее роль неравенства следствия, имеет решение. Ответ:

5. x(x-a)<0

a < 0, то a < x < 0

a = 0, решений нет

a > 0, то 0 < x < a

6) (x - a)(x - 2a) < 0

a < 0, то 2a < x < a

a = 0, решений нет

a > 0, то a < x < 2a

7)

a > 0, то 2 - a < x a + 2

a 0, решений нет

8)

a > 0, то x = 0 или x -a

a 0, то x - a

9)

a < 0, то a < x < 0 или x > 0

a 0, то x > a

10)

a < 1, то x = 0 или x 0

a 1, то x 1

11)

a > -2, -a < x < 2 или x < -a

a -2, то x < 2

12) При каких а система не имеет решений?

Ответ:

13) При каких а система имеет единственной решение

Ответ: а = -2

14) При каких а существует ровно 3 целых числа, являющихся решением системы неравенств .

Ответ: 4 <

15) При каких а решением системы является промежуток:

а) (3; )

б) (5; )

Ответ: а)

б)

16) При каких а неравенство 2х - а > 0 является следствием неравенства х + 2а - 3 > 0

Ответ:

17) При каких а из неравенства 0 < x < 1 следует неравенство x² - a² ≤ 0?

Ответ: а ≤ -1 или а ≥ 1

18) При каких а большее из двух чисел равно квадрату меньшего?

5а - 1 и

а = 1 или

При изучении темы "Квадратные корни и квадратные уравнения" следует поработать над серией заданий:

1)

При a ≠0 второе уравнение системы, а значит и сама система, имеет единственное решение: х = 1.

При а = 0 второе уравнение имеет х - любое число, значит система имеет два решения: х₁ = 1 и х₂ = -1

Ответ: а 0, х = 1

а = 0, х = 1

2) При каких а уравнение имеет единственное решение

1. а = 2 нет решений

2. а 2, то данное уравнение - квадратное и, казалось бы, искомые значения параметра - это корни дискриминанта. Один дискриминант обращается в нуль при а = 2 или а = 5. Поскольку мы установили, что а = 2 не подходит, то

Ответ: а = 5

3. При каких а уравнение ах² - 4х + а + 3 = 0 имеет более одного корня?

При а = 0 корень единственный.

При а 0 Д = … = 16 - 4а - 12а > 0

-4 < a < 1

Ответ:

4. При каких а уравнение имеет единственное решение?

1. Д = а² - 4; Д = 0 если а = 2

2. х₁ = -3 - корень уравнения х² - ах + 1 = 0 при а = - 10/3, х₂ -3

Ответ: а = 2, или а = - 10/3

5. При каких а уравнения х² - а = 0 и - а = 0 равносильны?

1. При а > 0 первое уравнение имеет два различных корня, а второе - только один, равносильности нет.

2. При а = 0 решения совпадают.

3. а < 0 - оба уравнения не имеют решений.

Ответ: а ≤ 0

6) При каких а уравнение ах = а² равносильно неравенству ?

Ответ: а = 0

7)

а = -7 или а = 7, то решений нет

а ≠ ± 7, х = 7

8)

а = 1 или а = 3, решений нет

а ≠ 1 и, а ≠ 3, то х = а

9)

Если а = 1, то х = 3

а = 3, то х = 1

а ≠ 1, а ≠ 3, то х = 1 или х = 3

10) При каких а уравнение (а + 4)х² + 6х - 1 = 0 имеет единственный корень?

Ответ: а = -4 или а = -13

При каких а уравнение имеет более одного корня

а) (а + 6)х² - 8х + а = 0

б) а(2а + 4)х² - (а + 2)х - 5а - 10 = 0

Ответ: а) -8 < a < -6 или -6 < a < 2

б) а ≠ -2 или < a < 0 или а > 0

Квадратные корни (8-й класс)

1) Решить уравнение ;

Ответ: а = 1, то х = 1

a > 1, то x = a

a < 1, то x = 1; x = a

2) При каких а уравнение имеет единственное решение?

