Конспект урока алгебры Формулы сокращенного умножения

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №141

с углубленным изучением отдельных предметов»

Советского района г. Казани РТ

Конспект урока по алгебре
в 7 классе

«Формулы сокращенного умножения»

подготовила

учитель математики

высшей категории

Бухарова Лидия Николаевна

г. Казань

2015

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Зареченская средняя общеобразовательная школа»

Ростовского района Ярославской области

Конспект урока по литературе
в 10 классе

«Поэзия Серебряного века»

подготовила

учитель русского языка и литературы

Иванова Татьяна Васильевна

г. Зареченск

2010

Тема: «Формулы сокращенного умножения»

(алгебра - 7 класс)

Тип урока: урок изучения новой темы.

Содержание урока. С помощью геометрических иллюстраций учащиеся знакомятся с выражениями (a+b)²; (a-b)² и (a+b)(a-b), доказывают их аналитически, формулируют и знакомятся с применением полученных формул.

Основные умения и навыки. Геометрическое «видение» формул, иллюстрирование математических понятий с помощью зрительных представлений, самостоятельное проведение доказательств.

Ход урока.

Организация работы учащихся над новой проблемой.

Учитель проводит устный фронтальный опрос, используя исторические сведения, ставит перед учащимися задачу урока.

(учащиеся отвечают на вопросы с места)

Вопросы:

1. Как найти площадь прямоугольника?

2. Как найти площадь квадрата?

3. Найти значение выражений: 3²; 4²; 100².

4. Когда жил Пифагор?

Ответы:

S=a•b

S=a²

16; 10 000

VI в. До н.э.

Учитель. Пифагору приписывается высказывание:

«Все есть число»

Пифагор считал, что все математические понятия можно выразить через натуральные числа или в виде отношения двух таких чисел, т.е. дробей. Но позже было доказано (и мы это тоже будем доказывать), что, например, диагональ квадрата со стороной 1 нельзя выразить даже рациональным числом.

Геометрия у Пифагора была подчинена арифметике. Знаменитую теорему Пифагора (ее вы будете изучать подробно в дальнейшем) можно выразить так: «Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах» Демонстрируется иллюстрация:

С помощью букв это можно записать так: c² = a² + b². Сейчас это равенство можно рассматривать как уравнение и отыскивать, например, натуральные числа, удовлетворяющие этому уравнению. Такие тройки натуральных чисел так и называют «пифагоровы тройки». Позже (IIIв. до н.э.) Евклид вывел на первое место геометрию, подчинив ей алгебру (геометрия, которую мы изучаем - Евклидова). Затем Евклидов аксиоматический подход в геометрии переходит на другие математические науки, в частности, на алгебру.

Например, законы сложения и умножения - переместительный, сочетательный, распределительный - являются в алгебре аксиомами, т.к. они применяются без доказательства.

Сегодня мы побываем учениками Пифагора и Евклида и попробуем установить связь между алгеброй и геометрией, не подчиняя, их друг другу.

1. Основное содержание урока (15 минут)

Действия учителя: управление фронтальной работой.

Действия учеников: ответы на вопросы, необходимые записи в тетрадях, выходят (по желанию) к доске.

Вопросы и задания

Ответы

Как можно изобразить выражение а²

Квадрат со стороной, равной а единиц.

а

а

Изобразите выражение b²

b

Как изобразить выражение a•b

a

Изобразите выражение (a +b)²

a +b

a +b

На полученном чертеже выделите два квадрата со сторонами a, b

a²

b²

a+b

a+b

Выразите площадь квадрата со стороной (a+b) через площади квадратов со сторонами a, b, т.е. попробуйте записать формулу.

(a +b)² = a² + 2ab + b²

При каких значениях переменных будет верна полученная формула

При положительных, т.к. a и b являются длинами отрезков

Учитель. Отвлечемся от изображений и посмотрим на записанную формулу. Мы, как ученики Пифагора, можем утверждать: «Все есть число!»

- А может ли данное равенство выполняться при любых значениях переменных? Ответ: не очевидно.

- Как называется равенство, верное при любых значениях входящих в него переменных? Ответ: тождество.

Вернемся к Евклиду и его аксиоматике. Зная аксиомы планиметрии, мы можем изобразить квадрат, прямоугольник. Но то, что мы действительно получим прямоугольник и квадрат, требует доказательства.

Вопрос

Ответ

Как в геометрии называются утверждения, требующие доказательства?

Теоремы

Таким образом, зная аксиомы алгебры, нам надо доказать, что равенство (a + b)² = a² + 2ab + b² будет являться тождеством. Следовательно, это утверждение можно как назвать?

Теоремой

Давайте сформулируем данную теорему (прочитаем равенство «математическим языком»)

Квадрат суммы двух выражений равен….

(Несколько учеников по желанию пытаются повторить еще раз формулировку)

Учитель. Выделим условие теоремы и ее заключение.

Вопрос

Ответ

Итак, что дано?

Квадрат суммы двух выражений

(a +b)²

Что нужно доказать?

