Изучение темы Алгебраические уравнения 9 класс

Глава I

Алгебраические уравнения высших степеней в учебнике «Алгебра-9»

(Авторы учебника: Алимов Ш.А., Колягин Ю.М. и др. Алгебра 9 кл., Просвещение, 2008) из опыта работы.

На изучение темы «Алгебраические уравнения высших степеней» в данном учебнике отводится 9 уроков, один из которых обобщающий урок. Прежде, чем приступить к изучению данной темы, я знакомлю учащихся с понятиями многочлена n-й степени. В общем случае, многочлен n-й степени записывают так: P_n(х) = a₀xⁿ+a₁x^n-1+…+ a_n-1x+a_n,

где a₀, a₁, a₂, …,a_n-1, a_n- заданные числа, а₀0,

n - натуральное число. Здесь a₀xⁿ - старший член многочлена P_n(x), n - его степень, a_n- свободный член. Так как основным способом решения алгебраического уравнения выше второй степени является разложение его левой части на множители, то сначала я рассматриваю алгоритм деления многочленов «уголком», который использовался в арифметике при делении чисел.

1. Деление многочленов нацело.

Разделить многочлен 8х² + 10х - 3 на многочлен 2х + 3.

Выполняем деление уголком.

8х² + 10х - 3 2x + 3

8х² + 12х 4х - 1

 2х - 3

 2х - 3

0

здесь 8х² + 10х - 3 - делимое, 2х + 3 - делитель, 4х - 1 - частное, 0 - остаток.

Остаток равен нулю, поэтому многочлен 8х² + 10х - 3 делится нацело на многочлен 2х + 3, т.е. в результате деления многочленов также получился многочлен. Вообще, если многочлен Р_n(x) степени n  1 делится нацело на ненулевой многочлен Q_k(x) и в результате деления получается многочлен М_m(x), то имеет место равенство

Р_n(x) = М_m(x) Q_k(x) (1)

Это равенство называют формулой деления многочлена Р_n(x) на многочлен Q_k(x), а многочлен М_m(x) - частным от деления Р_n(x) на Q_k(x). Нужно отметить, что в формуле (1) обязательно выполняется равенство n = m + k.

2. Деление многочленов с остатком.

Теперь нужно показать учащимся как выполняется деление многочленов в случаях, когда многочлены не делятся нацело.

Разделить многочлен P₃(x) =x³ - x² - 2x + 4

на многочлен Q₂(x)=x² - 3x + 1.

Выполняем деление.

x³ - x² - 2x + 4 x² - 3x + 1

х³- 3х² + х х + 2

2х²- 3х + 4

2х²- 6х + 2

3х + 2

Дальнейшее деление невозможно, т.к. степень последнего остатка - 1 меньше степени делителя - 2.

Ответ: Частное х + 2, остаток 3х + 2.

В этой задаче в результате деления получилось

(2)

В этом равенстве обозначаем М₁(х) = х + 2 - частное, R₁(x) = 3x +2 - остаток и используем обозначения задачи, тогда равенство (2) примет вид:

, откуда P₃(x) = М₁(х)Q₂(x) + R₁(x).

В общем случае формула деления многочлена P_n(x) степени n  1 на многочлен Q_k(x) степени k  1, k  n такова:

P_n(x) = М_m(х)Q_k(x) + R_l(x),

где степень частного m = n - k, степень остатка l < k.

Упражнения

1. Выполнить деления:

   1. (6x⁴ + x³ - 6x² + 1) : (2x² + x - 1);

   2. (15x⁵ + 6x⁴ - 20x² - 8x) : (3x³ - 4);

   3. (12x⁵ - 9x⁴ + 8x² - 6x) : (4x² - 3x).

2. Выяснить, делится ли нацело многочлен P(x) на многочлен Q(x):

   1. P(x) = 8x⁵ + 12x⁴ - 10x³ - 15x², Q(x) = 4x² - 5;

   2. P(x) = x6 - 3x⁴ - x³ + 2x² + x, Q(x) = x³ + 2x² + x;

   3. P(x) = 3x⁵ + x⁴ - 6x³ + 7x, Q(x) = 3x² + x.

3. Решение алгебраических уравнений

Приступая непосредственно к решению алгебраических уравнений n - ой степени, я даю учащимся определение алгебраического уравнения.

