Система работы учителя по разъяснению практического значения математики: воспитательный аспект

Зуборева Е.В.

учитель математики

МОУ «Средняя общеобразовательная школа № 31»

Система работы учителя по разъяснению

практического значения математики: воспитательный аспект

Одним из важных направлений воспитательной работы учителя математики является подготовка обучающихся к профессиональному самоопределению в новых социально- экономических условиях.

В связи с этим целесообразно на уроках и во внеурочной деятельности показывать роль математики в самых разнообразных сторонах жизни общества, повседневной жизни каждого человека, что позволит школьнику сделать осознанный выбор этого предмета в качестве ориентира для продолжения образования и самостоятельной деятельности в области математики и её приложений в будущей профессии.

В процессе обучения на уроках математики нужно обеспечивать органическую связь изучаемого теоретического материала с его практической значимостью. Формировать у обучающихся прочные и осознанные математические навыки, необходимые как для дальнейшего изучения математики, так и для решения прикладных задач. Большое значение в процессе изучения математики имеет понимание школьниками практической значимости того или иного учебного материала, ближней и далёкой перспективы его использования.

Постоянная, органическая связь теории с практикой в преподавании математики обеспечивает такое усвоение обучающимися программного материала, при котором теория становится для них руководством к действию, к решению практических задач, возбуждает интерес к изучению математики, повышает творческую активность.

На уроке по теме "Решение задач с практическим содержанием", цель которого проверить умение использовать приобретённые знания в практической деятельности и в повседневной жизни, предлагается помочь бабушке с дедушкой, в ремонте кухни сделать это наиболее экономно и качественно.

Они измерили длину, ширину и высоту - получили 4м, 3м, 2,7м соответственно. Также они измерили длину и высоту окна: 1,2м х 1м, длину и ширину двери: 2м х 0,8м, диаметр камина цилиндрической формы, который стоит во всю высоту комнаты, - 1м. Нужно помочь бабушке и дедушке с расчётами. Сколько же им понадобится материала, денег для ремонта?

Задача №1.

Сколько рулонов обоев бабушке и дедушке необходимо купить, чтобы оклеить все стены на кухне, если длина рулона 8,5 м, а ширина 60 см?

Примечание: под окном расположена батарея и стену за ней оклеивать не надо. Окно от потолка находится на расстоянии 20 см. Сколько придётся заплатить за эти обои, если стоимость одного рулона 320 рублей?

Задача №2.

Подвесной потолок стоит 370 рублей за квадратный метр. Можно купить только целое число метров. Сколько денег понадобится для отделки потолка?

Задача №3.

На пол бабушка и дедушка решили положить плитку. Каждая плитка - квадрат со стороной 25 см. Сколько штук плитки надо купить, если 5 плиток покупаются про запас?

Задача №4.

Для укладки плитки приходится нанимать рабочих. Найдите суммарную стоимость пола, если в условии задачи №3 одна плитка стоит 90 рублей, клей - 290 рублей, а стоимость работы составляет 150% от суммарной стоимости плитки с клеем.

Задача №5.

Сколько денег придётся затратить на жесть, которой необходимо обернуть камин, если 1лист жести размером 2м х 0,8м стоит 500 рублей?

Задача №6.

Пока бабушка и дедушка спорили, какую купить дверь, двери подорожали на 25%. Но им, как пожилым пенсионерам, сделали скидку на 20%. Дороже или дешевле им придётся заплатить за дверь?

Современная жизнь делает задачи на проценты актуальными, так как сфера практического приложения процентных расчетов расширяется. Вопросы инфляции, повышение цен, рост стоимости акций, снижение покупательской способности касаются каждого человека в нашем обществе. Планирование семейного бюджета, выгодного вложения денег в банки невозможны без умения производить несложные процентные вычисления.

Обдуманное изучение процентов может способствовать развитию таких качеств, как экономность, расчетливость.

Задачи на проценты часто вызывают затруднения у школьников. Причина в том, что тема "Проценты" изучается в младших 5-6 классах, причем непродолжительно, закрепляется в 7 классе при решении задач на повторение, а в старших классах к этой теме совсем не возвращаются. Задачи на проценты можно встретить в вариантах ЕГЭ:

1. Своему постоянному клиенту компания сотовой связи решила предоставить на выбор одну из скидок: либо скидку 25% на звонки абонентам других сотовых компаний в своем регионе, либо скидку 5% на звонки в другие регионы, либо 15% на услуги мобильного Интернета.

Клиент посмотрел распечатку своих звонков и выяснил, что за месяц он потратил 300 руб. на звонки абонентам других компаний в своем регионе, 200 руб. на звонки в другие регионы и 400 руб. на мобильный Интернет. Клиент предполагает, что в следующем месяце затраты будут такими же, и, исходя из этого, выбирает наиболее выгодную для себя скидку. Какую скидку выбрал клиент?

2. В магазине обуви объявлена акция: если покупатель приобретает товар на сумму более 10000 р., он получает скидку 10% на стоимость его следующей покупки.

Если покупатель участвует в акции, то он теряет право возвратить товар в магазин.

Покупатель А. хочет приобрести туфли стоимостью 8500 р., сандалии стоимостью 1600 р. и кроссовки стоимостью 2400 р. В каком случае А. заплатит за покупку меньше всего:

1) А. купит все три вещи;

2) А. купит туфли и сандалии и воспользуется скидкой при покупке кроссовок;

3) А. купит туфли и кроссовки и воспользуется скидкой при покупке сандалий?

Найдите сумму, которую А. заплатит за покупку в искомом случае.

В деловой игре «Проценты в современной жизни» можно увидеть применение процентов (Приложение 1).

Часто у школьников проявляется мысль, будто бы задачи бывают прикладные, то есть нужные в жизни, и непрактические, которые никому не понадобятся. Для устранения таких ошибок целесообразно использовать любую возможность показа того, что абстрактная задача может быть связана с прикладными задачами.

Например:

1. Двор имеет треугольную форму. Жителям соседних домов нужно решить вопрос, где нужно вкопать столб для подвески светильника, чтобы наилучшим способом осветить ближайшие к столбу точки сторон треугольника.

2. Оля собралась варить кашу. Она насыпала в цилиндрическую кастрюлю немного пшена и спросила маму: «Сколько надо добавить воды, чтобы получилась вкусная каша?» - «Это очень просто, - ответила мама, - наклони кастрюлю так, чтобы крупа закрыла ровно половину дна. Теперь сделай метку на стенке кастрюли на уровне, до которого поднялась крупа, и до нее налей воды!» - «Так ведь пшена можно насыпать больше или меньше, да и кастрюли бывают разные - широкие, узкие», - усомнилась дочь. «Всё равно мой способ годится в любом случае, запомни это и применяй!» - гордо ответила мама. Докажите, что мама права: отношение объёмов воды и крупы для любой цилиндрической кастрюли получается одинаковым. Найдите, чему равно это отношение.

В курсе алгебры при изучении темы "Квадратные уравнения" можно показать обучающимся, что важно уметь решать абстрактные задачи, так как каждая абстрактная задача может быть моделью нескольких практических задач.

1. Решить уравнение x²-58x+480=0.

2. Фермер приобрел материал длиной 116 м для построения забора прямоугольной формы, чтобы сделать загон для кур. Хватит ли этого материала для того, чтобы огородить участок площадью 4,8 а? Определить длины сторон этого загона.

На первый взгляд кажется, что это совсем разные задачи. Разные они и по структуре и по методам решения. Первая представляет собой квадратное уравнение. Вторая задача с практическим содержанием, по характеру геометрическая, по структуре принадлежит к задачам на нахождение чисел по их сумме и произведению, но решение второй задачи сводится к решению задачи №1.

Перед любым человеком рано или поздно встает вопрос выбора профессии. Человек появляется на свет, растет, развивается, обучается, а после окончания школы сталкивается с важным вопросом, решение которого может навсегда изменить ему жизнь: необходимо выбрать свой дальнейший путь - будущую профессию.

Выбор профессии довольно важная составляющая всей жизни человека, так как возможно, что именно данное решение может повлиять на дальнейшую судьбу человека: определить круг его общения, стиль жизни и многое другое. Относиться к вопросу выбора профессии нужно очень серьезно. При принятии решения своего дальнейшего обучения в первую очередь необходимо определиться со своими интересами, чтобы работа в будущем была в радость, а не в тягость. Также при выборе профессии необходимо ясно оценивать свои возможности и способности.

В соответствии с Концепцией модернизации российского образования на старшей ступени общеобразовательной школы предусматривается профильное обучение, задача которого - создание системы специализированной подготовки, ориентированной на индивидуализацию обучения и социализацию обучающихся с учетом реальных потребностей рынка труда.

В выборе профессии большую роль играет школа и, конечно, предмет математики.

Математика на протяжении всей истории человеческой культуры всегда была ее неотъемлемой частью; она является ключом к познанию окружающего мира, базой научно-технического прогресса и важной компонентой развития личности. Математические знания и навыки необходимы практически во всех профессиях, прежде всего в тех, которые связаны с естественными науками, техникой, экономикой. Но математика стала проникать и в области традиционно "нематематические" - управление государством, медицину, лингвистику и другие. Несомненна необходимость применения математических знаний и математического мышления в работе врача, историка, лингвиста и трудно оборвать этот список, настолько важно математическое образование для профессиональной деятельности в наше время.

