МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА», РАЗДЕЛ 2. ТЕОРИЯ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

Омский летно-технический колледж гражданской авиации имени А.В. Ляпидевского

филиал Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования
"Ульяновское высшее авиационное училище гражданской авиации (институт)"

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
ПО ВЫПОЛНЕНИЮ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

по дисциплине

«Математика»

Раздел 2. Теория комплексных чисел

Специальности

25.02.01 Техническая эксплуатация летательных аппаратов и двигателей

25.02.03 Техническая эксплуатация электрифицированных и пилотажно-навигационных комплексов

25.02.04 Летная эксплуатация летательных аппаратов

Омск - 2015

Разработал:

Пищагина Е.С., преподаватель математики

Рассмотрено

на заседании ЦМК ЕНД и ОВД

от «_____»__________20__г.

Протокол №_________

1. Пояснительная записка

Внеаудиторная самостоятельная работа является обязательным видом учебной работы курсантов. Объем внеаудиторной самостоятельной работы курсантов определяется учебным планом. Рабочей программой дисциплины «Математика» предусмотрено до 50% внеаудиторного самостоятельного изучения учебного материала. Методические указания к выполнению самостоятельной работы по учебной дисциплине «Математика» предназначены для обобщения, систематизации и получения более глубоких знаний дисциплины, закрепления полученных умений и навыков, повышения уровня подготовки курсантов, а также для осуществления контроля качества усвоения учебного материала.

Курсанты должны уметь использовать справочники, таблицы, уметь решать прикладные задачи.

Тема: Действия над комплексными числами.

Цель:

формирование знаний о формах записи комплексных чисел;

изучить способы перехода от одной формы комплексного числа к другой.

Задача:

1. выполнять действия над комплексными числами;

2. осуществлять перевод комплексных чисел из одной формы в другую.

Теоретические сведения

1. Комплексные числа и их геометрическая интерпретация

Комплексными числами называются числа вида , где и - действительные числа, а число , определяемое равенством , называется мнимой единицей, если для этих чисел понятия равенства и действия сложения и умножения определены следующим образом:

1. два комплексных числа и называются равными, если и ;

2. суммой двух комплексных чисел и называется комплексное число ;

3. произведением двух комплексных чисел и называется комплексное число .

Запись комплексного числа в виде называется алгебраической формой записи комплексного числа.

Действительное число называется действительной частью комплексного числа , а действительное число - мнимой частью.

Любое действительное число содержится в множестве комплексных чисел, его можно записать так: . Числа 0, 1 и записываются соответственно в виде , и .

При комплексное число обращается в чисто мнимое число .

Комплексное число называется комплексно сопряженным с числом и обозначается , т.е. .

Комплексные числа вида и называются противоположными.

Модулем комплексного числа называется число :

(1)

Модуль комплексного числа всегда есть действительное неотрицательное число:, причем тогда и только тогда, когда .

Комплексное число можно изображать точкой плоскости с координатами (рис.1). При этом действительные числа изображаются точками оси абсцисс, которую называют действительной осью, а чисто мнимые числа - точками оси ординат, которую называют мнимой осью.

Каждой точке плоскости с координатами соответствует один и только один вектор с началом в точке и концом в точке . Поэтому комплексное число можно изобразить в виде вектора с началом в точке и концом в точке .

Из геометрической интерпретации комплексного числа вытекают следующие свойства.

1. Длина вектора равна .

2. Точки и симметричны относительно действительной оси.

3. Точки и симметричны относительно точки .

4. Число геометрически изображается как вектор, построенный по правилу сложения векторов, соответствующих точкам и (рис.2).

5. Расстояние между точками и равно (рис. 3).

Угол между действительной осью и вектором , отсчитываемый от положительного направления действительной оси, называется аргументом комплексного числа (см. рис. 1). Если отсчет ведется против движения часовой стрелки, то величина угла считается положительной, а если по движению часовой стрелки, - отрицательной.

Аргумент комплексного числа записывается так:

или (2)

Для числа аргумент не определен.

Аргумент комплексного числа определяется неоднозначно; любое комплексное число имеет бесконечное множество аргументов, отличающихся друг от друга на число, кратное . Наименьшее по абсолютной величине значение аргумента из промежутка называется главным значением аргумента.

Из определения аргумента тригонометрических функций следует, что если , то имеют место равенства

, (3)

Справедливо и обратное утверждение, т.е. если выполняются оба равенства (3), то . Таким образом, все значения аргумента можно находить, решая совместно уравнения (3).

Значения аргумента комплексного числа можно находить и так:

1. определить, в какой четверти находится точка (использовать геометрическую интерпретацию числа );

2. найти в этой четверти угол , решив одно из уравнений (3) или уравнение

; (4)

3. найти все значения аргумента числа по формуле

.

2. Действия над комплексными числами,

заданными в алгебраической форме

Над комплексными числами производятся такие же действия, как и над действительными числами. Действия сложения и умножения даны в определении комплексного числа (см.п. 1).

Рассматривая вычитание и деление комплексных чисел как действия, обратные соответственно сложению и умножению, получаем правила вычитания и деления комплексных чисел:

;

.

3. Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме

1. Тригонометрическая форма комплексного числа

Пусть - модуль, а - одно из значений аргумента комплексного числа . Так как из соотношений (3) вытекает, что , , то

(5)

Таким образом, любое комплексное число можно записать по формуле (5), где - модуль, а - одно из значений аргумента этого числа.

Верно и обратное утверждение: если комплексное число представлено в виде (5), где , то , .

