Методический материал к уроку математики по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии в окружающей нас жизни»

Тема урока «Арифметическая и геометрическая прогрессии в окружающей нас жизни»

Цель урока. На конкретных примерах применения арифметической и геометрической прогрессий убедиться в том, что алгебра является частью общечеловеческой культуры.

Задачи урока.

1. Обобщить и закрепить знания по данной теме. Сделать вывод характеристических свойств обеих прогрессий. Установить "родство" арифметической и геометрической прогрессий.

2. Рассмотреть использование математических методов в решении задач с практическим содержанием.

3. Установить, действительно ли прогрессии играют большую роль в повседневной жизни.

Оборудование урока: Компьютер, видеопроектор, компьютерные презентации.

Содержание урока:

Учитель:

- Петя довольный пришел из школы и предложил папе заключить сделку:

в учебном году 34 недели;

за 1 неделю Петя получит 1 копейку,

за вторую - 2 копейки,

за третью - 4 копейки и т.д….

- Как вы думаете, в каком классе учится Петя, и что нового он узнал в школе?

Сегодня у нас необычный урок, урок, на котором вы, ребята, представите свой прект "Арифметическая и геометрическая прогрессии в окружающей нас жизни". Вам предстоит включиться в работу, решить задачи по теме урока, дать оценку работы . Для этого у вас имеются листы с текстами задач.

В 9 классе мы изучили прогрессии: дали определение, научились находить по формулам любой член прогрессии, сумму первых членов прогрессии. Найдя ответы на вопросы: имеет ли это какое - либо практическое значение и как давно люди знают последовательности, как возникло это понятие, мы подтвердим или опровергнем утверждение о том, что математика - наука очень древняя и возникла она из практических нужд человека, что алгебра является частью общечеловеческой культуры.

Работа с презетацией

Первый блок По страницам школьных учебников

Арифмети́ческая прогре́ссия -

числовая последовательность, в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего увеличением его на определённое число.

Имеет вид: a₁, a₁+d, a₁+2d, a₁+3d, …, a₁+(n-1)d,…

Геометри́ческая прогре́ссия - последовательность чисел, в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число.

Имеет вид: b₁, b₁q, b₁q², b₁q³,… ,b₁q^n-1,…

Арифметическая прогрессия

Геометрическая прогрессия

Определения (оба сразу!)

Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго,

равен предшествующему члену, сложенному с одним и тем же числом,

(умноженному на одно и то же число), называется

^{арифметической (геометрической )прогрессией.}

^{«Мой дя-дя са-мых чест-ных пра-вил…» ямб
1 2 3 4 5 6 7 8 9}

^{2; 4; 6; 8 …}

^{«Бу-ря мгло-ю не-бо кро-ет» хорей
1 2 3 4 5 6 7 8}

^{1; 3; 5; 7; …}

^{Второй блок Прогрессии в повседневной жизни.}

• Задача 1

Родители ко Дню рождения своего сына Андрея решили купить ему новый мобильный телефон. Для этого они в первый месяц отложили 650 рублей, а в каждый последующий месяц они откладывали на 50 рублей больше, чем в предыдущий. Какая сумма будет у родителей Андрея через 10 месяцев?

• Задача 2

В соревновании по стрельбе за каждый промах в серии из 25 выстрелов стрелок получал штрафные очки: за первый промах - одно штрафное очко, за каждый последующий - на 0,5 очка больше, чем за предыдущий. Сколько раз попал в цель стрелок, получивший 7 штрафных очков?

• Задача 3

Больной принимает лекарство по следующей схеме: в первый день он принимает 5 капель, а в каждый следующий день - на 5 капель больше, чем в предыдущий. Приняв 40 капель, он 3 дня пьет по 40 капель лекарства, а потом ежедневно уменьшает прием на 5 капель, доведя его до 5 капель. Сколько пузырьков лекарства нужно купить больному, если в каждом содержится 20 мл лекарства (что составляет 250 капель)?

• Задача 4

Альпинисты в первый день восхождения поднялись на высоту 1400м, а затем каждый следующий день они проходи на 100 м меньше, чем в предыдущий. За сколько дней они покорили высоту в 5000 м?

• Задача 5

При свободном падении тело прошло в первую секунду 5м, а в каждую следующую на 10м больше. Найдите глубину шахты, если свободно падающее тело достигло его дна через 5 с после начала падения.