Одним из моментов в модернизации современного математического образования является усиление прикладной направленности школьного курса математики, то есть осуществление связи его содержания и методики обучения с практикой. Проблема прикладной направленности обучения математике не нова и на всех этапах ее становления и развития была связана с множеством вопросов, часть из которых не решена до сих пор. Проблема прикладной направленности школьной математики динамична по своему содержанию и в силу постоянного развития математической теории, прогресса ЭВМ, расширения области человеческой деятельности. Даже будучи однажды решенной, она с каждым новым витком истории будет требовать переосмысления и корректировки. Об этом не нужно забывать. Предугадать все аспекты применения математики в будущей деятельности обучающихся практически невозможно, а тем более сложно рассмотреть все эти вопросы в школе. Научно - техническая революция во всех областях человеческой деятельности предъявляет новые требования к знаниям, технической культуре, общему и прикладному характеру образования. Это ставит перед современной школой новые задачи совершенствования образования и подготовки школьников к практической деятельности.

Действительно, математика проникает во все сферы человеческой деятельности. Трудно назвать хотя бы один раздел науки или какую-либо профессиональную область, где не присутствовала бы математика или её методы. Поэтому необходимость математического образования для успешного формирования личности не вызывает сомнений. Важной частью общей культуры является широкий набор знаний, которые человек активно использует в быту, в профессиональной деятельности, на протяжении всей жизни.

Одним из традиционных направлений в преподавании математики является освещение вопросов прикладной направленности. Это вызвано в первую очередь введением профильного обучения на старшей ступени и необходимостью организации предпрофильной подготовки в основной школе. В качестве основной задачи прикладной направленности школьного курса математики может выступать задача формирования такого уровня математической культуры школьника, который характеризуется осознанным пониманием происхождения математических объектов, представлением о возможности применения математики в решении практических задач, возникающих в разнообразных областях знаний, о её приложениях к различным сферам деятельности человека. Примеры задач с практическим содержанием даны в разработке урока «Решение задач о молоке и сыре» (Приложение 2).

Содержание школьных учебников должно быть подчинено задаче достижения намеченных образовательных целей. Однако перенасыщенность программ теоретическими сведениями, недостаточное количество отведённого для этих целей времени, мизерное количество задач прикладного характера, показывающих связь теории и её практического применения в жизни, в будущих профессиях, далеко не способствуют их реализации. Необходимо также отметить, что кругозор обучающихся существенно расширяет самостоятельная работа по подбору примеров использования математики в различных областях человеческой деятельности. Составлять и решать задачи, которые показывают связь математики с жизнью, можно начинать с младших классов.

В среднем звене, когда зачастую ослабевает контроль родителей за выполнением домашних заданий, дети начинают задавать вопросы - а так уж ли важно учить математику? Считать, вроде бы, научились. Может, этого достаточно?

Нередко можно услышать такие высказывания: « Вот работает мой папа на заводе - он что, там задачки решает?» Поэтому объяснение каждой новой темы можно начинать с решения задачи из жизни.

Например:

1. На склад в ателье в первый день привезли 80 метров ситца, 50 метров шерстяной ткани. Во второй день по 40 метров каждой ткани. Экспедитор оставил накладные у менеджера, но помнил, что за ткань, привезённую во второй день, должны заплатить 14000 рублей, а привезенную в первый день 18550 рублей. Как с помощью составления системы уравнений можно восстановить накладные, узнав стоимость 1 метра ситца и 1 метра шерсти?

2. Группа семиклассников решила по окончании учебного года поехать на экскурсию в Москву. Каждый ученик должен был вносить сумму 900 рублей в течение полугода. Из одного класса собирались поехать на 6 учеников больше, чем из второго класса. Сколько учеников поедет на экскурсию из каждого класса, если необходимо собрать 27000 рублей?

3. Представьте себе, что вы работаете провизором. Вам заказали определенное лекарство.

Для полоскания горла вам необходимо сделать состав из 5 частей ромашки и 2 частей корня солодки. Общая масса равна 75 граммам. Если бы взяли 2 части ромашки и 1 часть солодки, то масса была бы 25 граммов. Сколько граммов ромашки в упаковке, если ее израсходовали полностью?

В настоящее время задачи с практическим содержанием встречаются на ЕГЭ в 11 классе и непосредственно связаны с профессиональной деятельностью.

Например:

1. Для строительства дачи рабочим можно использовать один из двух вариантов фундамента: бетонный или фундамент из пеноблоков. Для фундамента из пеноблоков необходимо 4 кубометра пеноблоков и 5 мешков цемента. Для бетонного фундамента необходимо 3,5 тонны щебня и 22 мешка цемента. Кубометр пеноблоков стоит 2600 руб., щебень- 800 руб. за тонну, а мешок цемента-400 руб. Сколько рублей стоит самый дешевый заказ?

2. Швейная фабрика выпускает мужские брюки двух типов: из шерсти и хлопка. Цена одного метра шерсти 800 рублей, а себестоимость пошива 150 рублей. А один метр хлопка стоит 450 рублей и себестоимость пошива 150 рублей. Фабрика продает шерстяные брюки за 1800 рублей, а брюки из хлопка - 1300 рублей. В месяц фабрика выпускает по 50 брюк каждого сорта. Определите месячную прибыль фабрики за самый выгодный вариант товара.

При решении некоторых жизненных ситуаций возникают проблемы, которые можно решить математическим путем. Предлагаются примеры задач практикоориентированного характера (Приложение 3).

Важным средством достижения прикладной направленности обучения математике служит планомерное развитие у школьников наиболее ценных для повседневной деятельности навыков выполнения вычислений и измерений, построения и чтения графиков, составления и применения таблиц, пользования справочной литературой. Возможны различные пути формирования подобных навыков. Один из них лежит через широкое внедрение в процесс обучения практических и лабораторных работ. В этой связи являются перспективными вычислительные практикумы, лабораторные работы по измерению геометрических величин и решению конструктивных задач, измерительные работы на местности, задания на конструирование и преобразование графиков. Практические работы, помимо решения своей специальной задачи - усиления практической направленности обучения, должны быть не только теснейшим образом связаны с изучаемым материалом, но и способствовать прочному, неформальному его усвоению, достижению основных образовательных, воспитательных и развивающих целей обучения.

Работа с графиками функций - важный элемент графической культуры, которой необходимо обладать представителям различных профессий. На применение графиков можно разработать множество вариантов практических работ. В учебных пособиях А.Г. Мордковича функциональная линия проходит красной нитью. Здесь, как ни в каком другом учебнике, рассматриваются функции со всех сторон, идёт работа с кусочными функциями. А это очень важно, т. к. реальные процессы, происходящие в мире, описываются именно кусочными функциями.

Одним из важнейших понятий математического анализа является производная функции. Среди многих задач, решаемых с помощью производной, наиболее важной является задача нахождения экстремума функции и связанная с ней задача нахождения наибольшего (наименьшего) значения соответствующих функций.

Человеку часто приходится решать задачи оптимизации своей деятельности, в которых нужно с помощью наименьших затрат сил, средств, материалов получить наилучший результат.

Рассмотрим несколько примеров возможных задач:

1.Сварщики получили задание: из металлического стержня длиной а, необходимо согнуть скобу прямоугольной формы и приварить её к металлической балке. Как выбрать на стержне точки сгиба, чтобы площадь образовавшегося прямоугольника была наибольшей?

2. Строители решили пристроить к стене школы физкультурный зал прямоугольной формы. Оказалось, что кирпича у них хватит только на 100 м стены (по периметру трёх новых стен). Зал должен быть как можно больше по площади. Что вы посоветуете строителям? Какие размеры пристройки выбрать?

3.Токарю нужно выточить балку, прочность прямоугольного сечения которой пропорциональна произведению её ширины на квадрат высоты. Какое сечение должна иметь балка, вытесанная из цилиндрического бревна радиусом R, чтобы её прочность была наибольшей?

4. Сварщику необходимо сварить открытый бак, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием, который должен вмещать 13,5 л жидкости. При каких размерах бака на его изготовление потребуется наименьшее количество металла.

5.Печатнику требуется разместить на странице текст площадью 384 см². Верхние и нижние поля должны быть по 3 см, левое и правое - по 2 см. Если принимать во внимание только экономию бумаги, то каковы должны быть наиболее выгодные размеры страницы?

Интерес обучающихся 9-11-х классов имеет заметные отличия от интереса детей среднего школьного возраста. В этих классах начинают сказываться профессиональные интересы, влияющие на познавательный интерес вообще и на учебные интересы к отдельным предметам. В связи с этим целеустремленность обучающихся к изучению «нужных» им предметов становится более сознательной и волевой, что приводит к лучшему пониманию значения объекта интереса.

Вместе с тем практические задачи для подготовки к вступительным экзаменам в ссузы и вузы, желание получить более высокий балл в аттестате порождает у старшеклассников интерес к результату деятельности.

