Опорный конспект по математике Действия с рациональными числами

Действия с рациональными числами

Сложение нуля с другим рациональным числом

Сформулируем правило сложения рационального числа с нулем: прибавление нуля к любому числу дает это же число. С помощью букв это правило записывается так: a+0=a для любого рационального a, а в силу переместительного свойства сложения рациональных чисел также справедливо равенство 0+a=a.

Приведем пару примеров. Сумма рационального числа 0,5 и числа 0 равна 0,5. Еще пример: .

Сложение противоположных рациональных чисел

Теперь установим, как проводится сложение противоположных рациональных чисел: сумма противоположных чисел равна нулю. В буквенном виде это правило имеет такую запись: a+(−a)=0, для любого рационального a.

Например, рациональные числа 4,(35) и −4,(35) - противоположные, значит, их сумма равна нулю, то есть, 4,(35)+(−4,(35))=0. Другой пример: .

Сложение положительных рациональных чисел

Любое положительное рациональное число можно записать в виде обыкновенной дроби. Таким образом, для сложения положительных рациональных чисел нужно знать, как рациональные числа приводятся к виду обыкновенных дробей, и как выполняется сложение обыкновенных дробей.

Пример.

Сложите рациональные числа 0,7 и 7/8.

Решение.

Выполнив перевод десятичной дроби в обыкновенную, от суммы 0,7+7/8 приходим к сумме 7/10+7/8. Осталось провести сложение обыкновенных дробей с разными знаменателями: .

Ответ:

.

Если складываемые рациональные числа можно записать как конечные десятичные дроби, либо как смешанные числа, то можно выполнить сложение десятичных дробей и сложение смешанных чисел соответственно.

Сложение рациональных чисел с разными знаками

Для сложения рациональных чисел с разными знаками используется правило сложения чисел с разными знаками: из большего модуля слагаемых надо вычесть меньший, и перед полученным числом поставить знак того числа, модуль которого больше.

Пример.

Выполните сложение рациональных чисел с разными знаками 7,2 и .

Решение.

Нам нужно сложить положительное число с отрицательным. По правилу сложения чисел с разными знаками нам сначала нужно найти модули слагаемых: .

Сравнение рациональных чисел 7,2 и дает , значит, остается от 7,2 отнять , и перед полученным числом поставить знак плюс. Заменив десятичную дробь 7,2 смешанным числом , приходим к вычитанию смешанных чисел: .

Перед полученным числом нет смысла ставить знак плюс, так как запись отвечает числу .

Ответ:

.

Сложение отрицательных рациональных чисел

Сложение отрицательных рациональных чисел проводится по правилу сложения отрицательных чисел: складываются модули слагаемых и перед полученным числом ставится знак минус.

Приведем пример сложения отрицательных рациональных чисел.

Пример.

Сложите отрицательное число −4,0203 с отрицательным числом −12,193.

Решение.

Модули складываемых чисел равны 4,0203 и 12,193 соответственно. Сложим десятичные дроби столбиком:

Осталось перед полученным числом поставить знак минус, имеем −16,2133.

Ответ:

(−4,0203)+(−12,193)=−16,2133.

Вычитание рациональных чисел

Переходим к рассмотрению следующего действия над рациональными числами - вычитания. Вычитание является действием, обратным к сложению. То есть, вычитание - это нахождение неизвестного слагаемого по сумме и известному слагаемому. Это также означает, что из равенства c+b = a следует, что a−b = с и a−c = b, и наоборот, из равенств a−b=с и a−c=b следует, что c+b = a. Вычитание из большего положительного рационального числа меньшего числа сводится либо к вычитанию обыкновенных дробей, либо, если это удобно, к вычитанию десятичных дробей или вычитанию смешанных чисел.

Пример.

Вычислите разность рациональных чисел вида .

Решение.

Для начала будем действовать как при переводе периодической десятичной дроби в обыкновенную дробь: . Так мы приходим к вычитанию обыкновенной дроби из смешанного числа: .

Ответ:

.

В остальных случаях вычитание рациональных чисел заменяется сложением: к уменьшаемому прибавляется число, противоположное вычитаемому. То есть,

а − b = a + (−b).

Это равенство доказывается на основании свойств действий с рациональными числами. Они позволяют записать такую цепочку равенств:

(a+(−b))+b = a+((−b)+b)= a+0= a, откуда в силу смысла вычитания следует, что сумма вида a + (−b) является разностью чисел a и b.

Пример.

Выполните вычитание из рационального числа 2/7 рационального числа .

Решение.

Число, противоположное вычитаемому, есть . Тогда . Так мы пришли к сложению рациональных чисел с разными знаками, имеем .

Ответ:

.

Умножение рациональных чисел

Понятие числа расширяется от натуральных чисел к целым, а от целых чисел к рациональным. Это объясняет тот факт, что действия с целыми числами обладают всеми свойствами действий с натуральными числами. Следовательно, действия с рациональными числами должны обладать всеми свойствами действий с целыми числами. Однако для умножения рациональных чисел характерно еще одно свойство - свойство умножения взаимно обратных чисел.

С указанным принципом согласуются все перечисленные ниже правила умножения рациональных чисел.