Решение. Составим математическую модель задачи:

в первую секунду 5м,

во вторую секунду 15м,

в третью секунду 25м,

в четвертую секунду 35м,

в пятую секунду 45м.

Всего за пять секунд 5+15+25+35+45=125(м).

Ответ: глубина шахты 125м.

Третий блок : Прогрессии в природе.

Все организмы обладают интенсивностью

размножения в геометрической прогрессии

ИНФУЗОРИИ… Летом инфузории размножаются бесполым способом делением пополам.

Вопрос: сколько будет инфузорий после 15-го размножения?

бактерии…

Известно, что бактерии размножаются делением: одна бактерия делится на две; каждая из этих двух в свою очередь тоже делится на две, и получаются четыре бактерии; из этих четырех в результате деления получаются восемь бактерий и т. д. Результат каждого удвоения будем называть поколением.

В благоприятных условиях бактерии размножаются так,

что на протяжении одной минуты одна из них делится на две.

а)Сколько бактерий рождено на 9-й минуте

от одной исходной?

б)Какова колония, рожденная одной бактерией за 5 минут?

Способность к размножению у бактерий настолько велика, что если бы они не гибли от разных причин, а беспрерывно размножались, то за трое суток общая масса потомства одной только бактерии могла бы составить 7500 тонн. Таким громадным количеством бактерий можно было бы заполнить около 375 железнодорожных вагонов.

Задача:

Бактерия, попав в живой организм, к концу 20-й минуты делится на две бактерии, каждая из них к концу следующих 20 минут делится опять на две и т.д. Найдите число бактерий, образующихся из одной бактерии к концу суток.

• Решение.

S₇₂=2⁷²-1= 4 722 366 482 869 645 213 696 - 1=

= 4 722 366 482 869 645 213 695.

Интенсивность размножения бактерий используют…

в пищевой промышленности

(для приготовления напитков,

кисломолочных продуктов,

при квашении, солении и др.)

в фармацевтической промышленности (для создания лекарств, вакцин)

в сельском хозяйстве

(для приготовления силоса, корма

для животных и др.)

в коммунальном хозяйстве и природоохранных

мероприятиях

(для очистки сточных вод,ликвидации

нефтяных пятен)

мухи…

"Потомство пары мух съест мёртвую лошадь также скоро как лев".

Карл Линней Девятое поколение одной

пары мух наполнило бы куб,сторона которого равна 140 км,

или же составило бы нить, которой можно опоясать земной

шар 40 млрд. раз.

одуванчик…

"Потомство одного одуванчика за 10 лет может покрыть пространство в 15 раз больше суши земного шара".К. А. Тимирязев

Задача

• Одно растение одуванчика занимает на земле площадь 1 кв. метр и даёт в год около 100 летучих семян.

• а) Сколько кв. км площади покроет всё потомство одной особи одуванчика через 10 лет при условии, если он размножается беспрепятственно по геометрической прогрессии?

• б) Хватит ли этим растениям на 11-й год места на поверхности суши земного шара?

ВОРОБЬИ… Потомство пары птиц величиной с воробья при продолжительности жизни в четыре года может покрыть весь земной шар за 35 лет.

• При каждом делении амёбы получается две новые особи. Сколько особей будет после 6 делений? После 10 делений?

• Гидра размножается почкованием, причём при каждом делении получается 5 новых особей. Какое количество делений необходимо для получения 625 особей?

Четвёртый блок: Задачи на применение прогрессий встречаются

в старых учебниках по математике

Задачи из «Арифметики» Л.Ф.Магницкого

Задача 1.

Купец имел 14 чарок серебряных, причем веса чарок растут по арифметической прогрессии с разностью 4. Последняя чарка весит 59 латов. Определить, сколько весят все чарки?

Задача 2.

Работники нанялись вырыть колодезь с таким условием, чтобы за первый аршин глубины им заплатили 40 копеек, а за каждый следующий 15 - ю копейками больше, чем за предыдущий. Сколько аршин вырыли они, если за всю работу получили 16 р 90 коп?

Задача 3.