Все вместе делает интересы старших школьников более дифференцированными, глубокими и устойчивыми. Но среди обучающихся 9-11-х классов есть немало таких, интересы которых не определились. Отсюда вытекает задача неослабевающей работы учителя математики по пробуждению интереса к своему предмету в старших классах.

При изучении темы «Вычисление объёмов и площадей поверхностей» можно провести урок-деловую игру «Изоляция труб газо- и нефтепровода» (Приложение 4).

Возможно, что дальнейшая профессиональная деятельность обучающихся будет связана не с математикой, а с какой-либо смежной областью знаний. Этим детям будет интересно узнать о связи математики с другими науками.

Межпредметные связи являются важным условием и результатом комплексного подхода в обучении и воспитании школьников. Знание только своего предмета не дает возможности хорошего творческого обучения. Каждый педагог хорошо знает, что от создания активности в обучении во многом зависит успех урока, лекции, беседы, любого воспитательного мероприятия. Необходимо способствовать созданию интереса, который ведет к активной деятельности обучающихся. Благодаря применению на практике знаний из других областей науки, их навыки конкретизируются, становятся более жизненными.

В связи с интеграцией на уроках математики в последние годы, с появлением школ и классов различной профильной направленности, а также введением ЕГЭ сегодня по-новому встают вопросы о целях, содержании, формах и методах обучения, о месте и роли каждого предмета. На данный момент определенную тревогу вызывает математическое образование. Изучение математики прежде всего должно способствовать приобретению умений и навыков, необходимых в повседневной жизни и в будущей профессиональной деятельности. Зачастую обучающиеся не могут применить знания в обычной жизни. Получая определённый объём информации по каждому предмету, они не всегда могут анализировать; улавливать неочевидную на первый взгляд связь явлений; адекватно оценивать ситуацию и быстро находить правильное решение. Поэтому одной из главных целей профильного обучения становится формирование понимания практической значимости математики. В материалах для ЕГЭ 2011 года большое количество заданий приходится на решение задач с практическим содержанием. Обучающиеся должны уметь использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни.

Поэтому для того, чтобы научить обучающихся решать задачи ЕГЭ, необходимо включать в домашнее задание по математике упражнения по другим предметам. В изложении учителем учебного материала необходимо проводить беседу на воспроизведение знаний из другого предмета, применять наглядные пособия, приборы, постановку проблемных вопросов, решать количественные и познавательные задачи, предлагать обучающимся делать сообщения по материалам другого предмета и др.

Кроме того, необходимо использовать следующие методические приёмы: работу с учебниками по нескольким предметам на уроке, изготовление комплексных наглядных пособий и применение их на практике, обобщение учебного материала нескольких предметов; выполнение письменных самостоятельных работ, которые разрабатываются и оцениваются учителями ряда предметов; комплексные задания, межпредметные тексты, дифференцированные по предметам групповые задания.

Наиболее эффективны методы реализации межпредметных связей, направленные на активизацию умственной деятельности, на развитие навыков самостоятельной работы обучающихся. Полезны специально разработанные с этой целью задания, требующие от школьников обобщённого знания из различных учебных предметов. Например, рекомендуется решить задачу, в которой раскрывается связь наук:

В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет 100Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель. Определите (в Омах) наименьшее возможное сопротивление электрообогревателя, если для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше 20 Ом.

Необходимо сказать и о важности применения математических знаний, умений и навыков во внеурочное время.

Внеклассная работа по математике является составной частью учебно-воспитательного процесса в школе. Ее цель на данном этапе модернизации российского образования - всестороннее развитие и социализация обучающегося на основе усвоения математических знаний и умений, необходимых для применения в практической деятельности, воспитание средствами математики культуры личности, понимание значимости математики для общественного прогресса на основе социального партнерства учителей, детей и родителей, их взаимопонимания, взаимообогащения и личностного развития всех субъектов, участвующих во внеклассной работе. Примером проведения мероприятия обучающихся и их родителей служит конкурс-игра «Семейная математика» (Приложение 5). Внеклассная работа является естественным продолжением и дополнением основных форм организации учебно-познавательной деятельности. Учитель содействует творческой, интеллектуальной, социально значимой деятельности обучающихся, создает в кружках и факультативах благоприятный психологический климат и развивает в них ученическое самоуправление. Примером практической реализации данных установок может служить интегрированная игра-викторина «Безопасное колесо» и законы математики. Это целесообразно провести во время традиционного месячника по безопасности движения и охране жизни (Приложение 6).

Завершая статью, обратимся к лирике. Приведенные ниже стихотворения, с одной стороны, являются своеобразным примирением в вечном споре физиков и лириков, а с другой - ещё раз выразительно и убедительно заявляют: в современном мире без математики не обойтись!

Баллада о математике

Как воздух математика нужна,

Одной отваги офицеру мало.

Расчеты. Залп! И цель поражена

Могучими ударами металла.

И воину припомнилось на миг,

Как школьником мечтал в часы ученья

О подвиге, о шквалах огневых,

О яростном порыве наступленья.

Но строг учитель был. И каждый раз

Он обрывал мальчишку резковато.

"Мечтать довольно! Повтори рассказ

О свойствах круга и углах квадрата!»

И воином любовь сбережена

К учителю далекому, седому.

Как воздух математика нужна

Сегодня офицеру молодому!

М. Борзаковский

КРАСИВАЯ НАУКА

Кто сказал, что математика скучна,

Что она сложна, суха, тосклива?..

В этом вы не правы, господа,

Знайте: математика - красива!

Может быть прекрасной, как поэма,

Слух лаская, как ноктюрн звучит.

Совершеннейшая теорема,

Доказательства ажурнейшая нить.

Метко, точно, словно эпиграмма,

Это доказательство звучит.

Здесь преувеличений нет ни грамма,

Четкий музыки здесь слышен ритм.

Вам приятно жить в опрятном доме,

Где у каждой вещи место есть?

Математика создать такой порядок может,

И за это ей хвала и честь!

Какой бы ни была задача сложной,

Математика решение найдет.

Все она по полочкам разложит,

Все она в систему приведет.

Логикой проверит рассужденье,

Не допустит глупой болтовни.

Чувства отыскавшего решенье

Чувствам победителя сродни.

Если что-то математик доказал вам,

Это на века, поверьте нам!

И воззрений он не поменяет

Времени в угоду иль царям.

Сколько в ней самой изящных линий,

Мощных формул, строгих теорем,

Тот не назовет ее красивой,

Кто с наукой не знаком совсем.

Нет неблагодарнее занятья,

Чем красоту словами объяснять.

Не любить ее нельзя, я точно знаю:

Можно только знать или не знать.

О. Панишева

О математика земная,

Гордись, прекрасная, собой!

Ты всем наукам мать родная,

И дорожат они тобой.

Твои расчеты величаво

Ведут к планетам корабли

Не ради праздничной забавы,

А ради гордости земли!

В веках овеяна ты славой,

Светило всех земных светил,

Тебя царицей величавой

Недаром Гаусс окрестил.

Стройна, логична, величава,

Стройна в полете, как стрела.

Твоя немеркнущая слава

В веках бессмертье обрела.

Я славлю разум человека,

Дела его волшебных рук,

Надежду нынешнего века,

Царицу всех земных наук.

Н. Матвеева

Список литературы

1. Колягин Ю. М. О прикладной и практической направленности обучения математике // Математика в школе. 1985. № 3.

2.Фрейденталь Г. Математика в науке и вокруг нас. М.: Мир, 1997.

3.Шапиро И. М. Использование задач с практическим содержанием в преподавании математики. М.: Просвещение, 1990.

4.О.В.Панишева Математика в стихах. Волгоград. Издательство «Учитель»,2009г.

5. И.Н. Сергеев, С.Н. Олехник, С.Б.Гашков. Примени математику.- М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит.,1990 .

6.Балк М. Б., Петров А. В. О математизации задач, возникающих на практике // Математика в школе. 1986. № 3.

7.Борисов В. А., Дубничук Е. С. Математика в профессиях // Математика в школе. 1985.№ 3

8.Задача о каше. Математика №4 /2011г..Приложение к газете «Первое сентября.

9.О.В.Панишева. Математика для гуманитариев.5-11 классы. Издательство

«Учитель»,2010г.

10.Деловая игра «Проценты в современной жизни». Математика №21/2007.. Приложение к газете «Первое сентября».

11.Решение задач о молоке и сыре» Математика №36/1999 г.. Приложение к газете «Первое сентября».

Приложение 1

Деловая игра

«Проценты в современной жизни»

Цели игры: ориентировать обучающихся на прикладное применение математических знаний в профессиональной деятельности; в неформальной обстановке произвести диагностику качества знаний обучающихся по данной теме.

Учебно-воспитательные задачи:

1.Создать условия, в которых каждый обучающийся сможет испытать себя как будущего профессионала, проявить свои деловые качества: руководить коллективом, инициативность, выносливость и смелость.

2.Способствовать развитию умения применять свои знания в нестандартных ситуациях, развитию творческих и коммуникативных способностей обучающихся.

3.Стимулировать интерес к предмету, развивать чувства солидарности и здорового соперничества.

