Методическая разработка учебного занятия «Приложение производной к исследованию функции и построению графиков»

ГОБУ СПО ВО

«Россошанский колледж мясной и молочной промышленности»

ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ КАРТА УЧЕБНОГО ЗАНЯТИЯ

Дисциплина

Математика

Группа

711

Отделение

230401 «Информационные системы»

Раздел

Математический анализ

Тема

Приложение производной к исследованию функции и построению графиков

Компетенции

Учебно-познавательные, информационно-коммуникативные, общекультурные, социально-трудовые

Цели занятия

Образовательные

-Выработать умения при нахождении промежутков монотонности функции, точек экстремумов помощью производной;

-Сформировать умение исследования функции и построение графика.

Развивающие

Расширять кругозор знаний обучающихся, развивать навыки реализации теоретических знаний в практической деятельности

Воспитательные

Воспитывать внимательность, точность, чувство ответственности за качество и результаты выполняемой групповой и индивидуальной работы

Тип занятия

Комбинированное

Вид занятия

Усвоение новых знаний

Наглядные пособия

Презентация по теме занятия, раздаточный материал (тесты, задания)

Хронокарта занятия

1.

Организационная часть (проверка присутствующих, подготовка рабочих мест).

1 мин

2.

Сообщение темы и целей занятий (объявление темы урока, постановка достижимых целей перед обучающимися).

2 мин

3.

Актуализация опорных знаний обучающихся (выполнение упражнений, необходимых как опора для изучения нового материала).

15мин

4.

Начальная мотивация учебной деятельности (заинтересованность в изучении данной темы: необходима в профессиональной деятельности, в жизненной ситуации и т. д.).

5 мин

5.

Изучение нового материала (последовательное изложение по принципу «от простого к сложному»)

30 мин

6.

Обобщение и систематизация изученного материала (выводы по основным вопросам темы, закрепление полученных знаний путем выполнения упражнений).

30 мин

7.

Итоговая часть занятия (подведение итогов занятия, выставление комментированных оценок). Рефлексия

5 мин

8.

Сообщение домашнего задания (выполнение домашнего задания следует разобрать и дать необходимые рекомендации по его выполнению).

2 мин

Актуализация опорных знаний студентов

1.

Устный опрос по теме: «Приложение производной»

2.

Самостоятельная тестовая работа по вариантам

3.

План изложения нового материала

1.

Понятие и определение промежутков монотонности функции. Основные теоремы.

2.

Определение стационарных, критических и точек экстремума функции.

3.

Алгоритм исследования функции и построения графиков.

Закрепление нового материала

1.

Выполнение упражнений на определение промежутков возрастания и убывания функции, точек экстремума.

2.

Исследование поведения функции по алгоритму и построение графиков.

Итог урока. Домашнее задание.

А.Н.Колмогоров «Алгебра и начала анализа», §6, №283,290

Преподаватель: Жук Н.Г.

ХОД УРОКА

«Мало знать, надо уметь

Мало хотеть, надо делать»

И. Гёте

I. Организационный момент

1. Приветствие.

2. Проверка присутствующих.

II. Объяснение темы и постановка целей урока

На прошлых занятиях вы познакомились с механическим и геометрическим приложением производной, а сегодня мы с вами приступим к изучению ещё одного важного приложения производной- приложение производной к исследованию функции и построению графиков.

III. Актуализация опорных знаний

Вспомним некоторые понятия и определения (устный опрос):

1. Что называют функцией?

2. Как называется переменная Х, Y?

3. Что называется областью определения функции?

4. Что называется множеством значения функции?

5. В чем состоит геометрический смысл производной?

6. Механический смысл?

А теперь проверим наши умения правильно находить производную Самостоятельная работа с взаимопроверкой.

Студенты находят ответы на вопросы теста в указанном порядке, и записывают букву. В результате выполнения задания они получают слово: знать (группа 1), уметь (группа 2), делать (группа 3)(Девизы групп)

Группа 1

1.Производная функции f(х)=3х+:

1. 3+2х; 2. 3х+; 3. 2х; 4.3+2.

2.Производная функции f(х)=(5х-1)(4х+1):

1.20х+9 2. 40х+1 3. -40х+9 4. 40х-9

3.Производная функции

1. 2. 3. 4.

4. Скорость точки, движущейся прямолинейно по закону s(t) =, равна:

_{1.V(t)=3t-10t} 2.V(t)=3t²-10t _{3.V(t)= t}³_{-10t 4.V(t)=3t}³_-5

5. Точка движется прямолинейно по закону s(t) =4t-5t+7 её мгновенная скорость v(2) равна:

1.18 2.11 3.10 4.13

1. Ответы для 1 группы

А

3t²-10t

Т

Д

(4

Л

11

Ь

К

40х+1

Н

(3)

В

3+2х

З

Группа 2

1.Производная функции f(х)=2+7:

1.4х; 2. 2х; 3. 4х+7; 4. 2х-2.