3) При каких а уравнения и равносильны?

4)

1. a < 0; решений нет

2. a ≥ 0; ;

5)

1. a > 0; решений нет

2. a ≤ 0; то х = а²

6)

Ответ: a = 0, то x ≥ 0;

a ≠ 0, то x = 0

7)

Ответ: a ≤ 1, то x = 1

a > 1, то

8)

Ответ: a ≤ 1, решений нет

a > 1, то x = a

9)

Ответ: a ≤ -1, то x = -a

a > -1, то

10)

Ответ: a ≤ -1, то решений нет

a > -1, то x = 1

11)

Ответ: a ≤ 0, x = 0

a > 0, x = a

12)

Ответ: a < -1, то

-1 < a < 1, x = a

x = 1

a ≥ 0, x = a

13) log₂ x = 0

14)

Приложение 2

ИГРА "МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ДОМИНО"

Цель игры:

образовательная - повторить пройденный материал в нестандартной форме;

развивающая - развить умение выявлять закономерности и обобщать их;

воспитательная - воспитывать внимание и навыки групповой работы.

Математическое домино предполагает работу с магнитной доской, к которой вызываются четыре ученика. Они разбирают карточки, лежащие на столе по группам:

1. название функции;

2. график функции;

3. формула, задающая функцию;

4. область определения и область значения функции.

Каждый становиться обладателем всех карточек какой-то из групп, после чего, начинается игра по схеме (необходимо сделать цепочку, по крайней мере, из двух функций).

График

График

График

График

График

График

График

График

График

Квадратич-ная функция

Линейная функция

График

Название

Название

Корень

Обратная пропорцио-нальность

Кубическая функция

Название

Название

Название

Модуль

Синус

Косинус

Название

Название

Название

Котангенснс

Тангенс

Формула

Название

Название

Формула

Формула

Формула

Формула

Формула

Формула

Формула

Формула

Формула

Область определения

Область определения

Область определения

Область определения

Область определения

Область определения

Область определения

Область определения

Область определения

Область определения

Приложение 3

ПРОГРАММА ПРЕПОДАВАНИЯ ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА

ПО МАТЕМАТИКЕ

НАЙДИ ИДЕЮ

Пояснительная записка

Главной целью предлагаемого курса является знакомство учащихся с современной теорией решения изобретательских задач (ТРИЗ). Особое внимание сосредоточено на центральном этапе творческого процесса - анализе задачи и формировании новой идеи, поначалу кажущейся невероятной. Рассматриваются различные алгоритмы решения нестандартных задач, механизмы преодоления психологических барьеров, закономерности развития технических систем. Все этапы развития творческого процесса проиллюстрированы многочисленными примерами и задачами, основанными на использовании различных способов функционального анализа рассмотренных в рамках школьной программы.

Решение практических задач по алгебре и началам анализа.

