27

Содержание

Введение

Стереометрия − это раздел геометрии, в котором изучаются фигуры в пространстве. Основными фигурами в пространстве являются точка, прямая и плоскость. В стереометрии появляется новый вид взаимного расположения прямых: скрещивающиеся прямые. Это одно из немногих существенных отличий стереометрии от планиметрии, так как во многих случаях задачи по стереометрии решаются путем рассмотрения различных плоскостей, в которых выполняются планиметрические законы.

В окружающей нас природе существует множество объектов, являющихся физическими моделями указанной фигуры. Например, многие детали машин имеют форму цилиндра или представляют собой некоторое их сочетание, а величественные колонны храмов и соборов, выполненные в форме цилиндров, подчеркивают их гармонию и красоту.

Греч. − кюлиндрос. Античный термин. В обиходе − свиток папируса, валик, каток (глагол − крутить, катать).

У Евклида цилиндр получается вращением прямоугольника. У Кавальери − движением образующей (при произвольной направляющей − "цилиндрика").

Цель данного реферата рассмотреть геометрическое тело - цилиндр.

Для достижения данной цели необходимо рассмотреть следующие задачи:

− дать определения цилиндра;

− рассмотреть элементы цилиндра;

− изучить свойства цилиндра;

− рассмотреть виды сечения цилиндра;

− вывести формулу площади цилиндра;

− вывести формулу объема цилиндра;

− решить задачи с использованием цилиндра.

1 Теоретическая часть

1.1. Определение цилиндра

Рассмотрим какую-либо линию (кривую, ломаную или смешанную) l, лежащую в некоторой плоскости α, и некоторую прямую S, пересекающую эту плоскость. Через все точки данной линии l проведем прямые, параллельные прямой S; образованная этими прямыми поверхность α называется цилиндрической поверхностью. Линия l называется направляющей этой поверхности, прямые s₁, s₂, s₃,... − ее образующими.

Если направляющая является ломаной, то такая цилиндрическая поверхность состоит из ряда плоских полос, заключенных между парами параллельных прямых, и называется призматической поверхностью. Образующие, проходящие через вершины направляющей ломаной, называются ребрами призматической поверхности, плоские полосы между ними − ее гранями.

Если рассечь любую цилиндрическую поверхность произвольной плоскостью, не параллельной ее образующим, то получим линию, которая также может быть принята за направляющую данной поверхности. Среди направляющих выделяется та, которая, получается, от сечения поверхности плоскостью, перпендикулярной образующим поверхности. Такое сечение называется нормальным сечением, а соответствующая направляющая − нормальной направляющей.

Если направляющая − замкнутая (выпуклая) линия (ломаная или кривая), то соответствующая поверхность называется замкнутой (выпуклой) призматической или цилиндрической поверхностью. Из цилиндрических поверхностей простейшая имеет своей нормальной направляющей окружность. Рассечем замкнутую выпуклую призматическую поверхность двумя плоскостями, параллельными между собой, но не параллельными образующим.

В сечениях получим выпуклые многоугольники. Теперь часть призматической поверхности, заключенная между плоскостями α и α', и две образовавшиеся при этом многоугольные пластинки в этих плоскостях ограничивают тело, называемое призматическим телом − призмой.

Цилиндрическое тело − цилиндр определяется аналогично призме:
Цилиндром называется тело, ограниченное с боков замкнутой (выпуклой) цилиндрической поверхностью, а с торцов двумя плоскими параллельными основаниями. Оба основания цилиндра равны, также равны между собой и все образующие цилиндра, т.е. отрезки образующих цилиндрической поверхности между плоскостями оснований.

Цилиндром (точнее, круговым цилиндром) называется геометрическое тело, которое состоит из двух кругов, не лежащих в одной плоскости и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов (рис. 1).

Рис. 1 − Цилиндр

1.2. Элементы и свойства цилиндра

Круги называются основаниями цилиндра, а отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей кругов, − образующими цилиндра.

Так как параллельный перенос есть движение, то основания цилиндра равны.

Так как при параллельном переносе плоскость переходит в параллельную плоскость (или в себя), то у цилиндра основания лежат в параллельных плоскостях.

Так как при параллельном переносе точки смещаются по параллельным (или совпадающим) прямым на одно и то же расстояние, то у цилиндра образующие параллельны и равны.

Поверхность цилиндра состоит из оснований и боковой поверхности. Боковая поверхность составлена из образующих.

Цилиндр называется прямым, если его образующие перпендикулярны плоскостям оснований.

Прямой цилиндр наглядно можно представить себе как геометрическое тело, которое описывает прямоугольник при вращении его около стороны как оси (рис. 2).

Рис. 2 − Прямой цилиндр

В дальнейшем мы будем рассматривать только прямой цилиндр, называя его для краткости просто цилиндром.