Он равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат второго выражения: a² + 2ab + b²

Переходим к доказательству. Ваши предложения?

…

Доказательство сводится к тому, что мы должны левую часть равенства представить в виде правой его части.

Доказательство

Комментарии

(a + b)² = (a +b) (a + b) =

= (a +b) a + (a +b) b =

= a² + ab + ba + b² =

= a² + ab + ab + b² =

= a² +( ab + ab )+ b² =

= a² + 2ab + b²

Теорема доказана

Записали равенство по определению квадрата выражения,

применим распределительный закон умножения,

применим переместительный закон сложения,

применим сочетательный закон сложения,

вынесем за скобки общий множитель, на основании распределительного свойства умножения.

Вопрос

Ответ

Будет ли справедлива обратная теорема и как ее сформулировать?

Да, обратная теорема справедлива: сумма квадратов двух выражений плюс удвоенное произведение первого и второго выражений равна квадрату суммы этих выражений.

Воспользуемся той же записью доказательства, но «снизу вверх».

Обратная теорема доказана.

2. Коллективная работа в группах (15 мигнут)

Действия учителя:

наблюдает за работой групп учащихся, отмечает учащихся, которые справились с заданием, выбирает представителей групп для ответа.

Действия учащихся:

разбиваются на группы по 4 человека (ученики двух соседних парт), группа выделяет учащихся (ученика Пифагора и ученика Евклида); «пифагореец» должен получить формулу, а «евклидовец» доказывает ее как теорему).

Часть групп рассматривает выражение (a - b)² или (a - b) (a - b)

Другая часть групп: (a - b) (a + b)

Учитель раздает карточки с таблицей и заданием (каждому учащемуся), через 3 минуты опрашивает учащихся по первому пункту с целью выявления правильности выполнения задания, затем готовится к подведению итогов урока.

(Учащиеся работают парами).

Учитель. Давайте попробуем выявить две основные возможности употребления этих тождеств.

Первая - для сокращенного умножения.

Вторая - для разложения на множители.

Завершите выполнение задания на карточке дома.

Задание на карточках:

Просмотреть учебник (на данную тему) и придумать различные задания (они должны иметь различную словесную форму) для следующих выражений и равенств:

1. (х - 40) ²

2. (100 + 1) ²

3. 999 ²

4. (- х - у ) ² = (х + у )²

5. х² + 2ху + у²

6. n² - 4n + 4

7. 0,25a² + 2ab + 4b²

8. 1/16m² + m + 4

9. (x - 5)(x + 5)

10. (a + 1)(a - 1)

11. 99 • 101

12. n² - 9

13. n² - 1

14. 25x² - y²

15. 16x² - 25 = 0

Обратная сторона карточки:

Формулы сокращенного умножения

(прямая теорема)

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a - b)² = a² - 2ab + b²

(a + b) (a - b) = a² - b²

Название формул

квадрат суммы

квадрат разности

разность квадратов

Формулы разложения на множители

(обратная теорема)

a² + 2ab + b² =(a + b)²

a² - 2ab + b² =(a - b)²

a² - b² = (a + b) (a - b)

(a + b)³ =

(a - b)³ =

(a+b)(a² -ab +b²)=

(a-b)(a² +ab +b²)=

3. Итог урока.

Сегодня на уроке мы познакомились с тремя тождествами. Перед вами таблица результатов сегодняшней работы. Давайте дадим пояснение к этой таблице.

Почему справедливы прямая и обратная теоремы?

Т.к. данное равенство является тождеством.

Объясните название формул.

Каждое название соответствует одной из частей равенства, удобной для запоминания.

Обратите внимание на формулы квадрата суммы и квадрата разности. Что вы видите в них особенного?

Отличие в знаках.

Как надо поступить, чтобы из первой формулы получить вторую?

Взять выражение "b" с противоположным знаком.

4. Задание на дом.

Завершить выполнение заданий на карточках.

Рассмотреть тождество а² + b² = (a + b)² - 2ab. Дать геометрическую интерпретацию и доказать аналитически.

Список использованной литературы

1. Алгебра. 7 класс. Учебник. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Феоктистов И.Е.

Данный учебник предназначен для углубленного изучения алгебры в 7 классе и входит в комплект из трех книг: «Алгебра-7», «Алгебра-8» и «Алгебра-9». Его содержание полностью соответствует современным образовательным стандартам, а особенностями являются расширение и углубление традиционных учебных тем за счет теоретико-множественной, вероятностно-статистической и историко-культурной линий. Учебник содержит большое количество тренировочных упражнений и нестандартных заданий творческого характера.

8-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2008. - 335 с.

2. Учебник по Алгебре, предназначен для учеников 7 класса.
   Авторы: Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин, Ю.В.Сидоров, Н.Е.Федорова, М.И.Шабунин
   Учебник для 7 класса общеобразовательных учреждений. Москва. Просвещение 2011.18 издание.

3. Авторская разработка.

Источники иллюстрации

1. Теорема Пифагора: portaline.ru/teoremapifagora.php