- Преподавателю
- Математика
- Методы решения задач с параметрами
Методы решения задач с параметрами
Раздел | Математика |
Класс | - |
Тип | Другие методич. материалы |
Автор | Царева Н.Г. |
Дата | 03.01.2015 |
Формат | doc |
Изображения | Есть |
МКОУ «Лодейнопольская средняя общеобразовательная школа № 68»
_________________________________________________________________________________________________________________________________
Выступление на заседании МО
Методы решения задач
с параметрами
Прокушева Наталья Геннадьевна
г. Лодейное Поле
2013-2014
Задачи с параметрами
Задачи с параметрами относятся к наиболее сложным из задач, предлагающихся как на Едином государственном экзамене, так и на дополнительных конкурсных экзаменах в ВУЗы.
Они играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры. Затруднения, возникающие при их решении связаны с тем, что каждая задача с параметрами представляет собой целый класс обычных задач, для каждой из которых должно быть получено решение.
Если в уравнении (неравенстве) некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а уравнение (неравенство) параметрическим.
Как правило, неизвестные обозначаются последними буквами латинского алфавита: x, y, z, …, а параметры - первыми: a, b, c, …
Решить уравнение (неравенство) с параметрами - значит указать, при каких значениях параметров существуют решения и каковы они. Два уравнения (неравенства), содержащие одни и те же параметры, называются равносильными, если:
а) они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров;
б) каждое решение первого уравнения (неравенства) является решением второго и наоборот.
Естественно, такой небольшой класс задач многим не позволяет усвоить главное: параметр, будучи фиксированным, но неизвестным числом, имеет как бы двойственную природу. Во-первых, предполагаемая известность позволяет «общаться» с параметром как с числом, а во-вторых, - степень свободы общения ограничивается его неизвестностью. Так, деление на выражение, содержащее параметр, извлечение корня четной степени из подобных выражений требуют предварительных исследований. Как правило, результаты этих исследований влияют и на решение, и на ответ.
Как начинать решать такие задачи? Не надо бояться задач с параметрами. Прежде всего, надо сделать то, что делается при решении любого уравнения или неравенства- привести заданное уравнение ( неравенство) к более простому виду, если это возможно: разложить рациональное выражение на множители, разложить тригонометрический многочлен на множители, избавиться от модулей, логарифмов, и т.д.. затем необходимо внимательно еще и еще прочитать задание.
При решении задач, содержащих параметр, встречаются задачи, которые условно можно разделить на два большие класса. В первый класс можно отнести задачи, в которых надо решить неравенство или уравнение при всех возможных значениях параметра. Ко второму классу отнесем задания, в которых надо найти не все возможные решения, а лишь те из них, которые удовлетворяют некоторым дополнительным условиям.
Наиболее понятный для школьников способ решения таких задач состоит в том, что сначала находят все решения, а затем отбирают те, которые удовлетворяют дополнительным условиям. Но это удается не всегда. Встречаются большое количество задач, в которых найти все множество решений невозможно, да нас об этом и не просят. Поэтому приходится искать способ решить поставленную задачу, не имея в распоряжении всего множества решений данного уравнения или неравенства, например, поискать свойства входящих в уравнение функций, которые позволят судить о существовании некоторого множества решений.
Основные типы задач с параметрами
Тип 1. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, которые необходимо решить либо для любого значения параметра (параметров), либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству.
Этот тип задач является базовым при овладении темой «Задачи с параметрами», поскольку вложенный труд предопределяет успех и при решении задач всех других основных типов.
Тип 2. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра (параметров).
Обращаем внимание на то, что при решении задач данного типа нет необходимости ни решать заданные уравнения, неравенства, их системы и совокупности и т. д., ни приводить эти решения; такая лишняя в большинстве случаев работа является тактической ошибкой, приводящей к неоправданным затратам времени. Однако не стоит абсолютизировать сказанное, так как иногда прямое решение в соответствии с типом 1 является единственным разумным путем получения ответа при решении задачи типа 2.
Тип 3. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения, неравенства, их системы и совокупности имеют заданное число решений (в частности, не имеют или имеют бесконечное множество решений).
Легко увидеть, что задачи типа 3 в каком-то смысле обратны задачам типа 2.
Тип 4. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.
Например, найти значения параметра, при которых:
1) уравнение выполняется для любого значения переменной из заданного промежутка;
2) множество решений первого уравнения является подмножеством множества решений второго уравнения и т. д.