Радиусом цилиндра называется радиус его основания. Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями его оснований. Осью цилиндра называется прямая, проходящая через центры оснований. Она параллельна образующим.

Цилиндр называется равносторонним, если его высота равна диаметру основания.

Если основания цилиндра плоские (и, следовательно, содержащие их плоскости параллельны), то цилиндр называют стоящим на плоскости. Если основания стоящего на плоскости цилиндра перпендикулярны образующей, то цилиндр называется прямым.

В частности, если основание стоящего на плоскости цилиндра − круг, то говорят о круговом (круглом) цилиндре; если эллипс − то эллиптическом.

1. 3. Сечения цилиндра

Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси, представляет собой прямоугольник. Две его стороны − образующие цилиндра, а две другие − параллельные хорды оснований.

В частности, прямоугольником является осевое сечение. Это − сечение цилиндра плоскостью, проходящей через его ось.

Сечение цилиндра плоскостью, параллельной основанию − круг .

Теорема 1. Плоскость, параллельная плоскости основания цилиндра, пересекает его боковую поверхность по окружности, равной окружности основания.

Доказательство. Пусть β − плоскость, параллельная плоскости основания цилиндра. Параллельный перенос в направлении оси цилиндра, совмещающий плоскость β с плоскостью основания цилиндра, совмещает сечение боковой поверхности плоскостью β с окружностью основания. Теорема доказана.

1.4. Площадь цилиндра

Площадь боковой поверхности цилиндра.

За площадь боковой поверхности цилиндра принимается предел, к которому стремится площадь боковой поверхности правильной призмы, вписанной в цилиндр, когда число сторон основания этой призмы неограниченно возрастет.

Теорема 2. Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности его основания на высоту (S_бок.ц = 2πRH, где R − радиус основания цилиндра, Н − высота цилиндра).

а) б)
Рис. 4 − Площадь боковой поверхности цилиндра

Доказательство.

Пусть P_n и Н соответственно периметр основания и высота правильной n-угольной призмы, вписанной в цилиндр (рис. 4, а). Тогда площадь боковой поверхности этой призмы S_бок.ц − P_nH. Предположим, что число сторон многоугольника, вписанного в основание, неограниченно растет (рис. 4, б). Тогда периметр P_n стремится к длине окружности С = 2πR, где R- радиус основания цилиндра, а высота H не изменяется. Таким образом, площадь боковой поверхности призмы стремится к пределу 2πRH, т. е. площадь боковой поверхности цилиндра равна S_бок.ц = 2πRH. Теорема доказана.

Площадь полной поверхности цилиндра.

Площадью полной поверхности цилиндра называется сумма площадей боковой поверхности и двух оснований. Площадь каждого основания цилиндра равна πR², следовательно, площадь полной поверхности цилиндра S_полн вычисляется по формуле S_бок.ц = 2πRH+ 2πR².

Рис. 5 − Площадь полной поверхности цилиндра

Если боковую поверхность цилиндра разрезать по образующей АT, и развернуть так, чтобы все образующие оказались в одной плоскости, то в результате мы получим прямоугольник АTT1А1, который называется разверткой боковой поверхности цилиндра. Сторона FF1 прямоугольника есть развертка окружности основания цилиндра, следовательно, АА1=2πR, а его сторона АT равна образующей цилиндра, т. е. АT = Н (рис. 5, б). Таким образом, площадь АT∙АА1=2πRH развертки цилиндра равна площади его боковой поверхности.

1.5. Объем цилиндра

Если геометрическое тело простое, то есть допускает разбиение на конечное число треугольных пирамид, то его объем равен сумме объемов этих пирамид. Для произвольного тела объем определяется следующим образом.

Данное тело имеет объем V, если существует содержащие его простые тела и содержащиеся в нем простые тела с объемами, сколько угодно мало отличающимися от V.

Применим это определение к нахождению объема цилиндра с радиусом основания R и высотой Н.

При выводе формулы для площади круга были построены такие два n-угольника (один − содержащий круг, другой − содержащийся в круге), что их площади при неограниченном увеличении n неограниченно приближались к площади круга. Построим такие многоугольники для круга в основании цилиндра. Пусть Р − многоугольник, содержащий круг, а Р' − многоугольник, содержащийся в круге (рис. 6).

Рис. 7 − Цилиндр с описанной и вписанной в него призмой

Построим две прямые призмы с основаниями Р и Р' и высотой Н, равной высоте цилиндра. Первая призма содержит цилиндр, а вторая призма содержится в цилиндре. Так как при неограниченном увеличении n площади оснований призм неограниченно приближаются к площади основания цилиндра S, то их объемы неограниченно приближаются к SН. Согласно определению объем цилиндра

V = SH = πR²H.