Некто продавал коня и просил за него 156 руб. Купец сказал, что за коня запрошена слишком большая цена. «Хорошо, - ответил продавец, - возьми коня даром, а заплати только за гвозди в его подковах. А гвоздей во всякой подкове по 6 штук. За первый гвоздь четверть копейки, за второй гвоздь -половину копейки, за третий гвоздь - одну копейку и т.д., за каждый гвоздь в два раза больше, чем за предыдущий.

• Купец ,соблазнённый низкой ценой и желая даром получить коня, принял условия продавца, рассчитывая, что за гвозди придётся уплатить не более 10 рублей.

• На сколько проторговался купец?

Ещё две старинные задачи:

• Шли семь старцев
  У каждого старца по семь костылей;
  На каждом костыле по семь сучков;
  На каждом сучке по семь кошелей;
  В каждом кошеле по семь пирогов;
  В каждом пироге по семь воробьёв.
  Сколько всего воробьёв?

Ответ: 117649 воробьёв

• Каждый из 7 человек имеет 7 кошек. Каждая кошка съедает по 7 мышек, каждая мышка за одно лето может уничтожить 7 ячменных колосков, а из зёрен одного колоска может вырасти 7 горстей ячменного зерна. Сколько горстей зерна ежегодно спасается благодаря кошкам?

Ответ: 16807 горстей

Пятый блок: Задачи на применение прогрессий встречаются

в книгах по занимательной математике

Царь древней Индии Шерам пригласил к себе изобретателя шахмат Сета и спросил, какую бы награду хотел бы он получить за изобретение столь мудрой игры.

Тогда Сета попросил царя на первую клетку шахматной доски положить 1 зерно, на вторую - 2 зерна, на третью - 4, на четвертую - 8 и т.д., т.е. на каждую клетку вдвое больше зерна, чем на предыдущую клетку.

Поначалу царь удивился столь "скромному" запросу изобретателя и поспешно повелел выполнить ту просьбу. Однако, как выяснилось, казна царя оказалось слишком"ничтожной" для выполнения этой просьбы.

Всего зерен

18 квинтиллионов

446 квадриллионов

744 триллиона

73 миллиарда (биллиона)

709 миллионов

551 тысяча 615

Кому выгодна сделка?

Приходит как-то раз к одному богатому купцу мужик и предлагает сделку.

«Давай, говорит, в течение месяца я буду приносить тебе каждое утро по

100000 руб, а ты мне взамен в первый день отдашь 1 коп, а в каждый последую щий в 2 раза больше. Во второй день-2 коп, в третий- 4 коп и т.д.» Подумал купец и подписал договор.

Сумма, которую получит купец Sкупец= 100000руб х 30дней =3000000руб

Сумма. Которую получит бедняк:

• 1-ый день- 1коп

• 2-ой день- 2коп

• 3-ий день- 4коп

• 4-ый день- 8коп

• 5-ый день- 16коп

• 6-ой день- 32коп

• 7-ой день- 64коп

• 8-ой день- 1р 28коп

• 9-ый день- 2р 56 коп

• 10-ый день- 5р 12 коп

• 11-ый день- 10р 24 коп

• 12-ый день- 20р 48 коп

• 13-ый день- 40р 96 коп

• 14-ый день- 81р 92 коп

Последние дни

• 28-ый день - 1 342 177р 28 коп

• 29-ый день - 2 684 354р 56 коп

30-ый день - 5 368 709р 12 коп

Сравним доходы:

купец получил 3000000 руб

мужик - 10737418руб23копБез малого 11 миллионов!!!

разница составляет 7737418руб 23коп !!!

Так кому выгодна эта сделка?

О поселковых слухах

Удивительно, как быстро разбегаются по городу слухи! Иной раз не пройдет и двух часов со времени какого- нибудь происшествия, которое видели всего несколько человек, а новость уже облетела весь город: все о ней знают, все слышали.

Итак, задача:

В городе 42 000 жителей. Приезжий в 8.00 рассказывает новость трем соседям; каждый из них рассказывает новость уже трем своим соседям и т. д. Во сколько эта новость станет известна всему городу?

Шестой блок Прогрессии в банковских расчетах, в промышленности,

в разных отраслях науки, в сельском хозяйстве

Задача 1:Как сосчитать количество брёвен

Представьте, что вы - учетчик на стройке. Привезли большое количество бревен строевого леса. Нужно быстро определить, сколько бревен привезли, чтобы закрыть наряд шоферу.

