Решение тригонометрических уравнений 10 класс

Содержание

Ι. Решение простейших тригонометрических уравнений

2- 7

ΙΙ. Общие методы решения тригонометрических уравнений

1. Метод разложения на множители

8 - 10

2. Метод введения новой переменной

10 - 14

3. Функционально-графические методы

15 - 17

ΙΙΙ. Решение комбинированных уравнений

18 - 23

ΙV. Решение тригонометрических уравнений с параметром

24 - 25

V. Тесты для самостоятельного решения

26 - 27

Литература

28

Ι. Решение простейших тригонометрических уравнений

Все тригонометрические уравнения сводятся к простейшим. Поэтому особое внимание следует уделять решению простейших уравнений. Начинать нужно с самых простых.

К простейшим тригонометрическим уравнениям относятся уравнения вида:

Для каждого из простейших тригонометрических уравнений определены формулы, справедливость которых обосновывается с помощью тригонометрического круга и с учетом периодичности тригонометрических функций.

sinx=а, |а|>1, решений нет;

sinx=0, x= πn, nєZ

sinx =-1, x= -+2πn, nєZ;

sinx =1, x=+2πn, nєZ;

sinx=а, |а|<1, x= arcsinа +2πn, nєZ;

x= π-arcsinа +2πn, nєZ.

В последнем случае для сокращения записи используют формулу:

x=(-1)ⁿarcsinа + πn, nєZ.

cos x=а, |а|>1,решений нет;

cos x=0, x= -+πn, nєZ;

cos x=-1, x= π +2πn, nєZ;

cos x=1, x=2πn, nєZ;

cos x=а, |а|<1, x= ± arccosа +2πn, nєZ.

Решения уравнения tg x=а и ctg x=а записываются существенно проще:

x= arctgа +πn, nєZ и, соответственно, x= arcсtgа +πn, nєZ .

Пример 1. Решить уравнение sinx = .

Решение: так как <1, значит x=(-1)ⁿarcsin + πn, nєZ.

Ответ: (-1)ⁿarcsin + πn, nєZ.

Пример 2. Решить уравнение cos x =.

Решение: так как >1, значит уравнение не имеет решения.

Ответ: нет решения.

Пример 3. Решить уравнение tg x+ = 0.

Решение:

tg x+ = 0

tg x = -

x = arctg (-) + πn, nєZ

x = - arctg + πn, nєZ

x = -+2πn, nєZ;

Ответ: -+2πn, nєZ.

Пример 4. Решить уравнение 2cos x = -.

Решение:

2cos x = -

cos x = -

x= ± arccos (-)+2πn, nєZ

x= ±( π - arccos )+2πn, nєZ

x= ±( π - )+2πn, nєZ

x = ± + 2πn, nєZ

Ответ: ± + 2πn, nєZ.

Для отработки общих формул решения простейших уравнений можно предложить для устного решения задания такого вида.

Образуют ли арифметическую прогрессию расположенные в порядке возрастания положительные корни уравнения : sinx =0; cosx = 0,5; tg x=1.

На начальном этапе, пока не отработаны навыки использования общих формул решения простейших уравнений желательно прописывать эти формулы, чтобы учащиеся быстрее их запомнили.

Далее нужно переходить к решению более сложных уравнений, которые чаще всего встречаются в вариантах ЕГЭ в разделе А.

Пример 5. Решить уравнение cos = .

Решение: cos =

Это уравнение сводится к простейшему cos t = заменой t =, которую можно не прописывать.

= ± arccos +2πn, nєZ

= ± +2πn, nєZ

х = ± + 10πn, nєZ

Ответ: ± + 10πn, nєZ.

Пример 6. Решить уравнение: sin (2x-) = .

Решение: sin (2x-) =

2x-= (-1)ⁿarcsin + πn, nєZ

2x- = (-1)ⁿ+ πn, nєZ

2x- = ++ 2πn, nєZ

2x- = -+ (2m + 1)π,mєZ

2x = + 2πn, nєZ

2x =π + 2πm, mєZ

x = + πn, nєZ

x = + πm, mєZ

Ответ: + πn, + πm, n,mєZ.