Итак, объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту.

2 Практическая часть (задачи)

Задача 1.

Осевое сечение цилиндра − квадрат, площадь которого Q.

Найдите площадь основания цилиндра.

Дано: цилиндр, квадрат − осевое сечение цилиндра, S_{квадрата} = Q.

Найти: S_{осн.цил.}

Решение:

Сторона квадрата равна . Она равна диаметру основания. Поэтому площадь основания равна .

Ответ: S_{осн.цил.} =

Задача 2.

В цилиндр вписана правильная шестиугольная призма. Найдите угол между диагональю ее боковой грани и осью цилиндра, если радиус основания равен высоте цилиндра.

Дано: цилиндр, правильная шестиугольная призма вписанная в цилиндр, радиус основания = высоте цилиндра.

Найти: угол между диагональю ее боковой грани и осью цилиндра.

Решение: Боковые грани призмы − квадраты, так как сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равна радиусу.

Ребра призмы параллельны оси цилиндра, поэтому угол между диагональю грани и осью цилиндра равен углу между диагональю и боковым ребром. А это угол равен 45°, так как грани − квадраты.

Ответ: угол между диагональю ее боковой грани и осью цилиндра = 45°.

Задача 3.

Высота цилиндра 6см, радиус основания 5см.

Найдите площадь сечения, проведенного параллельно оси цилиндра на расстоянии 4см от нее.

Дано: Н = 6см, R = 5см, ОЕ = 4см.

Найти: S_сеч.

Решение:

S_сеч.= КМ×КС,

ОЕ = 4 см, КС = 6 см.

Треугольник ОКМ − равнобедренный (ОК = ОМ = R = 5 см),

треугольник ОЕК − прямоугольный.

Из треугольника ОЕК, по теореме Пифагора:

ЕК = ,

КМ = 2ЕК = 2×3 = 6,

S_сеч.= 6×6 = 36 см².

Ответ: S_сеч.= 36 см².

Задача 4.

Высота цилиндра 12см, радиус основания 10см.

Цилиндр пересечен плоскостью так, что в сечении получился квадрат.

Найдите расстояние от этого сечения до оси.

Дано: СК = h = 12см, R = ОК = ОМ = 10см.

Найти: ОЕ.

М

О

Е

К

В

С

Решение:

СК равна высоте, то есть СК = 12 см. Так как в сечении получился квадрат, то КМ = СК = 12см.

ОК − радиус основания, ОК = 10см.

Треугольник ОКЕ - прямоугольный, где ОК = 10см, КЕ = 6см.

По теореме Пифагора:

ОЕ =

Ответ: ОЕ = 8см.

Задача 5.

В цилиндр наклонно вписан квадрат так, что все его вершины лежат на окружностях основания. Найдите сторону квадрата, если высота цилиндра равна 2см, а радиус основания равен 7см.

Дано: цилиндр, h = 2см, R - 7см, АВСD − наклонно вписанный квадрат.

ВНайти: АВ.

С₁

А

В₁

D₁

А₁

С

D

Решение:

Достроим квадрат АВСD до прямого прямоугольного параллелограмма АВС₁D₁А₁В₁СD с диагональным сечением АВСD.

Угол АВС₁ = 90°. Так как вписанный в окружность угол, стороны которого проходят через две данные точки окружности, равен половине угла между радиусами, проходившими в эти точки, или дополняет половину этого угла до 180°, то АС₁ есть диаметр окружности верхнего основания цилиндра.

Рассмотрим прямоугольный треугольник СС₁А₁ − катет СС₁, есть образующая цилиндра и СС₁ = 2АС, катет АС₁ есть диаметр цилиндра и АС₁ = 14. По теореме Пифагора АС = (см).

Из прямоугольного равнобедренного треугольника АВС по теореме Пифагора сторона квадрата АВ = см.

Ответ: АВ = 10 см.

Задача 6.

Объем цилиндра 120 см², его высота 3,6 см.

Найти радиус цилиндра.

Дано: V = 120 см², h = 3,6 см.

Найти: r

h

Решение:

Ответ: r = 3,3.

Задача 7.

Осевым сечением цилиндра является квадрат, диагональ которого равна см.

Найдите площадь поверхности цилиндра.

Дано: цилиндр, АВСD − осевое сечение, АВ = АD, ВD = см.

С

ВНайти: S_{пов.цил.}

D

А

Решение:

Из прямоугольного ∆ АВD по теореме Пифагора: ВD² − 2AB², откуда сторона квадрата АВ (см). Поэтому высота цилиндра АВ = 3 см, радиус цилиндра ОА − 1,5 см.

Площадь боковой поверхности S_бок.ц = 2πRH = 2π×1,5×3 = 9π (см²).

