Решение уравнений

с модулем.

МБОУ СОШ №46

учитель математики

Дряева Минат Георгиевна.

Г. Владикавказ

2014г.

Слайд 1 . Основные этапы урока:

1⁰. Мотивация учения.

2⁰. Ознакомление учащихся с целями и задачами.

3⁰. Повторение теоретических знаний по данной теме.

4⁰. Устная работа с элементами исследования.

5⁰. Совместная работа учителя и учащихся.

6⁰. Минута отдыха.

7⁰. Нестандартные приемы решения уравнений с модулем.

8⁰. Разноуровневая самостоятельная работа.

9⁰. Постановка домашнего задания.

10⁰. Подведение итогов урока.

Слайд 2 . Во всем дойти до самой сути.

Цель: Обобщение и систематизация, расширение и углубление знаний.

Задачи: 1. Проанализировать различные способы решения уравнений с модулем.

2. Сформировать навык решения различных типов уравнений с модулем.

3. Заинтересовать учащихся в изучении данной темы.

Тип урока: Урок совершенствования знаний (с элементами исследования).

Оборудование: Компьютер, мультимедийный проектор, интерактивная доска,

опорные конспекты, оценочные листы.

Ход урока:

1⁰. Мотивация учения.

Подарите улыбки друг другу ,

Веселыми будьте всегда,

И этим добьётесь удачи,

Успехов во всем и всегда.

А успех нам сегодня так необходим. Прочтите эпиграф , так как он тесно связан с темой нашего урока.

Тема «Решение уравнений с модулем» выбрана мною не случайно. Она является одной из самых сложных тем. В школьной программе ей, на мой взгляд, уделяется недостаточно внимания, не разобраны в системе методы и приемы решения задач с модулем. У многих модуль вызывает страх. Есть замечательные задания с модулем, у которых своя специфика. Попробуем разобрать некоторые из них.

2⁰. Ознакомление учащихся с целями и задачами.

Сегодня мы с вами повторим основные типы уравнений с модулем и проанализируем различные способы их решения.

Слайд 3 . 3⁰. Сначала повторим и систематизируем теоретические знания по данной теме.

Учитель: Дайте определение модуля или абсолютной величины.

Учащиеся :|x|= _.

Учитель: Назовите основные свойства модуля.

Учащиеся: |a|0,

|a|²= a²

|a*b|=|a|*|b|,

|a/b|=|a|/|b|, b≠0

Слайд 4. 4⁰. Устная работа с элементами исследования.

Постановка проблемы:

Для каждого из уравнений указать стрелками соответствующий тип уравнения.

Уравнения

Тип уравнения

Способ решения

1. |3x-5|=2

2. |4-3x|=-1

3. |9-5x|=|7x-5|

4. |11-3x|=3-2x

5. 2x²+3|x-1|+2=0

6. |3-x|+|x-5|=1

7. ² = 16

|f(x)| = a, a- const

Если а>0, то

Если а=0, то f(x) = 0

Если а < 0, то корней нет.

|f(x)| = g(x)

|f(x)| = |g(x)|

|f₁(x)|+ |f₂(x) | +…+|fn(x)|=g(x)

Метод интервалов.

Ответы учащихся:

- Уравнение 1 можно решить, используя определение модуля.

- Уравнение 2 не имеет решений т.к. модуль - величина неотрицательная.

С помощью рассуждений сделаем выводы:

1. Если |f(x)| = |g(x)| f²(x) - g² (x) = (f (x) - g(x)) (f(x) + g(x)) = 0



Таким образом, указали способ решения уравнения 3 .

2. Если |f(x)| = g(x), то g(x)

По определению модуля

Таким образом, указали способ решения уравнения 4.

- Как же можно решить уравнение 5?

- Рассмотрим два случая т.е. воспользуемся определением модуля.

x-10 и x-1<0.

- Уравнение 7 разве имеет отношение к теме «Модуль»?

- Да, т.к. по свойству корней ² = |x|, и получим уравнение, содержащее модуль.

- А как решить уравнение 6?

- Методом интервалов.

5⁰. Совместная работа учителя и учащихся

Осторожно! Простая задача!

Учиться плавать можно по-разному. Например, сразу броситься в глубокое место, или начать с «лягушатника». Так обстоит дело и в решении сложных задач. Мы пойдем по второму пути, не забывая при этом, что захлебнуться можно и в ванной.

(решение уравнений у доски и в тетрадях).

Пример 1⁰.

|x-3| = 11  

Ответ: -8;14

Пример 2⁰.

|2x-5| = x-1  

Ответ: 2;4

Пример 3⁰.

|x+3| = |2x-1|  

Ответ: -2/3;4

Слайд 6. Пример 4⁰.

|x²-1|+|x²-4|=3.

Воспользуемся методом интервалов. Для этого удобно пользоваться алгоритмом.