2.Производная функции f(х)=(5+2)(4х-1):

1. 60-10х+8 2.40+8 3.60+10х+8 4.20-10х+8

3.Производная функции

4.

4.Скорость точки, движущейся прямолинейно по закону s(t) = равна:

1.V(t)=2t-9t² _2.v(t)=2t²_{-9 3.v(t)=2t-3 4.v(t)=2-3t}

5.Точка движется прямолинейно по закону s(t) =-t+10t-7 её мгновенная скорость v(1) равна:

1. 2 2. 1 3. 7 4. 8

2. Ответы для 2 группы

Е

Н

Л

(2

К

2t-9t²

Т

О

4x

У

8

Ь

60-10х+8

М

Группа 3

1.Производная функции f(х)=6х+2:

1.6х+2 2.6+6х 3.6+6 4.6

2.Производная функции f(х)=+2:

1.5+ 2.5х+ 3.5х+ 4.5+

3.Производная функции

4.

4.. Скорость точки, движущейся прямолинейно по закону s(t) = равна:

1.V(t)=2t-9t² _{2.v(t)=4t+12t}² _{3.v(t)=2t-5 4.v(t)=2-3t}

5. Точка движется прямолинейно по закону s(t) =t³+2t²+t её мгновенная скорость v(0) равна:

1.2 2.1 3.7 4.8

6. Скорость точки, движущейся прямолинейно по закону s(t) =t³+2t²+t равна:

1.V(t)=2t-9t² _2.v(t)=3t²_{+4t+1 3.v(t)=2t-5 4.v(t)=2-3t}

Ответы для 3 группы

1

Т

_3t²_+4t+1

Ь

С

_4t+12t²

А

Ш

Л

М

5х+

Е

6+6

Д

IV. Начальная мотивация учебной деятельности

2.Фронтальный опрос по теме «Свойства функции»

• Дать определение возрастающей функции на интервале.

• Дать определение убывающей функции на интервале.

• Свойство четности и нечетности функции?

Определить, какие функции возрастают (убывают)?

V. Изложение нового материала

1. Необходимый признак возрастания (убывания) функции.

Теорема1.Если дифференцируемая функция y=f(x) возрастает (убывает) в данном интервале, то производная этой функции не отрицательна (не положительна) в этом интервале.

Геометрически утверждение теоремы означает, что касательные к графику возрастающей функции образуют острые углы с положительным направлением оси Ох или, быть может, в отдельных точках, вроде точки М (cлайд 3), касательная параллельно оси Оx; значит, f'(х)=tg. Аналогично, касательные к графику убывающей функции образуют тупые углы с положительным направлением оси Ox или, быть может, в отдельных точках, вроде точки N (слайд 3), касательная параллельна оси Оx; поэтому f'(х)=tg

Обратное заключение также справедливо, оно выражается следующей теоремой.

2. Достаточный признак возрастания (убывания) функции.

Теорема 2. Если производная функции y=f(x) положительна(отрицательна) в некотором интервале, то функция в этом интервале монотонно возрастает (монотонно убывает).

Поясним эту теорему геометрически. Имеем f'(х)=k= tg.Если f'(х)>0, то tg> 0,т. е. угол - острый, а это возможно лишь при возрастании функции (cлайд 4).

Если f'(х)<0, то tg<0, то т. е. угол - тупой, а это возможно лишь при убывании функции (слайд 4).

Таким образом, возрастание или убывание функции на интервале вполне определяется знаком производной этой функции.
В интервале знакопостоянства производной функция является монотонной.

Мы установили, что интервалы возрастания или убывания функция совпадают с интервалами, в которых производная этой функции сохраняет знак. Следовательно, переход от возрастания к убыванию или обратно возможен лишь в точках, где производная меняет знак. Такими точками могут служить только такие точки, в которых f'(х)=0, а также точки разрыва.

Поэтому интервалы монотонности мы получим, если разделим область определения функции на части, границами которых служат те точки, в которых f'(х)=0, и точки разрыва.

3. Определение точки максимума (минимума) функции. Экстремум функции.

Необходимый и достаточный признаки экстремума.

Определение 1. Точку x=x₀ называют точкой минимума функции y=f(x), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(x) ≥ f(x₀).

Определение 2. Точку x=x₀ называют точкой максимума функции y=f(x), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(x )≤ f(x₀).

Теорема 3. Если функция y=f(x) имеет экстремум в точке x=x₀, то в этой точке производная функции или равна нулю, или не существует.

Теорема 3 является только необходимым (но не достаточным) условием существования экстремума: из того, что производная f'(x) в точке x₀ обращается в нуль, не обязательно следует, что в этой точке функция имеет экстремум.