Содержание раздела

Тема

Количество часов раздела

Кол-во учебных часов

теория

практика

1. Введение в теорию решения изобретательских задач

1

1

2. В поисках оптимальных решений

Задачи на оптимизацию

1

1

Оптимальная скорость

1

1

Балка наибольшей прочности

1

1

Прогиб балки

1

1

Сосредоточенная нагрузка

1

1

3. Законы органического роста и выравнивания

Стремительное размножение, геометрическая прогрессия

1

1

От сложных процессов до показательной функции

1

1

Радиоактивный распад

1

1

Трос равного сопротивления разрыву

1

1

Дифференциальное уравнение органического роста

1

1

Разветвленные цепные реакции

1

1

3. Законы органического роста и выравнивания

Исследование уравнения размножения нейтронов

1

1

Процессы выравнивания

1

1

Показательная функция и биология

1

1

Закон Циолковского

1

1

Музыка и логарифмы

1

1

Логарифмы и ощущения

1

1

Полярные координаты

1

1

Логарифмическая спираль в природе и технике

1

1

Цепная линия

1

1

4. Математика колебаний

Периодические процессы и колебания

1

1

Числовые характеристики колебательных процессов

1

1

Гармоничные колебания

1

1

Сложение колебаний

1

1

Биения

1

1

Кривошипно-шатунный механизм

1

1

Спектральный анализ колебаний

1

1

Спектральный анализ функций

1

1

Практические применения спектрального анализа

1

1

5. Гармонические колебания и восстанавливающая сила

Дифференциальное уравнение гармоничных колебаний

1

1

Моделирование

1

1

Конформные отображения и комплексное число

1

1

Гидродинамика и упругость

1

1

Новые функции

1

1

ИТОГО

35

1

34

Приложение 4

ПланЫ уроков (6-7 КЛАССЫ)

Графики

"В научном мышлении всегда присутствует элемент поэзии.
Настоящая наука и настоящая музыка требуют
однородного мыслительного процесса".

А. Эйнштейн.

Цели урока:

• образовательная - повторить пройденный материал, научить учащихся читать графики и работать по ним на примере литературного материала.

• развивающая - развить умения выявлять закономерности, обобщать, развить навыки устного счета.

• воспитательная - воспитать внимание, творческое серьезное отношение к учебному труду.

Оборудование: плакаты, таблицы.

План урока:

Постановка цели урока - 2 мин
Математическая разминка - 6 мин
Повторение пройденного материала - 5 мин
Объяснение нового материала - 5 мин
Закрепление материала - 9 мин
Проверочная работа - 9 мин
Проверка результатов и подведение итогов урока - 4 мин

ХОД УРОКА

I. Постановка цели.

II. Математическая разминка.

1. Устное решение задач.

а) В ознаменование окончания учебного года каждый ученик сажает около школы дерево. Сколько деревьев уже посадил перешедший наконец в 7 класс Пупырышкин Паша, если в первых четырех классах он сидел по 2 года, а в двух следующих - по 3 года? [Ответ. 14 деревьев.]

б) Во время сильного дождя на остановке автобуса стояли 12 человек. Подкатил автобус и забрызгал грязью пятерых. Остальные успели попрыгать в колючие кусты. Сколько исцарапанных пассажиров поедет в автобусе, если трое так и не смогли выбраться из колючих кустов? [Ответ. 4 человека.]

в) Петру Петровичу каждую ночь является привидение. Ровно в полночь оно встает из могилы и бредет от кладбища к дому Петра Петровича со скоростью 5 км/ч. 2 часа привидение жутко воет под окном Петра Петровича, а потом с той же скоростью бредет обратно на кладбище. В 6 часов утра привидение ложится в свою могилу. Узнай расстояние от кладбища до дома Петра Петровича. [Ответ. 10 км]

2. Математическая загадка.

Задуманы два числа. Одно в 3 раза больше другого, а их сумма равна 100. Какие числа задуманы? [Ответ. 25 и 75.]

3. Математический фокус.

Задумайте число. Прибавьте к нему 12, затем вычтите 7. К результату прибавьте 8. Скажите, сколько получилось, а я скажу, какое число вы задумали. [Ответ. Х+12-7+8 = х+13. Чтобы узнать задуманное число надо из результата вычесть число 13.]

III. Повторение пройденного материала.

1. Какая прямая называется координатной? Ответ. Прямая, с заданным началом отсчета, единичным отрезком и положительным направлением называется координатной.

2. Какая плоскость называется координатной? Ответ. Плоскость, на которой выбрана система координат, т.е. две перпендикулярные координатные прямые Ох и Оу, которые пересекаются в начале отсчета - точке О, называется координатной.

3. Как называется координаты точки в координатной плоскости? Ответ. Абсцисса и ордината точки.

4. Можно ли в записи переставлять местами координаты точки? Ответ. Нельзя.

5. Какие знаки имеют координаты точки по четвертям? Ответ.

IV. Объяснение нового материала.

1. Рассмотреть график суточного колебания температуры воздуха.

2. Сделать вывод, что график - это линия, изображающая зависимость между величинами. Линия на координатной плоскости!

