Творческая работа по теме: «Методы решения показательных и показательно-степенных уравнений»

Методы решения показательных и показательно- степенных уравнений

Выполнил: Водопьянов Евгений

учащийся 10 класса

МКОУ СОШ №47

Руководитель: Леонова Надежда Васильевна

учитель математики

г. Барабинск 2013

Оглавление

1. Введение.

2. Основная часть.

   1. Определение показательного уравнения.

   2. Метод приведения обеих частей уравнения к одному основанию.

   3. Метод вынесения общего множителя за скобки.

   4. Метод замены переменной.

   5. Метод логарифмирования обеих частей уравнения.

   6. Нестандартный метод решения показательных уравнений.

   7. Графический метод решения показательных уравнений.

   8. Показательно-степенные уравнения.

2. Заключение.

3. Список литературы.

1.Введение.

Тема моей исследовательской работы «Методы решения показательных и показательно-степенных уравнений».

Я поставил перед собой проблему: В чем заключаются трудности при решении показательных и показательно- степенных уравнений ?

Цель работы: изучение методов решения показательных и показательно степенных уравнений.

Характер работы определил следующие задачи:

- проанализировать литературу по данному вопросу;

- систематизировать сведения о методах решения показательных уравнений;

- изучить методы решения показательно- степенных уравнений;

- совершенствовать технику алгебраических преобразований;

- рассмотреть нестандартные методы решения показательных уравнений.

Объект исследования: показательные и показательно- степенные уравнения

Гипотеза исследования: систематизировать методы решения показательных и показательно-степенных уравнений.

2.1. Определение показательного уравнения.

Уравнение, содержащее переменную в показателе степени, называется показательным.

a^x=b, где а>0, а≠1, b>0

2.2. Метод приведения обеих частей уравнения к общему основанию.

Решение показательных уравнений основано на свойстве степени:

Две степени с одним и тем же положительным основанием а≠1 равны тогда и только тогда, когда равны и показатели .Используя это свойство, уравнение

a^x=b, где а>0, а≠1, b>0

Решают так:

a^x=b

a^x=a^log_a^b

x=log_ab(2,стр 76)

Многие показательные уравнения решаются методом приведения обеих частей уравнения к общему основанию.

Пример №1

(0,4)^x-1=(6,25)^6x-5

Решение:

()^x-1=()^6x-5

()^x-1=()^6x-5

()^x-1=(()^-2)^6x-5

()^x-1=()^-12x+10 , так как функция y=()^t убывающая при t€R, то данное уравнение равносильно уравнению

x-1=-12x+10

x+12x=10+1

13x=11

x=

Ответ:

2.3. Метод вынесения общего множителя за скобки.

При решении показательных уравнений используется преобразование, состоящее в вынесении общего множителя за скобки.

Пример №2. Решите уравнение:

5^2x+1- 3*5^2x-1=550

5^2x(5-3*5^-1)=550

5^2x(5-0,6)=550

5^2x *4,4=550

5^2x=125

5^2x=5³

2x=3

x=1,5

Ответ: 1,5

Пример№3 Решите уравнение

4^x-3^x-=3^x+-2^2x-1

Решение:

Сгруппируем члены, содержащие степени с основанием 4 и с основанием 3:

4^x+2^2x-1=3^x++3^x-

2^2x+2^2x*2^-1=3^x*3^0,5+3^x/3^0,5

Вынесем общие множители за скобки:

2^2x (1+0,5)=3^x (3^0,5+1/3^0,5)

2^2x *=3^x(4/3^0,5)

2^2x-1 *3=3^x-0,5 *4

2^2x-1/4=3^x-0,5/3

2^2x-3=3^x-1,5

(2²)^x-1,5=3^x-1,5

4^x-1,5=3^x-1,5

Разделим обе части уравнения на

3^x-1,50

()^x-1,5=1

x-1,5=0

x=1,5

Ответ: 1,5

2.4 Метод замены переменной

Уравнение вида f(а^х)=0 при помощи замены переменной а^х=t сводится к решению равносильной ему совокупности показательных уравнений

a^x=t₁ ,a^x=t₂, … ,a^x=t_k

где t₁,t₂,…,t_k- все корни уравнения f(t)=0

Пример №4. Решите уравнение.

5^2x-2*5^x-15=0

Решение:

Пусть 5^x=t, тогда

t²-2t-15=0

D=4+60=64

t₁==5

t₂==-3

Таким образом, данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

5^x=5;

5^x=-3

Отсюда x=1.

Уравнение 5^x=-3 решений не имеет, т.к. 5^x>0 при x€R

Ответ:1

Рассмотрим показательные уравнения, в которых имеются три степени с различными основаниями, являющимися членами геометрической прогрессии, причем эти основания возводятся в одну и ту же зависящую от x степень.