Например, функция f(x)=x⁵ имеет производную f'(x)=5x⁴, которая обращается в нуль в точке x₀=0. Однако экстремума в этой точке функция не имеет (происходит изменение кривизны).

Поэтому вводят ещё достаточный признак существования экстремумов функции.

Теорема 4. Если производная f'(x) при переходе через точку x₀ меняет знак, то точка x₀ является точкой экстремума функции f(x).

Если производная меняет знак с + на -, то точка будет являться точкой максимума, если с - на +, то точка будет точкой минимума.

Таким образом, обращение первой производной в нуль является необходимым, но не достаточным условием экстремума.

Алгоритм исследования функции на монотонность и экстремумы.

1. Найти область определения данной функции f(x).

2. Вычислить производную f(x) данной функции

3. Найти точки, в которых производная равна нулю или не существует. Эти точки называются критическими для функции.

4. Найденными точками область определения функции разбивается на интервалы, на каждом из которых производная сохраняет свой знак. Эти интервалы являются интервалами монотонности.

5. Исследуют знак производной на каждом из найденных интервалов. Если на рассматриваемом интервале f(x)>0, то на этом интервале возрастает; если же f(x)<0, то на таком интервале убывает.

6. Устанавливают знаки производной функции при переходе через критические точки и выписывают точки экстремума.

7. Вычислить значения функции в каждом экстремальной точке.

Рассмотрим теперь на примерах исследование функции на монотонность и экстремумы.

Пример1. Исследовать функцию на монотонность y=x²+2.

1. Область определения: R. Функция непрерывна.

2. Вычисляем производную : y'=2x.

3. Находим критические точки: y'=0, 2x=0, x=0

4. Делим область определения на интервалы:

4. Функция возрастает при xє[0;+∞), функция убывает при xє(-∞;0].

Пример 2. Найти экстремумы функции y=-2x³-3x²+12x-4.

1. Область определения: R. Функция непрерывна.

2. Вычисляем производную : y'=-6x²-6x+12.

3. Находим критические точки: y'=0.

x²+x-2=0

D=1-4*1*(-2)=1+8=9

x₁=-2 и x₂=1

4. Делим область определения на интервалы:

4. Функция возрастает при xє(-∞;-2]υ[1;+∞),

убывает при xє[-2;1].

4. Видно, что в точке x=-2 знак производной меняется с минуса на плюс. Поэтому критическая точка x=-2 - точка минимума. Найдём минимум функции y_min=-24. В точке x=1 знак меняется с плюса на минус. Поэтому критическая точка x=1 - точка максимума. Найдём максимум функции: y_max=3.

Построение графиков по исследованию функции.

Исследование функций с помощью производной позволяет более точно строить их графики, которые применяются для решения многих алгебраических задач.

Исследование функции проводят по алгоритму:

1. Область определения функции

2. а) четность, нечетность; б) периодичность.

3. Критические точки.

4. Промежутки возрастания, убывания функции.

5. Точки экстремума.

6. Координаты точек пересечения графика с осями координат.

Пример:

Исследовать функцию f(x)=-x³+3x-2

1) D(f)=R

2) f(-x)=x³-3x-2, значит f(x) ни чётная, ни нечётная; не периодическая

3) f'(x)=-3x²+3=-3(x-1)(x+1)=0, x₁=1, x₂=-1-критические точки

4), 5) f'(x)=-3x²+3=-3(x-1)(x+1)=0, x₁=1, x₂=-1-критические точки

^x

^(-∞;-1)

^-1

^(-1;1)

¹

^(1;+∞)

f'(x)

⁻

⁰

⁺

⁰

⁺

f(x)

^-4

⁰

^min

^max

6)

y

-1 1

0 x

-2

-4

VI. Закрепление нового материала

Работа у доски:

1.Определить экстремумы функций

а), б), в).

3. Исследовать функцию и построить график

а), б).

Работа в группах:

Каждая группа получает разноуровневые карточки с заданием, в течении 10 минут выполняют его ( с использованием алгоритма) консультируясь с преподавателем.

Задание

Найдите точки экстремума функции и определите их характер:

(разные уровни заданий)

I группа

II группа

III группа

2. Разбор примеров у доски

По одному представителю от группы поочередно студенты выходят к доске и показывают свое решение. Идет обсуждение каждого решения.

VII. Подведение итогов урока

• рефлексия учащихся

  • Я понял как …

  • Я узнал,что …

  • Я догадался …

  • На занятии я чувствовал себя (уверенно/неуверенно)

  • С домашней работой я (справлюсь/не справлюсь)

• • • • выставление оценок с комментариями

VIII. Домашнее задание

А.Н.Колмогоров «Алгебра и начала анализа», §6, №283,290