(см. опорный конспект).

x²-1=0, x= ±1,

x²-4=0, x= ±2.

Слайд 7.

 

Ответ: Ø.



Ответ: -2x<-1

 

Ответ: x=-1



Ответ: 1x<2



Ответ: x=2

Решив совокупность данных систем, получим:

Ответ: [-2;-1] U {-1} U [1;2) U {2} или [-2;-1] U [1;2]

Этот метод является универсальным методом решения уравнений всех видов, но иногда оказывается не самым рациональным.

Мы проанализировали различные типы уравнений, решаемые с помощью равносильных преобразований.

Слайд 8. Более наглядную картину дает графическое исследование данного уравнения.

1. Для построения графика функции y=|x²-1|+|x²-4| воспользуемся схемой знаков на рисунке.

y=|x²-1|+|x²-4|=

2) Проведем прямую y=3.

По графику очевидно, что графики левой и правой части совпадают (пересекаются) на множестве

и

Ответ: [-2;-1] U [1;2]

Мы еще вернемся к данному уравнению.

Слайд 9. 6⁰. Минута отдыха.

- Примем царственную позу. Спина прямая.

- Три раза вдохнем.

- Помассажируем кончики пальцев каждой руки.

- Поставим указательный палец на точку между бровями и массажируем три раза. - Роняем руки.

- Трясем кистями.

- Стряхиваем воду с пальцев.

- Поднимаем и опускаем плечи.

- Твердые и мягкие руки.

- Мельница.

Продолжаем урок.

7⁰. Рассмотрим нестандартные приемы решения уравнений с модулями.

«Умный гору обойдет».

Зачастую по закону зловредности короткое решение более замаскировано, чем длинное. В тех случаях, когда выбранный путь решения сопряжен с большими техническими сложностями, бывает полезно еще раз проанализировать условие задачи, попытаться найти ее конкретные особенности, позволяющие обнаружить нетрадиционную идею.

Слайд 10. Когда модуль можно не раскрывать.

Решение некоторых уравнений может значительно сократить знание ряда свойств модуля:

1. |a|+|b| = a+b  a≥0, b≥0;

2. |a| + |b| = |a+b|  ab≥0;

3. |a| + |b| = |a-b|  ab≤0;

4. |a| - |b| = |a-b| b (a-b) ≥0;

5. |a| - |b| = |a+b|  b(a+b) ≤0

(доказательство рассмотрим на факультативных занятиях).

Вернемся к примеру 4:

|x²-1|+|x²-4|=3.

-Посмотрите внимательно. Что вы заметили?

Кто-нибудь из учеников обязательно заметит, что

(x²-1) - (x²-4) = 3 т.е. выполняется условие |a|+|b| = |a-b|.

Применив свойство 3, получим неравенство

(x²-1) (x²-4)≤0.

Решим его методом интервалов.

x²-1=0, x₁=1, x₂=-1

x²-4=0, x₃=2, x₄=-2.

x є [-2;-1] U [1;2].

Ответ: [-2;-1] U [1;2].

Данное уравнение решили тремя способами. Какой способ

- Самый трудный?

- Самый простой?

Пример 5.

|x-2|+|2-3x|=2|x|

Заметим, что |x-2|+|2-3x| = |(x-2)+(2-3x)|=|-2x|=2|x|, т.е. выполняется условие

|a|+|b|=|a+b|.

Используя свойство 2, будем иметь неравенство:

(x-2)(2-3x)≥0,

(x-2)(x-2/3)≤0.

x є [2/3;2]

Ответ: [2/3;2].

Слайд 11. Пример 6.

|x²+6|-|x²-x+6|=|x|

Имеем: |x²+6|-|x²-x+6|=|(x²+6)-(x²-x+6)|=|x|, т.е выполняется условие

|a|-|b|=|a-b|.

Использую свойство 4, получим неравенство x (x²-x+6)≥0

Решив его, получим x≥0.

Ответ: [0;+∞)

8⁰. Разноуровневая самостоятельная работа.

Учащимся выдаются опорные конспекты, рабочие листы и оценочные листы.

(Индивидуальная консультация учителя по мере возникновения затруднений).

Слайд 12. Самостоятельная работа.

1 - ый уровень.

Цель: закрепить умение решать простейшие уравнения, содержащие модули, вида: |f(x)|=a, a -const

Вариант-1

Решите уравнения:

1. |x|=5 (1 балл)

x= ±5,

Ответ: x₁=-5, x₂=5.

2. |x+3|=-2 (1 балл)

Нет корней, т.к. модуль - величина неотрицательная.

Ответ: нет корней.

3. |x²-4|= 0 (1 балл)

x²-4=0

x=±2

Ответ: x₁=-2; x₂=2.

Вариант-2

Решите уравнение:

1. |x|=8 (1 балл)

x=±8

Ответ: x₁=-8; x₂=8.