Определение: Уравнение P_n(x) = 0, где

P_n(х)=a₀xⁿ+a₁x^n-1+…+ a_n-1x+a_n называется алгебраическим уравнением. Каждый корень уравнения P_n(x) = 0 называют также корнем многочлена P_n(x).

Как же решать такие уравнения? На протяжении столетий главной задачей алгебры было указание правил решения алгебраических уравнений. С древности известны формулы для решения уравнений первой и второй степени. Итальянскими математиками Эпохи Возрождения (Кардано, Тарталье, Феррари) были найдены формулы для решения уравнений третьей и четвертой степени (они громоздки и не имеют большого практического значения). После этого в течение почти 300 лет делались безуспешные попытки решить в радикалах уравнения более высоких степеней. Только в 1826г. норвежский математик Н.Абель доказал, что в общем случае алгебраические уравнения 5 - ой степени и более высоких степеней в радикалах неразрешимы. И все же некоторые «хорошие» уравнения высших степеней можно решать, используя разложение многочлена на множители.

Далее рассматривается уравнение х³ - 7х + 6 =0. Учащиеся предлагают 7х заменить суммой х и 6х, тогда уравнение примет вид: х³ - х - 6х + 6 =0, группируя и вынося за скобки общий множитель, получим:

(х - 1)(х² + х - 6).

Корнями полученного уравнения будут х₁ = 1, х₂ = 2, х₃ =  3.

Ответ: х₁ = 1, х₂ = 2, х₃ =  3.

Это уравнение можно решить с помощью деления многочленов «уголком». Но сначала учащимися доказывается теорема Безу.

Теорема Безу: Остаток от деления многочлена Р_n(x) на двучлен х -  равен значению многочлена Р_n(x) при х = .

Доказательство: При делении многочлена Р_n(x) на х -  имеем

Р_n(x) = Q_n-1(x)(x - ) + R, где R - остаток от деления, тогда при х =  получим Р_n() = Q_n-1()( - ) + R, т.е. Р_n() = R. Отсюда следует, что если Р_n() = 0, то многочлен Р_n(x) делится нацело на двучлен х - .

Теперь решим уравнение х³ - 7х + 6 =0.

Решение: Здесь видно, что х = 1 является корнем данного уравнения, т.к. 1 - 7 + 6 = 0. Чтобы найти остальные корни, обозначим левую часть этого уравнения Р₃(х) и запишем, используя теорему Безу:

Р₃(х) = Q₂(x)(x - 1), x³ - 7x + 6 = (x - 1)Q₂(x)

Найдем Q₂(x):

x³ - 7x + 6 x- 1

х³ - х² х² + х - 6

х² - 7х + 6

х² - х

- 6х + 6

- 6х + 6

0

Следовательно, x³ - 7x + 6 = (х² + х - 6)(х - 1).

Решая уравнение х² + х - 6 = 0, получим х₂ = 2, х₃ = - 3.

Ответ: х₁ = 1, х₂ = 2, х₃ = - 3.

Итак, для решения данного уравнения мы применили теорему Безу. Зная один корень уравнения, с помощью этой теоремы можно свести задачу к решению уравнения степени n - 1, т.е. понизить степень уравнения.

Как решить уравнение 4x⁵ + 4x⁴ - 13x³ - 6x² - 9х + 2 = 0?

Это уравнение с целыми коэффициентами. Применим теорему для таких уравнений.

Теорема: Если уравнение a₀xⁿ+a₁x^n-1+…+ a_n-1x+a_n = 0 с целыми коэффициентами a₀, a₁, a₂, …,a_n-1, a_n, где а₀ 0, имеет корень, то этот корень является делителем числа а_n.

Теперь решим уравнение 4x⁵ + 4x⁴ - 13x³ - 6x² - 9х + 2 = 0. Находим все делители числа 2:  1,  2, среди них должны находиться целые корни уравнения, если они есть.

Обозначим Р₅(х) = 4x⁵ + 4x⁴ - 13x³ - 6x² - 9х + 2.

Проверяем Р₅(1) = 0, Р₅(-1) = 0, Р₅(2) = 84  0, Р₅(-2) = 0.