Комментарий. Многообразие задач с параметром охватывает весь курс школьной математики (и алгебры, и геометрии), но подавляющая часть из них на выпускных и вступительных экзаменах относится к одному из четырех перечисленных типов, которые по этой причине названы основными.
Наиболее массовый класс задач с параметром - задачи с одной неизвестной и одним параметром. Следующий пункт указывает основные способы решения задач именно этого класса.
Основные методы решения задач с параметром
Способ I (аналитический). Это способ так называемого прямого решения, повторяющего стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра. Иногда говорят, что это способ силового, в хорошем смысле «наглого» решения.
Комментарий. По мнению авторов, аналитический способ решения задач с параметром есть самый трудный способ, требующий высокой грамотности и наибольших усилий по овладению им.
Способ II (графический). В зависимости от задачи (с переменной x и параметром a) рассматриваются графики или в координатной плоскости (x; y), или в координатной плоскости (x; a).
Комментарий. Исключительная наглядность и красота графического способа решения задач с параметром настолько увлекает изучающих тему «Задачи с параметром», что они начинают игнорировать другие способы решения, забывая общеизвестный факт: для любого класса задач их авторы могут сформулировать такую, которая блестяще решается данным способом и с колоссальными трудностями остальными способами. Поэтому на начальной стадии изучения опасно начинать с графических приемов решения задач с параметром.
Способ III (решение относительно параметра). При решении этим способом переменные x и a принимаются равноправными и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение признается более простым. После естественных упрощений возвращаемся к исходному смыслу переменных x и a и заканчиваем решение.
Перейдем теперь к демонстрации указанных способов решения задач с параметром.
1. Линейные уравнения и неравенства с параметрами
Линейная функция: - уравнение прямой с угловым коэффициентом . Угловой коэффициент равен тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси .
Линейные уравнения с параметрами вида
Если , уравнение имеет единственное решение.
Если , то уравнение не имеет решений, когда , и уравнение имеет бесконечно много решений, когда .
Пример 1. Решить уравнение |x| = a.
Решение:
-
a > 0, => x1,2 = ±a
-
a = 0, => x = 0
-
a < 0, => решений нет.
Ответ: x1,2 = ±a при a > 0; x = 0 при a = 0; решений нет при a < 0.
Пример 2. Решить уравнение |3 - x| = a.
Решение:
-
a > 0, => 3 - x = ±a, => x = 3 ± a
-
a = 0, => 3 - x = 0. => x = 3
-
a < 0, => решений нет.
Ответ: x1,2 = 3 ±a при a > 0; x = 3 при a = 0; решений нет при a < 0.
Пример 3. Решить уравнение m²x - m = x + 1.
Решение:
m²x - m = x + 1
m²x - x = m + 1
(m² - 1)x = m + 1
-
m² - 1 ≠ 0, т.е. m ≠ ± 1, ,
-
m = - 1, 0 · x = 0, x Є R
-
m = 1, 0 · x = 2, решений нет.
Ответ: при m ≠ ± 1; x Є R при m = -1; решений нет при m = 1.
Пример 4. При всех значениях параметра а решить уравнение: (a2 - 4)x = a + 2.
Решение: Разложим коэффициент при на множители. .
Если , уравнение имеет единственное решение: .
Если , уравнение не имеет решений.
Если , то уравнение имеет бесконечно много решений .
Пример 6. При всех значениях параметра a решить уравнение: .
Решение: ОДЗ: . При этом условии уравнение равносильно следующему: . Проверим принадлежность к ОДЗ: , если . Если же , то уравнение не имеет решений.
Пример 7. При всех значениях параметра а решить уравнение: | х + 3| - a| x - 1| = 4.
Решение: Разобьем числовую прямую на 3 части точками, в которых выражения под знаком модуля обращаются в нуль и решим 3 системы:
1) , если . Найденный будет решением, если .
2) , если . Найденный удовлетворяет нужному неравенству, следовательно, является решением при . Если же , то решением является любой .
3) , если . Найденный не удовлетворяет нужному неравенству, следовательно, не является решением при . Если же , то решением является любой x > 1.
Ответ: при ; при ;
при ; является также решением при всех .
Пример 8. Найти все а, при каждом из которых хотя бы одно из решений уравнения 15x - 7a = 2 - 3ax + 6a меньше 2 .