Форма проведения: урок - деловая игра.

Подготовка:

Игра проводится на уроке повторения темы «Проценты». В игре принимают участие 20 человек: 5 групп по 4 человека. Каждая группа заранее выбирает себе тему для процентных вычислений: «Распродажа», «Тарифы», «Штрафы», «Банковские операции», «Голосование». Роли всех участников распределяются до игры и объясняются правила.

После распределения ролей между учениками готовятся бланки заданий для каждой группы, печатаются названия групп и каждому участнику делается эмблема с его именем и ролью. Можно использовать музыкальное оформление.

«Распродажа»:

1) Менеджер магазина (проверяющий)

2) Продавец антикварного отдела (решает задачу)

3) Продавец обувного отдела (решает задачу)

4) Покупатель (роль второго плана)

«Тарифы»:

1) Аудитор (проверяющий)

2) Сотрудник коммунального отдела (решает задачу)

3) Продавец мобильных телефонов (решает задачу)

4) Квартиросъемщик (роль второго плана)

«Штрафы»:

1) Старший кассир (проверяющий)

2) Кассир1 (решает задачу)

3) Кассир2 (решает задачу)

4) Водитель машины (роль второго плана)

«Банковские операции»:

1) Управляющий (проверяющий)

2) Бухгалтер (решает задачу)

3) Экономист (решает задачу)

4) Вкладчик (роль второго плана)

«Голосование»:

1) Председатель счетной комиссии (проверяющий)

2) Участник ученического совета (решает задачу)

3) Член избирательной комиссии (решает задачу)

4) Избиратель (роль второго плана)

Оформление кабинета.

Перед началом игры расставляется мебель в классе, на столы ставятся таблички с названием команды, кладутся калькуляторы, ручки, участники прикрепляют себе эмблемы. На доске написано название игры, доска украшена рисунками и надписями по теме.

Устанавливается аппаратура, если будет музыкальное сопровождение: две мелодии и аплодисменты.

Ход игры

I. Все игроки занимают свои места. Учитель сообщает цели игры, кратко напоминает ее правила. Проверяющие каждой команды получают от учителя карточки с заданиями для своей команды.

Задачи команды:

- быстро и качественно решить задачи;

- качественно осуществить, т.е. произвести проверку решения задачи;

- презентовать свою группу (проявить артистизм).

II. По сигналу начинается решение поставленных задач, все игроки команды решают отдельно друг от друга. Но по желанию игрок второй роли может помогать своей команде. Все бланки с решениями подписываются игроками.

III. Через 10 минут проверяющие собирают решения игроков и сравнивают со своим решением, т.е.осуществляют проверку, исправляя ошибки, если они есть. И в специальной графе на своем бланке делают пометки. А в это время остальные члены команды готовят презентацию своей группы. То есть им нужно оживить своих героев и свои задания. Придумать способ общения между действующими лицами, проговорить условие задачи и ее ответ, примерить на себя роль конкретного человека в жизненной ситуации.

IV. При просмотре презентации(20 минут, по 4 мин на команду) оценивается артистизм каждой команды, как они смогли реализовать себя в данной роли, как проявили свои деловые качества, на каком уровне проходило общение между членами команд.

V. Побеждает команда, набравшая наибольшее количество баллов.

Оценки учитель выставляет каждому игроку отдельно.

Задания для групп

«Распродажа»

Продавец антикварного отдела

Задача № 1.1 Антикварный магазин приобрел старинный предмет за 30 тыс. р. и выставил его на продажу, повысив цену на 60 % . Но этот предмет был продан лишь через неделю, когда магазин снизил его новую цену на 20%. Какую прибыль получил магазин при продаже антикварного предмета?

Продавец обувного отдела

Задача № 1.2 На сезонной распродаже магазин снизил цены на обувь сначала на 24%, а потом на еще на 10 %.Сколько рублей можно сэкономить при покупке кроссовок, если до снижения цены они стоили 593 р.?

Покупатель

Вы любите заниматься спортом и старинные вещи, а также посещать магазины во время распродажи. Вам примерно 40 лет. Зайдя в магазин на распродажу, обратитесь за советом к менеджеру: «Где дешевле приобрести антикварную вещь и кроссовки?» Потом у продавцов поинтересуйтесь: «Сколько же вы получили прибыли от моей покупки?» и «Сколько рублей я сэкономлю на кроссовках?».

«Тарифы»

Сотрудник коммунального отдела

Задача № 2.1. В начале года тариф на электроэнергию составляла 40 к.за кВт-ч. В середине года он увеличился на 50 %,а в конце года - ещё на 50%. Как вы считаете, увеличился ли тариф на 100%, менее чем на 100%, более чем на 100%?

Продавец мобильных телефонов

Задача №2.2. Тарифы для мобильных телефонов зависят от систем оплаты. В 2000 г. Тарифы оплаты по системе «К» и «М» были одинаковыми, а в следующие три года последовательно либо увеличивались, либо уменьшались (см. таблицу). Сравните тарифы в 2003г.

Квартиросъемщик

Вы следите за изменением цен, и вас заинтересовало повышение тарифов на электроэнергию, а также вы хотите перейти на новый тариф сотовой связи. Вы молоды. Обратитесь сначала к сотруднику коммунального отдела: «Как вы считаете, тариф на электроэнергию увеличился менее чем на 100%?».Затем обратитесь к продавцу мобильных телефонов: «Я был на тарифе К, вот не знаю, остаться на нем или перейти на другой. Посоветуйте».

«Штрафы»

Кассир 1

Задача № 3.1. Если водитель не прошел техосмотр автомашины, сотрудник ГИБДД должен оштрафовать его на ½ минимальной оплаты труда. Стоимость прохождения техосмотра составляет примерно 150 рублей, размер минимальной заработанной платы 500 рублей. На сколько процентов штраф превышает стоимость техосмотра, если при оплате штрафной квитанции в банке с водителя возьмут 3 % за услуги банка?

Кассир 2

Задача № 3.2. Занятия ребенка в музыкальной школе родители оплачивают в сбербанке, внося ежемесячно 250 р. Оплата должна производиться до 15-го числа каждого месяца, после чего за каждый просроченный день начисляется пеня в размере 4% о суммы оплаты занятий за один месяц. Сколько придется заплатить родителям, если они просрочат оплату на неделю?

Водитель машины

Вы хороший водитель, но вот техосмотр не прошли, вместо талона у вас висит календарик, вот вас и оштрафовали. Обратитесь к кассиру 1: «Вы не могли бы посчитать, насколько процентов я заплачу штрафа больше от суммы техосмотра». Затем вы вспоминайте, что забыли заплатить за занятия ребенка в музыкальной школе. Обратитесь к кассиру №2: «Я просрочил оплату на неделю, сколько же теперь придется заплатить?»

«Банковские операции»

Бухгалтер

Задача № 4.1. За хранение денег сбербанк начисляет вкладчику 8% годовых. Вкладчик положил на счет в банке 5000р. и решил в течение пяти лет не снимать деньги со счета и не брать процентные начисления. Сколько денег будет на счету вкладчика через год, через пять лет?

Экономист

Задача № 4.2. На данной диаграмме изображен рост вклада в сбербанке. С помощью диаграммы определите величину первоначального вклада и процентную ставку. Запишите формулу увеличения вклада и вычислите, какую сумму получит вкладчик через 12 лет?

Вкладчик

Вы любите делать вклады, покупать ценные бумаги. Вы - «новый русский». В данном банке у вас два счета. Обратитесь к бухгалтеру с вопросом: «Сколько у меня будет денег через год, через пять лет, если не брать процентные начисления?». А к экономисту: «Вы не подскажете, я не помню, какую сумму первоначально положил на счет и сколько будет через 10 лет на счете».

«Голосование»

Член избирательной комиссии

Задача № 5.1. В 2004 году в выборах Президента РФ на избирательном участке № 356 приняло участие 56% избирателей от общего числа 2844 человека. За Путина В.В. отдали голоса 1069 пришедших на выборы избирателей, за Ирину Хакамаду проголосовало 78 человек. Выборы считаются состоявшимися. Кто из кандидатов победил на этом участке (победитель должен преодолеть 50% барьер) и на сколько процентов обогнал своего соперника?

Участник ученического совета

Задача № 5.2. Из 550 учащихся школы в референдуме по вопросу о введении ученического совета участвовали 88% учащихся. На вопрос референдума 75% принявших участие в голосовании ответил и «да». Какой процент от числа всех учащихся школы составили те, кто ответил положительно?

Избиратель

Вы очень любите ходить на всякий митинги, собрания. Вам лет 70.Вот и сейчас после выборов Президента вас очень интересует вопрос: «Кто из кандидатов победил на вашем избирательном участке и на сколько процентов опередил своего соперника?» Обратитесь с этим вопросом к члену избирательной комиссии. Но вы также хотите узнать, как прошел школьный референдум вашего внука: «Сколько же процентов учащихся проголосовало за введение ученического совета?». Обратитесь с этим вопросом к участнику ученического совета.

Приложение 2

Тема урока «Решение задач о молоке и сыре»

Цель урока: формирование у обучающихся умений математического моделирования практических задач.

