- Преподавателю
- Математика
- Разработка урока по теме Уравнение прямой на плоскости
Разработка урока по теме Уравнение прямой на плоскости
Раздел | Математика |
Класс | 9 класс |
Тип | Конспекты |
Автор | Малышева Е.С. |
Дата | 30.10.2015 |
Формат | docx |
Изображения | Есть |
1. Оргмомент.
Здравствуйте ребята. Тема нашего урока «Уравнение прямой». (слайд 1)
На прошлом уроке мы с вами доказали, что уравнение прямой в аналитической геометрии имеет следующий вид: ах + bу + с = 0, где а, b, с - некоторые числа, причем хотя бы одно из чисел а или b не равно нулю.
И сегодня мы с вами рассмотрим различные способы, с помощью которых можно составить уравнение прямой на плоскости.
2. Устная работа.
Начнем мы наш урок с устной работы на повторение.
Задание 1: (слайд 2)
На координатной плоскости изображены графики следующих функций. Установите соответствие между графиками функций и формулами.
А) х = 3
Б) у = 3х + 2
В) у = - 4х + 5
Г) у = - 3х
Задание 2: «Определите знаки коэффициентов k и b в уравнении прямой у = кх + b». (слайд 3)
Рис. 1: k > 0, прямая возрастает; b < 0, т. к. b - ордината точки пересечения прямой с осью Оу.
Рис. 2: < 0, прямая убывает; b > 0.
А как связаны между собой знак коэффициента k и угол наклона между прямой и положительным направлением оси абсцисс?
Если k > 0, то α < 90°.
Если k < 0, то α > 90°.
Задание 3: «ах + bу + с = 0, а ≠ 0, b ≠ 0». (слайд 4)
В зависимости от значений а, b, с возможны следующие случаи:
Определите положение прямой на координатной плоскости, если:
-
а ≠ 0, b ≠ 0, с = 0. (проходит через начало координат)
-
а = 0, b ≠ 0, с ≠ 0. (прямая параллельна оси абсцисс)
-
а ≠ 0, b = 0, с ≠ 0. (прямая параллельна оси ординат)
-
а ≠ 0, b = с = 0. (прямая совпадает с осью ординат)
-
а = с = 0, b ≠ 0. (прямая совпадает с осью абсцисс)
Задание 4: (слайд 5) На координатной плоскости изображена прямая, заданная уравнением 2х + у - 3 = 0, и векторы.
Выберите среди векторов направляющие векторы и нормальные векторы.:
По данному уравнению прямой определите координаты нормального вектора этой прямой: .
Мы посмотрели с вами, как они выглядят. Сколько можно провести нормальных векторов к этой прямой?
Хорошо, мы продолжаем наш урок.
3. Изучение нового материала.
На последнем уроке вам было дано задание найти все возможные формулы, задающие прямую на плоскости. И мне очень интересно узнать, к чему привели ваши поиски.
Итак, я предлагаю пополнить наш список уравнений, задающих прямую на плоскости: (первые два уравнения учитель записывает на доске, далее продолжают ученики)
-
у = kx + b, где k, b - некоторые числа.
-
ах + bу + с = 0, где а, b, с - некоторые числа, причем а ≠ 0 или b ≠ 0.
А теперь вам предоставляю возможность продолжить список.
-
Если прямая проходит через точки А (х1; у1) и В (х2; у2), то уравнение выглядит так: .
-
Я предлагаю такой способ задания прямой: «Если прямая проходит через точку А (х0; у0) и - направляющий вектор, то уравнение прямой имеет вид: ».
-
А я могу составить уравнение прямой можно составить через вектор нормали: «Если прямая проходит через точку А (х0; у0) и - нормальный вектор, то уравнение имеет вид: n1(х - х0) + n2(у - у0) = 0».
У кого-нибудь есть другие варианты?
Спасибо, вы нашли много уравнений, которые задают прямую на плоскости. Это, конечно же, не все уравнения. С остальными вы сможете познакомиться в ВУЗах.
4. Закрепление.
А теперь я предлагаю вам решить следующие задачи, выбрав наиболее рациональную формулу:
Задача 1: Даны вершины треугольника A (- 3; 1), B (1; 5), C (3; 1).
а) Составить уравнение прямой, содержащей медиану АМ.
б) Составить уравнение прямой, содержащей среднюю линию, параллельно АС.
в) Составить уравнение прямой, проходящей через точку В перпендикулярно к медиане АМ.
Решение:
а) Точка М - середина стороны ВС. Найдем ее координаты:
; М (2; 3).
Составим уравнение прямой, проходящей через точки А и М. Воспользуемся формулой (3): .
;
;
;
;
2х - 5у + 11 = 0.
Ответ: 2х - 5у + 11 = 0.
б) Искомая прямая, параллельная прямой АС, будет проходить через точку М, так как т. М - середина ВС. Для составления уравнения этой прямой, содержащей среднюю линию, воспользуемся формулой (4): , где - направляющий вектор.
Составим уравнение прямой АС: у = 1 - прямая, параллельная оси Ох.
Определим координаты направляющего вектора: .
р2 = 0. Что же делать? Ведь на ноль делить нельзя.
В этом случае формулу (4) можно записать в ином виде: р2(х - х0) = р1(у - у0).
Подставим координаты вектора и точки М в это уравнение и получим:
0 ∙ (х - 2) = - 1∙ (у - 3);
- у + 3 = 0;
у = 3 - уравнение прямой, содержащей среднюю линию треугольника.
в) А теперь составим уравнение прямой, проходящей через точку В (1; 5) перпендикулярно медиане АМ.
2х - 5у + 11 = 0 - уравнение прямой, содержащей медиану АМ.
Определим координаты направляющего вектора прямой АМ: .
Направляющий вектор прямой АМ является нормальным вектором для искомой прямой, т. е. .
Воспользуемся формулой (5): n1(х - х0) + n2(у - у0) = 0.
5(х - 1) + 2(у - 2) = 0;
5х - 5 + 2у - 4 = 0;
5х + 2у - 9 = 0 - уравнение искомой прямой.
Ответ: 5х + 2у - 9 = 0.
Задача 2: Точки А и В симметричны относительно некоторой прямой. Запишите уравнение этой прямой, если А (-2; 3), В (2; 1).
Решение:
а
А
В
С
а - ось симметрии, так как точки А и В симметричны относительно прямой а.
АС = СВ.
Найдем координаты точки С:
; С (0; 2).
Вектор - нормальный вектор прямой а.
Найдем его координаты: .
Воспользуемся формулой (5): n1(х - х0) + n2(у - у0) = 0.
4 (х - 0) - 2(у - 2) = 0;
4х - 2у + 4 = 0;
2х - у + 2 = 0 - уравнение прямой а.
Ответ: 2х - у + 2 = 0.
Хорошо, с задачами вы справились.
5. Подведение итогов.
Сегодня на уроке мы с вами познакомились с новыми формулами, которые вы можете в дальнейшем использовать при решении задач.
Дома я предлагаю решить задачи, чтобы потренироваться в применении этих формул.
6. Домашнее задание.
Вершина треугольника АВС имеют координаты: А (- 7; 5), В (3; - 1), С (5; 3).
а) Составьте уравнения прямых АВ, ВС и АС.
б) Составьте уравнения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
в) Составьте уравнения прямых, содержащих средние линии треугольника.
Всем спасибо.
Урок окончен. До свидания.