Решение: Найдем решения уравнения при каждом . , если . Решим неравенство: .
При уравнение не имеет решений.
Ответ: а Î (-5 , 4) .
Линейные неравенства с параметрами
Например: Решить неравенство: kx < b.
Если k > 0, то . Если k < 0, то . Если k = 0, то при b > 0 решением является любой x Є R, а при решений нет.
Аналогично решите остальные неравенства в рамочке.
Пример 1. Для всех значений параметра а решить неравенство .
Решение:
. Если скобка перед x положительна, т.е. при , то . Если скобка перед x отрицательна, т.е. при , то . Если же a = 0 или a = , то решений нет.
Ответ: при ; при ;
решений нет при a = 0 или a = .
Пример 2. Для всех значений параметра а решить неравенство |х - а| - |x + a| < 2a .
Решение:
При a =0 имеем неверное неравенство 0 < 0, т.е. решений нет. Пусть a > 0, тогда при x < -a оба модуля раскрываются с минусом и получаем неверное неравенство 2a < 2a, т.е. решений нет. Если x Є [-a; a] , то первый модуль раскрывается с минусом, а второй с плюсом и получаем неравенство -2x < 2a, т.е. x > -a, т.е., решением является любой x Є (-a; a]. Если x > a оба модуля раскрываются с плюсом и получаем верное неравенство -2a < 2a, т.е. , решением является любой x Є (a; +∞). Объединяя оба ответа, получим, что при a > 0 x Є (-a; +∞).
Пусть a < 0, тогда первое слагаемое больше, чем второе, поэтому разность в левой части неравенства положительна и, следовательно, не может быть меньше отрицательного числа 2a. Т.о., при a < 0 решений нет.
Ответ: x Є (-a; +∞) при a > 0, решений нет при .
Замечание. Решение данной задачи получается быстрее и проще, если использовать геометрическую интерпретацию модуля разности двух чисел, как расстояние между точками. Тогда выражение в левой части можно интерпретировать, как разность расстояний от точки х до точек а и -а .
Пример 3. Найти все а, при каждом из которых все решения неравенства удовлетворяют неравенству 2x - a² + 5 < 0.
Решение:
Решением неравенства |x| ≤ 2 является множество A =[-2; 2], а решением неравенства 2x - a² + 5 < 0 является множество B = (-∞; ) . Чтобы удовлетворить условию задачи, нужно, чтобы множество А входило в множество В (). Это условие выполнится тогда и только тогда, когда .
Ответ: a Є (-∞; -3)U(3; +∞).
Пример 4. Найти все значения a , при которых неравенство выполняется для всех x из отрезка [1, 3] .
Решение:
Дробь - меньше нуля между корнями, поэтому надо выяснить, какой корень больше.
-3a + 2 < 2a + 4 и -3a + 2 > 2a + 4 . Т.о., при x Є (-3a + 2; 2a + 4) и чтобы неравенство выполнялось для всех x из отрезка [1, 3], нужно, чтобы
.
При x Є (2a + 4; -3a + 2) и чтобы неравенство выполнялось для всех x из отрезка [1, 3], нужно, чтобы
.
При a = - (когда корни совпадают) решений нет, т.к. в этом случае неравенство приобретает вид: .
Ответ: .
Пример 5. При каких значениях параметра а неравенство справедливо при всех отрицательных значениях х?
Решение:
Функция монотонно возрастает, если коэффициент при x неотрицательный, и она монотонно убывает, если коэффициент при x отрицательный.
Выясним знак коэффициента при
a ≤ -3,
a ≥ 1; (a² + 2a - 3) < 0 <=> -3 < a < 1.
a ≤ -3,
Пусть a ≥ 1. Тогда функция f(x) монотонно не убывает, и условие задачи будет выполнено, если f(x) ≤ 0 <=> 3a² - a - 14 ≤ 0 <=> .
a ≤ -3,
Вместе с условиями a ≥ 1; получим:
Пусть -3 < a < 1. Тогда функция f(x) монотонно убывает, и условие задачи никогда не может быть выполнено.
Ответ: .
2. Квадратные уравнения и неравенства с параметрами
Квадратичная функция: .
В множестве действительных чисел это уравнение исследуется по следующей схеме.
-
Если a = 0, то имеем линейное уравнение bх + c=0.
-
Если a ≠ 0 и дискриминант уравнения D = b² - 4ac < 0, то уравнение не имеет действительных решений.