Такие уравнения имеют вид

α a^f(x)+ß b^f(x)+γ c^f(x)=0

где α ≠0,ß,γ- действительные числа, f(x)- некоторая функция, а основания a,b,c удовлетворяют условию b²=ac

Уравнения такого вида решаются приведением к квадратному уравнению

αt²+ß t+γ=0 и рассмотрением совокупности показательных уравнений,

()^f(x)=t₁, ()^f(x)=t_2,

где t₁,t₂- корни квадратного уравнения.(1,стр. 97)

Пример№5 Решите уравнение

3*16^x+37*36^x=26*81^x

Решение:

В этом уравнении числа 16,36,81 образуют три последовательных члена геометрической прогрессии со знаменателем q===.Разделим обе части уравнения на 81^x

3*()^x+37*()^x-26=0

3*()^2x+37*()^x-26=0

Пусть ()^x=t

3t²+37t-26=0

D=1681

t₁==

t₂==-13

Получаем совокупность двух показательных уравнений:

()^x=;

()^x=-13,

()^2x=

x=0,5

Ответ:0,5

Уравнение вида α a^f(x)+ß b^f(x)+γ=0

где α ,ß,γ- действительные числа, а основания a и b удовлетворяют условию ab=1, можно решать заменой переменной a^f(x)=t, тогда b^f(x)=1/t и уравнение примет вид at²+γt+β=0, которое приведет к совокупности двух показательных уравнений a^f(x)=t₁, a^f(x)=t₂, равносильной исходному уравнению.

Пример №6. Решите уравнение.

5*2^3x-3-3*2^5-3x+7=0

Преобразуем уравнение так:

5*2^3x-3-3*2²/2^3x-3+7=0

Пусть 2^3x-3=t>0

5t-12/t+7=0, умножим обе части на t>0

5t²+7t-12=0

Его корни t₁=1,t₂=-2,4

2^3x-3=1

2^3x-3=-2,4

3x-3=0

x=1

Ответ:1.

2.5. Метод логарифмирования обеих частей уравнения.

Уравнение вида a^f(x)=b,где a>0,a≠1,b>0 может быть решено при помощи логарифмирования обеих частей уравнения. Логарифмирование обеих частей возможно ,т.к. обе части уравнения положительны. Получаем f(x)=log_ab-уравнение ,равносильное исходному

Пример №7 Решите уравнение:

5^2x-1=7^3-x

1 способ. Обе части уравнения положительны. Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 5

log₅ 5^2x-1=log₅ 7^3-x

2x-1=(3-x)log₅ 7

2x-1=3log₅ 7- xlog₅ 7

2x+xlog₅ 7=3log₅ 7 +1

X(2+log₅7)=3log₅7+1

X=3log₅7+1/log₅7+2

Ответ: 3log₅7+1/log₅7+2.

2 способ. Прологарифмируем обе части по основанию 7.

3 способ. Применим основное логарифмическое тождество 7=5^log₅⁷

2.6.Нестандартные методы решения показательных уравнений.

Пример №8.Решите уравнение

()^x+=2^x

Никаким из рассмотренных методов это уравнение не решается. Попробуем найти какое-нибудь решение этого уравнения методом подбора. Это x=1. Пока еще нельзя считать, что уравнение решено, оно может иметь и другие решения. Докажем, что других корней нет. Исследуем функции при x>1,x<1

Пусть x>1. Тогда функция y=()^x убывает при x€R, значит при x>1

()^x<()¹, значит

()^x+<+,

()^x+<2.

Функция y=2^x возрастает при x€R,значит при x>1, 2^x>2¹, 2^x>2

Получим, при x>1, левая часть уравнения меньше 2, а правая часть уравнения больше 2, значит, данное уравнение не имеет корней, больших, чем 1.

Пусть x<1

Функция y=()^x убывает (0<<1) при x€R, значит при x<1 ()^x>()¹, ()^x+>+,

()^x+>2.

Функция y=2^x возрастает при x€R,значит при x<1, 2^x<2¹, 2^x<2

Получим, при x<1 ,левая часть уравнения больше 2, а правая часть уравнения меньше 2, значит, данное уравнение не имеет корней, меньших, чем 1.

Итак,x=1- единственный корень уравнения.

Ответ:1.

2.7. Графический метод решения показательных уравнений

Пример №9. Решите уравнение:

()^x+=2^x

y=2^x

y=()^x+

Ответ:x=1

2.8. Показательно-степенные уравнения

Пример №10. Решите уравнение:

(x+3)^x2-3=(x+3)^2x

Решение:

Выражение в левой части и правой части уравнения представляет собой функцию, содержащую переменную как в основании, так и в показатели степени. Это показательно-степенное уравнение. Для решения этого показательно-степенного уравнения нужно рассмотреть три случая ;когда основание степени равно1;равно 0 и когда оно отлично от указанных значений.

Если x+3=1,

x=-2, то получим 1=1- равенство верное, значит,x=-2- корень уравнения.

Если x+3=0,

x=-3, то получится

0⁶=0^-6,

0^-6 смысла не имеет.

Поэтому x=-3 не является корнем уравнения.

Если x+3>0

x+31,то приравниваем показатели

x²-3=2x

x²-2x-3=0

D=16

x=-1 и x=3

При этих значения x получаем соответственно 2^-2=2^-2 и 6⁶=6⁶ -верные равенства, значит x=-1 и x=3 корни уравнения.

Ответ:-2;-1;3.

Заключение.

Итак, я поставил проблему, провел информационный поиск, систематизировал методы решения показательных уравнений, изучил методы решения показательно- степенных уравнений, нашел пути решения данной проблемы, оформил результат.

Литература.

1.Крамов В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры.

2. Никольский М.К. Алгебра и начало анализа 11 класса - М.: Просвещение, 2007.

3.Потапов М.К. Алгебра и начало математического анализа 11-М.: «Просвещение», 2008.

4. Семёнов В.А. Ященко А.Н. КИМ ГИА.-М. Просвещение, 2013.

5. Цыпкин А.Г. Пинский А.И. справочное пособие по методам решения задач по математике. -М.: Наука, 1983.

13