Поэтому Р₅(х) = (х - 1)(х + 1)(х + 2) М₂(х).

Делим Р₅(х) на х³ + 2х² - х - 2 столбиком, найдем М₂(х) = 4х² - 4х - 1, тогда Р₅(х) = (х³ + 2х² - х - 2)(4х² - 4х - 1) = 0.

Корнями многочлена 4х² - 4х - 1 = 0 являются . Исходное уравнение имеет пять действительных корней.

Ответ: х_1,2 =  1; х₃ = -2, х_4,5 =

Значит, целые корни алгебраического уравнения с целыми коэффициентами (если такие есть) нужно искать только среди делителей свободного члена этого уравнения.

Упражнения

Решить уравнения

1. x³ - x² - 8x + 6 = 0;

2. x⁴ + x³ - 4x² - 2x + 4 = 0;

3. x⁴ + x³ - 5x² + x - 6 = 0;

4. 2x⁴ - 2x³ - 11x² - x - 6 = 0;

5. 9x⁶ + 6х⁵ - 17x⁴ - 12x³ + 7x² + 6x + 1 = 0;

Не менее важно, чтобы учащиеся понимали, что уравнение

a₀xⁿ+a₁x^n-1+…+ a_n-1x+a_n = 0

при а₀=1 называется приведенным, а при а₀ 1 называется неприведенным. Решим уравнение 2x³ - 3x² - 11x + 6 = 0.

Решение: Уравнение легко решается, если с помощью замены х =у/2, привести его к приведенному уравнению: у³ - 3у² - 22x + 24 = 0, т.к. сумма коэффициентов равна 0, то корень легко подбирается. Это будет

у₁ = 1, тогда у³ - 3у² - 22x + 24 = (у - 1)М₂(х).

Найдем М₂(х).

у³ - 3у² - 22у + 24 у- 1

у³ - у² у² - 2у - 24

 2у² - 22у + 24

- 2у² + 2у

 24у + 24

 24у + 24

0

у³ - 3у² - 22x + 24 = (у - 1)(у² - 2у - 24)

Решая уравнение у² - 2у - 24 = 0, получим корни у₂ = 6; у₃ = - 4,

находим х₂ = 3, х₃ = - 2, х₁ =1/2.

Ответ: х₁ =1/2 х₂ = 3, х₃ = - 2.

Для самостоятельного решения предлагаю ученикам следующее уравнение 2x³ - 5x² + 8x - 3 = 0.

Решая уравнения выше второй степени, следует заострить внимание учащихся на то, что для них имеют место тоже формулы Виета. Рассмотрим на примере, когда а₀ = 1, n = 3, т.е. приведенное кубическое уравнение

x³ + аx² + bx + c = 0.

Пусть х₁, х_2, х₃ - корни уравнения x³ + аx² + bx + c = 0, тогда используя теорему Безу и разложение многочлена на множители, будем иметь:

x³ + аx² + bx + c = (х - х₁)( х - х₂) ( х - х₃).

Раскрыв скобки в правой части равенства и собрав коэффициенты при различных степенях х₁, получим

x³ + аx² + bx + c = х³ - (х₁ + х₂ +х₃)х² + (х₁ х₂ + х₁ х₃ + х₂ х₃)х - х₁ х₂ х₃.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях равенства, находим

х₁ + х₂ +х₃ = - а

х₁ х₂ + х₁ х₃ + х₂ х₃ = b

х₁ х₂ х₃ = -c

Формулируем теорему Виета для приведенного кубического уравнения.

Теорема Виета: Сумма корней приведенного кубического уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, сумма произведений попарно взятых корней, равна третьему коэффициенту, а произведение корней равно свободному члену, взятому с противоположным знаком.

Имеет место и обратная теорема Виета.

Пример

Докажем, что если х₁, х_2, х₃ - корни уравнения x³ + аx + b = 0,

то

Доказательство.