3. Закрепление материала: Решить №№ 532, 533, 534 из учебника Н.Я. Виленкина "Математика - 6".

V. Проверочная работа по таблицам.

Все вы знаете роман - сказку известного детского писателя Николая Носова "Приключение Незнайки и его друзей". Вспомним фрагмент, когда коротышки из Цветочного города отправились в воздушное путешествие на шаре. Чтобы изобразить зависимость между временем полета и расстоянием, временем полета и высотой полета воздушного шара, между временем и температурой воздуха на борту, создадим математическую модель путешествия. Для этого введем математические данные:

10 ч утра - начало полета,

20 ч вечера - конец путешествия,

максимальная высота подъема - 3500 м,

максимальное удаление - 150 км,

температура воздуха в момент взлета - +20 С^°.

Ответьте на следующие вопросы:

1. Как менялась температура воздуха на борту шара в первый час полета?

2. С какой скоростью поднимался шар вначале и на какое расстояние он отлетел от Цветочного города в первый час полета?

3. В какое время, с какой высоты и на каком расстоянии от Цветочного города Знайка спрыгнул с воздушного шара?

4. Какое время показывали часы, и какую температуру показывал термометр, когда коротышки находились на расстоянии 110 км от места старта?

5. На какой высоте они летели в это время?

6. С какой скоростью летел шар последние полчаса?

7. В какое время термометр показывал +8 С^°?

8. На каком расстоянии от Цветочного города упал воздушный шар?

VI. Проверка результатов и подведение итогов урока.

Используемая литература:

1. Математика - 6. Учебник. Н.Я. Виленкин, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. М., 1996.

2. Г. Остер. Задачник. М., 1992.

3. Математика - 5. Учебник - собеседник. Л.Н. Шеврин. М., 1992

4. Н. Носов. Приключение Незнайки и его друзей. М., 1992.

Решение практических задач и линейная функция

Уважаемые коллеги! Я предлагаю вашему вниманию проект открытого урока в 7 классе по теме "Решение практических задач и линейная функция". Этот урок, являясь одним из последних уроков в изучаемой теме, должен выполнить задачи повторения и обобщения, закрепления и систематизации.

Этот урок актуален по нескольким причинам:

а) содержательный аспект: значимость содержания, его проблематичность максимально приближают учащихся в изучении данной темы к жизненным ситуациям, показывают насколько часто применяется в жизни и науках данная тема.

б) Именно это содержание позволяет реализовать комплекс педагогических целей (обучения, развития, воспитания) и продемонстрировать ход и результаты этой реализации.

- задачами обучения на данном уроке будут формирование твердых учебных навыков построения и чтения графиков линейных функций, нахождения значений одной переменной по заданному значению другой, усвоение всеми учащимися стандартного минимума фактических знаний по данной теме; формирование новых надпредметных умений, а упражнение в применении и совершенствовании уже знакомых школьникам надпредметных умений таких как обобщение путем сравнения, постановка проблемы, сопоставление различных явлений, определения сходства и нахождение прочих различий.

- задачи развития: развитие способности к абстрагированию, выдвижению гипотез, развитие вербальной и образной памяти, творческого воображения, ясности, правильности речи.

- задачи воспитания: формирование эмоционально-личностного отношения учащихся к выражению математических понятий; формирование целостного восприятия общей картины мира.

в) Адекватность урока возрастным особенностям школьников, построение системы учебных мотивов.

г) Учет индивидуальных особенностей учащихся класса / различий по доминанте функциональной асимметрии полушарий головного мозга, каналам восприятия; темпераменту во владении надпредметными способами учебной деятельности.

Т.в. на уроке создается такая среда, которая будет регулировать критическое мышление, усиливать развитие умений слушать и прислушиваться к мнению других, вести конструктивный диалог, ценить мнение другого, менять свое мнение, если оно ошибочно, не конфликтовать, приходить к согласию в интересах общего дела.

Содержание учебного материала, формулирование надпредметных способов учебной деятельности, обучение навыкам диалогового мышления обеспечивают достижение конечного результата урока - развитие эрудиции, коммуникативной культуры и толератного поведения учащихся.

