Факультатив по математике Решение олимпиадных задач

муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

города Калининграда

гимназия № 40 имени Ю.А. Гагарина

Рассмотрено

на заседании предметной кафедры

«________________________________»

Протокол № ___ от «____»______2015 г.

Заведующая предметной кафедрой

____________________________________

(фамилия, имя, отчество)

«Утверждено»

Директор

____________________________________

Т. П. Мишуровская

«Согласовано»

Заместитель директора

____________________________________

(фамилия, имя, отчество)

Образовательная программа факультативного курса

по математике в 8 классах

«Олимпиадные задачи: Трудно? Легко.»

Калининград, 2015

Пояснительная записка

Образовательная программа факультатива «Олимпиадные задачи» имеет естественнонаучную направленность и расчитана на 34 часа.

Данная программа является дополнительным этапом в обучении математике на основе комплекта программ , объединенных единой целью и рассчитанных на детей среднего и старшего школьного возраста. При обучении по данной программе происходит овладение обучающимися основами логического мышления и математического аппарата на основе решения задач на тематических занятиях и знакомства с небольшим количеством теоретического материала по следующим направлениям: комбинаторика, графы, четность, инвариант, делимость и др.

Цель: научить обучающихся анализу и решению сложных нестандартных математических задач посредством формирования математического мышления и развития интеллектуальной активности.

Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи.

Обучающие:

• дать знания теоретического материала из различных математических теорий;

• дать знания по основам математического анализа;

• ознакомить с некоторыми математическими методами решения задач (метод от противного, доказательство неравенств, метод математической индукции).

Развивающие:

• заложить основы навыков самостоятельной работы при решении нестандартных математических задач;

• развить умение выстраивать цепь логических суждений, аргументации и доказательств;

• развить умение работать со справочной и специальной литературой;

• развить абстрактное мышление;

• развить умение работать в команде.

Воспитательные:

• повысить коммуникативные способности обучающихся;

• воспитать целеустремленность в достижении творческих результатов;

• воспитать уважительное отношение к окружающим.

Особенностью данной программы является привлечение обучающихся уже на ранних сроках обучения к участию в математических олимпиадах, турнирах, конкурсах разных уровней.

Срок реализации программы: 2 года (8- 9 классы)

В ходе обучения по программе большое внимание уделяется подготовке к участию в российских естественнонаучных конференциях школьников, математических олимпиадах и турнирах, математических боях. В результате занятий по данной программе дети учатся самостоятельно работать с литературой, осваивают новые предметные области, учатся применять накопленные знания в смежных областях.

В ходе изучения предмета широко используются различные формы обучения: фронтальные занятия, сочетающие теоретическую и практическую части; математические олимпиады; интеллектуальные турниры различных уровней; математические регаты и турниры математических боев; соревнования в Интернете в режиме «он-лайн». Предполагается непрерывность учебного процесса по данной программе, т.к. помимо вышеперечисленных форм занятий используются такие формы проведения занятий как экскурсии, летние экспедиции и математические лагеря.

Ожидаемые результаты и способы их проверки.

В конце 2 года обучения дети смогут закрепить знания, полученные в 1 год обучения, приобретут навыки логического мышления, опыт работы в команде, смогут освоить теоретический материал из теории сравнений, освоят метод математической индукции.

Стройность суждений, способов доказательств, математической аргументации, развиваемые у обучающихся в рамках дополнительной образовательной программы, позволит им перенести выработанные навыки для решения широкого круга задач в различных областях деятельности человека. Полученный результат оценивается на итоговом занятии - олимпиаде, а также по результатам выступлений на олимпиадах различных уровней.

Литература:

1. И.С.Петраков «Математика для любознательных»

2. А.В.Фарков «Математические олимпиады в школе»

3. Олимпиадные задачи, сайт «lektorium.tv»

4. Сайт «Не решается задача»;

Экспериментальная программа факультативных занятий «Решение логических задач» рассматривается как начальный этап формирования у учащихся V-VIII классов устойчивого интереса к математике.