Так же нужно обратить внимание учащихся на то, что довольно часто исходное уравнение приводится к простейшему лишь после различных тождественных преобразований и применения формул тригонометрии.

Пример 7. Решить уравнение 4 sin3x cos 3x =1.

Решение: 4 sin3x cos 3x =1

2(2sin3x cos 3x) =1

2sin6x =1

sin6x =

6x = (-1)ⁿ + πn, nєZ

x = (-1)ⁿ + n, nєZ

Ответ: (-1)ⁿ+ n, nєZ.

Часто предлагается решить тригонометрическое уравнение на некотором промежутке. Целесообразно начинать решать такие уравнения до вывода общих формул решения простейших тригонометрических уравнений.

Рассмотрим примеры.

Пример 8. Найдите корни уравнения 2cosx = -1, принадлежащие промежутку [0;2π].

Решение:

2cosx = -1

cosx = -

Выбор значений x , которые принадлежат указанному промежутку можно выполнить различными способами.

Наиболее рационально это делать с помощью единичной окружности.

x₁ = ; x₂ = .

Ответ: ;.

В тестах часто требуется не просто найти корни, принадлежащие данному промежутку, а вычислить их сумму или разность; определить наибольший или наименьший корень; указать количество корней.

Пример 9. Найдите сумму корней уравнения (cos ² x -1)(2 sin - 1) = 0, принадлежащих промежутку [-; π ).

Решение: x₁ = 0; x₂ = , x₁ + x₂ =

Ответ: .

Решите самостоятельно.

1. Найдите сумму корней уравнения 2sinx = -1 на указанном промежутке

2. Найдите количество корней уравнения 4cos ²2х = 1 на указанном промежутке

3. Найдите сумму наименьшего положительного и наименьшего отрицательного корней уравнения sinx cos + sin cos х = на указанном промежутке

Уже при решение простейших тригонометрических уравнений полезно предлагать нестандартные уравнения.

Пример 10. Решить уравнение cos x² = 1.

Можно дать это уравнение для самостоятельного решения.

Найдутся ученики, которые решат его в одну строчку:

х² = 2πk, kЄZ

х = , kЄZ.

Целесообразно продемонстрировать это решение на доске и предложить ученикам найти допущенные ошибки.

В случае затруднений, чтобы внести полную ясность, решить для начала уравнение

х² = a.

Его решение имеет вид х = ± при а0.

Если а <0, то уравнение не имеет решений. Значит решением исходного уравнения является х = ±, kЄZ, k0.

Ответ: ±, kЄZ, k0.

Пример 11. Решить уравнение sinsinx = 1.

Решение: sinsinx = 1.

sinx = +2πn, nєZ

Выражение |+2πn | > 1 при любых значениях n , nєZ.

Поэтому исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.

ΙΙ. Общие методы решения тригонометрических уравнений

1. Метод разложения на множители.

Этот метод заключается в том , что исходное уравнение сводится к уравнению вида

f (x)g(x)h(x) = 0, которое можно заменить совокупностью уравнений, каждое из которых сводится к простейшему.

Решив уравнения совокупности нужно взять только те решения, которые принадлежат области определения исходного уравнения, а остальные корни отбросить.

Пример 1. Решить уравнение sin4x = 3 cos2х.

Решение:

sin4x = 3 cos2х.

2 sin2x cos2х = 3 cos2х

Получив такое уравнение, ученики достаточно часто делают ошибку, «сократив» левую и правую части уравнения на cos2х. Некоторые из них при этом оговаривают, что cos2х 0,но одной оговорки здесь, увы, недостаточно. Необходимо ещё рассмотреть случай, когда cos2х = 0, и проверить, не являются ли значения х, удовлетворяющие этому равенству, корнями исходного уравнения. Разумеется, лучше всего не делить левую и правую части уравнения на cos2х, а разложить на множители

(2 sin2x - 3) cos2х = 0.

Полученное уравнение равносиьно совокупности двух уравнений

х = , nЄZ.