-
Если, a ≠ 0 и D = 0, то уравнение имеет единственное решение х = или, как ещё говорят, совпадающие корни х1 = х2 = .
-
Если a ≠ 0 и D > 0, то уравнение имеет два различных корня .
Пример 1. При каких значениях a уравнение x² - ax + 1 = 0 не имеет действительных корней?
Решение:
x² - ax + 1 = 0
D = a² - 4 · 1 = a² - 4
a² - 4 < 0 + - +
(a - 2)(a + 2) < 0 -2 2
Ответ: при a Є (-2; 2)
Пример 2. При каких значениях а уравнение а(х² - х + 1) = 3х + 5 имеет два различных действительных корня?
Решение:
а(х² - х + 1) = 3х + 5, а ≠ 0
ах² - ах+ а - 3х - 5 = 0
ах² - (а + 3)х + а - 5 = 0
D = (a +3)² - 4a(a - 5) = a² +6a + 9 - 4a² + 20a = -3a² + 26a + 9
-3a² + 26a + 9 > 0
3a² - 26a - 9 < 0
D = 26² - 4 · 3 · (-9) = 784
a1 = ; a2 = + - +
0 9
Ответ: при a Є (-1/3; 0) U (0; 9)
Пример 3. Решить уравнение .
Решение:
ОДЗ: x ≠1, x ≠ a
x - 1 + x - a = 2, 2x = 3 + a,
1) ; 3 + a ≠ 2; a ≠ -1
2) ; 3 + a ≠ 2a; a ≠ 3
Ответ: при a Є (-∞; -1) U (-1; 3) U (3; +∞);
решений нет при a = -1; 3.
Пример 4. Решить уравнение |x²-2x-3| = a.
Решение:
Рассмотрим функции y = |x²-2x-3| и y = a.
При a < 0 нет решений;
при a = 0 и a > 4 два решения;
при 0 < a < 4 - четыре решения;
при a = 4 - три решения.
Ответ:
при a < 0 нет решений;
при a = 0 и a > 4 два решения;
при 0 < a < 4 - четыре решения;
при a = 4 - три решения.
Пример 5. Найти все значения a, при каждом из которых уравнение |x²-(a+2)x+2a| = |3x-6|
имеет ровно два корня. Если таких значений a больше одного, в ответе укажите их произведение.
Решение:
Разложим квадратный трехчлен x²-(a+2)x+2a на множители.
;
;
;
Получим |(x-2)(x-a)| = 3|x-2|.
Это уравнение равносильно совокупности
Поэтому данное уравнение имеет ровно два корня, если a + 3 = 2 и a - 3 = 2.
Отсюда находим, что искомыми значениями a являются a1 = -1; a2 = 5; a1 · a2 = -5.
Ответ: -5.
Пример 6. Найти все значения a, при которых корни уравнения ax² - 2(a + 1)x - a + 5 = 0 положительны.
Решение:
Контрольная точка a = 0, т.к. меняет суть уравнения.
1. a = 0 -2x + = 0;
.
-
a ≠ 0
Ответ: a Є [0; 1] U [2; 5].
Пример 7. При каких значениях параметра a уравнение |x² - 4x + 3| = ax имеет 3 корня.
Решение:
Построим графики функций y = |x² - 4x + 3| и y = ax.
На отрезке [1; 3] построен график функции
.
Данное уравнение будет иметь три корня, если график функции y = ax будет являться касательной к графику y = x ²+ 4x - 3 на
отрезке [1; 2].
Уравнение касательной имеет вид y = f(x0) + f '(x0)(x - x0),
Т.к. уравнение касательной y = a, получим систему уравнений
Т.к. x0 Є [1; 2],
Ответ: при a = 4 - 2.
Квадратные неравенства с параметрами
Пример. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых среди решений неравенства нет ни одной точки отрезка [7; 96].
Решение:
Сначала решим неравенство при всех значениях параметра, а потом найдем те из них, для которых среди решений нет ни одной точки отрезка [7; 96].
Пусть , ax = t²
t ≥ 0
При такой замене переменных ОДЗ неравенства выполняется автоматически. x можно выразить через t, если a ≠ 0. Поэтому случай, когда a = 0, рассмотрим отдельно.
1.Пусть a = 0, тогда х > 0, и заданный отрезок является решением.
