Урок по математике «Решение (текстовых) задач на совместную работу»

Тема урока: Решение задач с помощью уравнений.

Цель на уроке: Уметь составлять в виде таблицы краткое условие задач; составлять дробно-рациональное уравнение по условию; применять полученные знания при решении задач на совместную работу, воспитывать познавательную активность и самостоятельность.

Ход урока: 1. Организационный момент.

У многих учеников вызывает затруднение решение задач на совместную работу, поэтому разработкой этого урока показан метод составления условия в виде таблицы, что облегчает составление уравнения. Учащиеся легче и быстрее усваивают решение задач в такой форме.

На уроке будут рассмотрены тестовые задачи на совместную работу.

Задача №1. На двух копировальных машинах, работающих одновременно, можно сделать копию пакета документов за 10 мин. За какое время можно выполнить эту работу каждой машине в отдельности, если известно, что на первой машине её можно сделать на 15 мин. быстрее, чем на второй?

Составим краткое условие задачи с помощью таблицы.

Время за которое выполнят работу

Количество работы

Производительность

(кол-во работы за 1 мин.)

Совместное время работы

Выполненная работа за 1 мин.

1 машина

x мин ?

1

10 мин

1

2 машина

x+15 мин ?

1

10 мин

Решение:

По краткому условию можно составить уравнение Данное уравнение равносильно системе: x²+15x=20x+150

x≠0

x≠-15

Решим квадратное уравнение x²-5x-150=0; D=625;

x=15; x=-10 - не удовлетворяет смыслу задачи.

1 машина может выполнить эту работу за 15 мин, а 2 машина за 30 мин.

Ответ: 15 мин; 30 мин.

Задача №2. Фирма А может выполнить некоторый заказ на производство игрушек на 4 дня быстрее, чем фирма В. За какое время может выполнить этот заказ каждая фирма, если известно, что при совместной работе за 24 дня они выполняют заказ в 5 раз больший?

Время выполнения заказа (дни)

Заказ

Производительность (кол-во заказа за

1 день)

Время при совместной работе (дни)

Выполненная работа за 24 дня

Фирма А

x ?

1

24

5

Фирма В

x+4 ?

1

24

Решение:

По условию составим уравнение: . Данное уравнение

равносильно системе: 5x²+20x=48x+96

x≠0

x≠-4

Решим уравнение: 5x²-28x-96=0; D₁=196+480=676>0; ;

x₁=8; x₂= - не удовлетворяет смыслу задачи.

x=8 дней - время выполнения заказа фирмой А

x+4=12 дней - время выполнения заказа фирмой В.

Ответ: 8 дней; 12 дней.

Задача №3. На дачном участке есть небольшой бассейн. Если подавать в него воду с помощью двух шлангов, то за 8 мин будет заполнено бассейна. За какое время можно наполнить бассейн водой через каждый из шлангов в отдельности, если один из них наполняет бассейн на 10 мин быстрее, чем другой?

Время наполнения бассейна

Бассейн (работа)

Объём работы (производительность)

за 1 мин

Время совместной работы

Кол-во работы за 8 мин

1 шланг

x мин ?

1

8 мин

2 шланг

x+10 мин ?

1

8 мин

Решение:

x²-14x-120=0; D₁=169; x=7±13

x=20; x=-6 - не удовлетворяет

2(x²+10x)=24(x+10)+24x смыслу задачи

x≠0

x≠-10

x=20 мин - время наполнения бассейна 1 шлангом

30 мин - вторым шлангом.

Ответ: 20 мин; 30 мин.

Задача №4. Два строителя выложили стену из кирпичей за 14 дней, причём второй присоединился к первому через 3 дня после начала работы. Известно, что первому строителю на выполнение всей работы потребовалось бы на 6 дней больше, чем второму. За сколько дней мог бы выложить эту стену каждый строитель, работая отдельно?

Время

(дни) на выполнение всей работы

Количество работы

Производительность за 1 день

Время совместной работы (дни)

Кол-во работы за 14 дней

1 строитель

x+6 ?

1

14+3

1

2 строитель

x ?

1

14

Решение:

17x+14x+84=x²+6x x²-25x-84=0

x≠0 x=28

x≠-6 x=-3 - не удовлетворяет

смыслу задачи

x=28 - время выполнения работы 1-м строителем

34 дня - вторым строителем.

Ответ: 28 дней; 34 дня.

Задача №5. Бригада слесарей может выполнить некоторое задание по обработке деталей на 15 ч скорее, чем бригада учеников. Если бригада учеников отработает 18 ч, выполняя это задание, а потом бригада слесарей продолжит выполнение задания в течение 6 ч, то и тогда будет выполнено только 0,6 всего задания. Сколько времени требуется бригаде учеников для самостоятельного выполнения данного задания?

Время для самостоятельного выполнения

Работа

Производительность

Время выполнения задания

Выполняемая работа

Бригада слесарей

x ч

1

6 ч

0,6

Бригада учеников

x+15 ч

1

18 ч

Решение:

10x+150+30x=x²+15x

x≠0

x≠-15

x²-25x-150=0; x=30; x=-5 - не удовлетворяет смыслу задачи.

30ч - время выполнения задания слесарями

45ч - время выполнения задания учениками.

Ответ: 45 часов.

1Задача №6. Две снегоуборочные машины, работая вместе, могут очистить определённую территорию от снега за 4 ч. Если бы сначала первая машина выполнила половину работы, а затем её сменила вторая, то на всю уборку снега ушло бы 9 ч. За какое время может очистить от снега эту территорию каждая машина в отдельности?

Работа

Время выполнения половины работы

Производительность (кол-во работы

за 1 час)

Время совместной работы

Выполняемая работа

1 машина

1

x ч

4 ч

2 машина

1

9-x ч

4 ч

Решение:

18-2x+2x=9x-x²

x≠0

x≠9

x²-9x+18=0; x=6; x=3 - время выполнения 1-й машиной половины работы

6 ч - время выполнения работы 1-й машиной

12 ч - 2-й машиной. Ответ: 6ч; 12ч.