Урок по теме Формула суммы первых n-членов арифметических прогрессий

Тема урока: Формула суммы первых n-членов арифметических прогрессий. 9 класс

Цель урока:

1. Научить учеников формулам суммы первых n-членов арифметической прогрессий и применению их при решении задач.

2. Ознакомить с историческими данными о прогрессиях.

Уметь находить суммы первых n-членов арифметической прогрессий и использовать в последующих темах.

Образовательные: Систематизация и углубление знаний и навыков, закрепление и обобщение данной темы.

Развивающие: Развитие и активизация познавательной деятельности, внимания, интереса к теме, памяти.

Воспитательные: Воспитание у учащихся чувства ответственности, культуры современного труда, простоты, четкости мышления.

Коррекционная: Учить применять формулы при выполнении задания.

План урока

I. Организационный момент

II. Проверка домашнего задания

III. Сообщение темы урока

IV. Новая тема

V. Краткое ознакомление с историческими данными

VI. Закрепление новой темы

VII. Домашнее задание

VIII. Итог урока, оценка знаний учащихся.

Ход урока

I. Организационный момент.

Приветствие с классом, отметить отсутствующих.

Подготовка учащихся к уроку. Сосредоточить мысли к начинающему уроку.

II. Проверка домашнего задания

III-IV . Сообщение темы урока. Повторение формулы n-го члена арифметической прогрессии

d - разность арифметической прогрессии

n - число членов арифметической прогрессии

a1 - первый член

an - n-ый член

А теперь нам надо вывести формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии. Обозначим эту сумму через Sn, Sn= a1+a2+a3+…+an , а теперь напишем в обратном порядке, затем почленно складывая, получим.

Арифметическая прогрессия

Sn= a1+a2+…an-1+an

Sn= an+an-1+…a2+a1

2Sn=(a1+a2)+(a2+an-1)+…(a2+an-1)+(a1+an)

2Sn=(a1+an)+(a1+an)+…+(a1+an)+ (a1+an)

n-двучленов

2Sn=n•(a1+an) (I)

an =a1+(n-1) d (II)

Эти формулы позволяют легко найти число членов прогрессии по данным a1, d, Sn.

Теорема:

Сумма первых n-членов арифметической прогрессий равна полусумме крайних членов, умноженной на число членов.

V. С этой связан интересный эпизод из жизни немецкого математика К.Ф.Гаусса (1777-1855). Когда ему было 9 лет учитель занятый проверкой работ учеников других классов, задал на уроке следующую задачу:

Сосчитать сумму всех натуральных чисел от 1 до 40 включительно. 1+2+3+…+40

Каково же было удивление учителя, когда один из учеников (это был Гаусс) через минуту воскликнул: «Я уже решил!». Большинство учеников после долгих подсчетов получили неверный результат. В тетради Гаусса было только одно число, но зато верное.

Вот схема его рассуждений. Сумма чисел в каждой паре равна 41. Таких пар 20, поэтому искомая сумма равна 41*20=820

1, 2, 3, … 20

+

40, 39, 38,…41

41, 41, 41,…41

Рассмотрим примеры на использование полученных формул.

VI. 1) Найдем сумму первых 20 членов арифметической прогрессии:

1, 3, 5,… а1=1 а2=3,5

Решение: Первый член прогрессии равен 1. а1=1

an=a1+(n-1)d 1) разность равна а2-а1=3,5-1=2,5

d=2,5

2) Найдем 20-член этой прогрессии:

а20= 1+2,5(20-1) = 1+2,5*19= 48,5

Ответ: 495.

№

I - в II - в

a1 =10 a1=10 d=4; an=14

d=4

an=50

Найдите n и Sn.

Решение

I в. II в.

аn = a1+(n-1) d

50=10+(n-1)*4

50=10+4n-4

50-10+4=4n

44=4n

n=11

a11=a1+10d=10+40=50

a11=50

S11=330; a1=10 d=4 an=14

14=10+(n-1)*4

14=10+4n-4

14-10+4=4n

8=4n n=2

a2=a1+d=10+4=14

S2=24

Закрепление:

Дана арифметическая прогрессия 2, 5,8, ...

Найдите 15-й член и сумму 15-ти членов прогрессии

n=15 a1=2 a2=5 d=a2-a1=5-2=3 d=3

a15=a1+14d=2+14*3=44

Ответ: 44, 345.

VII. Домашнее задание

VIII. Подведем итог урока.

Оценка знаний учащихся.

Спасибо дети за урок, до свидания.