Т.к. х₁, х_2, х₃ - корни уравнения x³ + аx + b = 0,

Сложив почленно эти равенства, получим

+а(х₁ + х₂ +х₃) + 3b = 0 (1)

Но по теореме Виета для данного кубического уравнения x³ + аx + b = 0 имеем: х₁ + х₂ +х₃ = 0

х₁ х₂ + х₁ х₃ + х₂ х₃ = а

х₁ х₂ х₃ = -b

Подставляя в уравнение (1), получим

Упражнения

Не решая уравнения x³ - 4x² + 3x - 2 = 0, найдите

1. х₁ + х₂ +х₃;

2. х₁ х₂ + х₁ х₃ + х₂ х₃;

3. х₁ х₂ х₃;

4. ;

5. ;

6. 

4. Уравнения, сводящиеся к алгебраическим

Обращаю внимание учащихся на уравнение х⁴ - 2x³ - 22x² - 2x + 1 = 0.

Для решения привлекаю учеников, выясняем, что уравнение не имеет целых корней, т.к. делители свободного члена (1) не являются корнями уравнения. Однако учащиеся замечают, что уравнение обладает своеобразной «симметрией»: коэффициент при х⁴ равен свободному члену, а коэффициент при x³ равен коэффициенту при х. Как же его решить? Замечаем, что х = 0, не является корнем данного уравнения. Поэтому делим уравнение на х² (корни не теряются), получаем:

,

.

Делаем дальше замену неизвестного, обозначив х + 1/х = t,

тогда х² + 2 + 1/х² = t², откуда х² + 1/х² = t² - 2, уравнение будет иметь вид:

t² - 2 - 2t - 22 = 0, t² - 2t - 24 = 0; t₁ = 6; t₂ = -4.

Возвращаясь к неизвестному х, рассматриваем два случая:

1) , , ;

2) , ,

Ответ: ;

Закончив решение данного уравнения, нужно объяснить учащимся, что мы решали симметрическое уравнение четвертой степени, которое имеет вид

ах⁴ + bx³ + cx² + bx + a = 0

После решения этого уравнения учащимся предлагается уравнение

2х⁴ - 15x³ + 14x² + 15x + 2 = 0

Выясняем, что коэффициент при х⁴ равен свободному члену, а коэффициент при х³ по модулю равен коэффициенту при х, но по знаку они противоположны. Как это уравнение решить?

Видно, что х = 0 не является корнем данного уравнения, поэтому делим уравнение на х², получаем:

2х² - 15x + 14 + 15/x + 2/х² = 0

группируя члены, равноудаленные от концов, получим равносильное уравнение 2(х² + 1/х²) - 15(х - 1/х) + 14 = 0.

Делаем замену неизвестного, обозначив , тогда , , .

Уравнение будет иметь вид: 2(2 + t²) - 15t + 14 = 0

2t² + 4 - 15t + 14 = 0, 2t² - 15t + 18 = 0; t₁ = 6, t₂ = 3/2.

Возвращаясь к неизвестному х, рассмотрим 2 случая:

1. , х² - 6х - 1 = 0;

2. , 2х² - 3х - 2 = 0; ; х₃ = 2; х₄ = -1/2

Ответ: , х₃ = 2; х₄ = - 1/2

Данное уравнение является кососимметрическим, в общем виде имеет вид

ах⁴ + bx³ + cx² - bx + a = 0, а  0.

Симметрические и кососимметрические уравнения - частные случаи возвратных уравнений, решение возвратных уравнений в общем виде рассмотрим на факультативных занятиях.

Упражнение

Решить уравнение:

1. 6х⁴ - 35x³ + 62x² - 35x + 6 = 0;

2. х⁴ + 2x³ - 22x² + 2x + 1 = 0;

3. х⁴ - 4x³ - 2x² + 4x + 1 = 0;

4. х⁴ - 5x³ + 8x² - 5x + 1 = 0;

Не менее интересными являются уравнения, членами которых являются алгебраические дроби, у которых числителями и знаменателями являются многочлены. Такие уравнения называются рациональными и имеют вид: . Примером является уравнение (1)

В результате преобразований это уравнение сведется к алгебраическому. Прежде чем решать это уравнение, нужно учащимся дать понятие равносильных уравнений.

Уравнения, имеющие одно и то же множество корней, называются равносильными.

При преобразованиях уравнений следует руководствоваться следующими теоремами.

Теорема 1. Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же выражение , не меняющее области определения данного уравнения, то полученное уравнение