Статья «Линейные однородные уравнения второго порядка и их свойства»

Линейные однородные уравнения второго порядка и их свойства

Теория линейных дифференциальных уравнений является самый простой и разработанной частью теории дифференциальных уравнений, и именно линейные уравнения наиболее часто встречаются в приложениях. Мы будем рассматривать линейные уравнения любого порядка и начнем с уравнений второго порядка.

Линейным однородным уравнением второго порядка называется уравнение вида

P(y)=y^"+p(x)y'+q(x)y, (1.1)

где через P(у) мы для краткости обозначили левую часть. Из линейности выражения P(у) относительно функции у и ее производных вытекает, что при произвольных постоянных C, C₁ и C₂:

P(Cу) = СР(у), Р(С₁y₁+C₂y₂) = С₁ Р(у₁) + С₂ Р(у₂).

Если y=y₁ есть решение уравнения, то есть P(y₁)=0, то, очевидно, P(Cy₁)=0,то есть и у = Су₁ есть также решение уравнения. Точно же, если у₁ и у₂ суть решения, то

y=C₁y₁+C₂y₂, (1.2)

eсть также решение при произвольных постоянных С₁ и C₂ то есть решения линейного однородного уравнения (1.1) можно умножать на произвольные постоянные и складывать, после чего опять получается решение. Очевидно, это же свойство имеет место и для линейного однородного уравнения любого порядка. Теорема существования и единственности для уравнения (1.1) формулируется особенно просто, как это мы покажем в конце этой главы: если p(x) и q(x) - непрерывные функции в некотором конечном замкнутом промежутке I (a≤x≤b) - любое значение из этого промежутка, то имеется одно и только одно решение уравнения (1.1), удовлетворяющее начальным условиям

y y (1.3)

где y₀ и y₀' - любые заданные числа, и это решение существует на всем промежутке I.

Если фиксировать x₀ и придавать y₀ и y'₀ всевозможные численные значения, то указанные в теореме решения исчерпывают все решения уравнения (1.1). Во всех этих решениях функции у(x), у'(x) и y"(x) непрерывны вплоть до концов промежутка a≤x≤b и предельные значения у' (x) и y'' (x) при x= а суть производные у' (a+0), у" (a+0) - справа, а при x= b производные слева у' (b-0), у"(b-0). В дальнейшем мы в аргументах не будем писать ± 0. Из формулированной выше теоремы непосредственно следует совершенно аналогичное утверждение и для открытого промежутка a<x<b, который может быть как конечным, так и бесконечным. Мы будем всегда рассматривать решения уравнения (1.1) на промежутке непрерывности коэффициентов p(x) и q(x).

Уравнение (1.1) имеет очевидное решение у ≡ 0 (нулевое решение). Ему соответствует y₀ = y'₀ = 0. В дальнейшем, говоря о решениях уравнения (1.1), мы будем подразумевать, что эти решения отличны от нулевого решения.

Введем одно новое понятие, которое нам понадобится в дальнейшем. Пусть y₁ и y₂ - два решения уравнения (1.1).Рассмотрим следующее выражение, составленное из них:

∆(y₁,y₂)=y₁y'₂-y₂y'₁. (1.4)

Оно называется определителем Вронского решений y₁ и y₂ для него имеет место следующая замечательная формула:

∆(y₁,y₂)=∆₀, (1.5)

где ∆₀- постоянная, равная, очевидно, значению ∆(y₁,y₂) при x=x₀. Для доказательства вычисляем производную

.

Принимая во внимание, что y₁ и y₂ суть решения уравнения (1.1), можем написать

, .

Умножая первое уравнение на (-y₂) второе на y₁ и складывая почленно, получим

и, следовательно,

Это есть линейное однородное уравнение относительно . Из этой формулы непосредственно следует, что определитель или тождественно на промежутке I равен нулю, если постоянная ∆₀ равна нулю или не равен нулю ни при одном x из I, так как показательная функция в нуль не обращается. Напомним, что p (x) считается непрерывной на I функцией.