Предусматривается развитие у них логического мышления, умений и навыков использования таблиц, схем и графиков с целью углубленного изучения данного курса.

Курс включает проведение поурочных занятий с использованием разнообраз-ных методических приемов, способствующих подготовке учащихся к различным видам математических соревнований, включая олимпиадное движение.

Пояснительная записка

Курс «Решение логических задач» можно рассматривать в качестве начального этапа на пути углубленного изучения математики.

Целью его преподавания является развитие у учеников логического мышления, умений и навыков читать и интерпретировать таблицы, схемы, графики, применять математические методы для предсказания результата, что развивает, в свою очередь, навыки системного анализа, которые могут быть применены не только в математике.

Реализация поставленной цели должна способствовать уменьшению существующей диспропорции между содержанием математики - учебного предмета общеобразовательной школы и содержанием математики - науки и тем самым приблизить содержание обучения к требованиям современной жизни, к запросам практики.

Основная учебно-воспитательная задача курса - помочь ученику в формировании у него устойчивого интереса к математике, а также содействовать осознанному выбору в пользу углубленного изучения математики в старших классах.

В своей теоретической основе курс опирается на базовую программу по математике. Однако, при решении ряда задач могут встретиться новые понятия (например, граф) и термины. Они разъясняются в процессе решения соответствующих задач. Программа курса предполагает дифференцированный подход к использованию различных форм и методов проведения занятий.

Содержание курса определяется его названием. Но если вспомнить, что логика - это наука о правилах и способах рассуждений, то следует заметить, что название «Решение логических задач» является весьма условным. В самом деле, решение любой математической задачи (и не только математической) использует логические рассуждения. Точка зрения авторов этой программы совпадает со следующей: «Вообще нелогических задач нет, так как каждой задаче присущи последовательность, взаимосвязь фактов, аргументированность, и поэтому при решении её последовательно переходят от одного суждения к другому.

Мы же к логическим задачам отнесём те, при решении которых главное, определяющее - это отыскание связей между фактами, установление для достижения поставленной цели цепочки суждений, а вот вычисления, построения играют здесь как бы вспомогательную роль. Немало задач вообще без числовых данных». (Д. В. Клименченко, Задачи по математике для любознательных, М, «Просвещение» 1992, стр. 103).

Изучение данного курса предполагает:

1. Решение задач иллюстрированного характера как средство построения простейших доказательных рассуждений и развития у учеников таких качеств как наблюдательность, умение сравнивать, проводить аналогии, обобщать, делать выводы и обосновывать их.

2. Решение сюжетных задач, основанных на нахождении соответствия между множествами и решаемых путём построения таблиц и графов.

3. Решение задач с различными вариантами истинных и ложных высказываниях, требующих применения метода рассуждений «от противного» и исследования различных логических возможностей.

4. Решение задач на применение принципа Дирихле, в том числе и в геометрии.

5. Решение простейших задач по теории графов.

6. Решение логических задач с применением таблиц истинности логических операций и логических задач тестового характера.

Курс рассчитан на 136 часов, которые распределяются следующим образом:

V класс - 34 часа (1 час в неделю)

VI класс - 34 часа (1 час в неделю)

VII класс - 34 часа (1 час в неделю)

VIII класс - 34 часа (1 час в неделю)

Содержание курса

V-VII класс

1. Иллюстративные задачи.

2. Сюжетные логические задачи, основанные на нахождении соответствия между множествами. Составление таблиц.

3. Истинные и ложные высказывания. Рыцари, лжецы.

4. Задачи на переливание.

5. Задачи на взвешивание.

6. Принцип Дирихле.

7. В худшем случае.

8. Простейшие представления о графах.

9. Смешанные задачи (чётность и нечётность, признаки делимости целых чисел, замещение плоской фигуры и др.)

VIII класс

1. Иллюстративные задачи.