2.Пусть a ≠ 0, тогда и неравенство примет вид ,
Решение неравенства зависит от значений a, поэтому придется рассмотреть два случая.
1) Если a > 0, то при , или в старых переменных,
Решение не содержит ни одной точки заданного отрезка [7; 96], тогда и только тогда, когда выполнены условия a ≤ 7,
16a ≥ 96. Отсюда, a Є [6; 7].
2). Если а < 0, то ; ; t Є (4a; a). Так как t ≥ 0, то решений нет.
Ответ: [6; 7].
-
Иррациональные уравнения с параметрами
При решении иррациональных уравнений и неравенств с параметром, во-первых, следует учитывать область допустимых значений. Во-вторых, если обе части неравенства - неотрицательные выражения, то такое неравенство можно возводить в квадрат с сохранением знака неравенства.
Во многих случаях иррациональные уравнения и неравенства после замены переменных сводятся к квадратным.
Пример 1. Решить уравнение .
Решение:
ОДЗ: x + 1 ≥ 0, x ≥ -1, a ≥ 0.
x + 1 = a².
Если x = a² - 1, то условие выполняется.
Ответ: x = a² - 1 при а ≥ 0; решений нет при a < 0.
Пример 2. Решить уравнение .
Решение:
ОДЗ: x + 3 ≥ 0, x ≥ -3,
a - x ≥ 0; x ≤ a;
x + 3 = a - x,
2x = a - 3,
<=> <=> <=> a ≥ -3.
Ответ: при a ≥ -3; решений нет при a < -3.
Пример 3. Сколько корней имеет уравнение в зависимости от значений параметра а?
Решение:
Область допустимых значений уравнения: x Є [-2; 2]
Построим графики функций. График первой функции - это верхняя половина окружности x² + y² = 4. График второй функции - биссектрисы первого и второго координатных углов. Из графика первой функции вычтем график второй и получим график функции . Если заменить у на а, то последний график функции есть множество точек (х; а), удовлетворяющих исходному уравнению.
По графику видим ответ.
Ответ: при а Є (-∞; -2) U (1; +∞), корней нет;
при а Є [-2; 2), два корня;
при а = 1, один корень.
Пример 4. При каких значениях параметра а уравнение имеет единственное решение?
Решение:
1 способ (аналитический):
Ответ: при а ≥ -2 уравнение имеет единственное решение
2 способ (графический):
Ответ: при а ≥ -2 уравнение имеет единственное решение
Пример 5. При каких значениях параметра а уравнение = 2 + х имеет единственное решение.
Решение:
Рассмотрим графический вариант решения данного уравнения, то есть построим две функции:
у1 = 2 + х и у2 =
Первая функция является линейной и проходит через точки (0; 2) и (-2; 0).
График второй функции содержит параметр. Рассмотрим сначала график этой функции при а = 0 (рис.1). При изменении значения параметра график будет передвигаться по оси ОХ на соответсвующее значение влево (при положительных а) или вправо (при отрицательных а) (рис.2)
Из рисунка видно, что при а < -2 графики не пересекают друг друга, а следовательно не имеют общих решений. Если же значение параметра а больше либо равно -2, то графики имеют одну точку пересечения, а следовательно одно решение.
Ответ: при a ≥ -2 уравнение имеет единственное решение.
-
Тригонометрические уравнения с параметрами.
Пример 1. Решите уравнение sin(-x + 2x - 1) = b + 1.
Решение:
Учитывая нечетность функции , данное уравнение сведем к равносильному .
1. b = -1
(*)
2. b = 0
(**)
3. b = -2
(***)
4. |b + 1| > 1
Решений нет.
5. bЄ(-1; 0)
(∆)
6. bЄ(-2; -1)
(∆∆)
Пример 2. Найдите все значения параметра p, при которых уравнение не имеет решений.
Решение:
Выразим cos 2x через sinx.
Пусть тогда задача свелась к нахождению всех значений p, при которых уравнение не имеет решений на [-1; 1]. Уравнение алгоритмически не решается, поэтому решим задачу, используя график. Запишем уравнение в виде , и теперь эскиз графика левой части строится несложно.
Уравнение не имеет решений, если прямая y = p + 9 не пересекает график на отрезке [-1; 1], т. е.
Ответ: p Є (-∞; -9) U (17; +∞).
Системы уравнений с параметрами
-
Системы двух линейных уравнений с параметрами
Система уравнений
Решениями системы двух линейных уравнений являются точки пересечения двух прямых: и .