В данном случае, чтобы подсчет бревен осуществлялся по простым формулам, один из способов - использовать естественное расположение бревен так, чтобы в каждом верхнем ряду их оказалось на единицу меньше, чем в нижнем. Тогда число бревен ряда образует арифметическую прогрессию и общее количество легко подчитывается по формуле суммы арифметической прогрессии с разностью, равной единице.

При хранении бревен строевого леса их укладывают как показано на рисунке. Сколько брёвен находится в одной кладке, если в ее основании положено 12 бревен?

Задача 2

За один день было вспахано 100 га пашни, а в каждый последующий - на 3 га больше, чем в предыдущий. Сколько гектаров пашни было вспахано за 19 дней?

Задача 3:Прогрессии и банковские расчеты

Директора двух заводов А и В встретились на совещании. Из их беседы выяснилось, что оба завода выпустили за последний год одинаковые количества продукции, а именно по 1000 т металлических изделий. На совещании было решено добиваться дальнейшего роста продукции, причём был намечен ежегодный прирост на 40%.

Директор завода А выполнял задание следующим образом. В первый год после совещания его завод выпустил на 40% больше, чем раньше, т. е. на две пятых, а именно:

1000 +1000 • 2/5 = 1000 + 400 =1400.

За второй год завод выпустил ещё на 400 т больше,т. е.

1400 + 400=1800,и так далее. В результате выпуск изделий за последующие 4 года оказался таким:

до совещания.......1000,

1-й год..........1400,

2-й »........ 1800,

3-й ».......... 2200,

4-й ».......... 2600.

Директор завода В поступил иначе. За первый год после совещания он выпустил на 40% больше, чем раньше, т. е.

1000 +1000 • 2/5 =1400 т.

За второй год директор завода В добился дальнейшего, роста производительности труда, и завод выпустил за второй год на 40% больше, чем за первый год:

1400 + 1400 • 2/5 = 1400 + 560 = 1960 т.

На третий год он составил план по тому же принципу: опять увеличить выработку на 40% по сравнению с предыдущим годом:

1960+ 1960 • 2/5 = 1960 + 784 = 2744 т.

За четвёртый год завод В дал такую выработку:

2744 + 2744 • 2/5 = 2744 + 1098 = 3842.

В результате выпуск изделий заводом В оказался следующим:

до совещания.......1000,

1-й год..........1400,

2-й »........ 1960,

3-й ».......... 2744,

4-й ».......... 3842.

Задача4: О финансовых пирамидах:

• Разберёмся в механизмах этих организаций. Организатор начинает вовлекать в свою организацию и говорит, что, если внести указанную плату по указанным адресам по 1 рублю, а затем заплатить ещё по 5 таким же адресам, вычеркнув первый адрес и дописав свой последним, то через некоторое время вы получите уйму денег. Хотя желающих разбогатеть по щучьему веленью немало, но в выигрыше оказываются только учредители такой игры.

Решение.

• Дело в том, что число участников увеличивается в 5 раз с каждым кругом. Если пятёрка устроителей подпишет, допустим, 120 человек со своими адресами, то в первом круге участвуют 120 человек, во втором - 600, в третьем - 3 000, …, в десятом - 234 375 000 человек; это намного больше населения страны. Так что участник, включившийся в восьмом или девятом круге, уже ничего не получит.

Подведение итогов урока:

• Установили, что сами по себе прогрессии известны так давно, что нельзя говорить о том, кто их открыл.

• Убедились в том, что задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, также как и многие другие знания по математике, были связаны с запросами хозяйственной жизни: распределение продуктов, деление наследства и другими.

• Нашли много задач на арифметическую и геометрическую прогрессию в старых и в современных учебниках по математике. Заметили, что арифметическая прогрессия в практических задачах встречается чаще геометрической

• Обнаружили, что интенсивное размножение бактерий в геометрической прогрессии широко применяется в пищевой промышленности, в фармакологии, в медицине, в сельском и коммунальном хозяйствах, в банковских расчетах (начисление сложных процентов).

• Сделав анализ задач на прогрессии с практическим содержанием мы увидели, что прогрессии встречаются при решении задач в медицине, в строительстве, в банковских расчетах, в живой природе, в спортивных соревнованиях и в других жизненных ситуациях. Следовательно, нам необходим навык применения знаний, связанных с прогрессиями.