Оборудование: таблицы данных, стенды, наборы многогранников и тел вращения, микрокалькуляторы.

Источник и цель математики - в практике.

С. Соболев.

Ход урока

I. Организационный момент. Мотивация познавательной деятельности - сообщение цели урока.

Учитель. На уроке мы решим практические задачи, задачи о молоке, решим их математическими методами - научимся выполнять математическое моделирование.

Вопросы:

1. Что мы знаем о молоке? (Молоко - продукт питания человека; молоко - сырьё, из которого изготавливают молочные продукты: сыры, сливочное масло, творог, сметану...)

2. Какие параметры в повседневной жизни, на практике применяются для оценки качества молока? (Вкус, запах, цвет, плотность, содержание белков и сахара.)

3. Какие параметры (характеристики) можно измерить? (Например, цвет, вкус и запах молока сравнивают с некоторым эталоном, а жирность, плотность молока можно измерить и выразить с помощью числа и единицы, в которой выражается эта величина.)

II. Закрепление теоретического материала в процессе решения задач.

Задача 1. Оптимальная жирность молока 3,2%. В фермерском хозяйстве «Надежда» ежедневно надаивают 100 кг молока с жирностью 3,65%. Что необходимо сделать, чтобы довести молоко до оптимальной жирности?

а) добавить воды; б) добавить обрат.

Учитель. Вначале надо уточнить, что такое жирность молока. Жирность молока - это величина, равная отношению массы жира в молоке (m_ж) к массе молока (m_м), выраженная в процентах, т.е.

Обучающиеся. Из формулы видно, что уменьшить жирность молока можно, увеличивая массу молока, не изменяя массы жира в нём. Это можно сделать, добавляя в молоко воду.

Учитель. Таким образом, добавив в молоко воду, мы увеличим его массу, не изменяя массы жира в нём, и тем самым изменим жирность молока. Но есть ещё другие показатели качества молока, например, плотность. Оказывается, добавление воды в молоко уменьшает его плотность, т.е. плотность «жирного» молока меньше плотности стандартного молока. Добавив воды в «жирное» молоко, мы дополнительно уменьшаем его плотность. Но лаборанты с помошью ареометра легко определяют фальсификацию молока по формуле

где d - плотность молока, D - показание ареометра, t - температура молока. Известно, что плотность молока колеблется в пределах 1,027 - 1,032, плотность сливок - 0,962.

Вопросы:

1. По какой формуле вычисляется плотность?

(Плотность - величина, равная отношению массы вещества к его объёму т.е. .)

2. В каких единицах выражается плотность молока?

(Согласно формуле плотность выражается в кг/м³. или г/см³.)

Учитель. Плотность молока определяется иначе. Плотность молока - это отношение массы молока при температуре 20⁰С к массе равного объёма дистиллированной воды при температуре 4⁰С, т.е. , где m_м - масса молока, m_в - масса воды. Из отношения видно, что плотность молока задаётся всего лишь числом. Заметим, что определение понятия «плотность», используемое в животноводстве, не соответствует определению этого понятия в физике. Вернёмся к задаче. Итак, добавление воды повлияет на плотность, на содержание белков и т.п. Что же надо добавить в молоко, чтобы довести жирность молока до оптимальной?

Ответ: надо добавить обрат, жирность которого 0,05%.

Вопрос:

Сколько обрата надо добавить, чтобы получить молоко оптимальной жирности?

Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо выполнить математическое моделирование задачи.

Обозначим через х массу обрата, тогда масса жира в молоке равна 3,65·100 + 0,05х. Это уравнение является математической моделью задачи. Учитывая, что масса молока равна (100 + х) кг, а его жирность должна быть 3,2%, получим уравнение

.

Обучающиеся самостоятельно решают уравнение и получают х ≈14 кг. Следовательно, надо взять 14 кг обрата.

Выводы. Для получения молока с меньшей жирностью необходимо добавлять обрат. При решении задачи выполняются предварительные математические расчёты с помощью уравнений первой степени. Отсюда следует, что уравнение первой степени есть математическая модель практической задачи.

Задача 2. Сыроделы считают, что при равном объёме сыры шаровой формы лучше сохраняют свои вкусовые качества, чем сыры формы цилиндра, прямоугольного параллелепипеда. Почему?

Учитель. Выполним анализ и ответим на вопрос: как может качество сыра зависеть от его формы?

Ответ. Первоначальные вкусовые качества сыра не зависят от его формы. Возможно позже как-то вкусовые качества меняются, причём у сыров разной формы по-разному. Вкусовые качества меняются в результате испарения и, возможно, окисления. Из курсов физики и химии мы знаем, что процессы испарения и окисления зависят от площади поверхности тел.

Учитель. Какова математическая модель данной практической задачи?

Чтобы ответить на этот вопрос задачу можно сформулировать на языке математики, геометрии: сравнить площади поверхностей прямоугольного параллелепипеда, цилиндра и шара, у которых одинаковые объёмы.

Решение. Пусть сыр имеет форму: а) куба, б) цилиндра, в) шара. Тогда:

а) ;

б)

;

в)

Сравним

Ответ: S_к > S_ц > S_ш ; вкусовые качества сыра шарообразной формы сохраняются лучше, чем сыров другой формы.

Задача 3. Желоба для выпойки телят обратом сбивают из двух одинаковых досок. Под каким углом следует сбивать доски, чтобы получить желоб наибольшего объёма?

Решение.

наибольшее значение ,

если α = 90⁰.

Ответ: 90⁰.

Домашнее задание

Задача 1. Средняя жирность сливочного масла 80%, а молока 3,5%. Сколько потребуется молока для получения 1 кг сливочного масла?

Задача 2. Под каким углом следует сбить три одинаковых доски, чтобы получить поилку наибольшей вместимости.

Приложение 3

Задачи практикоориентированного характера

1.У кладовщика на складе имеются гвозди, упакованные в ящики по 16 кг, 17 кг и 40 кг. Может ли кладовщик отпустить 140 кг гвоздей, не вскрывая ни одного ящика?

2. У фермера для перевозки зерна имеются мешки, в которые входит либо 60 кг, либо 80 кг зерна. Сколько надо заготовить тех и других мешков для загрузки 1 т зерна таким образом, чтобы все мешки были полными? Какое наименьшее количество мешков при этом может понадобиться?

3. Технологу в консервном цеху требуется разлить 20,5 литра сока в банки по 0,7 л и 0,9 л так, чтобы все банки оказались полными. Сколько, каких банок надо заготовить? Какое наименьшее количество банок при этом может понадобиться?

4. Химику-лаборанту нужно прополоскать колбу, в которой находился жидкий реактив. Для этой цели отведено некоторое количество воды. В каком случае полоскание будет эффективнее: если влить в колбу всю воду сразу или если сначала прополоскать колбу половиной имеющейся воды, а затем второй половиной?

5. У повара имеется 90 г 80-процентной уксусной эссенции. На какое наибольшее количество 9-процентного столового уксуса хватит этой эссенции?

6. На строительстве новой школы в микрорайоне работали две бригады. После 5 дней совместной работы вторую бригаду перевели на другой объект. Оставшуюся часть работы первая бригада закончила за 9 дней. За сколько дней могла бы выполнить всю работу каждая бригада, работая отдельно, если известно, что второй бригаде на выполнение всей работы потребовалось бы на 12 дней меньше, чем одной первой бригаде.

7. Фермеру необходимо сделать загон для лошадей. В его распоряжении имеется участок земли площадью 2400 кв. метров. Длина этого участка равна 200 м. Какой длины должна быть изгородь, которая обнесла бы этот участок земли.

8. Одна из дорожных бригад может заасфальтировать некоторый участок дороги на 4 часа быстрее другой. Прорабу необходимо знать за сколько часов может заасфальтировать участок каждая бригада, если известно что за 24 часа совместной работы они могут заасфальтировать пять таких участков.

9. Инженеру необходимо рассчитать площадь опоры. Груз массой 30 тонн производит давление на опору. Если массу груза уменьшить на 2 т, а площадь опоры уменьшить на 1 кв. м, то масса, приходящаяся на каждый квадратный метр опоры увеличится на 1 тонну.

10. Для засолки огурцов домохозяйке необходимо знать сколько воды содержал рассол и какова его концентрация, если к рассолу, содержащему 50 г соли, добавили 150 г воды. После этого концентрация уменьшилась на 7,5%.

11. Девятиклассник, который получил первое место в областной олимпиаде по математике, получил от Губернатора вознаграждение в размере 5000 рублей и положил в банк на счет, по которому сумма вклада ежегодно возрастает на 8%. Какую, сумму денег получит вкладчик через шесть лет? ( Ответ: 7934 р.)

12. Сотрудник типографии должен набрать к определенному сроку рукопись объемом 150 страниц. Если он будет набирать на 5 страниц больше, чем обычно, то закончит работу на 1 день раньше намеченного срока. Сколько страниц в день обычно набирает сотрудник?

Задача 1. (8 класс. «Четырехугольники»)

Для изготовления фигурной детали токарю необходимо сделать паз, имеющий форму равнобокой трапеции по размерам, данным на рисунке. Вычислите угол наклона боковых граней паза.