Два решения y₁ и y₂ уравнения (1.1), отличные от нулевого, называются линейно независимыми, если не существует тождественного относительно x на промежутке I соотношения

(1.6)

с постоянными коэффициентами a₁ и a₂, отличными от нуля. Если такое соотношение имеется, то решения y₁ и y₂ называются линейно зависимыми. Отметим, что если один из коэффициентов, например a₂0, то из (1.3) следует y₂≡0, а это противоречит тому что оба решения отличны от нулевого. Отсюда следует естественность требования того, что оба коэффициента отличны от нуля. Линейная зависимость решений y₁ и y₂ , выражаемая тождеством (1.6), равносильна, очевидно, тому, что одно из решений отличается от другого лишь постоянным множителем у₂=Cy₁, где постоянная C отлична от нуля. Продифференцируем это соотношение: у'₂ = Cy'₁ из двух соотношений

y₂(x) = Cy₁(x), y'₂(x) = Cy'₁(x),

непосредственно следует, что определитель Вронского (y₁,y₂) двух линейно зависимых решений тождественно равен нулю. Положим теперь наоборот, что определитель Вронского (y₁,y₂) тождественно равен нулю, и покажем, что при этом решения у₁(x) и y₂(x) -линейно зависимы. Фиксируем такое значение x=x₀, при котором y₁(x₀)0, и напишем два уравнения, содержащие постоянную C, обозначая через y₁₀, y₂₀, y₁₀,y₂₀ значения y₁, y₂ и их производных при x=x₀

y₂₀=Cy₁₀, y₂₀=C y₁₀

Из первого уравнения C= и, подставляя это во второе уравнение,

убедимся, что оно также удовлетворено в силу того, что (y₁,y₂) равно 0 тождественно, и в частности при x=x₀ . Таким образом, решение y(x)=y₂(x)-Cy₁(x) уравнения (1.1) удовлетворяет начальным условиям (3) при y₀= 0 и y₀=0, т. е. у (x) есть нулевое решение и следует, что y₂(x)-Cy₁(x)0 или y₂(x)=Cy₁(x). Мы приходим, таким образом, к следующему заключению: равенство нулю определителя Вронского (y₁,y₂) является необходимым и достаточным условием линейной зависимости решений y₁ и y₂ т. е. два решения y₁ и y₂ уравнения (1.1) линейно независимы тогда и только тогда, когда их определитель Вронского отличен от нуля.

Отметим еще следующую очевидную формулу для производной от частного двух решений:

(1.7)

Она, очевидно, теряет смысл в тех точках, где y₁ обращается в нуль.

Покажем теперь, что если y₁ и у₂ - линейно независимых решения уравнения (1.1), то при надлежащем выборе постоянных C₁ и С₂ формула (1.2) дает нам решение уравнения (1.1), удовлетворяющее любым наперед заданным начальным условиям

y , y (1.8)

Опять через y₁₀,y₂₀,y₁₀, y₂₀ обозначим значения y₁,y₂ и их первых производных при x = x₀. Чтобы удовлетворить начальным условиям (1.8), надо определить C₁ и C₂ в формуле (1.2) из системы уравнений

C₁ y₁₀+ C₂y₂₀= y₀, C₁ y₁₀+ C₂ y₂₀= y₀.

Из линейной независимости y ₁ и y₂ вытекает, что

₀= y₁₀ y₂₀- y₂₀ y₁₀0,

и следовательно, из написанной системы мы получим определенные значения C₁ и C₂, что доказывает наше утверждение.

Но в силу теоремы существования и единственности всякое решение уравнения (1.1) вполне определяется своими начальными условиями, и мы можем поэтому высказать следующее предложение: если y₁ и y₂ -два линейно независимых решения уравнения (1.1), то формула (1.2) дает все решения этого уравнения.

Таким образом, задача интегрирования (1.1) приводится к нахождению его двух линейно независимых решений. Пусть у₁ - одно из решений этого уравнения и у₂ - какое-либо его решение. Интегрируя соотношение (1.7), получим

(1.9)

т. е. если известно одно частное решение уравнения (1.1), то второе его решение может быть получено по формуле (1.9), где ₀ - постоянная, которую можно положить и равной единице.