2. Сюжетные логические задачи, основанные на нахождении соответствия между множествами. Турнирные таблицы.

3. Решение задач на истинные и ложные высказывания без использования таблиц истинности логических операций. Лжецы и рыцари.

4. Принцип Дирихле в геометрии.

5. Элементы логики высказываний. Логические задачи. Таблицы истинности.

6. Задачи с графами.

Ожидаемые результаты

В результате изучения курса учащиеся должны уметь:

• высказывать собственные рассуждения при решении задач;

• правильно пользоваться понятиями и терминами, которые специфичны для изучаемого курса;

• определить, к какому из типов относится логическая задача и уметь решать задачи среднего уровня; успешно выполнять проверочные работы.

Изучение курса будет способствовать:

• развитию творческих способностей учащихся, особенно в таких направлениях их деятельности, как умение анализировать и сравнивать, применять метод аналогий;

• формированию у учащихся более глубокого интереса к математике, их стремлению к поиску знаний, к пониманию возможностей применения математики в практической деятельности человека.

Рекомендуемая литература

1. Бахтина, Т. П. Раз задачка, два задачка / Т. П. Бахтина. - Минск: Асар, 2000. - 224 с.

2. Бахтина, Т. П. Готовимся к олимпиадам, турнирам и математическим боям / Т. П. Бахтина. - Мн.: АВЕРСЭВ, 2002. - 253 с.

3. Гайштут, А. Г. Математика в логических упражнениях / А. Г. Гайштут. - Киев: Рад. шк., 1985. - 193 с.

4. Гайштут, А. Г. Увлекательная математика. Путешествие по шахматной доске / А. Г. Гайштут. - М.: Дом педагогики, 1995. - 64 с.

5. Горбачев, Н.В. Сборник олимпиадных задач по математике / Н. В. Горбачев. - Москва: Просвещение, 2004. - 600 с.

6. Гуцанович, С. А. Занимательная математика в базовой школе / С. А. Гуцанович. - Мн.: ТетраСистемс, 2003. - 96 с.

7. Кемени, Дж. Введение в конечную математику / Дж. Кемени, Дж.Снелл, Дж. Томпсон. - Москва: Иностранная литература, 1963. - 486 с.

8. Клименченко, Д. В. Задачи по математике для любознательных / Д. В. Клименченко. - Москва: Просвещение, 1992. - 192 с.

9. Мазаник, А. А. Реши сам / А. А. Мазаник, С. А. Мазаник. - Минск: Нар. Асвета, 1992. - 256 с.

10. Мельников, О. И. Занимательные задачи по теории графов / О. И. Мельников. - Мн.: ТетраСистемс, 2001. - 144 с.

11. Шарыгин, И. Ф. Задачи на смекалку / И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. - М.: Просвещение, 2003. - 93 с.

Календарно - тематическое планирование

№п/п

Содержание обучения

Количество часов

Теоретическая часть

Практическая часть

1.

Алгебраические дроби. Рациональные выражения.

Преобразование алгебраических дробей и рациональных выражений.

2 час

1 час

1 час.

2

Разложение на множители (нестандартные методы)

2 час

1 час

1 час.

3

Решение уравнений в целых и натуральных числах.

2 час

1 час

1 час.

4

Уравнения (линейные, дробно-рациональные, с параметром)

2 час

1 час

1 час.

5

Системы линейных уравнений (нестандартные методы)

2 час

1 час

1 час.

6

Задачи на числа, делимость, свойства делимости.

2 час

1 час

1 час.

7

Задачи на четность, инварианты.

2 час

1 час

1 час.

8

Числовые неравенства. Доказательство неравенств.

2 часа

1 час

1 час

9

Метод математической индукции.

2 часа

1 час

1 час

10

Текстовые задачи на движение по воде, круговое движение.

2 часа

1 час

1 час

11

Текстовые задачи на работу.

2 часа

1 час

1 час

12

Текстовые задачи на проценты, сложные проценты.