2 .|x+7|=-3 (1 балл)

Нет корней, т.к. модуль - величина неотрицательная.

Ответ: нет корней.

3. |x²-9|=0 (1 балл)

x²-9=0,

x=±3

Ответ: x₁=-3; x₂=3.

Проверьте и оцените свою работу (см. на экран). Проставьте количество набранных баллов в оценочный лист.

2 - ой уровень

Цель: закрепить навыки решения уравнений вида:

|f(x)|= g(x) и |f(x)|=|g(x)|.

Вариант - 1

1. |2x-3|=6-x (2 балла)

  

Ответ: x₁=-3, x₂=3

2. |x-2|=|2x-1| (2 балла)

 

Ответ: x₁=-1, x₂=1.

Вариант - 2

Решение уравнений.

1. |3x-4|=2x-6 (2 балла)

 

Ответ: нет корней.

2. |2x-3|=|x-3| (2 балла)

 

Проверьте и оцените свою работу (см. на экран). Проставьте количество набранных баллов в оценочный лист.

Ответ: x₁=0, x₂=2

3 - ий уровень

Цель: сформировать навык решения уравнений с использованием свойств модуля.

Вариант -1

1. Решите уравнение:

|2x+5|+|x-3|= 3x+2 (3 балла)

Заметим, что

(2x+5)+(x-3)=3x+2, т.е. выполняется условие

|a|+|b|=a+b

По свойству 1, имеем:

 x≥3

Ответ: x≥3

2 .Используя свойства, освободитесь от знака модуля .

|x²+x-2|+|x-3|=x²+1 ( 3 балла)

Заметим, что

(x²+x-2)-(x-3)=x²+1, т.е. выполняется условие

|a|+|b|=|a-b|.

Используя свойство 3, получим неравенство

(x²+x-2)(x-3)≤0

Ответ: (x²+x-2)(x-3)≤0.

Вариант - 2

1. Решите уравнение

|x-2|+|x+2|=2|x| (3 балла)

т.к. |x-2|+|x+2|=|(x-2)+(x+2)| = 2|x|, то выполняется условие |a|+|b|= |a+b|.

Используя свойство 2, получим неравенство (x-2)(x+2)≥0

xє (-∞;-2]U [2;+∞)

Ответ: (-∞;-2]U [2;+∞)

2. Используя свойства, освободитесь от знака модуля

|4x²-1|-|x²-4|=|5x²-5| ( 3 балла)

Заметим, что |4x²-1|-|x²-4|=|4x²-1+x²-4| = |5x²-5| т.е. выполняется условие

| a|-|b|=|a+b|.

Используя свойство 5, получим неравенство:

(x²-4)(5x²-5)≤0. Ответ: (x²-4)(5x²-5)≤0.

Проверьте и оцените свою работу (см. на экран). Проставьте количество набранных баллов в оценочный лист.

Молодцы! Вы прошли 3 уровня усвоения материала. Посчитайте количество набранных баллов.

Если вы набрали от 11 до 13 баллов, то получаете оценку «5».

Если вы набрали от 7 до 10 баллов, то получаете оценку «4».

Если вы набрали от 5 до 6 баллов, то получаете оценку «3».

Сдайте оценочные листы учителю.

Слайд 13. 9⁰. Домашнее задание:

Трем группам (по 2-3 учащихся в каждой) подготовить презентации по темам:

1) Использование понятия расстояния при решении уравнений с модулем.

2) «Вложенные модули»

3) «Красивейшие уравнения».

Остальным - решить уравнения:

1. |x-5|=1

2. |x²-3x|=2x-4

3. |x-2|=|2x-1|

4. |2x-1|+|x|= -5

5. |x-4|+|x-5|=|2x-9|

6. |x²-9|+|x²-4x+3|=0

7. |x-1|+|x-2|=x+3

Слайд 14. 10⁰. Подведение итогов урока:

- Какие типы уравнений мы повторили на уроке?

- какие методы решения уравнений с модулем вы можете выделить?

- какой способ самый эффективный?

- решение каких уравнений вам показалось сложным?

- чему надо уделить особое внимание?

Слайд 15. Используемая литература:

1. И.И. Гайдуков. «Абсолютная величина»

Изд. «Просвещение», 1968 г.

2) Г.И.Ковалева. «Тренировочные тематические задания повышенной сложности».

Изд. «Учитель», 2009 г.

3) С.В.Кравцев. «Методы решения задач по алгебре».

Изд. «Экзамен», 2005 г.

4) П.И. Горнштейн, А.Г. Мерзляк. «Экзамен по математике и его подводные рифы».

Изд. «Илекса», 2004 г.

Пояснительная записка.

Данный урок проводится в 11-ом классе в 4-ой четверти при повторении. Урок рассчитан на класс, в котором есть учащиеся с математическими способностями.