Задача 2. (8 класс. «Четырехугольники»)

Территория предприятия имеет форму прямоугольника, стороны которого относятся как 21: 19, при этом длина участка больше его ширины на 200 м. Обход территории необходимо производить каждый час. Успеет ли один охранник обойти территорию предприятия по периметру, если его скорость равна 4 км/ч?

Решение.

Пусть х(м)-одна часть, тогда 21х (м) -длина участка и 19х (м) - ширина участка. Так как длина участка на 200 м больше ширины, то 21х = 19х + 200, х = 100. Т.е. длина участка 2100 м, а ширина - 1900 м. Периметр территории предприятия равен (2100 + 1900)·2 = 4000(м). Учитывая скорость охранника, найдем необходимое время: 4 км: 4 км/ч = 1 ч.

Ответ. 1 час

Задача 3. (8 класс. Теорема Пифагора)

Туннель имеет форму полукруга радиуса 3 м. Какой наибольшей высоты диспетчер может выпустить машину шириной 2 м, чтобы она могла проехать по данному туннелю?

3м

С

А О D

Решение.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ОАВ, где О - центр круга. По теореме Пифагора: ОВ² = АВ² + АО², т.е. АВ² = 9 - 1 = 8, АВ = 2. Таким образом, максимальная высота машины равна катету АВ, и ее приближенное значение 2,8 м.

Ответ. 2,8 м

Задача 4. (9 класс. Площадь)

В ходе ремонтных работ рабочим необходимо заменить две трубы , диаметры которых 10 см и 24 см, одной, не изменяя их пропускной способности. Каким должен быть диаметр новой трубы?

24см

10см

Решение. = 5см, = 12см

Суммарная площадь поперечных сечений труб равна

25 + 144 = 169 . Таким образом радиус новой трубы равен 3см, а ее диаметр равен 26см.

Ответ. 26 см

Задача 5. (9 класс. Окружность)

На соревнованиях два спортсмена должны пробежать один круг по дорожке стадиона, форма которого - прямоугольник с примыкающими к нему с двух сторон полукругами. Один бежит по дорожке, расположенной на 2 м дальше от края, чем другой. Какое расстояние должно быть между ними на старте, чтобы компенсировать разность длин дорожек, по которым они бегут? (Примите 3)

Решение.

Разность длин двух дорожек равна разности длин криволинейных участков дорожек. Длины криволинейных участков равны длинам окружностей, радиус одной из которых на 2 м больше другой. Следовательно, длина одной окружности на 4 12 (м) больше другой и, значит, спортсмен, бегущий по внешней дорожке, должен находиться на 12 м впереди другого.

Ответ. 12 м

Задача 6. (8 класс. Подобные треугольники)

С наблюдательной вышки А, находящейся на высоте 370 м над уровнем моря, ведется наблюдение за тонущей рыбачьей шхуной В и спасательным судном С, движущимся к ней на помощь со скоростью 30 км/ч. Рыбачья шхуна видна с вышки под углом 4°48′, а спасательное судно - под углом 36°30′ к горизонту. Наблюдателю необходимо выяснить: успеет ли судно вовремя подоспеть на помощь к шхуне, если, по полученным сведениям, она может продержаться на поверхности воды около 30 минут или для спасения нужны дополнительные силы?

Решение.

АОВ, О = 90°

tgВ = ; OB = ≈ 4,405 км.

АОС, О = 90°

tgС = ; OC = ≈ 0,5 км.

СВ = ОВ - ОС = 4,405 - 0,5 = 3,905 км

t = = 0,13 (ч).

Ответ: успеет.

Задача 7. (7 класс. Прямоугольные треугольники)

Подводная лодка, находясь впереди корабля, погрузилась в воду и пошла в направлении, перпендикулярном направлению на корабль со скоростью 30 км/ч. Под каким углом к направлению хода подводной лодки лоцман должен проложить курс корабля со скоростью 60 км/ч, чтобы в некоторой точке пройти над подводной лодкой? Ответ укажите в градусах.

Решение.

Рассмотрим прямоугольный треугольник. Т.к. катет равен половине гипотенузы, то искомый угол равен 30° (свойство катета).

Ответ. 30°

8. Жестянщику заказали изготовить из квадратного куска жести в 60 см ширины коробку без крышки с квадратным дном при определенном условии - коробка должна иметь наибольшую вместимость. Какой ширины должны быть края коробки, чтобы она имела наибольший объем?

9. Участники олимпиады профессионального мастерства на звание «Лучший по профессии: Токарь» получили задание: из конуса необходимо выточить цилиндр так, чтобы сточено было возможно меньше материала. При какой форме цилиндр получится наибольшего объема?

10. Для изготовления книжной полки нужна доска строго определенных размеров, а именно, 1 м длины и 20 см ширины, однако в мастерской есть доска менее длинная, но более широкая, например, 75 см длины и 30 см ширины. Каким образом мастеру можно удлинить данную доску посредством трех отпиливаний и одного склеивания?

11. Пол в танцевальном зале имеет форму прямоугольника размером 8 м x 15 м. Его требуется покрыть паркетной плиткой. Сколько нужно подготовить квадратных плиток, размером 50 см x 50 см, если на обрезки и пригонку затрачивается 2% площади всех плиток.

12. Для того чтобы предупредить корабли об имеющихся на их пути трех мелях A, B, C (рис. 42), поставили два маяка M₁ и M₂, которые расположены на окружности, охватывающей опасный участок. Угол M₁OM₂ должен быть известен лоцманам, ведущим корабли. Как могут лоцманы, измеряя угол между направлениями на оба маяка, узнавать, находятся ли корабли вне зоны опасности?

Приложение 4

Урок - деловая игра: « Изоляция труб газо- и нефтепровода»

Учителя стараются приблизить свои уроки к практике. Покажу возможности выхода в практику на примере урока по теме: « Решение задач на вычисление объемов и поверхностей тел».

В начале учитель знакомит обучающихся с правилами эксплуатации газопроводов и нефтепроводов.

Для транспортировки нефти и горючих газов от места добычи к пунктам потребления строят магистральные газопроводы и нефтепроводы. При этом используются трубы различных диаметров. Труба определенного диаметра имеет соответствующую толщину.

На экран проецируется таблица с возможными диаметрами труб газопроводов и нефтепроводов.

В целях избежания коррозии трубы двукратно обматывают специальной полихлорвиниловой пленкой.

Строители газопроводов и нефтепроводов, а затем обслуживающий персонал должны следить за исправностью труб и соблюдать требования по эксплуатации, а также вовремя производить ремонт.

После этой информации учитель объявляет, что сегодня все обучающиеся будут выступать в роли работников газопроводов и нефтепроводов. Требуется выполнить работу по изоляции труб: произвести двукратную обмотку защитной пленки. Для этого, прежде всего надо выяснить, сколько пленки потребуется газовикам, а сколько - нефтяникам.

Учащиеся разбиваются на три бригады.

Первая бригада - трубоукладчики газопровода.

Вторая бригада - трубоукладчики нефтепровода.

Третья бригада - поставщики пленки.

Задача для трубоукладчиков газопроводов:

Вычислить, какую площадь трубы необходимо обмотать пленкой, если ее диаметр трубы 1220 мм, а ее длина 10 км.

Задача для трубоукладчиков нефтепровода:

Вычислить, какую площадь трубы необходимо обмотать пленкой, если диаметр трубы 529 мм, а ее длина 10 км.

Задача для поставщиков:

Подсчитать, сколько пленки в одном рулоне и сколько нужно доставить рулонов пленки на газопровод и нефтепровод, если

Высота рулона - 95 см,

Внешний радиус - 55 см,

Внутренний радиус - 3 см,

Толщина пленки - 0,2 мм.

Учащиеся приступают к работе. Они делают чертежи цилиндра, параллелепипеда, записывают формулы, необходимые для решения поставленных задач.

Внутри каждой команды разрешаются взаимоконсультации. При необходимости консультацию дает преподаватель.

На следующем этапе урока рассматриваются решения учащихся. Приведем их.

Площадь поверхности трубы представляет собой боковую поверхность цилиндра. Длина трубы является высотой цилиндра.

Вычислить площадь покрытия трубы газопровода, при этом диаметр трубы берем наружный, равный 1220мм:

S_{бок. цил.} = 2πRH= 2π · 1,220/20·10000=12200.0π=38308,0(м²)

Для двукратного покрытия этой трубы понадобится 38308,0 · 2 = 76616,0 (м²) изоляционной пленки.

Вычислим площадь поверхности тубы нефтепровода, считая, что внешний диаметр трубы равен 529 мм:

S_{бок. цил} = 2πRH= 2π · 0,529/2 ·10000=16610, 6(м²)

Для двукратного покрытия трубы нефтепровода необходимо

16610,6 · 2= 33221,2 (м) изоляционной полихлорвиниловой пленки.

