«Логарифмическая функция в уравнениях и неравенствах» (Открытый урок)

Уральский гуманитарно-технический колледж

Открытый урок

по дисциплине «Математика» в группе 1бРШИ

по специальности «Учитель иностранных языка в начальной школе»

Тема урока: «Логарифмическая функция в уравнениях и неравенствах»

Тип урока: обобщение изученного материала

Технологий: элементы технологии КСО, ИКТ, дифференцированного подхода

Составитель: преподаватель математики

Кабенова Л.М.

Уральск - 2014 г

«Логарифмическая функция в уравнениях и неравенствах»

Цель урока:

• Обобщить и расширить представления учащихся о логарифмической функции, применении ее свойств в нестандартных ситуациях

• Продолжить работу по формированию у учащихся умений решать логарифмические уравнения и неравенства

• Воспитание умения работать в коллективе

Форма проведения урока: семинар-игра

Техническое оснащение урока: ММП, раздаточный материал

Ход урока

1. Подготовка учащихся к работе на уроке. Вступительное слово преподавателя.

Я приветствую Вас на сегодняшнем уроке, который пройдет в форме семинара- игры. Давайте познакомимся с ее условием:

• В эстафете участвуют три команды «sin», «cos», «tg» (группа разбита на три команды)

• Побеждает та команда, которая в награду получит большее число баллов

• В личном первенстве победителями становятся учащиеся, набравшие наибольшее количество баллов

-за один правильный ответ 1 балл

-за решение примера из пункта А-1балл, В-2 балла, С-3 балла

-за решение дополнительного задания -5 балла

2. Сообщения учащихся по темам:

1. Ода экспоненте.

2. Логарифмы в музыке.

3. Звезды, шум и логарифмы.

4. Логарифмическая комедия.

5. Любое число - тремя двойками.

6. Логарифмическая спираль (Доп/зад)

В конце каждого сообщения- решение задач, связанных с логарифмической функцией, решение логарифмических уравнений и неравенств.

3. Итог урока. Д/з-Повторить §15-§18. А. Абылкасымова. Алгебра и начала анализа

Потому- то, словно пена,

Опадают наши рифмы.

И Величие степенно

Отступает в логарифмы.

Борис Слуцкий

1. Ода экспоненте

Поистине безграничны приложения показательной и логарифмической функций в самых различных областях науки и техники, а ведь придумывали логарифмы для облегчения вычислений. Более трех столетий прошло с того дня, как в 1614 году были опубликованы первые логарифмические таблицы, составленные Джоном Непером. Они помогали астрономам и инженерам, сокращая время на вычисления, и тем самым, как сказал знаменитый французский ученый Лаплас, «удлиняя жизнь вычислителям».

Еще недавно трудно было представить инженера без логарифмической линейки в кармане, изобретенная через десяток лет после появления логарифмов Непера английским математиком Гунтером, она позволяла быстро получать ответ с достаточной для инженера точностью в три теснили микрокалькуляторы, но без логарифмической линейки не были бы построены ни первые компьютеры, ни калькуляторы.

Многообразные применения показательной (или как еще ее называют экспоненциальной) функции вдохновили английского поэта Элмера Брилла, он написал: « Оду экспоненте», отрывок из которой мы приводим:

«…Ею порождено многое из того,

Что достойно упоминания».

Как говорили наши

Англосаксонские предки.

Могущество ее порождений

Заранее обусловлено ее

Собственной красотой и силой,

Ибо они суть физические воплощение

Абстрактной идеи ее.

Английские моряки любят и знают ее

Под именем «Гунтер»

Две шкалы Гунтера-

Вот чудо изобретательности экспонентой порождена

Логарифмическая линейка:

У инженера и астронома не было

Инструмента полезнее, чем она.

Даже изящные искусства питаются ею.

Разве музыкальная гамма не есть

Набор передовых логарифмов?

И таким образом абстрактно красивое

Стало предком одного из величайших

Человеческих достижений».

Были поэты, которые не посвящали од экспоненте и логарифмам, но упоминали их в своих стихах. Например, в своем стихотворении «Физики и лирики» поэт Борис Слуцкий написал те строки, которые вынесены в эпиграф к уроку (записаны на доске).

Задание группе (устно)

1. Дайте определение логарифма числа по заданному основанию.

2. Запишите основное логарифмическое тождество (условия: а≠1, а > 0, b >0)

3. Формула логарифмического перехода от одного основания к другому основанию.