Умножение на нуль

Произведение любого числа a на нуль есть нуль. Запишем это утверждение в буквенном виде: a·0=0 для любого рационального числа a, а в силу переместительного свойства умножения это равенство можно переписать как 0·a=0. Приведем примеры. Умножение рационального числа 5/12 на 0 дает 0, произведение нуля и отрицательного рационального числа также равно нулю. В частности произведение нуля на нуль есть нуль, то есть, 0·0=0.

Умножение на единицу

Теперь озвучим правило умножения рационального числа на единицу: умножение любого рационального числа a на 1 в результате дает число a. То есть, a·1=a или 1·a=a, для любого рационального a. Таким образом, единица является нейтральным числом по умножению.

Например, умножение рационального числа 4,73 на 1 в результате дает 4,73. Другой пример: произведение равно .

Произведение взаимно обратных чисел

Если множители являются взаимно обратными числами, то их произведение равно единице. То есть, a·a⁻¹=1.

Так произведение взаимно обратных чисел 7/8 и 8/7 равно единице. Аналогично, умножение −1,5 на −0,(6) в результате дает 1, так как −1,5=−3/2 и −0,(6)=−2/3, а −3/2 и −2/3 - взаимно обратные числа.

Умножение положительных рациональных чисел

В общем случае умножение положительных рациональных чисел можно свести к умножению обыкновенных дробей. Для этого множители нужно представить в виде обыкновенных дробей, если они сразу не являются таковыми.

Пример.

Вычислите произведение положительных рациональных чисел 0,4 и 5/28.

Решение.

Представим десятичную дробь 0,4 в виде обыкновенной дроби: 0,4=4/10=2/5. Таким образом, . Осталось выполнить умножение обыкновенных дробей: . На этом умножение исходных рациональных чисел завершено.

Вот все решение: .

Ответ:

.

Иногда удобно работать с конечными десятичными дробями, не выполняя переход к обыкновенным дробям.

Пример.Вычислите произведение рациональных чисел вида 2,121·3,4. Решение.Здесь мы можем выполнить умножение десятичных дробей столбиком:
(−3,146)·(−56)=176,176.

Ответ:

2,121·3,4=7,2114.

В частном случае умножение положительных рациональных чисел может собой представлять умножение натуральных чисел, умножение натурального числа на обыкновенную дробь или умножение натурального числа на десятичную дробь.

Пример.

Проведите умножение рациональных чисел 0,(1) и 3.

Решение.

Сначала переведем периодическую десятичную дробь в обыкновенную дробь: . Таким образом, от умножения исходных рациональных чисел 0,(1) и 3 ми переходим к умножению обыкновенной дроби 1/9 на 3. В итоге имеем .

Ответ:

.

Умножение рациональных чисел с разными знаками

Для умножения рациональных чисел с разными знаками применяется правило умножения чисел с разными знаками: надо умножить модули множителей и перед полученным числом поставить знак минус. Это правило позволяет от умножения рациональных чисел с разными знаками перейти к умножению положительных рациональных чисел, с которым мы разобрались в предыдущем пункте.

Рассмотрим решение примера.

Пример.

Выполните умножение отрицательного рационального числа на положительное рациональное число.

Решение.

По правилу умножения чисел с разными знаками имеем . Заменив смешанные числа соответствующими неправильными дробями, завершаем вычисления .

Ответ:

.

Умножение отрицательных рациональных чисел

Умножение отрицательных рациональных чисел сводится к умножению положительных чисел. При этом применяется следующее правило умножения отрицательных чисел: нужно перемножить модули множителей.

Рассмотрим применение этого правила при решении примера.

Пример.

Выполните умножение отрицательных рациональных чисел −3,146 и −56. Решение. Модули множителей равны соответственно 3,146 и 56. Вычислим их произведение, для этого выполним умножение столбиком:

Таким образом, произведение исходных отрицательных рациональных чисел равно 176,176.

Ответ:

(−3,146)·(−56)=176,176.

Деление рациональных чисел

Деление представляет собой действие, обратное умножению. Иными словами, деление - это нахождение неизвестного множителя по известному произведению и другому множителю. То есть, смысл деления таков: из равенства b·c=a следует, что a:b=c и a:c=b, и, наоборот, из равенств a:b=c и a:c=b следует, что b·c=a.

На множестве рациональных чисел деление сложно считать самостоятельным действием, так как оно выполняется посредством умножения. Об этом свидетельствует следующее правило деления рациональных чисел: разделить число a на отличное от нуля число b - это все равно, что умножить делимое a на число, обратное делителю. То есть, на множестве рациональных чисел a:b=a·b⁻¹.

Доказать это равенство не составляет труда. Действительно, в силу свойств действий с рациональными числами справедливы равенства (a·b⁻¹)·b=a·(b⁻¹·b)=a·1=a, которые доказывают равенство a:b=a·b⁻¹.

Итак, деление рационального числа на отличное от нуля рациональное число сводится к умножению рациональных чисел.

Осталось лишь рассмотреть пример деления рациональных чисел по озвученному правилу.

Пример.

Выполните деление .

Решение.Найдем число, обратное делителю . Запишем это число в виде неправильной дроби: . Тогда число, обратное этой дроби есть .

Теперь мы можем по правилу деления перейти от деления рациональных чисел к умножению, что позволит нам закончить вычисления: .

Ответ:

.