Внеаудиторная самостоятельная работа по математике на тему Решение систем линейных уравнений

Внеаудиторная самостоятельная работа по математике

для групп СПО базового уровня подготовки на тему:

решение систем линейных уравнений методом Гаусса;

решение систем линейных уравнений с помощью матриц.

Цель работы: развитие умений решения систем линейных уравнений методом Гаусса; решения систем линейных уравнений с помощью матриц;

Основной теоретический материал

Метод Гаусса. Из первого уравнения системы выражаем одну переменную через остальные. Это всегда возможно, если в левой части уравнения есть хотя бы один член с коэффициентом, отличным от нуля. Если такового нет, то возникает либо противоречие при условии , и, значит, система решений не имеет, либо тождественное равенство 0 = 0, которое можно исключить из рассмотрения.

Подставляем эту переменную во все остальные равенства, которые образуют линейную систему с меньшим числом переменных. Для этой системы повторяем описанную выше процедуру, и так далее, сокращая на каждом шаге число рассматриваемых переменных.

Ясно, что на каком-то шаге может возникнуть противоречивое равенство. Тогда делаем вывод: исходная система решений не имеет.

Может случиться, что на последнем шаге возникнет равенство вида где а какая-то из переменных. Из него можно найти единственное значение . Из равенства, возникшего на предпоследнем шаге, находится единственное значение ещё одной переменной, и так далее находятся единственные значения всех переменных. В этом случае исходная система имеет единственное решение.

Наконец, возможен случай, когда на последнем шаге возникло линейное уравнение, в котором есть несколько переменных с коэффициентами, отличными от нуля. Одну из этих переменных можно выразить через остальные (их называют свободными). Придавая последним любые фиксированные значения, мы можем повторить описанную выше процедуру нахождения значений остальных переменных. Ясно, что у такой системы бесконечно много решений, любое число которых может быть найдено путем фиксирования произвольных конкретных значений свободных переменных.

Матричная запись и матричное решение системы уравнений первой степени Покажем, каким образом мы можем использовать матричный аппарат для решения систем линейных уравнений.

Пусть дана система из n линейных уравнений с n неизвестными

(1)

Числа называются коэффициентами системы (1), а числа свободными членами. Система линейных уравнений(1) называется однородной, если

Матрица

А=

Называется матрицей системы (1), а ее определитель определителем системы (1).

Решением системы (1) называется совокупность чисел , которые обращают все уравнения системы в тождества.

Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. Система, не имеющая решений, называется несовместной.

Пусть определитель системы (1) отличен от нуля.

Обозначив матрицу-столбец из неизвестных через Х и матрицу-столбец из свободных членов через В: .

Согласно правилу умножения матриц имеем

.

Используя определение равенства матриц, данную систему (1) можно записать следующим образом:

АХ=В (2)

Равенство (2) называется матричным уравнением (здесь в роли неизвестного выступает матрица Х). Так как по условию , то для матрицы А существует обратная матрица . Умножим обе части уравнения (2) слева на: (АХ) = В.

Используя сочетательный закон умножения матриц можно записать

(А)Х =В. Так как А=Е и ЕХ=Х, то получаем решение матричного уравнения в виде Х =В.

Решение типовых задач

Задача 1. Решите систему уравнений методом Гаусса:

Решение. Подставляя выражение х через остальные переменные во второе и третье уравнения, записываем систему в виде

Находим у из второго уравнения и подставляем в третье:

Т.е. и тогда (из второго уравнения) у=0 и, наконец (из первого уравнения): х = 1. Система имеет единственное решение.

Ответ: (1; 0; -2).

Задача 2. Решите систему уравнений с помощью матриц:

Решение: В матричной форме эта система запишется в виде АХ=В. Здесь

, , . Матрица

_{Используя определение равенства матриц, получаем x = 4, y = 3, z = 5. Ответ: x = 4, y = 3, z = 5.}

Задачи самостоятельной работы № 1

Задача 1. Решите систему уравнений методом Гаусса:

Задача 2. Решите систему уравнений с помощью матриц:

Требования к оформлению самостоятельной работы

Решение систем выполняется в рабочей тетради для внеаудиторных самостоятельных работ.

Критерии оценки

Оценивание индивидуальных образовательных достижений по результатам выполнения работы производится в соответствии с универсальной шкалой.

Универсальная шкала оценки

Процент результативности

(правильных действий, ответов)

Оценка индивидуальных образовательных достижений

90 - 100

«5»

80-89

«4»

70-79

«3»

менее 70

«2»

Учебно-методическое и информационное обеспечение

Основные источники:

1. И.Д. Пехлецкий Математика - М.: «Академия», 2005 - 299 с.

2. А.А. Дадаян Сборник задач по математике. - М.: Инфра - М, 2007 - 352с.

Дополнительные источники:

3. И.И. Баврин Высшая математика - М.: «Академия», 2002 - 611 с.

Интернет-ресурсы:

4. num-meth.srcc.msu.su/.

5. mathedu.ru/

6. EqWorld: eqworld.ipmnet.ru/ru/library.htm