2 часа

1 час

1 час

13

Квадратные корни. Иррациональные уравнения.

2часа

1 час

1 час

14

Квадратичная функция. Исследование квадратичной функции.

2 часа

1 час

1 час

15

Неравенства (линейные, квадратные неравенства)

2 часа

1 час

1 час

16

Функции и их исследования. Функции с параметром.

2 часа

1 часа

1 час

17

Геометрические задачи на нахождение площадей

2 часа.

1 час

1 час

Итого:

34 час

17

17

Содержание программы

2 года обучения

Раздел 1. Вводное занятие.

Практическая часть. Решение задач по материалам 1 года обучения.

Раздел 2. Четность. Четность. Исследование свойств четных и нечетных чисел в качестве инвариантов.

Практическая часть. Решение и разбор задач на использование свойств четных и нечетных чисел.

Раздел 3. Принцип Дирихле. Обобщенный принцип Дирихле. Неоднократное применение принципа в одной задаче. Задача о зайцах. Принцип Дирихле в теоретико-числовых и геометрических задачах.

Практическая часть. Решение задач.

Раздел 4. Делимость.

Тема 4.1. Делимость целых чисел. Использование делимости как инварианта в задачах. Последовательность Фибоначчи. Взаимная простота.

Практическая часть. Решение задач.

Тема 4.2. Признаки делимости. Признаки делимости для составных чисел. Практическая часть. Решение задач.

Раздел 5. Уравнения в целых числах. Составление уравнений в числовых задачах. Исследование свойств целочисленных уравнений.

Практическая часть. Решение задач.

Раздел 6. Комбинаторика.

Тема 6.1. Элементы комбинаторики. Подсчет вариантов. Основные типы задач и методы их решения. Метод перегородок. Метод черных и белых шаров.

Практическая часть. Решение вычислительных задач.

Тема 6.2. Перестановки и сочетания. Задачи на счет. Перестановки и сочетания. Выбор оптимального варианта счета. Свойства сочетаний и перестановок. Практическая часть. Решение вычислительных задач.

Тема 6.3. Треугольник Паскаля, некоторые его свойства. Построение треугольника Паскаля. Свойства n-ой строки. Связь с сочетаниями. 2 главных правила треугольника Паскаля.

Практическая часть. Решение вычислительных задач.

Раздел 7. Аналогии и соответствия. Понятие соответствия. Поиск новых решений старых задач. Различные формулировки одной и той задачи. Упрощение задач.

Практическая часть. Решение и сведение задач к уже решенным ранее.

Раздел 8. Элементы топологии. Невозможные математические фигуры. Рисунки Эшера. Различные виды ленты Мёбиуса.

Практическая часть. Решение задач.

Раздел 9. Логические задачи. Связь логических задач и теории множеств. Практическая часть. Разбор и решение задач

Раздел 10. Графы.

Элементы теории графов. Графическое изображение условия задачи. Вершины и ребра. Подсчет количества. Ориентированные графы.

Практическая часть. Графическая интерпретация задач и их решение.

Плоские графы. Формула Эйлера. Деревья. Линейные графы. Задачи Эйлера и Гамильтона. Плоские графы.

Практическая часть. Графическая интерпретация задач и их решение.

Раскраски графов. Решение задач с помощью графов. Двудольные графы. Раскраски на графах. Их свойства.

Практическая часть. Графическая интерпретация задач и их решение.

Полные графы. Дополнение к графу. Полнота графа. Дополнительный граф. Самодополняющиеся графы. Их свойства.

Практическая часть. Решение задач.

Раздел 11. Правильные многогранники. Их связь с графами. Многогранники и их свойства. Выпуклость. Правильные многогранники. Связь с плоскими графами. Формула Эйлера.

Практическая часть. Рисование проекций различных объемных фигур, конструирование из спичек и пластилина многогранников.