Ход урока

1. Организационный момент.

2. Повторение (актуализация базовых знаний)

а) Вопросы к учащимся:

1) Сформулировать определение функции.

2) Сформулировать определение линейной функции.

3) Какая зависимость называется прямой пропорциональностью?

4) Является ли прямая пропорциональность линейной функцией?

5) Каким образом можно задать линейную функцию?

(Дети называют в основном три способа задания линейной функции:

1 - формулой; 2 - таблицей; 3 - графиком).

б) Учащимся предлагаются следующие задания:

I. Из ряда формул выбрать те, которые задают линейную функцию и прямую пропорциональность. Результат работы оформить следующим образом:

Задание выполняется учащимися на местах; двое учащихся выполняют это задание у доски; подчеркивают в таблице функцию, которая будет прямой пропорциональностью. Класс сверяет выполненное задание с доской, ставя + карандашом на полях.

Список формул: y² - 6x - 10; y = - x; y = x²; y = x² + 4; y = x (x + 12); y = x² + 4; y = 8; y = 2/3x;

y = 3/5x -1/3; y = 1,7x; y = 5x/7; y = 14 - x; y = 6/x; y = 12x/3 + 4.

II. Используя таблицу зависимости двух величин подобрать формулу зависимости.

Это задание выполняется по рядам (каждому ряду предлагается своя таблица) результаты своей работы учащиеся поясняют, упоминая при этом, получилась у них линейная функция или нет.

I ряд

II ряд

III ряд

III. Ответьте на вопрос, какие из построенных графиков являются графиками линейной функции, сколько точек достаточно для того, чтобы построить график линейной функции и почему?

Рисунок 1

3. Отработка материала

Учитель:

Линейная функциональная зависимость часто используется в жизни для описания различных процессов во многих науках. Сегодня мы с вами будем рассматривать случаи применения такой зависимости в физике, биологии и медицине.

Класс делится на 6 групп

1 2 3

средние и слабые учащиеся

группа физиков

группа биологов

группа медиков

4 5 6

сильные учащиеся

группа физиков

группа биологов

группа медиков

Задания:

Для группы 1:

Скорость распространения звука в воздухе в зависимости от температуры может быть найдена по формуле:

v = 331 +0,6t, где v - скорость (в м/с), t - температура (в ^oC). Найдите с какой скоростью распространяется звук в зимний день с температурой -35 ^oC и в летний день с температурой +30 ^oC.

Для группы 2:

Численность зубров в заповеднике может быть найдена по формуле:

y = 50 +3t, где y - количество особей, а t - время (в годах). Найдите сколько особей будет в данном заповеднике через 3 года. Через сколько лет в этом заповеднике особей будет 65 штук?

Для группы 3:

Волосы на голове у человека растут примерно со скоростью 0,4 мм в сутки. Через сколько дней длина волос у мальчика достигнет 5 см, если считать, что их первоначальная длина была 3 см. Какой будет длина волос у этого мальчика через пять дней (формула l = 30 +0,4t, где l - длина в миллиметрах, t - количество дней.

Для группы 4:

Турист проехал от города 10 км на автобусе, а затем двигался равномерно, продолжая движение в том же направлении со скоростью 4 км/ч, шел пешком.

а) Записать формулу линейной зависимости проделанного пути от города S (в км) от времени движения туриста t (в часах).

(ответ: S = 10 + 4t)

б) Найти значение одной переменной в зависимости от значения другой.

Таблица 1

t

0,5

Таблица 3

t

1,5

S

20

S

12

Таблица 2

t

0,8

Таблица 4

t

1,2

S

15

S

18

Для группы 5:

Перед тем как высадить растения в теплицу необходимо довести t воздуха в ней до 25 ^oC

а) Записать формулу, выражающую изменение температуры T ^oC в теплице в зависимости от времени t (в минутах) от нагревания, если при нагревании воздуха в теплице каждую минуту температура повышалась на 1,5 ^oC, а первоначальная температура в теплице была 8 ^oC.