4. Какие логарифмы называются десятичными, натуральными и как они обозначаются? Чему равны lg 100 и lg 0,001?

5. Определите вид монотонности функции: а) б)

6. Найдите выражение, имеющие смысл: , , , ,

7. Найдите верное равенства: , , ,

2. Логарифмы в музыке.

…. Даже изящные искусства питаются ею.

Разве музыкальная гамма не есть

Набор передовых логарифмов?

Из «Оды экспоненте»

Музыканты редко увлекаются математикой: большинство из них питают к этой науке чувство уважения. Между тем, музыканты - даже те, которые не проверяют подобно Сальери у Пушкина « алгеброй гармонию», - встречаются с математикой гораздо чаще, чем сами подозревают, и притом с такими «страшными» вещами, как логарифмы.

Известный физик Эйхенвальд вспоминал: «Товарищ мой по гимназии любил играть на рояле, но не любил математики. Он даже говорил с оттенком пренебрежения, что музыка и математика друг с другом не имеют ничего общего. «Правда, Пифагор нашел какие-то соотношения между звуковыми колебаниями,- но ведь как разпифогорова-то гамма для нашей музыки и оказалось неприменима». Представьте же себе, как неприятно был поражен мой товарищ, когда я доказал ему, что, играя по клавишам современного рояля, он играет, собственно говоря, на логарифмах…»

И действительно, так называемые ступени темперированной хроматической гаммы (12-звуковой) частот звуковых колебаний представляют собой логарифмы. Только основание этого логарифма равно 2 (а не 10, как принято в других случаях).

Предположим, что нота «до» самый низкой октавы- будем ее называть нулевой- соответствует частоты, равная n колебания в секунду. В октаве частота колебаний нижнего звука в два раза меньше верхнего, т.е эти частоты соотносятся как 1:2. Тогда ноте «до» первой октавы будет соответствовать 2n колебания в секунду, а ноте «до» третьей октавы- n ^.2n колебания в секунду и т.д. Обозначим все ноты хроматической гаммы номером p. Тогда высоту, т.е частоту, любого звука можно выразить формулой и решить одним из методов логарифмического уравнения.

Решить логарифмическое уравнение

№

А

В

С

1 (sin)

Ответы

2

6

; 4

2 (cos)

Ответы

5

7

; 27

3 (tg)

Ответы

2

-2; 2

3; 9

3. Звезды, шум и логарифмы

Этот заголовок связывает столь, казалось бы несоединимые вещи. Шум и звезды объединяются здесь потому, что громкость шума и яркость звезды оцениваются одинаковым образом - по логарифмической шкале.

Астрономы делят звезды по степени яркости на видимые и абсолютные звездные величины-звезды первой величины, второй, третьей и т.д. Последовательность видимых звездных величин, воспринимаемых глазом, представляют собой арифметическую прогрессию. Но физическая их яркость изменяется по иному закону: яркость звезды составляют геометрическую прогрессию со знаменателем 2,5. Легко понять, что «величина» звезды представляет собой логарифм ее физической яркости. Короче говоря, оценивать яркость звезд, астроном оперирует таблицей логарифмов, составленной при оснований 2,5.

Аналогично оценивается и громкость шума. Вредное влияние промышленных шумов на здоровее рабочих и на производительность труда побудило выработать приемы точной числовой оценки громкости шума. Единицей громкости звука служит «бел», но практически используется единицы громкости, равные его десятой доле, так называемы «децибел». Последовательные степени громкости 1 бел, 2бел и т.д, составляют арифметическую прогрессию… Физические же величины, характеризующие шумы (энергия, интенсивность звука и др), составляют геометрическую прогрессию со знаменателем 10.Громкость, выражаемая в белах, равна десятичному логарифму соответствующей физической величины.

Дополнения учителя: «Логарифмы и ощущения»

Ощущения, воспринимаемые органом чувств человека, могут вызываться, раздражениями, отличающимися друг от друга во много миллионов и даже миллиард раз. Удары молота о скользкую плиту в сто раз громче, чем тихий шелест листьев, а яркость вольтовой дуги в триллиона раз превосходит яркость какой-нибудь слабой звезды, едва видимой на ночном небе. Но никакие физиологические процессы не позволяют дать такого диапазона ощущении. Опыт показал, что организм как бы «логарифмирует» полученные им раздражения, т.е величина ощущения приблизительно пропорциональна десятичному логарифму величины раздражения.

