- Преподавателю
- Математика
- Урок алгебры в 11 классе на тему Методы решения иррациональных уравнений
Урок алгебры в 11 классе на тему Методы решения иррациональных уравнений
Раздел | Математика |
Класс | 11 класс |
Тип | Конспекты |
Автор | Жердецская Ю.Н. |
Дата | 06.02.2016 |
Формат | doc |
Изображения | Есть |
Жердецская Юлия Николаевна
Учитель математики высшей категории СОШ № 24,
г. Уральск
Урок алгебры в 11 классе
Тема: «Методы решения иррациональных уравнений».
Форма проведения: семинар, работа в группах по 5-6 человек (в каждой группе обязательно есть сильные ученики).
Цели и задачи урока:
-
Обучающие: обобщить знания учащихся по данной теме, продемонстрировать различные методы решения иррациональных уравнений, показать умение учащихся подходить к решению уравнений с исследовательской позиции.
-
Развивающие: формирование навыков самообразования, самоорганизации, работы в парах при выполнении домашнего задания, умения анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы, развитие логического мышления, алгоритмической культуры.
-
Воспитательные: воспитание самостоятельности учащихся, умения выслушивать других и умения общаться в группах, повышения интереса к предмету.
Тип урока: Применение теоретических знаний, умений и навыков к решению иррациональных уравнений различными методами.
Форма урока: Семинар-практикум: работа в группах.
Методы: фронтальная беседа, комментирование решений, устная проверочная работа, защита творческой домашней работы, дифференцированная самостоятельная работа.
Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, кодоскоп, кодопозитивы, диск CD, раздаточный материал для самостоятельной работы с дифференцированными заданиями.
Наглядность: таблица «Решение иррациональных уравнений», плакаты «Математику уже затем учить следует, что она ум в порядок приводит»., «я слышу-я забываю,я вижу-я запоминаю,я делаю-я понимаю»
Подготовительная работа:
-
Творческое задание №1. (За 2 недели до занятия. Работа в 3 группах).
Решить различные иррациональные уравнения, взятые из сборников ЕНТ 2003-2010 гг., из сборника заданий для проведения письменного экзамена по математике за курс средней школы
Творческое задание №2. (За одну неделю до занятия. Индивидуальная работа.)
Решить уравнение различными способами. Оценить достоинства и недостатки каждого способа. Оформить задание в виде презентации.
-
В течение выполнения творческого задания провести (по необходимости) консультации для учащихся, у которых возникают вопросы по заданию.
План проведения урока:
-
Сообщение темы и цели урока.
-
Презентация исследовательской работы учащихся «Анализ методов решений иррациональных уравнений».
-
Защита творческого задания № 2.
-
Устная проверочная работа (теория и упражнения)
-
Самостоятельная работа.
-
Итог урока.
-
Домашнее задание
Ход занятия:
-
Сообщение темы и цели урока.
-
Презентация исследовательской работы, проводится двумя ученицами, на тему «Анализ методов решения иррациональных уравнений».
Способ I
Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень с последующей проверкой
,
возведем обе части уравнения в квадрат
,
возведем обе части уравнения в квадрат.
По теореме Виета:
Проверка:
1). Если х=42, то
Значит, число 42 не является корнем уравнения.
2). Если х=2, то
Значит, число 2 является корнем уравнения.
Ответ: 2
Достоинства Недостатки
1. Понятно 1. Словесная запись
2. Доступно 2. Громоздкая проверка иногда занимает
много времени и места
Вывод:
При решении иррациональных уравнений методом возведения обеих частей уравнения в одну и туже степень необходимо вести словесную запись, что делает решение понятным и доступным. Однако обязательная проверка иногда бывает громоздкой и занимает много времени. Этот метод можно использовать для несложных иррациональных уравнений, содержащих 1-2 радикала.
Способ II
Метод равносильных преобразований
По теореме Виета:
Ответ: 2.
Достоинства Недостатки
1. Отсутствие словесного описания 1. Громоздкая запись
2. Нет проверки 2. Можно ошибиться при комбинации знаков
3. Четкая логическая запись системы и совокупности и получить
4. Последовательность равносильных неверный ответ
переходов
Вывод:
При решении иррациональных уравнений методом равносильных переходов нужно четко знать, когда ставить знак системы, а когда совокупности. Громоздкость записи, различные комбинации знаков системы и совокупности не редко приводят к ошибкам. Однако, последовательность равносильных переходов, четкая логическая запись без словесного описания, не требующая проверки, являются бесспорными плюсами данного способа.
Способ III
Функционально графический метод
+=4,
.
Рассмотрим функции и .
1). у = - степенная функция.
Найдем область определения функции D(x).
.
Составим таблицу значений х и у:
х
1,5
2
6
у
0
1
3
2). у =4 - - степенная функция.
Найдем область определения функции D(x).
.