б) Найти значение одной переменной в зависимости от значения другой.

Таблица 1

t

12

Таблица 3

t

10

T

23

T

17

Таблица 2

t

6

Таблица 4

t

5

T

14

T

20

Для группы 6:

Медиками установлено, что для нормального развития ребенок или подросток, которому T лет, (T < 18) должен спать t часов в сутки.

а) Задайте формулой зависимость продолжительности сна t (часах) от возраста человека (лет), если известно, что после рождения ребенок должен спать не менее 17 часов в сутки, уменьшая продолжительность сна на половину своего возраста.

(t = 17 - T/2)

б) Найти значение одной переменной в зависимости от значения другой.

Таблица 1

T

1

Таблица 3

T

5

t

9

t

11

Таблица 2

T

3

Таблица 4

T

7

t

10

t

12

Запись формулы функциональной зависимости ведется группами 4, 5, 6 сообща, работа по таблице индивидуальна, для этого и предлагается несколько вариантов.

4. Практические работы:

Учитель:

Каждый график дает наглядное представление о зависимости между величинами, описывает различные процессы. На практике часто используются приборы для автоматической регистрации того или иного процесса. Эти приборы вычерчивают графики соответствующих функциональных зависимостей. Каждый ученый умеет не только "читать" построенные приборами графики, но и строить эти графики самостоятельно, без использования приборов. Предлагаю каждому из вас "примерить" на себя роль ученых и выполнить две практические работы. Одна работа покажет насколько вы умело, читаете графики, вторая - как вы строите графики зависимостей.

Практическая работа №1 для группы 1

Используя график зависимости массы m воды и льда от V ответить на вопросы.

1. Является ли функция m(V) линейной?

2. Какой объем занимают лед и вода, если они имеют одинаковую массу, равную 500 г.?

3. Сделать вывод о зависимости m(V)? Одинаковы ли эти зависимости для разных веществ?

Чертеж к задаче

Рисунок 2

Практическая работа №1 для группы 2

Используя график зависимости веса M, г рыбки от массы корма m, г ответьте на вопросы.

4. Является ли функция M(m) линейной?

5. Какой вес будет иметь рыбка, поедающая 15 г сухого корма, и рыбка, поедающая 15 г живого корма?

6. Сделать вывод о зависимости M(m)? Одинакова ли эта зависимость для рыбки на сухом корме и рыбки на живом корме?

Рисунок 3

Практическая работа №1 для группы 3

Используя график зависимости повышения гемоглобина от массы, г употребления в пищу яблок или гранатового сока, ответить на вопросы:

1. На сколько поднимется гемоглобин в крови у человека, употребляющего в пищу 600 гр. яблок или 600 гр. гранатового сока?

2. Что обозначает общая точка графиков?

3. Сделать вывод о зависимости гемоглобина от массы употребляемого в пищу продукта. Одинакова ли эта зависимость для яблок и для гранатового сока?

Рисунок 4

Практическая работа №1 для группы 4

Автомобили A₁ и A₂ выезжают одновременно навстречу друг другу. По заданному графику движения автомобилей. Найти:

1. время от начала движения до встречи автомобилей;

2. путь, пройденный каждым автомобилем до их встречи;

3. скорость движения каждого автомобиля.

Рисунок 5

Практическая работа №1 для группы 5

Рисунок 6

Ученые наблюдают за количеством бактерий в двух водоемах I и II. I-водоем молодой, II-старый на рисунке представлены графики зависимостей общего числа бактерий (в тыс. (мл.)) от месяца наблюдения. Используя графики ответить на вопросы:

1. На каком этапе исследования количество бактерий в водоемах будет одинаковым?

2. Изменение количества бактерий в каждом водоеме.

3. Через сколько месяцев в каждом водоеме количество бактерий будет равно 10 тыс/мл.

Практическая работа №1 для группы 6

Рисунок 7

На чертеже два графика I график показывает зависимость количества бактерий от дня использования антибиотиков, II график - зависимость количества бактерий от дня заболевания (без использования лекарственных средств).

