Урок по математике по теме «Основные способы решения тригонометрических уравнений»

Тема урока: « Основные способы решения тригонометрических уравнений»(2 часа)

Цель: показать знание основных тригонометрических формул; повторить и закрепить решение простейших тригонометрических уравнений. Разобрать методы решения уравнений с усложненным аргументом, с применением формул приведения, с заменой и приведением уравнений к квадратным.

Тип урока: урок объяснения нового материала (получение новых знаний) с применением ИКТ. Использованы элементы уровневой дифференциации.

Методы: словесные, наглядные, информационно-коммуникативные.

Формы организации: фронтальная, индивидуальная, самостоятельная.

Оборудование: таблицы с заданиями, дидактические материалы.

1. Организационный момент. (2мин). Продолжи запись

Ребята обмениваются карточками и проверяют. На экране появляется таблица правильных ответов(1 неправильный ответ - оценка «4», два неправильных ответа - оценка «3», 3 и больше - «2»,записавшим все ответы правильно - «5»).

2. Разминка-диктант «Верно, не верно». (5мин)

Я показываю карточку, а учащиеся ставят «+» если верно, и «- » если не верно.

1) sin²x+cos²x=1 - основное тригонометрическое тождество?

2) sinx, cosx, tgx, ctgx - тригонометрические функции?

3) [-1;1] - область значения функций tqx и ctqx?

4) - верно?

5) - верно?

6) - промежуток возрастания функции sinx?

7) arcsin3 - имеет смысл?

8) arcsin(-2) - имеет смысл?

9) arctg(-2) - имеет смысл?

10) - область значения функции tgx.

11) - верно?

12) sinx - четная функция?

13) ctgx - нечетная функция?

Взаимопроверка заданий. Ответы: + + - - - + - - + + + - +

3. Основная работа - методы решения уравнений.

1. Приведение к простейшим тригонометрическим уравнениям.

Схема решения.

1. Выразить тригонометрическую функцию через известные компоненты.

2. Найти аргумент функции по формулам:

3. Найти неизвестную переменную.

Пример

Решение.

;

;

Ответ: .

II Замена переменной

Схема решения.

1. Привести уравнение к алгебраическому относительно одной из тригонометрических функций.

2. Обозначить полученную функцию переменной t

(если необходимо, ввести ограничения на t)

3. Записать и решить полученное алгебраическое уравнение.

4. Сделать обратную замену.

5. Решить простейшее тригонометрическое уравнение.

Пример.

Решение.

;

Пусть .

;

t=1,

t =-3/2, не удовлетворяет условию

Овет:

III. Метод разложения на множители.

Под разложением на множители понимается представление данного выражения в виде произведения нескольких множителей. Если в одной части уравнения стоит несколько множителей, а в другой - 0, то каждый множитель приравнивается к нулю. Таким образом, данный множитель можно представить в виде совокупности более простых уравнений.

Пример. 2 sin3 x - cos 2x - sin x = 0

Сгруппируем первый член с третьим, а cos 2x = cos2 x - sin2 x.

(2sin3 x - sin x) - (cos2 x - sin x) = 0,

Вынесем из выражения, стоящего в первой скобке sin x, а cos2 x = 1 - sin x.

sin x (2sin2 x - 1) - (1 - 2 sin2 x) = 0,

sin x (2sin2 x - 1) + (2 sin2 x - 1) = 0,

(2 sin2 x - 1) • ( sin x + 1) = 0.2 sin2 x - 1 = 0 или sin x + 1 = 0

sin2 x = 1/2, sin x = - 1

sin x = ±1/v2

Ответ: x1 = ± /4 + n, n = Z, x2 = - /2 +2k, k = Z.

Выполните письменно самостоятельную работу (6 минут)

Взаимопроверка(2задания-5, 1задание-3)

Решите уравнения:

1 вариант 2 вариант

1) sin2 x - sin x = 0, 1) ctg2 x - 4 ctg x = 0,

2) 3 cos x + 2 sin 2x = 0, 2) 5 sin 2x - 2 sin x = 0.

IV Однородные уравнения.

Схема решения.

1) Привести уравнение к виду

или

2). Разделить обе части уравнения на а) cos x≠0; б) cos²x≠0

и получить уравнение относительно :

3). Решить уравнение известными способами.

Пример.

Решение.

Пусть , тогда

Ответ:

Выполните письменно самостоятельную работу (8 минут)

Самопроверка(2задания-5, 1задание-3)

Решите уравнения:

1 вариант 2 вариант

1) sin x - cos x = 0, 1) 5sin x +6cos x = 0,

2) sin2 x - sin 2x = 3 cos2 x, 2) 3sin2 x - 2sin 2x +5cos2 x =2.

V Метод преобразования уравнения с помощью тригонометрических формул.

Схема решения.

1). Используя тригонометрические формулы, привести уравнение к уравнению, решаемому методами I,II,III,IV.

2). Решить полученное уравнение известными методами.

Пример.

Решение.

;

;

Ответ:

Вы прошли 4 этапа, теперь вам самостоятельно придется выбрать метод решения уравнений. Вспомните основные тригонометрические формулы.

Выполните письменно самостоятельную работу

Решите уравнения: (для слабых учащихся)

1 вариант 2 вариант

1) cos 2x -5 sin x - 3 = 0, 1) cos 2x + 3 sin x = 2,

2) sin 2x + cos 2x = 0, 2) sin 2x - cos 2x = 0,

3) cos2 x - cos 2x = sin x, 3) 6 - 10cos2 x + 4cos 2x = sin 2x,

4) sin 4x - cos 2x = 0, 4) cos x +cos 2x = 1,

Выполните письменно самостоятельную работу (для сильных учащихся)

(Задания даются в одном варианте, т.к. их решают не все учащиеся. Время, отводимое на эту работу, определяется учителем (ситуацией на уроке)).

Решите уравнения:

sin 6x + cos 6x = 1 - sin 3x,

29 - 36 sin2 (x - 2) - 36 cos (x - 2) = 0,

2sin x cos x + - 2 cos x - v3 sin x = 0,

sin 4x = 2 cos2 x - 1,

Подсказки:

Воспользуйтесь формулой двойного угла для sin 6x, cos 6x.

Обозначьте x - 2 = y, решите уравнение, сведя его к квадратному с помощью формулы sin2 y = 1 - cos2 y.

Сгруппируйте первое и третье слагаемое, примените разложение на множители.

Воспользуйтесь формулой двойного угла для sin 4x, cos 4x, формулой понижения степени 2cos2 x - 1 = cos 2x.

Раскройте скобки, примените основное тригонометрическое тождество.

Приведите дроби к общему знаменателю, затем используйте основное тригонометрическое тождество sin2 x + cos2 x = 1, сведите уравнение к квадратному.

Оцените свои работы самостоятельно.(самопроверка)

4 задания-5

3 задания-4

2 задания-3

V.Подведение итогов урока:

А)оценка складывается из среднего арифметического всех работ;

VI.Домашнее задание: решение тестовых заданий ЕНТ по данной теме.