Представление комплексного числа в виде

,

где , называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

Для представления комплексного числа в тригонометрической форме необходимо найти: 1) модуль этого числа; 2) одно из значений аргумента этого числа. В силу многозначности тригонометрическая форма комплексного числа также неоднозначна.

2. Действия над комплексными числами,

заданными в тригонометрической форме

Произведение комплексных чисел и находится по формуле

, (6)

т.е. , .

Таким образом, при умножении двух комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Частное комплексных чисел и находится по формуле

, (7)

т.е.

, .

Таким образом, при делении комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, их модули делятся, а аргументы вычитаются.

Для возведения комплексного числа в n-ю степень используется формула

, , (8)

которая называется формулой Муавра.

Для извлечения корня n-й степени из комплексного числа используется формула

, (9)

где - арифметический корень, .

4. Показательная функция

с комплексным показателем. Формулы Эйлера

Степень с комплексным показателем определяется равенством

.

Можно доказать, что

,

т.е.

(10)

В частности, при получается соотношение

(11)

которое называется формулой Эйлера.

Для комплексных показателей остаются в силе основные правила действий с показателями; например, при умножении чисел показатели складываются, при делении - вычитаются, при возведении в степень - перемножаются.

Показательная функция имеет период, равный , т.е. . В частности, при получается соотношение .

Тригонометрическую форму комплексного числа можно заменить показательной формой: .

Умножение, деление, возведение в целую положительную степень и извлечение корня целой положительной степени для комплексных чисел, заданных в показательной форме, выполняются по следующим формулам:

; (13)

; (14)

; (15)

. (16)

Формула Эйлера (11) устанавливает связь между тригонометрическими функциями и показательной функцией. Заменив в ней на и на , получим

, .

Складывая и вычитая эти равенства, получим

, (17) , (18)

Эти две простые формулы, также называемые формулами Эйлера и выражающие тригонометрические функции через показательные, позволяют алгебраическим путем получить основные формулы тригонометрии.

Вариант 1

1. Выполните сложение комплексных чисел в алгебраической форме: . Вычисленную сумму изобразите на комплексной плоскости в виде вектора.

2. Выполните деление комплексных чисел в алгебраической форме: .

3. Решите квадратное уравнение .

4. Выполните умножение комплексных чисел в тригонометрической форме: .

5. Выполните деление комплексных чисел в показательной форме: .

6. Вычислите все значения . Найденные значения запишите в алгебраической форме.

7. Найдите все комплексные корни уравнения . Значения корней запишите в алгебраической форме.

Вариант 2

1. Выполните вычитание комплексных чисел в алгебраической форме: . Вычисленную разность изобразите на комплексной плоскости в виде вектора.

2. Выполните деление комплексных чисел в алгебраической форме: .

3. Решите квадратное уравнение .

4. Выполните деление комплексных чисел в тригонометрической форме: .

5. Выполните умножение комплексных чисел в показательной форме: .

6. Вычислите все значения . Найденные значения запишите в алгебраической форме.

7. Найдите все комплексные корни уравнения . Значения корней запишите в алгебраической форме.

Вариант 3

1. Выполните сложение комплексных чисел в алгебраической форме: . Вычисленную сумму изобразите на комплексной плоскости в виде вектора.

2. Выполните деление комплексных чисел в алгебраической форме: .

3. Решите квадратное уравнение .

4. Выполните умножение комплексных чисел в тригонометрической форме:

5. Выполните деление комплексных чисел в показательной форме:.

6. Вычислите все значения . Найденные значения запишите в алгебраической форме.

7. Найдите все комплексные корни уравнения . Значения корней запишите в алгебраической форме.

Вариант 4

1. Выполните вычитание комплексных чисел в алгебраической форме: . Вычисленную разность изобразите на комплексной плоскости в виде вектора.

2. Выполните деление комплексных чисел в алгебраической форме: .

3. Решите квадратное уравнение .

4. Выполните деление комплексных чисел в тригонометрической форме: .

5. Выполните умножение комплексных чисел в показательной форме: .

6. Вычислите все значения . Найденные значения запишите в алгебраической форме.

7. Найдите все комплексные корни уравнения . Значения корней запишите в алгебраической форме.

Критерии оценивания работы

Приведенное верное решение каждого задания оценивается одним баллом.

Количество баллов

Оценка

0  5

2

6  7

3

8  9

4

10  11

5

Используемая литература

1. Дадаян А.А. Математика: Учебник для среднего профессионального образования. - М.: Форум, 2008.

2. Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Математика: Учебное пособие для техникумов. - М.: Высшая школа, 1991.

3. Богомолов Н.В. «Практическое занятие по математике». - М.: Высшая школа, 2000.

Интернет - ресурсы

1. window.edu.ru - Единое окно доступа к образовательным ресурсам

2. matclub.ru - Высшая математика, лекции, курсовые, примеры решения задач, интегралы и производные, дифференцирование, производная и первообразная, ТФКП, электронные учебники

3. mat.september.ru - Газета «Математика» «издательского дома» «Первое сентября»

4. mathematics.ru - Математика в Открытом колледже

5. school.msu.ru - Математика: Консультационный центр преподавателей и выпускников МГУ

6. http :// exponenta.ru - Образовательный математический сайт

7. mathnet.ru - Общероссийский математический портал Math-Net.Ru

8. http :// alhnath.ru - Портал Alhnath.ni - вся математика в одном месте

9. http ://bvmath.net - Вся элементарная математика: Средняя математическая интернет - школа.

10. diffurov.net - Диффуров.НЕТ - сайт, где решают дифференциальные уравнения