Глядя на графики ответить на вопросы:

1. В какой день количество бактерий у обоих заболевших будет одинаковым?

2. Определить скорость изменения количества бактерий у каждого заболевшего.

3. На какой день количество бактерий у заболевших будет равно 150 тыс. экземпляров.

Чертежи графиков имеются на партах и нарисованы на доске. Работа ведется в группах, после обсуждения каждая группа записывает свои ответы на специальном бланке, бланки вывешивают на доску.

Так как первые три чертежа похожи друг на друга, класс делает один вывод для трех чертежей. Вторые три чертежа также похожи друг на друга, класс делает один вывод для этих трех чертежей.

Вопросы для выводов: Описать процессы, изображенные графиками.

Для выполнения практической работы №2 состав в группах следует поменять (пересадить детей так, чтобы каждая группа состояла из сильных, средних и слабых учащихся).

Первые две группы физиков получают задания:

Используя определение линейной функции, построить график, который описывает следующий процесс: бак объемом 14 литров заполнили водой за пять минут, затем кран закрылся, и через четыре минуты из дна вытащили пробку, бак оказался пустым за три минуты.

(результат работы должен выглядеть так: Рисунок 8)

Две группы биологов получают задание:

Используя определение линейной функции построить график, который описывает следующий процесс:

В середине марта на дереве начинают появляться первые листочки и уже к июню количество листьев на нем достигает 200 штук. С середины августа дерево начинает готовиться к зиме и уже к середине октября на дереве не остается ни одного листа.

(результат работы должен выглядеть так:

Рисунок 9)

Две группы медиков получают задание:

Используя определение линейной функции построить график, который описывает следующий процесс: в зимние месяцы люди начинают болеть гриппом, процент заболевших людей достигает 70% на 10 день эпидемии. Количество заболевших начинает снижаться на 20 день эпидемии и уже на 28 день составляет 10% населения.

(результат работы должен выглядеть так: Рисунок 10)

Результаты работы оформляются на больших листах, которые потом вывешивают на доску. Ребята делают выводы.

Вопросы к выводу:

1. Из скольких частей состоит график каждого процесса?

2. Что происходит с функцией на первом этапе?

3. Что происходит с функцией на втором этапе?

4. Что происходит с функцией на третьем этапе?

5. Подведение итогов урока.

1. На сегодняшнем уроке мы с вами посмотрели на конкретных примерах, как используется определение и график линейной функции в решении практических задач.

2. Какие виды задач мы с вами умеем решать?

3. Д/З: №364, 326 учебник Алгебра 7 под редакцией С.А. Теляковского. Чтобы справиться с домашним заданием, вам пригодится то, о чем шла речь на сегодняшнем уроке.

Содержание

Стр.

Введение……………………………………………………………………

1

Научное обоснование проблемы ……………………………………..…

2

Методика преподавания темы "Функции" в 5-8 классах…………...……

5

Функции в рамках школьной программы (5 класс)……………..………

10

Приложения…………………………………………………………..……..

12

1. Знакомство с параметром…………………………………………..……

14

2. Математическое домино…………………………………………….…..

26

3. Программа преподавания элективного курса по математике (10-11 класс)………………………………………………………………………..

31

4. План-конспекты уроков…………………..……………………………..

34

Список литературы………………………………………………………

51

Список литературы

1. Виленкин Н. Я. "Функции в природе и технике". - Москва, изд. "Просвещение", 1978.

2. Альтшуллер Г. С. "Найди идею". - Новосибирск, изд. Наука, 1986.

3. Горнштейн П. И., Полонский В. В., Якир М. С. "Задачи с параметрами". - Москва, "Илекса", 2003.

4. Самоукина В. Н. "Игры в школе и дома". - Москва 1993.

5. Ратанова Т. А., Шляхта Н. Ф. "Психологические методы изучения личности". - Москва, 2000.

6. Фридман Л. М. "Психология детей и подростков". - Москва, 2003.