Составим таблицу значений х и у:
х
-0,25
0
2
6
у
4
3
1
-1
Построим данные графики функции в одной системе координат.
y
4 y
3 A(1;2)
2
1
1 2 3 4 5 6
Графики функции пересекаются в точке с абсциссой х=2.
Ответ: 2
Достоинства Недостатки
1. Наглядность 1. Словесная запись
2. Если ответ точный, то не нужна проверка. 2. Ответ может быть приближенным, не
точным
Вывод:
Функционально графический метод - это наглядный метод, но применять его лучше тогда, когда легко можно построить графики рассматриваемых функций и получить точный ответ. Если ответ приближенный, то лучше воспользоваться другим методом.
Способ IV
Метод введения новых переменных
+=4.
Введем новые переменные, обозначив ,
Получим первое уравнение системы: a+b=4.
Составим второе уравнение системы:
Получим систему двух рациональных уравнений, относительно а и b:
по теореме Виета:
Вернемся к переменной х:
Ответ: 2.
Достоинства Недостатки
1. Этот метод для данного уравнения 1.Словесное описание.
не рационален. 2. Громоздкое решение.
Вывод:
Метод введения новых переменных и переход к системе рациональных уравнений для данного уравнения не рационален. Этот метод лучше применять для иррациональных уравнений, содержащих радикалы различных степеней, или одинаковые многочлены под знаком корня и за знаком корня, или взаимообратные выражения под знаками корня.
Итак, ребята, значит, для каждого иррационального уравнения необходимо выбирать наиболее рациональный способ решения: понятный, доступный, логически грамотно оформленный.
Ребята, поднимите руку, кто из вас при решении этого уравнения отдал бы предпочтение:
а) методу возведения обеих частей уравнения в одну и туже степень с проверкой;
б) методу равносильных переходов;
в) функционально графическому методу;
г) методу введения новых переменных?
-
Защита творческого домашнего задания «Применение методов решения иррациональных уравнений». В ходе этого этапа каждый учащийся должен записать в свою тетрадь все примеры, предложенные другими группами и решить дома.
Задание 1.
Рассмотрим решение иррациональных уравнений, для которых метод введения новой переменной наиболее рационален.
Группа I.
2х2 - 6х + +2=0
Группа II
Группа III
Задание 2.
Рассмотрим решение иррациональных уравнений, решаемых возведением в степень корня.
Группа I.
Группа II
Группа III
Задание 3.
Рассмотрим решение иррациональных уравнений нестандартными способами: метод ОДЗ и функциональный метод.
Группа I.
Группа II
Группа III
(Перед началом занятия учащиеся групп №1 и №2 записали на доске предложенные ими способы решения, учащиеся группы №3 записали на кодопозитиве.)
а) Каждая группа анализирует один из способов решения, оценивает достоинства и недостатки, делает вывод. Учащиеся других групп делают дополнения, если это необходимо. Оценивается анализ и вывод, какой группы будет наиболее четким и полным.
-
Устная проверочная работа.
А) фронтальная беседа:
-
Что такое уравнение? [Уравнение - это равенство двух алгебраических выражений].
-
Что называется корнем уравнения? [Корнем уравнения называется, то значение переменной, при котором данное уравнение обращается в верное равенство].
-
Что значит решить уравнение? [Решить уравнение - значит найти все его корни или доказать, что уравнение не имеет корней].
-
Какие уравнения называются равносильными? [Два уравнения равносильны на множестве, если они имеют одни и те же корни из этого множества или не имеют корней на данном множестве].
-
Какие уравнения называют иррациональными уравнениями? [Уравнения, содержащие переменную под знаком корня, называют иррациональными уравнениями].
-
Каковы методы решения иррациональных уравнений? [Часто используемый прием решения иррациональных уравнений - это возведение в степень (чаще всего возведение в квадрат). Другой метод - это метод замены переменных].
Б) проверочная работа:
1. Является ли уравнение иррациональным:
-
1+х
-
2х- 5=0
-
Какие из чисел 5; 0; -3 являются корнями уравнений:
-
Решите уравнения:
5. Самостоятельная работа
Каждый учащийся получает карточку с одним из 3х вариантов: гр.А, В, С. Первый вариант для слабоуспевающих учеников, второй и третий для более успешных учащихся.
Группа А.
-
(х-5)(х+2)
-
-
х-
Группа В.
Группа С.
6.Итоги урока и рефлексия.
Решение иррациональных уравнений требует от учащихся хороших теоретических знаний,
умений применять их на практике, требует внимания, трудолюбия, сообразительности.
Оценки за урок. Рефлексия.
Заполнив таблицу, отразите в ней уровень успешности владения темой урока.
-
Теория
Устные упражнения
Методы
Возв. в степень
Замена
ОДЗ
Функ-ый
Уровень
! - успешно
+ хорошо
- недостаточно
Отобразите свое настроение по завершению урока смайлом.
-
Домашнее задание. Решить задания, которые защищали учащиеся из других групп.