Раздел 12. Математические бильярды. Сведение некоторых геометрических задач к бильярдам. Физическая интерпретация.

Практическая часть. Разбор и решение многочисленных примеров.

Раздел 13. Оценки в задачах. Оценка числа операций, максимального и минимального значения различных величин. Построение примеров. Задачи на доказательство.

Практическая часть. Разбор и решение задач.

Раздел 14. Инварианты. Поиск инвариантов в задачах. Инварианты в геометрии. Числовые инварианты. Инварианты на графах. Инварианты в комбинаторных задачах.

Практическая часть. Решение задач.

Раздел 15. Геометрические фигуры и их свойства. Разбиение на треугольники. Диагональ внутри многоугольника. Изучение свойств различных плоских фигур.

Практическая часть. Рисование различных плоских фигур, изучение их свойств.

Раздел 16. Подготовка и участие в математических олимпиадах

Подготовка к участию в математических олимпиадах. Разбор олимпиадных задач по материалам прошлых олимпиад.

Участие в математических олимпиадах.

Практическая часть. Участие в письменных и устных математических олимпиадах математических регатах, турнире Ломоносова, турнире математических боев и других математических соревнованиях в соответствии с графиком их проведения.

Разбор олимпиадных задач. Разбор и обсуждение задач математических соревнований, в которых участвовали обучающиеся в текущем году.

Раздел 17. Итоговое занятие.

Практическая часть. Итоговая олимпиада. Аттестация обучающихся. Подведение итогов.

Список литературы

1. Барр Ст. Россыпи головоломок. - М.: Мир, 1978.

2. Визам Д., Герцег Я. Игра и логика. - М.: Мир, 1975.

3. Визам Д., Герцег Я. Многоцветная логика. - М.: Мир, 1978.

4. Виленкин Н.Я. Комбинаторика. - М.: Наука, 1964.

5. Виленкин Н.Я. Рассказы о множествах. - М.: Наука, 1969.

6. Виленкин Н.Я. Комбинаторика. - "Квант", 1971, № 1.

7. Виленкин Н.Я. Популярная комбинаторика. - М.: Наука, 1975.

8. Гарднер М. Математические головоломки и развлечения. - М.: Мир, 1971.

9. Гарднер М. Математические досуги. - М.: Мир, 1972.

10. Гарднер М. Математические новеллы. - М.: Мир, 1974.

11. Гарднер М. Есть идея! - М.: Мир, 1982.

12. Гарднер М. А ну-ка, догадайся! - М.: Мир, 1984.

13. Гарднер М. Крестики-нолики. -М.: Мир, 1988.

14. Гарднер М. Путешествие во времени. - М.: Мир, 1990.

15. Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В. Ленинградские математические кружки. - Киров, "АСА", 1994.

16. Дынкин Е.Г., Успенский В.А. Математические беседы. - М.: ГИТТЛ, 1952.

17. Ежов И.И. и др. Элементы комбинаторики. - М.: Наука, 1977.

18. Кордемский Б.А. Математическая смекалка. - М.: ГИТТЛ, 1958.

19. Линдгрен Г. Занимательные задачи на разрезание. - М.: Мир, 1977.

20. Математический кружок. Первый год обучения, 5-6 классы, (коллектив авторов). - М: Изд-во АПН СССР, 1991.

21. Пойа Д. Как решать задачу. - М.: Учпедгиз, 1961.

22. Пойа Д. Математическое открытие. - М.: Наука, 1970.

23. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. - М.: Наука, 1975.

24. Радемахер Г.Р., Теплиц О. Числа и фигуры. - М.: Физматгиз, 1962.

25. Смаллиан Р. Как же называется эта книга? - М.: Мир, 1981.

26. Смаллиан Р. Принцесса или тигр? - М.: Мир, 1985.

27. Смаллиан Р. Алиса в стране Смекалки. - М.: Мир, 1987.

28. Уфнаровский В.Л. Математический аквариум. - Кишинев: Штиинца. 1987.