Расстояние от точки до прямой в пространстве

Расстояние от точки до прямой в пространстве

Тема: Расстояние от точки до прямой в пространстве

Цель урока: сформулировать у учеников умение строить и находить расстояние от точки до прямой.

Тип урока: усовершенствование умения и навыков.

Ход урока

1. Организационный этап

2. Проверка домашнего задания.

Актуализация опорных знаний.

Решение задач домашнего задания комментируется учениками с места. Потом проводится самостоятельная работа в тестовой форме по типу геометрические конструкции в задачах на нахождение расстояния от точки до прямой, что лежит в данной площади.

Самостоятельная работа

Вариант 1

1. Дан равносторонний треугольник ABC (рис.1), AB перпендикулярна (ABC), точки D и K- середина AC и BC соответственно. Определить p(S;AC).

А. SD Б. SC В. SC Г. SK

2, Дан прямоугольный треугольник ABC(угол C=90 градусов) (рис.2), SB перпендикулярно (АВС), точка D - середина АС. Определить р(S;AC).

А. SB Б. SA В. SC Г. SD

3. Дан квадрат ABCD (рис. 3), SC перпендикулярно (ABC). Определить р(S;AD).

А. SB Б. SA В. SC Г. SD

S S S

ABA B B C

D .

D . .K

C A D

C

рис.1 рис.2 рис.3

4. Дано прямоугольник ABCD (рис.4), BS перпендикулярна (АВС), точка К -середина DC. Определить р(S;DC).

A. SD Б. SA В. SK Г. SC

5. Дан ромб ABCD (рис.5), точка К- середина DC, ON перпендикулярно DC, SO перпендикулярно (ABC), O - точка пересечения диагоналей. Определить р(S;DC)

A. SK Б. SN В. SD Г. SC

6. Дан параллелограмм ABCD (рис.6), SC перпендикулярно (ABC), BN перпендикулярно DC; точка М - середина DC. Определить р(S;DC).

А. SC Б.SN В.SM Г.SD

S

S

SB C

.

C

K

A

D

.K .

Рис.6

Рис.5

Рис.4

C

M

N

.

A

N

D

A

Вариант 2

1. Дан равносторонний треугольник ABC (рис.7), SO перпендикулярно (ABC), точки M и N - середины AC и BC соответственно. Определить p(S;AC).

А. SM Б. SC В. SA Г. SB `

2. Дан прямоугольный треугольник (АВС) (угол С=90 градусов) (рис. 8), SC перпендикулярно (АВС), CD перпендикулярно AB. Определить p(S;AB)

А. SD Б. SC В. SA Г. SB

3. Дан квадрат ABDC (рис. 9), CD перпендикулярно (АВС). Определить p(S;AB).

А. SB Б. SA В. SD Г. SC

S

S

S

C

D

A

C

D

A

N

C

M

A

O`

рис. 7 рис. 8 рис. 9

4. Дан прямоугольник ABCD (рис. 10), BS перпендикулярно (АВС), точка К-середина AD. Определить p(S;AD).

А. SA Б. SD В. SC Г.SK

5. Дан ромб ABCD (рис.11), SC перпендикулярно (ABC), О-точка пересечения диагоналей. Определить р(S;BD)

А. SD Б. SB В. SO Г. SC

6. Дан параллелограмм ABCD (рис.12), SB перпендикулярно (ABC), ВК перпендикулярно AD; точка М - середина AD. Определить p(S;AD).

А. SA Б. SK В. SM Г. SD

S

S

S

С

.

C

O

C

K

A

D

D

K

.

M

K

A

Рис. 12рис. 10 рис. 11

Решение

Вариант 1. 1.А. 2.В. 3.В. 4.Г. 5.Б. 6.Б.

Вариант 2. 1.А. 2.А. 3.А. 4.А. 5.В. 6.Б

3. Формирование темы, цели и задания урока. Мотивация учебной деятельности.

4. Усовершенствование умений

Письменные упражнения.

1. В треугольнике АВС угол В=90 градусов, отрезок МС-перпендикуляр к площади данного треугольника. Определить расстояние от точки М к прямой АВ, если АС=17 см, АВ=15 см МС=6 см.

2. Точка D - середина стороны АВ треугольника АВС, MD перпендикулярно (АВС), МЕ - перпендикуляр, проведенный из точки М к стороне ВС, DE параллельно АС. Доказать, что треугольник АВС прямоугольный, определить его прямой угол.

3. В треугольнике АВС, угол В= 90 градусов, ВС=15 см, АС=25 см. Через середину катета АС проведен перпендикуляр к площади данного треугольника длиной 8 см. Определите расстояние от вершины этого перпендикуляра к стороне АС и ВС.

Решение

Проведем к стороне АС перпендикуляр OD, SO перпендикулярно (АВС), поэтому DO - проекция SD на площадь треугольника, SD перпендикулярно АС по теореме про три перпендикуляра (рис. 13)

Значит, SD - расстояние от точки S к стороне АС. ОВ ВС, тогда SB перпендикулярно BC по теореме про три перпендикуляра и SB является расстоянием от точки S к стороне BC. Из треугольника АВС (угол В=90 градусов) имеем; АВ=25 в квадрате минус 15 в квадрате=20 и всё это в корне (см). Поскольку SO перпендикулярно (ABC), то SO перпендикулярно ОВ и SO перпендикулярно OD. Из треугольника SOD (угол О=90 градусов) имеем SD=SO в квадрате+OD в квадрате и всё это в корне. Треугольник АВС и ADO прямоугольны, угол А общий, поэтому угол АВС подобно угол ADO; DO делить на BD= АО делить на АС; DO= DC умножить на АО и разделить на АС=15 умножить на 10 и разделить на 25 см. SD= 64+36=10 (см)

Ответ: 10 cм; 2 в корне 41 см.

4.Стороны треугольника ровняются 17, 15 и 8 см. Через вершину А меньшего угла треугольника проведена прямая АМ, перпендикулярную к его площади. Определить расстояние от точки М к прямой, какая имеет меньшую сторону треугольника, если А=20 см.

S

8

M

20

17

А

A

8

15

C

15

25

D

O

C

рис. 13 рис. 14

D

C

L

N

В

8

.

М

К5. Точка М размещается на середине боковой стороне равнобедренной трапеции АВСD. От данной точки до площади трапеции проведен перпендикуляр МК длиной 8 см. Определить расстояние от точки К к диагонали АС, если АВ=ВС=24 см, угол АВС=120 градусов..

рис. 15

5. Подведения итогов урока.

Учитель еще раз обращает внимание учеников на основные моменты теории, которые используются при решении задач.

6.Домашнее задание.

Решить задачи:

1.Отрезок МА-перпендикуляр к площади треугольника АВС. Отрезок MD - расстояние от точки М к стороне ВС, причем точка С лежит на отрезке BD. Доказать, что треугоьник АВС тупоугольный, назвать его тупой угол.

2. В прямоугольному треугольнике АВС больший катет равняется 6 см, угол А=30 градусам. С вершины острого угла В к площади треугольника проведен перпендикуляр ВК, который равняется 2 корня из 6 см. Определить расстояние от точки К к катету АС.

3. Сторона ромба равняется 6 см, а один из его углов составляет 120 градусов. С точки, которая делит одну из сторон ромба в соотношении 2:1, начиная от вершины тупого угла, проведен перпендикуляр длиной 4 см к площади ромба. Определить расстояние от другого конца перпендикуляра к большей диагонали ромба.