Как видим, логарифм вторгается и в область психологии (диктант)

№

Вопросы-задания

Варианты ответов

Баллы

Нет

Да

1

Логарифмическая функция определена при любом x

+

-

2

Функция вида логарифмическая при a > 0, , x > 0

-

+

3

Областью логарифмической функции является множество действительных чисел

+

-

4

Областью значений логарифмической функции является множество действительных чисел

-

+

5

Функция - возрастающая

-

+

6

График функции пересекается с осью Ох

-

+

7

График логарифмической функции симметричен относительно Ох

+

-

8

График логарифмической функции всегда находится в I и IV четвертях

-

+

9

График логарифмической функции всегда пересекает Ох в точке(1;0)

-

+

10

Существует логарифм отрицательного числа

+

-

3. Логарифмическая комедия

«Комедия» начинается с неравенства , бесспорно правильно. Затем следует преобразование , ток же не внушает сомнения. Большему числу соответствует больший логарифм, значит,

После сокрощения на , имеем 23

В чем ошибка этого доказательства?

Решение. Ошибка допущена при сокращении на ; т.к , то при сокращении на необходимо было изменить знак неравенства т.е 23.

(Если бы мы логарифмировали не по основанию 10, а по другому положительному меньшему, чем1, то , и тогда мы не имели бы право утверждать, что большему числу соответствует больший логарифм)

Решить логарифмическое неравенство

№

А

В

С

1 (sin)

Ответы

2 (cos)

Ответы

3 (tg)

Ответы

3. Любое число - тремя двойками

Продолжим урок остроумной алгебраической головоломкой, который развлекаются ученики. Предлагается задача: любое данное число, целое и положительное, изобразить с помощью трех двоек и математических символов, например, пусть данное число 3.

Решение:

Так как

Аналогично

Общее решение задачи записывается в виде:

Логарифмические диковинки

Решим несколько примеров

1. Вычислить

2. …..

3. …..

Вычислить логарифм

№

А

В

С

1 (sin)

Ответы

3

1

8

2 (cos)

Ответы

0

4

3 (tg)

Ответы

-3

3

7. Логарифмическая спираль

Самолет, вылетевший из какой-нибудь точки земного шара на севере, через некоторое время окажется над Северным полюсом. Если же он полетит на восток, то, облетев параллель, вернется в тот же пункт, из которого вылетел. Предположим теперь, что самолет будет лететь пересекая все медианы под одним и тем же углом, отличным от прямог8о, т.е держатся все время одного и того же курса. Когда он облетит земной шар, то попадет в точка, имеющую ту же долготу, что и точка вылета, но расположенную ближе к Северному полюсу. После следующего облета он окажется еще ближе к полюсу и, продолжая летать указанным образом, будет описывать вокруг полюса сужающую спираль.

Уравнение этой сперали ,

Где r-расстояние от произвольной точки Ь на спирали до выбранной точки О,

- угол между лучам ОМ и выбранным лучам Ох, a и k-постоянные.

Решая его, получим

Так как это уравнение связано с логарифмической функцией, то вычисляемую по этой формуле спираль называют логарифмической.

Живые существа обычно растут, сохраняя очертания своей формы. При этом они растут чаще всего во всех направлениях -взрослые существа и выше и толще детеныша. Но раковины морских животных могут расти лишь в одном направлении. Чтобы не слишком вытягивается в длину, им приходится скручивается, причем каждый следующий виток подобен предыдущему. А такой рост может совершать лишь по логарифмической спирали или ее некоторым пространственным аналогиям. Поэтому раковины многих моллюсков, улиток, а также рога млекопитающихся, как архар (горный козел), закручены по логарифмической спирали. Можно сказать, что эта спираль является математическим символом соотношения форм роста. Великий немецкий поэт Иоганн Вольфганг считал ее даже математическим символом жизни духовного развития.

Очертания, выраженные логарифмической спиралью, имели не только раковины, в подсолнухе семечки расположены по дуга, также близким к логарифмической спирали, и т.д.

Один из наиболее распространенных пауков, эпейра, сплетает паутину, закручивает нити вокруг центра по логарифмической спирали. По логарифмическим спиралям закручены и многие галактики, в частности, Галактика, которой принадлежит Солнечная система.

Решить графически уравнения:

Команда

sin

cos

tg

Ответы

3,7

1