Первое уравнение решения не имеет, так как функция синус не может принимать значений по модулю больших единицы. К сожалению, не все ученики это понимают, а из тех, кто понимает, не всякий вспоминает вовремя.

Ответ: , nЄZ.

Пример 2. Решить уравнение sin2x = sin4x

Решение: некоторые учащиеся, встретив такое уравнение, решительно записывают

2х = 4х или 2х = 4х + 2πn, nЄZ, что приводит к потере решений исходного уравнения.

Решение исходного уравнения состоит в переходе к уравнению sin2x - sin4x = 0

и последующем применении формулы для преобразования разности тригонометрических функций в произведение

2cos = 0

cos3x (-sinx) = 0

Ответ:

Пример 3. (ЕГЭ 2009г. Вариант 1, С2.).

Найдите все значения , при каждом из которых выражения

принимают равные значения.

Решение:

Ответ:

Пример 4. (ЕГЭ 2009г. Вариант 2, B7.).

Найдите наименьший корень уравнения

Решение:

Ответ:

2. Метод замены переменной.

В школьном курсе в основном рассматриваются уравнения, которые после введения нового неизвестного t = f(x),где f(x) - одна из основных тригонометрических функций, превращаются в квадратные либо рациональные уравнения с неизвестным t.

Пример 5. Решить уравнение cos² πx + 4sinπx + 4 =0

Решение: 1 - sin ² πx + 4sinπx + 4 =0

- sin ² πx + 4sinπx + 5 =0

Заменим sin πx = t , -1

-t ² + 4t +5 = 0

t ² - 4t - 5 = 0

t₁ = -1,t₂ = 5

t₂ не удовлетворяет условию -1

sin πx = -1

πx = -

х = -

Ответ: -

Решение однородных тригонометрических уравнений.

Уравнение вида аsinx +bcosx =0, где а и b -некоторые числа, называются однородными уравнениями первой степени относительно sinx и cosx.

Уравнение вида аsin ² x +bcos ² x + с =0, где а,b,с - некоторые числа, называются однородными уравнениями второй степени относительно sinx и cosx.

Пример 6. Решить уравнение sinx - cosх = 0.

Решение: легко убедиться, что cosx = 0 не является корнем исходного уравнения.

В самом деле, если cosx = 0, то, в силу исходного уравнения, и sinx = 0, что противоречит основному тригонометрическому тождеству. Этот факт позволяет разделить левую и правую части уравнения на cosx.

Получим уравнение tg x = 1, откуда х =

Ответ:

Пример 7. Решить уравнение sin ² x - 3sinx cosх + 2cos ² x = 0.

Решение: поскольку cosx = 0 не является корнем tg x данного уравнения,

разделим левую и правую части уравнения на cos ² x. В результате приходим к квадратному уравнению относительно tg² x - 3 tg x + 2 = 0,

решив которое, получим

Ответ:

Введение вспомогательного аргумента.

Уравнение вида аcosx + b sinx = с, где а, b, с -некоторые числа, причем

называют линейными тригонометрическими уравнениями.

Для решения таких уравнений используют введение вспомогательного аргумента.

Так как а ² + b² >0, то можно разделить обе части уравнения на , получим

Введём в рассмотрение угол такой, что

Угол , удовлетворяющий этим двум условиям, принято называть дополнительным (или вспомогательным) аргументом. Для любых значений а и b такой угол существует, так как

Вообще, полезно напомнить учащимся, что любые числа p и g такие, что

p² + g² = 1 можно рассматривать как косинус и синус некоторого угла.

Теперь исходное уравнение можно записывать в виде

coscosx + sinsinx =

cos (x - ) =

Аналогично можно вводить вспомогательный угол такой, что:

Тогда исходное уравнение можно привести к виду

sincosx + cossinx =

sin (x +) =

Полезно также обратить внимание учащихся, что умение преобразовывать выражения вида а cosx + b sinx может понадобиться не только при решении уравнений, но и для построения оценок, нахождения наибольших значений и т. д.

Пример 8. Решить уравнение 3 sinx - 4cosх = 5.