Подсчитаем, сколько квадратных метров изоляционной пленки в одном рулоне. Рулон представляет собой цилиндр, высота которого H=95 см, а радиус R= 55 см. этот цилиндр внутри полый. Полость также представляет собой цилиндр высотой H=95 см и радиусом r=3 см. вычислим объем рулона, вычтя из объема цилиндра большего радиуса объем цилиндра меньшего радиуса:

V_рул = πR²H - πr²H = πH( R² - r²) = πH(R - r)( R + r) = 3,14·0,95х

х(0,55-0,03) = 0,90 м³

Если развернуть рулон, то пленка примет форму прямоугольного параллелепипеда, у которого длина x мм, ширина 950 мм, высота 0,2 мм, а объем V равен 0,90 м³. отсюда составляем уравнение 0,90 = 0,95х), 0002 · X. тогда x= 0,9/0,95·0,0002 = 4736,84(м).

Теперь найдем площадь S поверхности пленки. Ее поверхность представляет собой прямоугольник длиной x, шириной 950 мм, где x= 4736,84 (м), т.е. S = 0,95·4736,84 = 4499,998 = 4500 (м²)

Итак, в одном рулоне 4500 м² пленки.

Далее учащиеся вычисляют, сколько рулонов изоляционной пленки необходимо газовикам:

76616,0:4500 = 17,026 =17,1 (рулонов).

Если приобрести 17 рулонов, то пленки не хватит, следовательно, необходимо закупить 18 рулонов, так как рулоны можно закупать только целые; округление производим с избытком.

Узнаем, сколько рулонов пленки необходимо нефтяникам на обмотку трубы длиной 10 км: 33221,2/4500 =7,38 = 8 (рулонов)

Округление также производим с избытком.

В конце третьего этапа игры обучающиеся из каждой бригады объясняют у доски, как они решили свою задачу.

На заключительном этапе урока учитель проверяет, насколько глубоко усвоили обучающиеся материал. Для этого им предлагаются контрольные вопросы:

1. Докажите, что объем цилиндра равен πR²H.

2. Докажите, что боковая поверхность цилиндра равна 2πRH.

3. Запишите формулу полной поверхности цилиндра.

4. Запишите формулу боковой поверхности призмы.

5. Запишите формулу боковой поверхности пирамиды, полной и усеченной.

В заключение учитель подводит итоги игры, выставляет оценки обучающимся.

Приложение 5

СЕМЕЙНАЯ МАТЕМАТИКА.

Внеклассное мероприятие «Семейная математика» - это игра-конкурс, в котором принимают участие 3 команды (параллель 5-х и 6-х классов). В состав команды входят папа, мама, ребенок. В качестве помощников команд от каждого класса выступает «группа поддержки» в составе 4 человек. Таким образом, полная команда состоит из 7 человек. Болельщиками команд являются ученики 5-6-х классов, их родители, учителя математики, классные руководители. В состав жюри входят члены методического объединения учителей математики. В качестве призов для команд можно предложить наборы инструментов (циркуль, транспортир, треугольник), калькуляторы, книги - сборники занимательных задач.

Данное мероприятие проведено автором для параллели 6-х классов. Оно вызвало живой интерес у присутствующих в силу следующих факторов:

• мероприятие проводится совместно с родителями, то есть и ребенок, и родители становятся командой, объединенной одной целью - показать свои знания, поддержать друг друга;

• все конкурсы проводятся в увлекательной форме, что позволяет и детям, и их родителям получить настоящее удовольствие от совместно проведенного времени.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор.

1-й ведущий.

Чтобы спорилось нужное дело,

Чтобы в жизни не знать неудач,

Мы в поход отправляемся смело -

В мир загадок и сложных задач.

Не беда, что идти далеко,

Не боимся, что путь будет труден.

Достижения крупные людям

Никогда не давались легко.

2-й ведущий.

Чтоб водить корабли,

Чтобы в небо взлететь,

Надо многое знать,

Надо много уметь!

И при этом, и при этом

Вы заметьте-ка, друзья,

Очень важная наука - математика!

Почему корабли не садятся на мель,

А по курсу идут сквозь туман и метель?

Потому что, потому что

Вы заметьте-ка, друзья,

Капитанам помогает математика!

Чтоб врачом, моряком или летчиком стать,

Надо, прежде всего, математику знать!

И на свете нет профессии,

Вы заметьте-ка, друзья,

Где бы нам ни пригодилась математика?

1-й ведущий. Дорогие ребята! Уважаемые родители! Я надеюсь, что наш праздник пройдет интересно,с пользой не только для детей, но и для родителей. Действительно, математика - важнейшая из наук. Пожалуй, нет такой профессии, в которой бы не нужна была математика. В повседневной жизни нам не обойтись без математики. Об этом мы стараемся не забывать на уроках, об этом хотелось бы поговорить и сегодня на мероприятии «Семейная математика». Почему именно «семейная»? А где, как не в семье дети, получают первые представления об арифметических действиях, об экономике, о геометрических фигурах? Это происходит тогда, когда родители просят детей сходить в магазин за покупками, когда папа учит сына выполнению несложной столярной работы, когда девочки готовят какое-либо блюдо по рецепту или шьют одежду для своих кукол. Во всех делах нужна математика! Но семья - это СЕМЬ «я». Сейчас редко встретишь семьи, в которых под одной крышей проживает по 7 и более человек. Поэтому, чтобы у нас получились настоящие семьи, каждой команде будут помогать представители нашей школьной семьи. Это группа поддержки - от каждого класса по 4 человека.

Итак, мы начинаем наш конкурс.

Разминка

1. От куска материи длиной 10 м портной каждый день отрезает 2 м. Сколько раз он проделает эту операцию до того, как материя закончится?

2. Сколько концов у двух палок? У четырех с половиной?

3. Что есть у растения и уравнения?

4. Какое женское имя состоит из 30 местоимений?

5. В каком слове 100 отрицаний?

6. Название какой птицы состоит из четырех десятков одинаковых букв?

7. В названии какого предмета одежды слышится английское число 2?

8. В названии какой цифры слышится название меньшей цифры?

9. В названии какой артистической профессии содержится цифра?

10. В названии какого вида спорта можно услышать английское слово десять?

11. Назовите слово, 100 одинаковых букв которого можно найти на лугу?

Семейная викторина

Задачи.

1. Шоколадный батончик стоит 11 рублей 20 копеек. Какое наибольшее число батончиков можно купить на 100 рублей?

2. Марина купила 1,5 кг малины по цене 90 рублей за 1 кг. Сколько рублей сдачи она получит с 500 рублей?

3. Пачка печенья стоит 18 рублей. В супермаркете проводится рекламная акция: купив 2 пачки печенья, покупатель третью пачку получает в подарок. Сколько пачек печенья можно получить за 100 рублей?

4. Оптовая цена учебника 160 рублей. Какое наибольшее число таких учебников можно купить по розничной цене на 5000 рублей, если розничная цена на 20% выше оптовой?

5. После повышения цены на 15% электрический утюг стал стоить 3082 рубля. Сколько рублей стоил утюг до повышения цены?

6. Билет в музей стоит 180 рублей. Стоимость билета для школьника составляет 50% стоимости билета для взрослого. Группа состоит из 22 школьников двух учителей. Какова стоимость билетов на всю группу?

7. Блузка стоила 780 рублей. После снижения цены она стала стоить 507 рублей. На сколько процентов была снижена цена за блузку?

8. Клиент взял в банке в размере 18000 рублей на год под 26%. Чтобы через год выплатить всю сумму вместе с процентами, он должен погашать кредит, внося в банк ежемесячно одинаковую сумму денег. Сколько рублей он должен вносить в банк ежемесячно?

Конкурс «Раздели торт»

Раздели торт на 7 кусков (не обязательно одинаковых) тремя прямыми так, чтобы на каждом куске был по розочке.

Конкурс «шарады»

Толковый словарь С.И.Ожегова так определяет шараду: «Загадка, в которой загаданное слово делится на несколько частей, каждая из которых представляет собой отдельное слово» Например, «век-тор», «Фа-лес», «кон-ус» и так далее. Вот как можно зашифровать в стихах слово «за-дача»

Я цифра меньше 10,

Меня тебе легко найти.

Но если рядом буква «Я»

Прикажешь встать,

Тогда я все: отец, и ты, и дедушка, и мать.

Мой первый слог - предлог,

А во втором мы проживем все лето,

А целое от нас и вас

Давно уж ждет ответа.

Первый слог означает то,

Что летом при дожде бывает.

Второй - у казака в почете,

Вы на лице его найдете.

Конкурс «Ребус»

В толковом словаре С.И.Ожегова дается такое толкование слова «ребус» - «загадка, в которой искомое слово или фраза изображены комбинацией фигур, знаков или букв».

Конкурс «Пословицы с цифрами»

Команда предлагается за 3 минуты записать русские пословицы и поговорки, в которые входит в число семь. Затем капитаны команд по очереди зачитывают по одной поговорке или пословице. Каждая пословица может быть прочитана только один раз, поэтому если какую-то пословицу произнесла другая команда, а она есть у вас в списке, то вы ее вычеркиваете и в дальнейшем не произносите. Команда, у которой нет ответа, выбывает из игры, остальные продолжают зачитывать по очереди до выявления победителя.

Например:

Семеро одного не ждут.

Семь раз отмерь, один раз отрежь.