Возможны 3 случая:
1. Прямые не параллельны . Тогда и их нормальные вектора не параллельны, т.е. . В этом случае система имеет единственное решение.
2. Прямые параллельны и не совпадают. Тогда и их нормальные вектора параллельны, но сдвиги различны, т.е. .
В этом случае система решений не имеет .
3. Прямые совпадают. Тогда их нормальные вектора параллельны и сдвиги совпадают, т.е. . В этом случае система имеет бесконечно много решений - все точки прямой.
Пример 1. При всех значениях а и b решить систему уравнений
.
Решение. Выразим из первого уравнения и подставим во второе уравнение. Получим: .
Если - единственное решение. Если , то если , то решений бесконечно много: . Если
же , то решений нет.
Пример 2. При каком значении параметра а система уравнений
2(a + 1)x + 2y = 21
5(a - 3)x + y = 13 не имеет решений?
Решение. Система не имеет решений, если .
Т.е. .
Ответ. .
Пример 3. При всех значениях а решить систему уравнений
Решение. Система равносильна совокупности двух систем:
Прямые параллельны , если . При этом прямые не совпадают, поэтому при решений нет.
Если , то выражая из второго уравнения и подставляя в первое, получим: .
Пример 4. Найти все такие значения а, что для любого значения b найдётся хотя бы одно с такое, что система уравнений
имеет хотя бы одно решение.
Решение. Прямые не параллельны, если
В этом случае система имеет единственное решение при любом c.
По условию задачи система должна иметь решение при всех b.
Если то система принимает вид: . Чтобы при система также имела решения, нужно, чтобы уравнение относительно c имело хотя бы одно решение. Т.о., дискриминант этого уравнения должен быть неотрицательным, т.е.
Аналогично, если то система принимает вид: Чтобы при система также имела решения, нужно, чтобы уравнение
относительно c имело хотя бы одно решение. Т.о., дискриминант этого уравнения должен быть неотрицательным, т.е.
-
Системы двух линейных неравенств с параметрами
Пример 1. При каких значениях а система неравенств
не имеет решений?
Решение. Система имеет решения только если .
Ответ: при решением будет любой ;
при решений нет.
Пример 2. При каких значениях а система неравенств
имеет хотя бы одно решение?
Решение. При первое неравенство не имеет решений. А тогда и вся система не имеет решений.
Пусть , тогда и эта система не имеет решений, так как , а . Пусть , тогда т.е.
решения есть при , и , так как при выполнено неравенство , то решение запишется в виде .
Ответ: при решением будет любой ;
при решений нет.
Пример 3. При всех значениях а решить систему
Решение. Перепишем систему неравенств в виде . Рассмотрим все возможные случаи.
1) . Тогда система неравенств принимает вид . Сравним между собой выражения в правых частях . Имеем: при
всех . Поэтому x > (4a+1)/(a+4) .
2) . Тогда первое неравенство не верно. А значит, и вся система не имеет решений .
3) . Тогда система неравенств принимает вид . Сравним между собой выражения в правых частях . Имеем:
при всех . Поэтому (4a+1)/(a+4) < x < (2a-3)/(a-1) .
4) . Тогда второе неравенство не верно. А значит, и вся система не имеет решений .
5) . Тогда система неравенств принимает вид . Сравним между собой выражения в правых частях . Имеем: при всех .
Поэтому x < (2a-3)/(a-1) .
Ответ: x < (2a-3)/(a-1) при a < -4;
(4a+1)/(a+4) < x < (2a-3)/(a-1) при -4 < a < 1;
при и при решений нет.
Пример 4. При всех значениях а решить систему
Решение.
При система не имеет решений.
Пусть , тогда и эта система не имеет решений.
Пусть , тогда и эта система будет иметь решения, если выполнено неравенство: .
Ответ. .
-
Система квадратных уравнений
Пример. Указать при каких значениях параметра a система уравнений имеет два решения
Решение:
Если x < 0, y = - не имеет смысла. Поэтому, ОДЗ x ≥ 0.
; .
Т.к. x ≥ 0, то корни могут оба положительные или один положительный, а другой равен 0.
1. Если корни положительные, то
; .
2. Если x1 > 0; x2 = 0, то
.
Объединяя решения п.1 и п.2, получим a Є [1; 2].
Ответ: a Є [1; 2].