Решение. 3 sinx - 4cosх = 5

==5

, cosx = ,

cos(x + ) = -1

x + = π + 2πn, nЄZ

x = - + π + 2πn, nЄZ

x = -arcsin+ π + 2πn, nЄZ

Ответ: -arcsin+ π + 2πn, nЄZ.

Пример 9. Решить уравнение 2cosх = 1- 2cos ²х -sin2x.

Решение. Воспользуемся формулой 2cos ²х - 1 = cos 2x,

получим 2cosх = - cos2х -sin2x.

Применим к правой части процедуру введения вспомогательного аргумента.

=

2cosх = - 2(cos2х +sin2x)

2cosх = - 2 (сos cos2х + sinsin2x), где

2cosх = - 2(cos2х - )

cosх + cos (2х - ) = 0

Последнее уравнение легко решить, преобразовав сумму косинусов в произведение:

2coscos

cos

Необходимо обратить внимание учащихся на то, что в тригонометрических системах и совокупностях при записи имеет смысл употреблять разные буквы, обозначающие целые числа.

Ответ: .

Универсальная тригонометрическая подстановка.

Универсальная тригонометрическая подстановка позволяет перейти от синуса и косинуса аргумента х к тангенсу половинного аргумента:

sin , cos

При таком переходе возможна потеря решений, следует помнить, что (в этих точках tg не существует). Поэтому всякий раз, когда приходится пользоваться универсальной подстановкой, значения х = π + 2πn, nЄZ необходимо проверять отдельно, подставляя в исходное уравнение.

Пример 10. Решить уравнение sinx + cosх = -1.

Решение: = -1, заменим tg , получим

2t +1 - t² = -1- t²

2t = - 2

t = - 1

tg

Подставим теперь в исходное уравнение значение и убедимся, что они действительно являются его решениями.

Ответ:

Уравнение вида

Уравнение вида где - многочлен, удобно решать при помощи введения новой переменной

Тогда можно получить выражение для произведения из формулы

Пример 11. Решить уравнение

Решение: введем новую переменную

Тогда

Следовательно, и исходное уравнение принимает вид

Для определения переменной получаем два уравнения

Для решения таких уравнений используют введение вспомогательного аргумента.

Ответ:

После завершения изучения рассмотренных методов, при наличии времени, рекомендуем провести урок-практикум - «Урок решения одного уравнения»

3. Функционально-графические методы

1. Использование свойств ограниченности функций, метод оценок.

Часто приходится иметь дело с уравнениями, имеющими вид f(x) = g(x), где f и g - некоторые функции, составленные с помощью тригонометрических выражений, такие, что можно исследовать области значений Е(f) и Е(g) и доказать, что эти области либо не пересекаются, либо имеют небольшое число общих точек. В таких случаях решения уравнения f(x) = g(x) следует искать среди таких x , которые удовлетворяют более простым уравнениям f(x) = a, g(x) = a , где а - такое действительное число, что

Пример 12. Решить уравнение .

Решение:

Ответ: нет решения.

Пример13. Решить уравнение .

Решение:

Ответ: нет решения.

Пример14. Решить уравнение .

Решение:

Ответ: .

Пример15. Решить уравнение

Решение:

Ответ:

Пример16. Решить уравнение

Решение.

Заметим, что сумма в левой части полученного уравнения может принимать значение 2, только если одновременно, т.е. наше уравнение равносильно системе уравнений

И должно выполняться равенство Поскольку

Ответ:

2. Использование графиков.

Суть метода использования графиков для решения уравнения f(x) = g(x) проста: нужно построить графики функций y = f(x) и y = g(x) и найти все точки их пересечения, абсциссы которых и будут являться корнями нашего исходного уравнения.

Пример 17. Сколько корней имеет уравнение:

Решение: в данном примере для решения уравнений используются свойства графиков функций.

Ответ: 1 решение.

Ответ: 1 решение.

Ответ: 7 решений.

ΙΙΙ. Решение комбинированных уравнений

Пример1. Решите уравнение

Решение: 1

3

1

3

Ответ: .