За семь верст киселя хлебать.

Седьмая вода на киселе.

Он семи пядей во лбу.

Конкурс «Живые цифры»

Каждой команде предлагается за 10 минут нарисовать «Живые цифры», то есть изобразить с помощью цифр зверей, птиц, цветы. ( На что у каждой команды хватит фантазий).

Задача для болельщиков.

Отец, у которого было 4 сына, имел квадратное поле. ¼ он оставил себе. Остальную часть обещал отдать сыновьям, если они сумеют разделить поле на равные по площади и по форме части. Помогите сыновьям.

Приложение 6

«БЕЗОПАСНОЕ КОЛЕСО» И ЗАКОНЫ МАТЕМАТИКИ

(интегрированная игра-викторина по правилам

дорожного движения для обучающихся 5-7 классов)

Зал украшен изображениями дорожных знаков, светофоров, машин и пр. Сцена расчерчена дорожной разметкой.

Ведущий. Как часто мы в окружающей нас действительности встречаемся с математикой? Многие приведут пример того, что человеку всегда нужно что-то посчитать. Другие укажут на наличие в окружающей действительности геометрических форм. Конечно же, идеальных геометрических форм в природе не существует, но в тех предметах, которые созданы человеком, их можно встретить гораздо чаще. Сегодня мы попытаемся обнаружить их среди разнообразных знаков, регулирующих нашу жизнь.

Для участия в игре приглашаются две разновозрастные команды, в состав которых входят по одному представителю из 5-9 классов. Четверо из них будут пассажирами автомобиля, а 5-й - водителем.

Задача каждого экипажа автомобиля - «доехать» от старта до финиша. Движение возможно только в случае правильного ответа на вопросы инспектора движения. Водителям выдаются рули (детская игрушка, с помощью которой можно подавать звуковой сигнал.)

Для того чтобы начать игру, вам нужно вспомнить любую песню, в которой поётся о дороге, автомобиле и т.д.

Пока команды вспоминают песню, ведущий знакомит болельщиков с историей возникновения дорожных знаков и интересной информацией о них.

1-й ведущий. Прообразом современных дорожных знаков считают камень, обнаруженный археологами неподалеку от итальянского города Ливорно. Латинская надпись на камне предупреждала: «Это место опасно!». Настоящие дорожные знаки впервые были введены в Швейцарии в 1790 г., а вскоре правила движения и дорожные знаки появились во Франции. Уже к концу XIX в. некоторые страны Европы ввели ограничения скорости автомобилей (в пределах поселений скорость не должна превышать 20 км/ч, а на трассах - 30 км/ч). В начале XX в были приняты международные правила дорожного движения и общие для всех стран Европы стандартные дорожные знаки.

2-й ведущий. Современные дорожные знаки делятся на 5 категорий: предупреждающие, запрещающие, предписывающие, информационно-указательные и знаки приоритета.

1-й ведущий. Известно, что современные дорожные знаки покрыты светоотражающей краской. Дорожники всего мира позаимствовали эту идею у… кошек, глаза, которых светятся в темноте.

2-й ведущий. В некоторых странах отдельные правила дорожного движения никогда не нарушаются. Вот, например, в Венеции правилами запрещен проезд по главным улицам города автобусов и трамваев. Никто никогда не нарушал этого правила, потому что главные улицы здесь - каналы и по ним передвигаются на другом виде транспорта - гондолах.

Сегодня в правилах движения есть пункты, о которых еще 30 лет назад и не подозревали, например, о том, что во время движения водителю запрещается разговаривать по мобильному телефону. А вот право слушать музыку у водителя и его спутников пока еще есть. Давайте и мы послушаем песни в исполнении наших участников.

Капитан команды исполняет песню.

1-й ведущий. Итак, наше автомобильное путешествие начинается. Контролировать ваше движение будет инспектор.

Выходит инспектор дорожного движения в соответствующей форме.

Вопросы командам задаются одновременно. Право на ответ дается команде, раньше подавшей звуковой сигнал. Если в течение 30 с ни одна команда не дала правильного ответа, ответить на вопрос может кто либо из болельщиков; он же заменяет одного из пассажиров (ученика того же класса, в котором учится ответивший). Если правильного ответа нет, на вопрос отвечает ведущий. Правильный ответ сопровождается показом соответствующего дорожного знака. Вопрос по правилам дорожного движения (а) сопровождается соответствующим математическим вопросом (б).

Если вопросы задавать командам по очереди, то для того, чтобы выбрать, кто будет отвечать первым, предлагается водителям выполнить на время такое задание: сгруппировать попарно названия геометрических фигур и дорожные знаки (кто раньше справится, та команда и начинает игру)

Сгруппируйте: равносторонний треугольник; окружность с находящимся внутри нее прямоугольником; прямоугольник; восьмиугольник; знаки: «Уступи дорогу», «Въезд запрещен», «Кемпинг», «Стоп!».

Вопросы командам:

1-й вопрос.

а) Чему равна сумма углов треугольника? (180º)

б) Какая геометрическая фигура предупреждает нас о ремонте дороги? (Треугольник)

2-й вопрос.

а) Где во время движения мы сможем встретиться с тремя кругами, расположенными один над другим? (Светофоре)

б) Как называется линия, соединяющая две точки, лежащих на окружности? (Хорда)

3-й вопрос.

а) Как называется дорожный знак, представляющий собой круг с проведенными в нем двумя диаметрами? (Знак «Остановка запрещена»)

б) Во сколько раз диаметр длиннее радиуса? (В 2 раза)

4-й вопрос.

а) Математик прочитал бы этот знак как «противоположно направленные векторы». Как должен прочитать его водитель? («Преимущество встречного движения», «Преимущество перед встречным движением»)

б) Приведите примеры векторных величин.

5-й вопрос.

а) Как расположены по отношению друг к другу прямоугольники на дорожной разметке, перед которыми водитель должен остановиться и пропустить пешеходов? (Параллельно)

б) Какие углы равны, если две параллельные прямые пересечены третьей?

6-й вопрос.

а) Какую форму имеют запрещающие дорожные знаки, например «Обгон запрещен»? (Круглую)

б) Как называется прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку? (Касательная)

7-й вопрос.

а) Предписывающие дорожные знаки тоже круглые, но голубого цвета и без красной каймы. Например, дорожка для велосипедов. Что означают цифры внутри круга на дорожных знаках? (Разрешенная максимальная скорость)

б) Как в математике читается запись, в которой после цифры вверху написан кружочек (верхним индексом)? (Градус)

8-й вопрос.

а) Что с точки зрения математика представляет собой знак «Уступи дорогу»? (Равносторонний треугольник)

б) Чему равны величины углов у равностороннего треугольника? (60º)

9-й вопрос.

а) Что с точки зрения математика представляет собой знак «Остановка запрещена»? (Окружность с проведенным диаметром)

б) Как длина окружности связана с ее диаметром? (L = 2πR)

10-й вопрос.

а) Что с точки зрения математика представляет собой знак «Въезд запрещен»? (Круг с нарисованным на нем прямоугольником)

б) Чем окружность отличается от круга?

11-й вопрос.

На каких дорожных знаках мы можем увидеть параллельные прямые? (Знак «Приближение к железнодорожному переезду», число дорожных полос)

12-й вопрос.

На каких дорожных знаках мы можем увидеть перпендикулярные прямые? (Знаки «Тупик», «Пересечение с главной дорогой» и др)

13-й вопрос.

На каких дорожных знаках мы можем увидеть смежные углы? (Знак «Примыкание к главной дороге второстепенной»)

14-й вопрос.

а) Остановка перед каким объектом послужит для изучения вертикальных углов? (Перед железнодорожным переездом)

б) Какие углы называются вертикальными?

15-й вопрос.

а) Какая геометрическая фигура говорит о том, что мы движемся по главной дороге? (Ромб)

б) Верно ли, что любой ромб является квадратом? (Нет) А на оборот? (Да)

16-й вопрос.

а) Какой знак пунктуации украшает знак «Прочие опасности»? (!)

б) Является ли этот знак математическим знаком? (Да, знак факториала)

17-й вопрос.

а) Этот знак в народе называют также, как и предмет, используемый в строительстве. Как выглядит с точки зрения математики и как называется этот знак в правилах дорожного движения? (Знак «Въезд запрещен»)

б) Какой геометрической фигурой является реальный строительный кирпич? (Параллелепипед)

Дополнительный вопрос.

Если команды набрали одинаковое количество баллов, то задается дополнительный вопрос водителям:

Эмблема автомобиля какой марки состоит из 4 пересекающихся окружностей (колец)? (Фирмы «Ауди»)

1-й ведущий. Итак, наши экипажи доехали до финиша. А там их ждало феерическое акробатическое представление. Первым достиг финиша экипаж с водителем (…). Вы все были так наблюдательны, сравнивая дорожные знаки с геометрическими фигурами. А вот теперь проверим вашу наблюдательность еще раз. Наблюдая за танцем наших спортсменок, мы предлагаем вам записать (или зарисовать) как можно больше выполняемых танцорами движений, в которых также можно разглядеть нечто математическое. Каждому экипажу раздаются листочки и ручки.