Площадь основания S_осн. = 2πR² = 2π×1,5² = 4,5π (см²).

Площадь полной поверхности S_{пов.цил.} = S_бок.ц + S_осн. = 9π + 4,5π = 13,5 π (см²).

Ответ: 13,5 π (см²).

Задача 8.

В цилиндр вписана правильная шестиугольная призма.

Найдите отношения объема призмы к объему цилиндра.

Дано: цилиндр, правильная шестиугольная призма вписана в цилиндр, а − сторона призмы.

Найти: .

а

а

Решение:

=

а₆ = R

Ответ: = .

Задача 9.

Диаметр основания цилиндра 1м.

Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Дано: цилиндр, d = АВ = 1м.

Найти: S_бок.ц.

d

Решение:

S_бок. = 2πRh,

R = = 0,5 м,

S_бок. = 2πR × 2πR = (2πR)² = 4π² ×0,25 = π²

Ответ: S_бок. = π² (м²).

Задача 10.

Найдите радиус основания цилиндра наибольшего объема, вписанного в конус, радиус основания которого равен 3.

Дано: конус, цилиндр - вписан в конус, ОВ - радиус конуса, ОВ = 3.

Найти: r − радиус основания цилиндра.

Решение:

Обозначим через h и r высоту и радиус основания цилиндра, вписанного в конус с вершиной A. Рассмотрим осевое сечение конуса - равнобедренный треугольник ABC с высотой AO = H и основанием BC = 2· 3 = 6 (рис.2). Плоскость ABC пересекает цилиндр, вписанный в конус, по его осевому сечению - прямоугольнику KLMN, где точки K и L лежат соответственно на отрезках AB и AC, а точки M и N - на отрезке BC , причём KL = 2r , KN = LM = h . Пусть P - точка пересечения AO и KL . Треугольник APL подобен треугольнику AOC , поэтому

, или

откуда . Пусть V(r) - объем цилиндра, где 0 < r < 3 . Тогда

.

Найдем наибольшее значение функции V(r) на промежутке (0;3) .

V'(r) = H(2r - r²) = Hr(2 - r).

Промежутку (0;3) принадлежит единственный корень ( r = 2 ) полученного уравнения. Если 0 < r < 2 , то V'(r) > 0 . Поэтому на промежутке (0;2) функция V(r) возрастает. Если 2 < r < 3 , то V'(r) < 0 . Поэтому на промежутке (2;3) функция V(r) убывает. Значит, в точке r = 2 функция V(r) имеет максимум. Следовательно, радиус основания цилиндра наибольшего объема, вписанного в данный конус, равен 2.

Ответ: r = 2.

Задача 11.

Развертка боковой поверхности цилиндра есть квадрат со стороной . Найдите объем цилиндра.

Дано: Цилиндр, квадрат - развертка боковой поверхности цилиндра, сторона квадрата = .

Найти: V_цил.

Решение:

Пусть образующая цилиндра АD = h , а радиус основания равен r, объем цилиндра равен V . Поскольку развертка боковой поверхности цилиндра есть квадрат со стороной длина окружности основания и образующая цилиндра также равны , т.е.

.

Следовательно, .

Ответ: V = 2.

Задача 12.

Радиус основания цилиндра равен r . Плоскость пересекает боковую поверхность цилиндра, не пересекает его оснований и образует угол α с плоскостью основания. Найдите площадь сечения цилиндра этой плоскостью.

Дано: цилиндр, r - радиус основания цилиндра, угол α.

Найти: S_сеч.ц.

α r

Основание цилиндра есть ортогональная проекция данного сечения на плоскость основания. Следовательно, площадь сечения равна площади основания, делённой на косинус угла между плоскостями сечения и основания, т.е. .

Ответ:

Заключение

Цель данного реферата выполнена, рассмотрено такое геометрическое тело, как цилиндр.

Рассмотрены следующие задачи:

− дано определение цилиндра;

− рассмотрены элементы цилиндра;

− изучены свойства цилиндра;

− рассмотрены виды сечения цилиндра;

− выведена формула площади цилиндра;

− выведена формула объема цилиндра;

− решены задачи с использованием цилиндра.

Список литературы

1. Погорелов А. В. Геометрия: Учебник для 10 - 11 классов общеобразовательных учреждений, 1995.

2. Бескин Л.Н. Стереометрия. Пособие для учителей средней школы, 1999.

3. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Киселева Л. С., Позняк Э. Г. Геометрия: Учебник для 10 - 11 классов общеобразовательных учреждений, 2000.

4. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия: учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений, 1998.

5. Киселев А. П., Рыбкин Н. А. Геометрия: Стереометрия: 10 - 11 классы: Учебник и задачник, 2000.