Пример 2. Решите уравнение

Решение:

Ответ:

Пример 3. Решите уравнение

Решение:

Решим первое уравнение системы с использованием универсальной тригонометрической подстановки:

С учетом неравенств системы имеем:

Ответ:

Пример 4. Решите уравнение

Решение:

1

2

Ответ:

Пример 5. Решите уравнение

Решение:

Ответ:

Пример 6. Решите уравнение

Решение:

Ответ:

Пример 7. Решите уравнение

Решение:

Ответ:

Пример 8. Решите уравнение

Решение: воспользуемся формулой понижения степени

Ответ:

Пример 9. Решите уравнение

Решение:

Решим полученное уравнение графически, для этого в одной системе координат построим графики функций

Ответ:

Пример 10. Решите уравнение

Решение: введем функцию тогда получим

Исследуем функцию на монотонность

Ответ:

Пример 11. Решите уравнение

0

Решение: данное уравнение равносильно системе

Ответ:

ΙV. Решение тригонометрических уравнений с параметром.

Пример1. Найти все значения параметра , при которых уравнение имеет решение.

Решение:

Пример 2. Найти все значения параметра , при которых уравнение имеет на отрезке ровно три корня.

Решение:

Пример 3. Решите уравнение.

Решение:

V. Тесты для самостоятельного решения

Данные тесты предназначены для проверки умений решения тригонометрических уравнений различными способами.

Вариант№1.

Вариант№2.

Вариант№3.

Вариант№4.

Литература

1. Алгебра и начала анализа: дидактические материалы для 10 класса / М.К.Потапов, А.В.Шевкин.-2-е изд.-М.:Просвещение,2007.

2. Алгебра и начала анализа: дидактические материалы для 11 класса: базовый и профильные уровни / М.К.Потапов, А.В.Шевкин.-2-е изд.-М.:Просвещение,2007.

3. Бурмистрова Н.В.,СтаростенковаН.Г.Математика.11класс. Подготовка к экзамену.

-Саратов: Лицей,2005.

4. Единый государственный экзамен: Математика: контрольные измерительные материалы: 2006-2007.-М.:Просвещение: СПб.: Просвещение,2007.

5. ЕГЭ-2009.Математика: Сдаём без проблем!/ О.А.Креславская, В.В.Крылов, В.И.Снегурова, В.Е.Ярмолюк.-М.:Эксмо.2008.

6. ЕГЭ. Репетитор. Математика.Эффективная методика./ Л.Д.Лаппо, А.В.Морозов, М.А.Попов.-М.:Издательство «Экзамен»,2007.

7. Панчишкин А.А.. Шавгулидзе Е.Т. Тригонометрические функции в задачах - М.:Наука. Главная редакция физико - математической литературы,1986.

8. Самое полное издание типовых вариантов реальных заданий ЕГЭ:2009:Математика /

авт.-сост. В.И.Ишина, В.В.Кочагин, Л.О.Денишева и др.-М.:АСТ: Астрель,2009.

9. Сборник заданий для подготовки и проведения письменного экзамена по математике

(курс А) и алгебре и началам анализа (курс В) за курс средней школы.11 класс/

Г.В,Дорофеев, Г.К.Муравин ,Е.А.Седова.-10-е изд.,стереотип.-М.:Дрофа,2007.

10. Тематические тесты. Математика. ЕГЭ-2009.Часть2.10-11 классы/ Под редакцией Ф.Ф.Лысенко. - Ростов-на-Дону:Легион,2008.

11. Макеева А.В.Карточки по тригонометрии.10-11 класс: Дидактический материал

для учителей. - Саратов:Лицей.2002.

12. Макарова Л.В. Уроки-практикумы в системе работы учителя. //Математика в школе,1998,№3.

13. Математика: интенсивный курс подготовки к экзамену.-4-е изд.испр. и доп.-М.:Рольф:Айрис-пресс,1999.

14. Математика: Тематическое планирование уроков подготовки к экзамену / А.В.Белошинстая.-М.:Издательство «Экзамен»,2007.

15. Шаммин В.М. Тематические тесты для подготовки к ЕГЭ по математике. Изд.3-е.-

Ростов н/Д: Феникс,2004.

31